2017年北京市丰台区初三数学一模试题及答案

丰台区2017年初三毕业及统一练习

数学试卷

2017. 05

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． ．．

1．随着“一带一路”的建设推进，北京丰台口岸进口货值业务量加速增长，2016年北京丰台口岸进

口货值飙升至189 000 000美元，比上一年翻了三倍，创下历史新高．将189 000 000用科学记数法表示应为 A．189?106 B．1.89?106 C．18.9?107 D．1.89?108 2．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是

A．a?b B．b?a

ab-3-2-101234C．?a?a D．?b?a

3．北京教育资源丰富，高校林立，下面四个高校校徽主体图案是中心对称图形的是

北京林业大学北京体育大学北京大学中国人民大学

A． B． C． D．

4．如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转n°后能与原来的图案互相重合，则n的最小值

为

A．45 B．60 C．72 D．144

5．在与国际友好学校交流活动中，小敏打算制做一个正方体礼盒送给外国朋友，每个面上分别书写一种中华传统美德，一共有“仁义礼智信孝”六个字．如图是她设计的礼盒平面展开图，那么“礼”字对面的字是 A．义 B．仁

仁义C．智 D．信

◇ ◇

2礼 ◇智 ◇信 ◇孝 ◇4m?4?m2?6. 如果m?2m?2?0，那么代数式?m?的值是 ??mm?2??A．?2

1

B．?1 C．2 D．3

7．如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AC和BD交叉构成，利用它可以把线段按一

定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA=3OC，OB=3OD），然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段a的两个端点上，当CD=1.8cm时，则AB的长为 A．7.2 cm C．3.6cm

万元，那么用于教育的支出为 A．3万元

B．

B．5.4 cm

D．0.6 cm

a A B D C

8．如图，这是小新在询问了父母后绘制的去年全家的开支情况扇形统计图，如果他家去年总开支为6

5万元 3C．2.4万元 D．2万元

9．如图，在正方形网格中，如果点A（1，1），B（2，0），

那么点C的坐标为 A．（?3，?2） C．（?2，?3）

B．（3，?2） D．（2，?3）

医疗其它娱乐35°30°交通55°100°120°食品教育ABC10．近年来由于空气质量的变化，以及人们对自身健康的关注程度不断提高，空气净化器成为很多家

庭的新电器．某品牌的空气净化器厂家为进一步了解市场，制定生产计划，根据2016年下半年销售情况绘制了如下统计图，其中同比增长率????当月销售量??1???100%，下面有四个推断： ?去年同月销售量?①2016年下半年各月销售量均比2015年同月销售量增多 ②第四季度销售量占下半年销售量的七成以上 ③下半年月均销售量约为16万台 ④下半年月销售量的中位数不超过10万台

某品牌空气净化器下半年销售情况统计图销售量/万台403020100销售量同比增长率7月8-2.3%8月9.36.5%9月9.85.2月13.415.1月19.720.7月3635.9%销售量同比增长率同比增长率400 %0%-10% 其中合理的是 A．①②

2

B．①④ C．②③ D．③④

二、填空题（本题共18分，每小题3分）

11．如果二次根式x?4有意义，那么x的取值范围是__________．

12．右图中的四边形均为矩形，根据图形的面积关系，写出一个正确

的等式：_____________________．

mn

acb

13．一天上午林老师来到某中学参加该校的校园开放日活动，他打算随机听一节九年级的课程，下表

是他拿到的当天上午九年级的课表，如果每一个班级的每一节课被听的可能性是一样的，那么听数学课的可能性是__________．

班级 节次 第1节 第2节 第3节 第4节 1班 语文 数学 物理 外语 2班 数学 政治 化学 语文 3班 外语 物理 体育 政治 4班 化学 语文 数学 体育 14．如下图，小量角器的0°刻度线在大量角器的0°刻度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边

上．如果它们外缘边上的公共点P在大量角器上对应的度数为40°，那么在小量角器上对应的度数为______________．（只考虑小于90°的角度）

P

15．众所周知，中华诗词博大精深，集大量的情景情感于短短数十字之间，或豪放，或婉约，或思民

生疾苦，或抒发己身豪情逸致，文化价值极高．而数学与古诗词更是有着密切的联系．古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字．有一本诗集，其中五言绝句比七言绝句多13首，总字数却反而少了20个字．问两种诗各多少首？设七言绝句有x首，根据题意，可列方程为____________________．

3

16．在数学课上，老师提出如下问题：

已知：线段a，b． 求作：等腰△ABC，使AB=AC，BC=a，BC边上的高为b． 小姗的作法如下： 如图，

（1）作线段BC=a；

（2）作线段BC的垂直平分线MN交线段BC于点D；

（3）在MN上截取线段DA =b，连接AB，AC．

所以，△ABC就是所求作的等腰三角形． B

老师说：“小姗的作法正确”．

abAMDCN 请回答：得到△ABC是等腰三角形的依据是：____________________________． 三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，

第29题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17．计算：12??4????cos60??03?3．

2 ?x?6??x?10 ，??18．解不等式组：?5 x?9x?1?.?3?

19．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B = 90o，F为DC上一点，且AB =FC，E为AD上一点，

EC交AF于点G，EA = EG． 求证：ED = EC．

4

AEGBDFC20．已知关于x的一元二次方程3x2?kx?k?4?0．

（1）判断方程根的情况；

（2）若此方程有一个整数根，请选择一个合适的k值，并求出此时方程的根．

21．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y??3x?m与双曲线y?（1）求双曲线y?

（2）过动点P(n，0)且垂直于x轴的直线与直线y??3x?m及双曲线y?

和C，当点B位于点C下方时，求出n的取值范围．

5

k

相交于点A（m，2）． x

yk的表达式； xA2Oxk的交点分别为Bx

22．课题学习：设计概率模拟实验．

在学习概率时，老师说：“掷一枚质地均匀的硬币，大量重复实验后，正面朝上的概率约是

1．”2小海、小东、小英分别设计了下列三个模拟实验：

小海找来一个啤酒瓶盖（如图1）进行大量重复抛掷，然后计算瓶盖口朝上的次数与总次数的比值；

小东用硬纸片做了一个圆形转盘，转盘上分成8个大小一样的扇形区域，并依次标上1至8个数字（如图2），转动转盘10次，然后计算指针落在奇数区域的次数与总次数的比值；

小英在一个不透明的盒子里放了四枚除颜色外都相同的围棋子（如图3），其中有三枚是白子，一枚是黑子，从中随机同时摸出两枚棋子，并大量重复上述实验，然后计算摸出的两枚棋子颜色不同的次数与总次数的比值．

87654123

图1 图2 图3 根据以上材料回答问题：

小海、小东、小英三人中，哪一位同学的实验设计比较合理，并简要说出其他两位同学实验的不足之处．

23．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，DE⊥AC于点E，且AE=CE，DE=5，EB=12． （1）求AD的长；

（2）若∠CAB=30°，求四边形ABCD的周长．

DEA

6

CB

24．阅读下列材料：

由于发展时间早、发展速度快，经过20多年大规模的高速开发建设，北京四环内，甚至五环内可供开发建设的土地资源越来越稀缺，更多的土地供应将集中在五环外，甚至六环外的远郊区县．

据中国经济网2017年2月报道，来自某市场研究院的最新统计，2016年，剔除了保障房后，在北京新建商品住宅交易量整体上涨之时，北京各区域的新建商品住宅交易量则是有涨有跌．其中，昌平、通州、海淀、朝阳、西城、东城六区下跌，跌幅最大的为朝阳区，新建商品住宅成交量比2015年下降了46.82%．而延庆、密云、怀柔、平谷、门头沟、房山、顺义、大兴、石景山、丰台十区的新建商品住宅成交量表现为上涨，涨幅最大的为顺义区，比2015年上涨了118.80%．另外，从环线成交量的占比数据上，同样可以看出成交日趋郊区化的趋势．根据统计，2008年到2016年，北京全市成交的新建商品住宅中，二环以内的占比逐步从3.0%下降到了0.2%；二、三环之间的占比从5.7%下降到了0.8%；三、四环之间的占比从12.3%下降到了2.3%；四、五环之间的占比从21.9%下降到了4.4%．也就是说，整体成交中位于五环之内的新房占比，从2008年的42.8%下降到了2016年的7.7%，下滑趋势非常明显．由此可见，新房市场的远郊化是北京房地产市场发展的大势所趋．（注：占比，指在总数中所占的比重，常用百分比表示）

根据以上材料解答下列问题： （1）补全折线统计图；

2008年和2016年新建商品住宅环线成交量占比折线统计图成交量占比100??p`P@0 %0 08年2016年间间内间环之环之环以环之三四二五二、三、

（2）根据材料提供的信息，预估 2017年位于北京市五环之内新建商品住宅成交量占比约_________，你的预估理由是________________________________．

7

四、五环以外环线25．如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，CF⊥AB于点F，CE⊥AD交AD的延长线于点E，

且CE=CF．

（1）求证：CE是⊙O的切线；

（2）连接CD，CB．若AD=CD=a，写出求四边形ABCD面积的思路．

EDCAOFB

26．【问题情境】

已知矩形的面积为a（a为常数，a?0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小?最小值是多少?

【数学模型】

设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数表达式为y?2 ?x?【探索研究】

小彬借鉴以前研究函数的经验，先探索函数y?x?（1）结合问题情境，函数y?x?x y ? ? ??a???x?0?． x?1的图象性质． x1 414 41的自变量x的取值范围是x?0，下表是y与x的几组对应值． x11 1 2 3 m ? 32111113 2 2 3 4 2 ? 32234

①写出m的值；

②画出该函数图象，结合图象，得出当x=______时，y有最小值，y最小=________； 【解决问题】

（2）直接写出“问题情境”中问题的结论．

A，B两点．

8

y4321O1234x27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y?mx2?4mx?2m?1?m?0?与平行于x轴的一条直线交于

（1）求抛物线的对称轴；

（2）如果点A的坐标是（?1，?2），求点B的坐标；

（3）抛物线的对称轴交直线AB于点C，如果直线AB与y轴交点的纵坐标为?1，且抛物线顶点

D到点C的距离大于2，求m的取值范围．

y54321-5-4-3-2-1-1-2-3-4-5O12345x

28．在边长为5的正方形ABCD中，点E，F分别是BC，DC边上的两个动点（不与点B，C，D重合），且AE⊥EF．

（1）如图1，当BE=2时，求FC的长；

9

（2）延长EF交正方形ABCD外角平分线CP于点P．

①依题意将图2补全；

②小京通过观察、实验提出猜想：在点E运动的过程中，始终有AE=PE．小京把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的三种想法：

想法1：在AB上截取AG=EC，连接EG，要证AE=PE，需证△AGE≌△ECP． 想法2：作点A关于BC的对称点H，连接BH，CH，EH．要证AE=PE， 需证△EHP为等腰三角形．

想法3：将线段BE绕点B顺时针旋转90°，得到线段BM，连接CM，EM， 要证AE=PE，需证四边形MCPE为平行四边形． 请你参考上面的想法，帮助小京证明AE=PE．（一种方法即可）

ADADFBECBEFC

图1 图2

29．在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C，给出如下定义：

如果矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的覆盖矩形．点A，B，C的所有覆盖矩形中，面积最小的矩形称为点A，

10

B，C的最优覆盖矩形．例如，下图中的矩形A1B1C1D1，A2B2C2D2，AB3C3D3都是点A，B，C的覆盖矩形，其中矩形AB3C3D3是点A，B，C的最优覆盖矩形．

y54321-2-1A2AB21D2D1D3CC345A1B3B23C26B1-1Ox

C1（1）已知A(?2，3)，B(5，0)，C(t，?2)．

①当t?2时，点A，B，C的最优覆盖矩形的面积为_____________； ②若点A，B，C的最优覆盖矩形的面积为40，求直线AC的表达式；

4（2）已知点D(1，1)．E(m，n)是函数y?(x?0)的图象上一点，⊙P是点O，D，E的一

x个面积最小的最优覆盖矩形的外接圆，求出⊙P的半径r的取值范围．

丰台区2017年初三毕业及统一练习

11

数学参考答案

一、选择题（本题共30分，每小题3分） 题号 答案 1 D 2 A 3 B 4 C 5 A 6 C 7 B 8 D 9 B 10 C 二、填空题（本题共18分，每小题3分）

?m?n??a?b?c??ma?mb?mc?na?nb?nc；11. x??4；12.答案不唯一，如： 13.

3； 14. 1670°；15.28x?20?x?13??20；

16.垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等；

到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上； 有两条边相等的三角形是等腰三角形. 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17．解：原式=23?1?12?3?3…………………………………………………………4分 =33?72．……………………………………………………………………5分

18．解：解不等式①，得x?2．……………………………………………………………2分

解不等式②，得x?3．……………………………………………………………4分 ∴原不等式组的解集是x?3．……………………………………………………5分

19．证明：∵AB∥DC，FC=AB，

∴四边形ABCF是平行四边形．…………………………………………………1∵∠B=90°， ∴四边形

ABCF

是矩形．………………………………………………………2

∴∠AFC=90°，

∴∠D=90°-∠DAF，∠ECD=90°-∠CGF．………………………3∵EA=EG，

∴∠EAG=∠EGA．………………………………………………………………4分 ∵∠EGA=∠CGF，

∴∠DAF=∠CGF． ∴∠D=∠ECD．

∴ED=EC．……………………………………………………………………5

20．解：（1）∵Δ=（?k）2?12?k?4??k2?12k?48??k?6?2?12?0．…………2分

∴方程有两个不等的实数根．…………………………………………………3分

12

分

分

分

分

（2）当k=4时，Δ=16，

方程化为3x2?4x?0，∴x1?0，x2?或当k=8时，Δ=16，

方程化为3x2?8x?4?0，∴x1?2，x2?21.解：（1）∵点A（m，2）在直线y??3x?m上， ∴2??3m?m，m = -1．……………………………………………………1分 ∴A（-1，2）. ∵点A在双曲线y?∴2?4；……………………………5分 32．………………………5分 3k上， xk，k =-2. ?12∴y??.………………………………………………………………………2分

x22（2）令?3x?1??，得到x1??1，x2?．………………………………3分

x3根据图形，点B位于点C下方，即反比例函数大于一次函数时， ∴?1?n?0或n?

2

.………………………………………………………5分 3

22. 解：小英设计的模拟实验比较合理. ……………………………………………………2分

小海选择的啤酒瓶盖质地不均匀；小东操作转盘时没有用力转动，而且实验次数 太少，没有进行大量重复实验. ……………………………………………………5分

23.解：（1）∵∠ABC=90°，AE= CE，EB=12，

∴EB=AE=CE=12. ∵DE⊥AC，DE=5， ∴在Rt△ADE中， 由勾股定理得AD=

AE2?DE2=122?52=13．…………………2分

（2）∵在Rt△ABC中，∠CAB=30°，AC=AE+CE=24，

∴BC=12，AB=AC·cos30°=123．………………………………………3分 ∵DE⊥AC，AE=CE，

∴AD=DC=13．………………………………………………………………4分

∴四边形ABCD的周长为AB+BC+CD+AD=38+123．…………………5分

24. 解：（1）正确画出折线.…………………………………………………………………3分

13

2008年和2016年新建商品住宅环线成交量占比折线统计图成交量占比100??p`P@0 %0 08年2016年间间内间之之以之环环环环三四二五、、二三四、五环以外环线（2）预估理由

须包含材料中提供的信息，且支撑预估的数据. ………………5分 25.（1）证明：连接OC，AC．

∵CF⊥AB，CE⊥AD，且CE=CF．

∴∠CAE=∠CAB. ……………………………………………………………… 1分 ∵OC= OA， ∴∠CAB=∠OCA. ∴∠CAE=∠OCA. ∴OC∥AE．

∴∠OCE+∠AEC=180°， ∵∠AEC=90°，

∴∠OCE=90°即OC⊥CE，

∵OC是⊙O的半径，点C为半径外端，

∴CE是⊙O的切线．………………………………………………………………2分

（2）求解思路如下：

①由AD=CD=a，得到∠DAC=∠DCA，于是∠DCA=∠CAB，可知DC∥AB； ②由OC∥AE，OC=OA，可知四边形AOCD是菱形；

⌒⌒ ③由∠CAE=∠CAB，得到CD=CB，DC=BC=a，可知△OBC为等边三角形； ④由等边△OBC可求高CF的长，进而可求四边形ABCD面积. ………………………5分 26.解：（1）①m = 4；…………………………………………………………………………1分 ②图象如图. ……………………………………………………………………2分

14

EDCAOFB

y4321y=x+1xO1234x1；2. …………………………………………………………………………4分 （2）根据小彬的方法可知，

当x?

a

时，y有最小值，即x?a时，y最小?4a．…………………5分 x

227.解：（1）∵抛物线y?mx2?4mx?2m?1?m?x?2??2m?1，

∴对称轴为x= 2．………………………………………………………………2分

（2）①∵抛物线是轴对称图形，∴点A点B关于x= 2轴对称，

∵A(﹣1，-2)，∴B（5，-2）．……………………………………………3分

②∵抛物线y?mx2?4mx?2m?1?m?x?2??2m?1，

2∴顶点D（2，﹣2m -1）． …………………………………………………4分 ∵直线AB与y轴交点的纵坐标为?1，

∴C（2，-1）． ……………………………………………………………5分

∵顶点D到点C的距离大于2， ∴﹣2m﹣1 +1 > 2或﹣1+ 2m +1 > 2，

∴m <﹣1或m > 1．………………………………………………………… 7分

28.解：（1）∵正方形ABCD的边长为5，BE=2， ∴EC=3.

∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B=∠C= 90°， ∴∠1+∠3=90°，

∵AE⊥EF，

∴∠2+∠3=90°， ∴∠1=∠2. ∴△ABE∽△ECF，

B

3 E

2 A 1 F C D

ABCE53?，即? BEFC2FC6∴FC=.………………………………………………………………………2分

5∴

（2）①依题意补全图形.……………………………………………………………3分

②法1：

证明：在AB上截取AG=EC，连接EG. ∵AB= BC，∴GB=EB.

15

A 1 G B

2 E

D F C

P

∵∠B=90°，∴∠BGE=45°，∴∠AGE=135°. ∵∠DCB=90°，CP是正方形ABCD外角平分线， ∴∠ECP=135°. ∴∠AGE=∠ECP.

又∵∠1=∠2，∴△AGE≌△ECP.

∴AE=PE.………………………………………………………………7分

法2：

证明：作点A关于BC的对称点H，连接BH，CH，EH. ∴AB=BH=BC，∠1=∠4，∠ABE=∠HBE=90°. ∴∠BHC=∠BCH =45°，∠4+∠5=45°.

∵∠1=∠2，

∴∠2+∠5=45°. ∵∠ECP=135°，

∴∠HCP=180°，点H，C，P在同一条直线上.

∵∠6=∠2+∠P=45°，

∴∠5 =∠P.

∴AE=PE. ………………………………………………………………7分

法3：

证明：将线段BE绕点B顺时针旋转90°，得到线段BM，连接CM，EM. ∴MB=EB，∴∠MEB=45°，∠MEC=135°. 由法1∠ECP=135°，∴∠MEC=∠ECP. ∴ME∥PC.

又∵AB=BC，∠ABC=∠MBC=90°. ∴△ABE≌△CBF.

∴∠1=∠BCM，MC=AE.

∴MC∥EP.

∴四边形MCPE为平行四边形. ∴MC=PE.

∴AE=PE.………………………………………………………………7分

B M E

C A 1 F P D B E A 1 F P 6 2 C D 4 5 H

29. 解：（1）①35；……………………………………………………………………………1分

②∵点A，B，C的最优覆盖矩形的面积为40，

∴由定义可知，t =-3或6，即点C坐标为（-3，-2）或（6，-2）.

16

设AC表达式为y?kx?b，

?3??2k?b,?3??2k?b,∴?或?

?2??3k?b.?2?6k?b.??5?k??,?k?5,?8 ∴?或??b?13.?b?7.4?57∴y?5x?13或y??x?.……………………………………………4分

84（2）如图1，OD所在的直线交双曲线于点E，矩形OFEG是点O，D，E的一个面 积最小的最优覆盖矩形， ∵点D（1，1）， ∴OD所在的直线表达式为y=x， ∴点E的坐标为（2，2）， ∴OE=22， ∴⊙H的半径r =2， 如图2， ∵当点E的纵坐标为1时，1=∴OE=12?42=17， ∴⊙H的半径r =x，解得x=4， 417， 2∴2?r? 17．……………………………………………………8分 2y

yGDOFEGDEFxOx图1 图2

17

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