圆锥曲线典型例题讲解

9.1 椭 圆

典例精析

题型一 求椭圆的标准方程

45

【例1】已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和

325

，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程. 3

x23y23x2y2

【解析】故所求方程为＋＝1或＋＝1.

510105

【点拨】(1)在求椭圆的标准方程时，常用待定系数法，但是当焦点所在坐标轴不确定时，需要考虑两种情形，有时也可设椭圆的统一方程形式：mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)；(2)在求椭圆中的a、b、c时，经常用到椭圆的定义及解三角形的知识.

【变式训练1】已知椭圆C1的中心在原点、焦点在x轴上，抛物线C2的顶点在原点、焦点在x轴上.小明从曲线C1，C2上各取若干个点(每条曲线上至少取两个点)，并记录其坐标(x，y).由于记录失误，使得其中恰有一个点既不在椭圆C1上，也不在抛物线C2上.小明的记录如下：

x2y2

据此，可推断椭圆C1的方程为 . ＋＝1.

126题型二 椭圆的几何性质的运用

【例2】已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°. (1)求椭圆离心率的范围；

(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关. 1

【解析】(1)e的取值范围是[，1).(2)SPF2

【点拨】椭圆中△F1PF2往往称为焦点三角形，求解有关问题时，要注意正、余弦定理，面积公式的使用；|PF1|＋|PF2|2

求范围时，要特别注意椭圆定义(或性质)与不等式的联合使用，如|PF1|·|PF2|≤()，|PF1|≥a－

2x2y21

c. 【变式训练2】已知P是椭圆＋＝1上的一点，Q，R分别是圆(x＋4)2＋y2＝和圆

2594

1

(x－4)2＋y2＝上的点，则|PQ|＋|PR|的最小值是 .【解析】最小值为9.

4题型三 有关椭圆的综合问题

x2y2

【例3】(2010全国新课标)设F1，F2分别是椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F1斜率为

ab

1

1F213＝mnsin 60°＝b2， 23

1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列.

(1)求E的离心率；

2x2y2

(2)设点P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求E的方程.(1).(2)为＋＝1.

2189

x2y2

【变式训练3】已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为e，两焦点为F1，F2，抛物线以F1为顶点，F2

ab|PF1|

为焦点，P为两曲线的一个交点，若＝e，则e的值是( )

|PF2|

A.3 2

B.3 3

C.2 2

D.

6

【解析】选B 3

题型思 有关椭圆与直线综合问题

x2y21【例4】【2012高考浙江理21】如图，椭圆C：2+2?1(a＞b＞0)的离心率为，其左焦点到点P(2，1)

2ab的距离为10．不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平

分．

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ) 求?ABP的面积取最大时直线l的方程．

.

【变式训练4】【2012高考广东理20】

x2y22在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：2?2?1(a?b?0)的离心率e=，且椭圆C上的点到Q

ab3（0，2）的距离的最大值为3.

（1）求椭圆C的方程；

（2）在椭圆C上，是否存在点M（m,n）使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．

2

总结提高

1.椭圆的标准方程有两种形式，其结构简单，形式对称且系数的几何意义明确，在解题时要防止遗漏.确定椭圆需要三个条件，要确定焦点在哪条坐标轴上(即定位)，还要确定a、 b的值(即定量)，若定位条件不足应分类讨论，或设方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)求解.

2.充分利用定义解题，一方面，会根据定义判定动点的轨迹是椭圆，另一方面，会利用椭圆上的点到两焦点的距离和为常数进行计算推理.

3.焦点三角形包含着很多关系，解题时要多从椭圆定义和三角形的几何条件入手，且不可顾此失彼，另外一定要注意椭圆离心率的范围.

练习

x2?y2?1的右焦点为F,右准线为l，1（2009全国卷Ⅰ理）已知椭圆C:点A?l，线段AF交C于点B，2?????????????若FA?3FB,则|AF|=( )

A. 2 B. 2 C.3 D. 3选A

x2y2.2（2009浙江文）已知椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF?xab????????轴，直线AB交y轴于点P．若AP?2PB，则椭圆的离心率是（ ）

A．1132 B． C． D．【答案】D

3222x2y23.（2009江西卷理）过椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，

ab?若?F1PF2?60，则椭圆的离心率为

A．

1123 B． C． D．【答案】B

3223x2y23a4.【2012高考新课标理4】设F1F2是椭圆E:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点，P为直线x?上一

2ab点，?F2PF1是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为（ ）

? 3

(A)

12? (B) (C) 23?(D)?【答案】C ?x2y2??1的左焦点为F，直线x?m与椭圆相交于点A、B，当?FAB5【2012高考四川理15】椭圆43的周长最大时，?FAB的面积是____________。【答案】3 x2y26【2012高考江西理13】椭圆 2?2?1(a?b?0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1，

abF2。若AF1F2，F1B成等比数列，则此椭圆的离心率为_______________.【答案】1，F5 5

x2y2【例4】【解析】(Ⅰ)：+?1．

43(Ⅱ)易得直线OP的方程：y＝

11x，设A(x，y)，B(x，y)，R(x，y)．其中y＝x．22A

A

B

B

0

0

0

0

?xA2yA2+?1??43∴?22?xB+yB?1?3?4?kAB?yA?yB3x?xB32x3???A???0??xA?xB4yA?yB42y02．

设直线AB的方程为l：y＝﹣

3x?m2(m≠0)，入椭圆：

?x2y2+?1??43??y＝-3x?m??2?3x2?3mx?m2?3?0．显然

??(3m)?24?m3(?23?)m3?(1．∴﹣2?12)＜m＜22m2?3012且m≠0．由上又有：xA?xB＝m，yA?yB＝．

3＝∴|AB|＝1?kAB|xA?xB|＝1?kABd?(xA?xB)?4xAxB?m?21?kAB．

1?kABm24?3．

?3?1?m1?kAB∵点P(2，1)到直线l的距离表示为：

m2114?∴S?＝d|AB|＝|m＋2|322ABP

，当|m＋2|＝m24?3，即m＝﹣3 或m＝0(舍去)时，(S

?ABP)max＝

1． 2此时直线l的方程y＝﹣

31x?22．

【变式训练4】【解析】（1）设

c?a2?b2 由e?c221??c2?a2，所以b2?a2?c2?a2

3a33x2y2y222?2?1，所以x?a(1?2)?a2?3y2 设P(x,y)是椭圆C上任意一点，则

2abb|PQ|?x2?(y?2)2?a2?3y2?(y?2)2??2(y?1)2?a2?6 4

当

b?1时，当y??1时，|PQ|有最大值a2?6?3，可得a?3，所以b?1,c?2 b?1时，PQ?a2?6?3b2?6?3 不合题意

当

x2?y2?1 故椭圆C的方程为：

3 （2）

?AOB中，OA?OB?1，S?AOB?11?OA?OB?sin?AOB? 22 当且仅当

?AOB?90?时，S?AOB有最大值

12，

?AOB?90?时，点O到直线AB的距离为d?22

d?212???m2?n2?2 22m2?n2 又

3162m2?3n2?3?m2?,n2?，此时点M(?,?)2222。

9.2 双曲线

典例精析

题型一 双曲线的定义与标准方程

【例1】已知动圆E与圆A：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆B：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心E的轨x2y2

迹方程.【解析】－＝1(x≥2).

214

【点拨】利用两圆内、外切圆心距与两圆半径的关系找出E点满足的几何条件，结合双曲线定义求解，

5

要特别注意轨迹是否为双曲线的两支.

x2y2

【变式训练1】P为双曲线－＝1的右支上一点，M，N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和

916(x－5)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为( )

A.6

B.7

C.8

D.9 【解析】选D.

题型二 双曲线几何性质的运用

x2y2

【例2】双曲线C：2－2＝1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，x轴上有一点Q(2a,0)，若C上存在一点P，

ab使AP?PQ＝0，求此双曲线离心率的取值范围.【解析】(1，

6). 2

【点拨】根据双曲线上的点的范围或者焦半径的最小值建立不等式，是求离心率的取值范围的常用方法.

x2y2

【变式训练2】设离心率为e的双曲线C：2－2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，直线l过焦点F，且

ab斜率为k，则直线l与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是( )

A.k2－e2＞1 C.e2－k2＞1

B.k2－e2＜1

D.e2－k2＜1【解析】，故选C.

题型三 有关双曲线的综合问题

x22

【例3】(2010广东)已知双曲线－y＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P(x1，y1)，Q(x1，－y1)是双

2曲线上不同的两个动点.

(1)求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程；(2)若过点H(0，h)(h＞1)的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且l1⊥l2，求h的值.

x22

【解析】(1)轨迹E的方程为2＋y＝1，x≠0且x≠±2.(2)符合条件的h的值为3或2.

x2y2

【变式训练3】双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过F2的直线与双

ab曲线的右支交于A，B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2等于( )

A.1＋22

B.3＋22 C.4－22 D.5－22 【解析】故选D

总结提高

1.要与椭圆类比来理解、掌握双曲线的定义、标准方程和几何性质，但应特别注意不同点，如a，b，c的关系、渐近线等.

2.要深刻理解双曲线的定义，注意其中的隐含条件.当||PF1|－|PF2||＝2a＜|F1F2|时，P的轨迹是双曲线；当||PF1|－|PF2||＝2a＝|F1F2|时，P的轨迹是以F1或F2为端点的射线；当 ||PF1|－|PF2||＝2a＞|F1F2|时，P无轨迹.

3.双曲线是具有渐近线的曲线，画双曲线草图时，一般先画出渐近线，要掌握以下两个问题： (1)已知双曲线方程，求它的渐近线；

6

bx2y2

(2)求已知渐近线的双曲线的方程.如已知双曲线渐近线y＝±x，可将双曲线方程设为2－2＝λ(λ≠0)，

aab再利用其他条件确定λ的值，求法的实质是待定系数法.

练习

x2y231、【2012高考山东理10】已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心学率为.双曲线x2?y2?1的渐

ab2近线与椭圆C有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为

x2y2x2y2x2y2x2y2?1 ??1 （B）??1 （C）??1 （D）?（A）

20582126164【答案】D

2．直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同两点，则k的取值范围是 A．(－C．(－

1515，) 33

B．(0，15

) 3

1515，0) D．(－，－1) 33

x2y23.【2012高考湖北理14】如图，双曲线2?2?1 (a,b?0)的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，

ab两焦点为F1，F2. 若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A,B,C,D. 则 （Ⅰ）双曲线的离心率e? ；（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值

S1? .【答案】e?S2【例3】由题意知|x1|＞

5?1S12?5;?2S22

－y1y1

(x＋2)，①直线A2Q的方程为y＝(x－2).②方

x1＋2x1－2

2，A1(－2，0)，A2(2，0)，则有直线A1P的方程为y＝

22y122y

法一：联立①②解得交点坐标为x＝，y＝，即x1＝，y1＝，③则x≠0，|x|＜2. x1x1xx

x2x21而点P(x1，y1)在双曲线－y2＝1上，所以－y21＝1. 22

x2

将③代入上式，整理得所求轨迹E的方程为＋y2＝1，x≠0且x≠±2. 2－y21

方法二：设点M(x，y)是A1P与A2Q的交点，①×②得y2＝2(x2－2).③

x1－2x2x2112

又点P(x1，y1)在双曲线上，因此－y2＝1，即y＝－1. 11

22x2

代入③式整理得＋y2＝1.

2

因为点P，Q是双曲线上的不同两点，所以它们与点A1，A2均不重合.故点A1和A2均不在轨迹E上.过点(0,1)及A2(2，0)的直线l的方程为x＋2y－2＝0.

?x?2y?2?0,?解方程组?2得x＝

x2??y?1?2

2，y＝0.所以直线l与双曲线只有唯一交点A2.

故轨迹E不过点(0,1).同理轨迹E也不过点(0，－1).

7

x2

综上分析，轨迹E的方程为＋y2＝1，x≠0且x≠±2. 2(2)设过点H(0，h)的直线为y＝kx＋h(h＞1)， x2

联立＋y2＝1得(1＋2k2)x2＋4khx＋2h2－2＝0.

2令Δ＝16k2h2－4(1＋2k2)(2h2－2)＝0，得h2－1－2k2＝0， 解得k1＝

h2－1

，k2＝－2

h2－1h2－1

.由于l1⊥l2，则k1k2＝－＝－1，故h＝3. 22

hh

×(－)＝－1，得h＝2. 22

过点A1，A2分别引直线l1，l2通过y轴上的点H(0，h)，且使l1⊥l2，因此A1H⊥A2H，由此时，l1，l2的方程分别为y＝x＋2与y＝－x＋2， 它们与轨迹E分别仅有一个交点(－

222222，)与(，). 3333

所以，符合条件的h的值为3或2.

【变式训练3】据题意设|AF1|＝x，则|AB|＝x，|BF1|＝

由双曲线定义有|AF1|－|AF2|＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a

2x.

?(|AF1|＋|BF1|)－(|AF2|＋|BF2|)＝(2＋1)x－x＝4a，即x＝22a＝|AF1|. 故在Rt△AF1F2中可求得|AF2|＝|F1F2|2－|AF1|2＝4c2－8a2.

c2

又由定义可得|AF2|＝|AF1|－2a＝22a－2a，即4c2－8a2＝22－2a，两边平方整理得c2＝a2(5－22)?2＝e2＝5－22，.

a

9.3 抛物线

典例精析

题型一 抛物线定义的运用

【例1】根据下列条件，求抛物线的标准方程. (1)抛物线过点P(2，－4)；

(2)抛物线焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5. 【解析】(1)y2＝8x或x2＝－y.(2)方程为y2＝±2x或y2＝±18x.

【变式训练1】已知P是抛物线y2＝2x上的一点，另一点A(a,0) (a＞0)满足|PA|＝d，试求d的最小值. 【解析】dmin＝2a－1. 题型二 直线与抛物线位置讨论

【例2】(2010湖北)已知一条曲线C在y轴右侧，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.

(1)求曲线C的方程；

(2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有FA?FB＜0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.

【解析】(1)y2＝4x(x＞0). (2)3－22＜m＜3＋22.

8

由此可知，存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有FA·FB＜0，且m的取值范围是(3－22，3＋22).

【变式训练2】已知抛物线y2＝4x的一条弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB所在直线与y轴的交点坐111

标为(0,2)，则＋＝ .【解析】.

y1y22

题型三 有关抛物线的综合问题

【例3】已知抛物线C：y＝2x2，直线y＝kx＋2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N.

(1)求证：抛物线C在点N处的切线与AB平行；

(2)是否存在实数k使NA·NB＝0？若存在，求k的值；若不存在，说明理由. 【解析】

【点拨】直线与抛物线的位置关系，一般要用到根与系数的关系；有关抛物线

的弦长问题，要注意弦是否过焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须使用弦长公式.

【变式训练3】已知P是抛物线y2＝2x上的一个动点，过点P作圆(x－3)2＋y2＝1的切线，切点分别45

为M、N，则|MN|的最小值是 .【解析】.

5

总结提高

1.在抛物线定义中，焦点F不在准线l上，这是一个重要的隐含条件，若F在l上，则抛物线退化为一条直线.

2.掌握抛物线本身固有的一些性质：(1)顶点、焦点在对称轴上；(2)准线垂直于对称轴；(3)焦点到准线的距离为p；(4)过焦点垂直于对称轴的弦(通径)长为2p.

3.抛物线的标准方程有四种形式，要掌握抛物线的方程与图形的对应关系.求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线的类型，可采用待定系数法.

4.抛物线的几何性质，只要与椭圆、双曲线加以对照，很容易把握.但由于抛物线的离心率为1，所以抛物线的焦点有很多重要性质，而且应用广泛，例如：已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点的直线交抛物线于A、2p

B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有下列性质：|AB|＝x1＋x2＋p或|AB|＝2(α为AB的倾斜角)，y1y2＝

sinαp2

－p，x1x2＝等.

4

2

练习

1.【2012高考全国卷理8】已知F1、F2为双曲线C：x2-y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，则cos∠F1PF2=

9

(A)

1334 （B） (C) (D) 【答案】C

54452.【2012高考安徽理9】过抛物线y2?4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点，点O是原点，若AF?3，则?AOB的面积为（ ）

(A)

222

【例3】证明：如图，设A(x1,2x21)，B(x2,2x2)，把y＝kx＋2代入y＝2x，得2x－kx－2＝0，

2 (B) 22 (C)

32 (D)22【答案】C 2x1＋x2kkkk2

由韦达定理得x1＋x2＝，x1x2＝－1，所以xN＝xM＝＝，所以点N的坐标为(，). 22448

k2kmkk2

设抛物线在点N处的切线l的方程为y－＝m(x－)，将y＝2x2代入上式，得2x2－mx＋－＝0，

8448mkk2

因为直线l与抛物线C相切，所以Δ＝m2－8(－)＝m2－2mk＋k2＝(m－k)2＝0，所以m＝k，即l∥AB.

48(2)假设存在实数k，使NA·

NB＝0，则NA⊥NB， 又因为M是AB的中点，所以|MN|＝

1|AB|. 22

1111k2k2k2k2k＋16

由(1)知yM＝(y1＋y2)＝(kx1＋2＋kx2＋2)＝[k(x1＋x2)＋4]＝(＋4)＝＋2.因为MN⊥x轴，所以|MN|＝|yM－yN|＝＋2－＝. 222224488

又|AB|＝1＋k2·|x1－x2|＝1＋k2·(x1＋x2)2－4x1x2＝1＋k2·

k1

()2－4×(－1)＝k2＋1·k2＋16. 22

k2＋1612所以＝k＋1·k2＋16，解得k＝±2.即存在k＝±2，使NA·

84

NB＝0.

9.4 直线与圆锥曲线的位置关系

典例精析

题型一 直线与圆锥曲线交点问题

【例1】若曲线y2＝ax与直线y＝(a＋1)x－1恰有一个公共点，求实数a的值. 4【解析】综上所述，a＝0或a＝－1或a＝－.

5

【点拨】本题设计了一个思维“陷阱”，即审题中误认为a≠0，解答过程中的失误就是不讨论二次项系数

a?1＝0，即a＝－1的可能性，从而漏掉两解.本题用代数方法解完后，应从几何上验证一下：①当a2

a＝0时，曲线y＝ax，即直线y＝0，此时与已知直线y＝x－1 恰有交点(1,0)；②当a＝－1时，直线y＝－1与抛物线的对称轴平行，恰有一个交点(代数特征是消元后得到的一元二次方程中二次项系数为零)；4

③当a＝－时直线与抛物线相切.

5

【变式训练1】若直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4有且只有一个公共点，则实数k的取值范围为( ) A.{1，－1，

55

，－} 22

B.(－∞，－

55

]∪[，＋∞) 22

5

，＋∞) 2

10

C.(－∞，－1]∪[1，＋∞) 【解析】答案为A.

D.(－∞，－1)∪[

题型二 直线与圆锥曲线的相交弦问题

x2y2

【例2】(2010辽宁)设椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，过F的直线l与椭圆C相交于A，B

ab两点，直线l的倾斜角为60°，AF＝2FB.

(1)求椭圆C的离心率； (2)如果|AB|＝

15

，求椭圆C的方程. 4

c2x2y2

【解析】(1)e＝＝.(2)＋＝1.

a395

【点拨】本题考查直线与圆锥曲线相交及相交弦的弦长问题，以及用待定系数法求椭圆方程. 【变式训练2】椭圆ax2＋by2＝1与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为

3aay03

，则的值为 .【解析】＝＝. 2bbx02

题型三 对称问题

【例3】在抛物线y2＝4x上存在两个不同的点关于直线l：y＝kx＋3对称，求k的取值范围. 【解析】故k的取值范围为(－1,0).

【点拨】(1)本题的关键是对称条件的转化.A(x1，y1)、B(x2，y2)关于直线l对称，则满足直线l与AB垂直，且线段AB的中点坐标满足l的方程；

(2)对于圆锥曲线上存在两点关于某一直线对称，求有关参数的范围问题，利用对称条件求出过这两点的直线方程，利用判别式大于零建立不等式求解；或者用参数表示弦中点的坐标，利用中点在曲线内部的条件建立不等式求参数的取值范围.

【变式训练3】已知抛物线y＝－x2＋3上存在关于x＋y＝0对称的两点A，B，则|AB|等于( ) A.3

B.4

C.32

D.42

【解析】设AB方程：y＝x＋b，代入y＝－x2＋3，得x2＋x＋b－3＝0， 11

所以xA＋xB＝－1，故AB中点为(－，－＋b).

22

它又在x＋y＝0上，所以b＝1，所以|AB|＝32，故选C.

总结提高

1.本节内容的重点是研究直线与圆锥曲线位置关系的判别式方法及弦中点问题的处理方法. 2.直线与圆锥曲线的位置关系的研究可以转化为相应方程组的解的讨论，即联立方程组

?Ax?By?C?0, 通过消去y(也可以消去x)得到x的方程ax2＋bx＋c＝0进行讨论.这时要注意考虑a＝0??f(x,y)?0,和a≠0两种情况，对双曲线和抛物线而言，一个公共点的情况除a≠0，Δ＝0外，直线与双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平行时，都只有一个交点(此时直线与双曲线、抛物线属相交情况).由此可见，直线与圆锥曲线只有一个公共点，并不是直线与圆锥曲线相切的充要条件.

3.弦中点问题的处理既可以用判别式法，也可以用点差法；使用点差法时，要特别注意验证“相交

9.5 圆锥曲线综合问题

11

典例精析

题型一 求轨迹方程

【例1】已知抛物线的方程为x2＝2y，F是抛物线的焦点，过点F的直线l与抛物线交于A、B两点，分别过点A、B作抛物线的两条切线l1和l2，记l1和l2交于点M.

(1)求证：l1⊥l2； (2)求点M的轨迹方程. 【解析】(1)所以l1⊥l2. 1

(2)M的轨迹方程是y＝－. 2

【点拨】直接法是求轨迹方程最重要的方法之一，本题用的就是直接法.要注意“求轨迹方程”和“求轨迹”是两个不同概念，“求轨迹”除了首先要求我们求出方程，还要说明方程轨迹的形状，这就需要我们对各种基本曲线方程和它的形态的对应关系了如指掌.

【变式训练1】已知△ABC的顶点为A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是( )

x2y2

A.－＝1 916

x2y2

B.－＝1 169

x2y2

D.－＝1(x＞4) 169

x2y2

C.－＝1(x＞3) 916

x2y2

【解析】，方程为－＝1(x＞3)，故选C.

916题型二 圆锥曲线的有关最值

【例2】已知菱形ABCD的顶点A、C在椭圆x2＋3y2＝4上，对角线BD的斜率为1.当∠ABC＝60°时，求菱形ABCD面积的最大值.

【解析】因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD. 于是可设直线AC的方程为y＝－x＋n.

所在直线

?x2?3y2?4,由?得4x2－6nx＋3n2－4＝0. ?y??x?n4343

因为A，C在椭圆上，所以Δ＝－12n2＋64＞0，解得－＜n＜.

333n2－43n

设A，C两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，

24n

y1＝－x1＋n，y2＝－x2＋n. 所以y1＋y2＝. 2

因为四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，所以|AB|＝|BC|＝|CA|. 所以菱形ABCD的面积S＝

2

2

2

3

|AC|2. 2

－3n2＋1634343又|AC|＝(x1－x2)＋(y1－y2)＝，所以S＝(－3n2＋16) (－＜n＜). 2433所以当n＝0时，菱形ABCD的面积取得最大值43.

12

【点拨】建立“目标函数”，借助代数方法求最值，要特别注意自变量的取值范围.在考试中很多考生没有利用判别式求出n的取值范围，虽然也能得出答案，但是得分损失不少.

【变式训练2】已知抛物线y＝x2－1上有一定点B(－1,0)和两个动点P、Q，若BP⊥PQ，则点Q横坐标的取值范围是 .

2

【解析】如图，B(－1,0)，设P(xP，xP－1)，Q(xQ，x2Q－1)， 22

x2P－1xQ－xP

由kBP·kPQ＝－1，得·＝－1.

xP＋1xQ－xP

11

所以xQ＝－xP－＝－(xP－1)－－1.

xP－1xP－1因为|xP－1＋

1

|≥2，所以xQ≥1或xQ≤－3. xP－1

题型三 求参数的取值范围及最值的综合题

m2x2

【例3】(2010浙江)已知m＞1，直线l：x－my－＝0，椭圆C：2＋y2

2m＝1，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点.

(1)当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程；

(2)设直线l与椭圆C交于A，B两点，△AF1F2，△BF1F2的重心分别为G，H.若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围.

【解析】(1)故直线l的方程为x－2y－1＝0. (2)A(x1，y1)，B(x2，y2)，

?m2x?my?,?m2?22由?2消去x得2y＋my＋－1＝0，

4

?x?y2?1??m2m2

则由Δ＝m－8(－1)＝－m2＋8＞0知m2＜8，

4

2

mm21

且有y1＋y2＝－，y1y2＝－.

282

由于F1(－c,0)，F2(c,0)，故O为F1F2的中点，

x1y1x2y2由AG＝2GO， BH＝2HO，得G(，)，H(，)，

3333(x1－x2)2(y1－y2)2

|GH|＝＋. 99

2

x1＋x2y1＋y2

设M是GH的中点，则M(，)，

66

x1＋x22y1＋y22(x1－x2)2(y1－y2)2

由题意可知，2|MO|＜|GH|，即4[()＋()]＜＋，

6699即x1x2＋y1y2＜0.

m2m2m212

而x1x2＋y1y2＝(my1＋)(my2＋)＋y1y2＝(m＋1)(－). 2282

13

m21

所以－＜0，即m2＜4.

82

又因为m＞1且Δ＞0，所以1＜m＜2. 所以m的取值范围是(1,2).

【点拨】本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆、点与圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.

【变式训练3】若双曲线x2－ay2＝1的右支上存在三点A、B、C使△ABC为正三角形，其中一个顶点A与双曲线右顶点重合，则a的取值范围为 .

【解析】即a的取值范围为(3，＋∞).

总结提高

1.求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标

某种条件的法”将其转

化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义、性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点.求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法、待定系数法.

2.最值问题的代数解法，是从动态角度去研究解析几何中的数学问题的主要内容，其解法是设变量、建立目标函数、转化为求函数的最值.其中，自变量的取值范围由直线和圆锥曲线的位置关系(即判别式与0的关系)确定.

3.范围问题，主要是根据条件，建立含有参变量的函数关系式或不等式，然后确定参数的取值范围.其解法主要有运用圆锥曲线上点的坐标的取值范围，运用求函数的值域、最值以及二次方程实根的分布等知识

14

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