高中数学人教B版必修2同步测试：1.1.6 7《棱柱、棱锥、棱台和球

1.1.6 7《棱柱、棱锥、棱台和球的表面积柱、锥、台和球的体积》

双基达标(限时20分钟)

1.长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，对角线的长是214，

则这个长方体的体积是()．

A．6 B．12

C．24 D．48

解析设长方体的过一个顶点的三条棱长分别为x、2x、3x，又对角线长为214，

则x2＋(2x)2＋(3x)2＝(214)2，解得x＝2.

∴三条棱长分别为2、4、6.

∴V

长方体

＝2×4×6＝48.

答案 D

2．一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积为

()．A．12π B．18π

C．24π D．36π

解析由三视图知该几何体为圆锥，底面半径r＝3，母线l＝5，∴S

表

＝πrl＋πr2＝24π.故选C.

答案 C

3．圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是()．

A.23

3π B．2 3

C.73

6π D.

73

3π

解析S1＝π，S2＝4π，

∴r＝1，R＝2，S＝6π＝π(r＋R)l，∴l＝2，∴h＝ 3.

∴V ＝13π(1＋4＋2)×3＝733π.

答案 D

4．把由曲线y ＝|x |和y ＝2围成的图形绕x 轴旋转360°，所得旋转体的体积为________． 解析 由题意，y ＝|x |和y ＝2围成图中阴影部分的图形，旋转体为一个圆柱挖去两个相同的共顶点的圆锥．

∵V 圆柱＝π×22×4＝16π，2V 圆锥＝2×13π×22×2＝16π3， ∴所求几何体体积为16π－16π3＝32π3.

答案 32π

3

5．已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为120°，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为________．

解析 因为扇形弧长为2π，所以圆锥母线长为3，高为22，所求体积V ＝13×π×12×22＝＝22π3.

答案 22π3

6．直角梯形的一个底角为45°，下底长为上底长的32，这个梯形绕下底所在直线旋转一周

所成的旋转体的表面积是(5＋2)π，求这个旋转体的体积．

解 如图所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A ＝90°，∠B ＝45°，绕AB 边旋转一周后形成一圆柱和一圆锥的组合体．

设CD ＝x ，AB ＝32x ，

则AD ＝AB －CD ＝x 2，BC ＝22x .

S 表＝S 圆柱底＋S 圆柱侧＋S 圆锥侧

＝π·AD 2＋2π·AD ·CD ＋π·AD ·BC

＝π·x 24＋2π·x 2·x ＋π·x 2×22

x ＝5＋24πx 2. 根据题设，5＋24πx 2＝(5＋2)π，则x ＝2.

所以旋转体体积V ＝π·AD 2·CD ＋π3·AD 2·(AB －CD )

＝π×12×2＋π3×12×(3－2)

＝73π.

综合提高 (限时25分钟)

7．如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个直径为2的圆，则这个几何体的全面积为

( )．

A ．2π

B ．4π

C ．6π

D ．8π 解析 由三视图知该空间几何体为圆柱，所以其全面积为π×12×2＋2π×1×2＝6π，故选

C.

答案 C

8．设某几何体的三视图如图(尺寸的长度单位为m)．则该几何体的体积为________ m3.

解析由三视图可知原几何体是一个三棱锥，

由“长对正，宽相等，高平齐”的原则可知三棱锥的高为2，底面三角形的底边长为4，高为3，

则所求棱锥的体积为V＝1

3×

1

2×3×4×2＝4.

答案 4

9．如图，球O的半径为5，一个内接圆台的两底面半径分别为3和4(球心O在圆台的两底面之间)，则圆台的体积为________．

解析作经过球心的截面(如图)，

O1A＝3，O2B＝4，

OA＝OB＝5，

则OO1＝4，OO2＝3，O1O2＝7，

V＝π

3(32＋32×42＋42)×7＝259

3π.

答案259 3π

10．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为________．

解析 如图，把四面体ABCD 补成正方体，则正方体的棱长为1，正方体的体对角线长等于外接球的直径，球的直径2R ＝3，球的表面积S ＝4πR 2＝3π.

答案 3π 11.

如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AD ＝a ，BC ＝2a ，∠DCB ＝60°，在平面ABCD 内过点C 作l ⊥CB ，以l 为轴将梯形ABCD 旋转一周，求旋转体的表面积和体积．

解 如图，在梯形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，AD ＝a ，BC ＝2a ，∠DCB ＝60°，

∴CD ＝BC －AD cos 60°＝2a ，AB ＝CD sin 60°＝3a ，

∴DD ′＝AA ′－2AD ＝2BC －2AD ＝2a ，

∴DO ＝12DD ′＝a ，

由于以l 为轴将梯形ABCD 旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥． 由上述计算知，圆柱母线长3a ，底面半径2a ，圆锥的母线长2a ，底面半径a ， ∴圆柱的侧面积S 1＝2π·2a ·3a ·＝43πa 2，

圆锥的侧面积S 2＝π·a ·2a ＝2πa 2，圆柱的底面积S 3＝π(2a )2＝4πa 2，圆锥的底面积S 4＝πa 2， ∴旋转体的表面积S ＝S 1＋S 2＋2S 3－S 4

＝43πa 2＋2πa 2＋4πa 2×2－πa 2＝(43＋9)πa 2.

又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积．V 柱＝Sh ＝π(2a )2·3a ＝43πa 3.

V 锥＝13S ′h ＝13π·a 2·3a ＝33πa 3.∴V ＝V 柱－V 锥＝43πa 3－33πa 3＝1133πa 3.

12．(创新拓展)一个倒立圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在这容器内注入水并且放入一个半径为r 的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少？

解

设球取出后水面高PH ＝x ，如图所示．

∵AC ＝3r ，PC ＝3r ，

∴以AB 为底面直径的圆锥的容积为

V 圆锥＝13π·AC 2·PC ＝13π(3r )2·3r ＝3πr 3，V 球＝43πr 3.

球取出后水面下降到EF ，水的体积为

V 水＝13π·EH 2·PH ＝13π(PH ·tan 30°)2·PH ＝19πx 3.

而V 水＝V 圆锥－V 球，

即19πx 3＝3πr 3－43πr 3，

∴x ＝315r .

故球取出后水面的高为315r .

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