007江西历年高考数学题------立体几何(含答案)

06-12江西历年高考数学题------立体几何 2006.11、如图，在四面体ABCD 中，截面AEF 经过四面

体的内切球（与四个面都相切的球）球心O ，且与BC ，DC 分别截于E 、F ，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A －BEFD 与三棱锥A －EFC 的表面积分别是S 1，S 2，则必有（ ）

A. S 1

B. S 1>S 2

C. S 1=S 2

D. S 1，S 2的大小关系不能确定

解：连OA 、OB 、OC 、OD 则V A －BEFD ＝V O －ABD ＋V O －AB E ＋V O －B EFD V A －EFC ＝V O －ADC ＋V O －AEC ＋V O －EFC 又V A －BEFD ＝V A －EFC 而每个三棱锥的

高都是原四面体的内切球的半径，故S ABD ＋S AB E ＋S B EFD ＝S ADC ＋S AEC ＋S EFC 又面AEF 公共，故选C

15、如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1

中，底面为直角三角形，∠ACB ＝90?，AC ＝6，BC ＝CC 1

，P 是BC 1

上一动点，则CP ＋PA 1的最小值是___________

解：连A 1B ，沿BC 1将△CBC 1展开与△A 1BC 1在同一个平面内，如图所示，

连A 1C ，则A 1C 的长度就是所求的最小值。 通过计算可得∠A 1C 1C ＝90?又∠BC 1C ＝45? ∴∠A 1C 1C ＝135? 由余弦定理可求得A 1C

＝

20、（本小题满分12分）

如图，在三棱锥A －BCD 中，侧面ABD 、ACD 是全等的直角三角形，AD 是公共的斜边，且AD

，BD ＝CD ＝

1，另一个侧面是正三角形 （1） 求证：AD ⊥BC

（2） 求二面角B －AC －D 的大小

（3） 在直线AC 上是否存在一点E ，使ED 与面

的位置；若不存在，说明理由。

解法一：

（1） 方法一：作AH ⊥面BCD 于H ，连DH 。 AB ⊥BD ?HB ⊥BD ，又AD BD ＝1

∴AB BC ＝AC ∴BD ⊥DC

又BD ＝CD ，则BHCD 是正方形，则DH ⊥BC ∴AD ⊥BC 方法二：取BC 的中点O ，连AO 、DO 则有AO ⊥BC ，DO ⊥BC ，∴BC ⊥面AOD ∴BC ⊥AD

（2） 作BM ⊥AC 于M ，作MN ⊥AC 交AD 于N ，则∠BMN 就是二面角B －AC －D 的平面角，因为AB ＝AC ＝BC

C

A

C 1

C

B

A 1 C 1

B 1

A

M 是AC 的中点，且MN //CD ，则BM

2

，MN ＝

12

CD ＝

12

，BN ＝

12

AD

2

，由余弦定理可

求得cos ∠BMN

3

∴∠BMN ＝

3

（3） 设E 是所求的点，作EF ⊥CH 于F ，连FD 。则EF //AH ，∴EF ⊥面BCD ，∠EDF 就是ED 与面BCD 所成的角，

则∠EDF ＝30?。设EF ＝x ，易得AH ＝HC ＝1，则CF ＝x ，FD

∴tan ∠EDF ＝

E F F D

3

解得x

＝

2

，则CE

＝1

故线段AC 上存在E 点，且CE ＝1时，ED 与面BCD 成30?角。

解法二：此题也可用空间向量求解，解答略

9．如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题．．．是（ ）

Ａ．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等

Ｂ．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补

Ｃ．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 Ｄ．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上

解：因为“等腰四棱锥”的四条侧棱都相等，所以它的顶点在底面的射影到底面的四个顶点的距离相等，故A ，C 正确，且在它的高上必能找到一点到各个顶点的距离相等，故D 正确，B 不正确，如底面是一个等腰梯形时结论就不成立。故选B

15．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为1，高为8，一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周．．到达1A 点的最短路线的长为 ．

解：10. 将正三棱柱111ABC A B C -沿侧棱CC 1展开， 其侧面展开图如图所示，由图中路线可得结论。

20．（本小题满分12

如图，已知三棱锥O A B C -的侧棱OA OB OC ，，两两垂直，且1O A =，2O B O C ==，E 是O C 的中点． （1）求O 点到面ABC 的距离；

（2）求异面直线B E 与A C 所成的角； （3）求二面角E A B C --的大小．

1C

1B

1A

A

C

B

Ａ

Ｏ

Ｅ

Ｃ

Ｂ

解：（1）取BC的中点D，连AD、OD 因为OB＝OC，则OD⊥BC、AD⊥BC，∴BC⊥面OAD.

过O点作OH⊥AD于H，则OH⊥面ABC，OH的长就是所求的距离. 又BC＝

，OD

＝OA⊥OB，OA⊥OC ∴OA⊥面OBC，则OA⊥OD, AD

OAD中，

有OH

＝

O A O D

AD3

?

＝（另解：由等体积变换法也可求得答案）

（2）取OA的中点M，连EM、BM，则EM//AC,∠BEM是异面直线BE与

所成的角，易求得EM＝

2

，BE，BM＝

2

.

cos∠BEM＝

2

5

，∴∠BEM＝arccos

2

5

（3）连CM并延长交AB于F，连OF、EF.

由OC⊥面OAB，得OC⊥AB，又OH⊥面ABC，所以CF⊥AB，EF⊥AB，则

角.作EG⊥CF于G，则EG＝

1

2

OH＝

6

，在Rt△OAB中，OF＝

O A O B

AB

?

＝

在Rt△OEF中，EF∴sin∠EFG＝

E G6

E F18

＝＝

∴∠EFG＝arcsin

18

.（或表示为arccos

18

）注：此题也可用空间向量的方法求解。

2007.7．如图，正方体1AC的棱长为1，过点A作平面1A B D的垂线，垂足为点H，则以下命题中，

错误

．．的命题是（D）

Ａ．点H是

1

A BD

△的垂心

Ｂ．A H垂直平面

11

C B D

Ｃ．A H的延长线经过点

1

C

Ｄ．直线A H和

1

B B所成角为45

8．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口

酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为

1

h，

2

h，

3

h，

4

h，则它们的大小关系正确的是（A）

1

1

C

1

B

A

B

C

Ａ．214h h h >>

Ｂ．123h h h >>

Ｃ．324h h h >>

Ｄ．241h h h >>

20．（本小题满分12分）

右图是一个直三棱柱（以111A B C 为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ．已知11111A B B C ==，

11190A B C ∠=

，14AA =，12BB =，13C C =．

（1）设点O 是A B 的中点，证明：O C ∥平面111A B C ； （2）求二面角1B AC A --的大小； （3）求此几何体的体积．

解法一：

（1）证明：作1O D AA ∥交11A B 于D ，连1C D ．则11O D BB C C ∥∥． 因为O 是A B 的中点，所以1111()32

O D A A B B C C =

+==．

则1ODC C 是平行四边形，因此有1O C C D ∥．

1C D ?平面111C B A 且O C ?平面111C B A ，则O C ∥面111A B C ．

（2）如图，过B 作截面22BA C ∥面111A B C ，分别交1A A ，1C C 于2A ，2C ．

作22BH A C ⊥于H ，连C H ．因为1C C ⊥面22B A C ，所以1C C BH ⊥，则BH ⊥平面1A C ．

又因为AB =

BC =

2

2

2

AC AB BC AC =?=+．所以B C A C ⊥，根据三垂线定理知C H AC ⊥，

所以B C H ∠

就是所求二面角的平面角．因为2

BH =

，所以1sin 2

B H B

C H B C

=

=

∠，故30BCH =

∠，

即：所求二面角的大小为30

．

（3

）因为2

BH =

，所以2

2221111

(12)3

3222

B AA C

C

AA C C V S BH -=

=

+= ． 1112211111212

A B C A B C A B C V S B B -==

= △．所求几何体体积为221112232

B A A

C C A B C A B C V V V --=+=

．

解法二：

（1） 如图，以1B 为原点建立空间直角坐标系，则(014)A ，，，(002)B ，，，(103)C ，，，

（2） 因为O 是A B 的中点，所以1032O ??

???，，，1102O C ??=- ??? ，

，． 易知，(001)n =

，

，是平面111A B C 的一个法向量．

11

11 A 2

1

x

因为0OC n =

，O C ?平面111A B C ，所以O C ∥平面111A B C ．

（2）(012)A B =-- ，，，(101)B C = ，，，设()m x y z = ，，是平面ABC 的一个法向量，则

则0AB m = ，0BC m = 得：200y z x z --=??+=?

取1x z =-=，(121)m =- ，，．

显然，(110)l = ，，为平面11AA C C

的一个法向量．则cos 2m l m l m l

===

，

，结合图形可知所求二面角为锐角．

所以二面角1B AC A --的大小是30 ． （3）同解法一．

9．四面体A B C D 的外接球球心在C D 上，且2C D =

，AD =A B ，间的球面距离是

（ C ） Ａ．

π6

Ｂ．

π3

Ｃ．2π3

Ｄ．

5π6

10．设32:()21p f x x x m x =+++在()

-∞+∞，内单调递增，4:3

q m ≥，则p 是q 的（ ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件

Ｄ．既不充分也不必要条件

16．如图，正方体1AC 的棱长为1，过点作平面1A B D 的垂线，垂足为点H ．有下列四个命题 Ａ．点H 是1A BD △的垂心 Ｂ．A H 垂直平面11C B D

Ｃ．二面角111C B D C --

Ｄ．点H 到平面1111A B C D 的距离为34

其中真命题的代号是 A , B , C

．（写出所有真命题的代号）

20．（本小题满分12分）

右图是一个直三棱柱（以111A B C 为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ．已知11111A B B C ==，

11190A B C ∠=

，14AA =，12BB =，13C C =．

（1）设点O 是A B 的中点，证明：O C ∥平面111A B C ； （2）求A B 与平面11AA C C 所成的角的大小； （3）求此几何体的体积．

1

1C

1B

11

解法一：

（1）证明：作1O D AA ∥交11A B 于D ，连1C D ．则11O D BB C C ∥∥，

因为O 是A B 的中点，所以1111

()32

O D A A B B C C =+==．

则1ODC C 是平行四边形，因此有1O C C D ∥，

1C D ?平面111C B A ，且O C ?平面111C B A

则O C ∥面111A B C ．

（2）解：如图，过B 作截面22BA C ∥面111A B C ，分别交1A A ，1C C 于2A ，2C ， 作22BH A C ⊥于H ，因为平面22A BC ⊥平面11AA C C ，则BH ⊥面11AA C C ．

连结A H ，则BAH ∠就是A B 与面11AA C C 所成的角．因

为2

BH =

，AB =，所

以

sin 10

BH BAH AB

=

=

∠A B 与面11AA C C

所成的角为arcsin

10

BAH =∠．

（3

）因为2

BH =

，所以2

22213

B A A C

C

A A C C V S

B H -=

．111(13222

=

+= ． 1112211111212

A B C A B C A B C V S B B -==

= △．所求几何体的体积为221112232

B A A

C C A B C A B C V V V --=+=

．

解法二：

（1）证明：如图，以1B 为原点建立空间直角坐标系，则(014)A ，，，(002)B ，，，

(103)C ，，，因为O 是A B 的中点，所以1032O ??

???，，

，1102O C ??=- ??? ，，， 易知，(001)n =

，，是平面111A B C 的一个法向量．

由0OC n =

且O C ?平面111A B C 知O C ∥平面111A B C ．

（2）设A B 与面11AA C C 所成的角为θ．求得1(004)A A = ，，，11(110)A C =-

，，．

设()m x y z = ，，是平面11AA C C 的一个法向量，则由1110

A A m A C m ?=??=??

得00z x y =??-=?，

取1x y ==得：(110)m = ，，． 又因为(012)A B =-- ，， 所以，cos m <

，10m AB AB m AB

>==-

则sin 10

θ=

． 所以A B 与面11AA C C

所成的角为arcsin

10

．（3）同解法一

1B 1

2C

C

A

1B

x

2008.10．连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于2

7、

43，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题： ①弦AB 、CD 可能相交于点M ②弦AB 、CD 可能相交于点N ③MN 的最大值为5 ④MN 的最小值为l

其中真命题的个数为

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

解：真命题的个数为C . ①③④正确，②错误。易求得M 、N 到球心O 的距离分别为3、2，若两弦交于N ，则O M ⊥M N ，R t O M N ?中，有O M O N <，矛盾。当M 、O 、N 共线时分别取最大值5最小值1。

16．如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛

有a 升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P ．如果将容器倒置，水面也恰好过点P (图2)．有下列四个命题：

A ．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半

B ．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P

C ．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好 经过点P

D ．若往容器内再注入a 升水，则容器恰好能装满 其中真命题的代号是 ．(写出所有真命题的代号) ．

解：真命题的代号是： B ,D 。易知所盛水的容积为容器容量的一半，故D 正确，于是A 错误；水平放置时由容器形状的对称性知水面经过点P ，故B 正确；C 的错误可由图1中容器位置向右边倾斜一些可推知点P 将露出水面。

20．（本小题满分12分）

正三棱锥O A B C -的三条侧棱O A O B O C 、、两两垂直，且长度

均为2．E F 、分别是A B A C 、的中点，H 是E F 的中点，过E F

的一个平面与侧棱O A O B O C 、、或其延长线分别相交于

111A B C 、、，已知132

O A =

．（1）证明：11B C ⊥平面O A H ；

（2）求二面角111O A B C --的大小．

解 ：（1）证明：依题设，E F 是A B C ?的中位线，所以E F ∥B C ，则E F ∥平面O BC ，所以E F ∥11B C 。 又H 是E F 的中点，所以A H ⊥E F ，则A H ⊥11B C 。因为O A ⊥O B ，

O A ⊥O C ，所以O A ⊥面O BC ，则O A ⊥11B C ，因此11B C ⊥面O A H 。

（2）作O N ⊥11A B 于N ，连1C N 。因为1O C ⊥平面11O A B ，根据三垂线定理知，1C N ⊥11A B ，1O N C ∠就是二面角111O A B C --的平面角。

EM ⊥1O B 于M ，则EM ∥O A ，则M 是O B 的中点，则1E M O M ==。

C 1

A

设1O B x =，由

111

O B O A M B EM

=

得，

31

2x x =

-，解得3x =，

在11R t O A B ?

中，11A B ==

11

11

O A O B O N A B ?=

=

所以11tan O C O N C O N

∠==

，故二面角111O A B C --

为arctan

解法二：（1）以直线O A O C O B 、、分别为x y 、、z 轴，建立空间直角坐标系，O xyz -则

11

(2,0,0),(0,0,2),(0,2,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,,)22

A B C E F H ，

所以1111(1,,),(1,,),(0,2,2)2222

A H O H

B

C =-==-

所以0,0AH BC O H BC ?=?=

所以B C ⊥平面O A H ，

由E F ∥B C 得11B C ∥B C ，故：11B C ⊥平面O A H

(2)由已知13

(,0,0),2A 设1(0,0,)B z 则111

(,0,1),(1,0,1)2A E E B z =-=-- ，由1A E 与1EB 共线得:存在R

λ∈有11A E EB λ= 得11

3(0,0,3)2

1(1)

z B z λλ?-=-?

?=∴??=-? 同理:1(0,3,0)C 111133(,0,3),(,3,0)22A B A C ∴=-=- 设1111(,,)n x y z = 是平面111A B C 的一个法向量,则3302330

2

x z x y ?-+=??

?

?-+=??

令2x =得1y x == 1(2,1,1).

n ∴=

又2(0,1,0)n = 是平面11O A B 的一个法量

12cos ,6

n n ∴<>=

=

所以二面角的大小为arccos

6

（3）由（2）知，13(,0,0)2

A ，(0,0,2)

B ，平面111A B

C 的一个法向量为1(2,1,1)n = 。则13

(,0,2)2

A B =- 。则

点B 到平面111A B C

的距离为11

1

6

A B n d n ?=

=

=

9．设直线m 与平面α相交但不．

垂直，则下列说法中正确的是( B ) A ．在平面α内有且只有一条直线与直线m 垂直; B ．过直线m 有且只有一个平面与平面α垂直 C ．与直线m 垂直的直线不．可能与平面α平行; D ．与直线m 平行的平面不．

可能与平面α垂直 15．连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦A B C D 、

的长度分别等于

、弦的两端都在球面上运动，则两弦中点之间距离的最大值为 5 ．

x

2009.9．如图，正四面体A B C D 的顶点A ，B ，C 分别在两两垂直的三条射线O x ，Oy ，O z 上，则

在下列命题中，错误．．

的为 A ．O A B C -是正三棱锥 B ．直线O B ∥平面A C D C ．直线A D 与O B 所成的角是45

D ．二面角D O B A --为45

将原图补为正方体不难得出B 为错误，故选B

14．正三棱柱1

1

1

ABC A B C -内接于半径为2的球，若,A B 两点

的球面距离为

π，则正三棱柱的体积为 ．

由条件可得2

A O

B π

∠=

，所以AB =O 到平面ABC

3

，所以所求体积等于8．

20．（本小题满分12分）

在四棱锥P A B C D -中，底面A B C D 是矩形，P A ⊥平面A B C D ，4PA AD ==，2A B =. 以A C 的中点O 为球心、A C 为直径的球面交P D 于点M ，交P C 于点N . （1）求证：平面A B M ⊥平面PC D ；2）求直线C D 与平面A C M 所成的角的大小；

（3）求点N 到平面A C M 的距离.

解：方法一：（1）依题设知，AC 是所作球面的直径，则AM ⊥MC 。 又因为P A ⊥平面ABCD ，则PA ⊥CD ，又CD ⊥AD ， 所以CD ⊥平面ＰＡＤ，则CD ⊥AM ，所以A M ⊥平面PCD ，

所以平面ABM ⊥平面PCD 。

（2）由（1）知，AM PD ⊥，又P A A D =，则M 是P D 的中点可得

AM =

M C ==

则1

2

A C M S A M M C ??=设D 到平面ACM 的距离为h ，由D AC M M AC D V V --=

即8=，

可求得3

h =

，设所求角为θ，

则s

i n 3

h C D θ==

，

arcsin 3

θ=。

（1） 可求得PC=6。因为AN ⊥NC ，由P N P A P A P C

=

，得PN 83

=。所以:5:9N C P C =。故N 点到平面ACM 的

距离等于P 点到平面ACM 距离的59

。又因为M 是PD 的中点，则P 、D 到平面ACM 的距离相等，由（2）

可知所求距离为

59

27

h =

。

方法二：

y

x

z

O

A

B C

D

D

B

（1）同方法一；

（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(0,0,4)P ，(2,0,0)B ，

(2,4,0)C ，(0,4,0)D ，(0,2,2)M ；

设平面A C M 的一个法向量(,,)n x y z =

，由,n A C n A M ⊥⊥ 可得：240220x y y z +=??

+=?，令1z =，则(2,1,1)n =-

。

设所求角为α，

则s i n 3

C D n C D n

α?

==

所以所求角的大小为arcsin

3。

（3）由条件可得，AN N C ⊥.在R t P A C ?中，2PA PN PC =?,所以83

P N =,

则103

N C P C P N =-=

,

59

N C P C

=

，所以所求距离等于点P 到平面C A M 距离的59

，设点P 到平面C A M 距离

为h

则3A P n h n

?==

，所以所求距离为5h 927=。 9．如图，在四面体A B C D 中，截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，错误．．

的为 A . A C B D ⊥ B . A C ∥截面PQMN

C . A C B

D = D . 异面直线PM 与B D 所成的角为45

由PQ ∥A C ，QM ∥B D ，PQ ⊥QM 可得A C ⊥B D ，故A 正确； 由PQ ∥A C 可得A C ∥截面PQMN ，故B 正确；

异面直线PM 与B D 所成的角等于PM 与P N 所成的角，故D 正确；

综上C 是错误的，故选C .

14．体积为8的一个正方体，其全面积与球O 的表面积相等，则球O 的体积等于 ．

设球的半径为R

，依题设有224R π=，则2

6

R π=，球的体积为

3

23

44633R ππππ

??== ??? 20．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P A B C D -中，底面A B C D 是矩形，P A ⊥平面A B C D ，

4PA AD ==，2A B =．以B D 的中点O 为球心、B D 为直径的球面交P D 于

点M ．

（1）求证：平面A B M ⊥平面PC D ；

（2）求直线P C 与平面A B M 所成的角； （3）求点O 到平面A B M 的距离．

解：方法（一）：

（1）证：依题设，Ｍ在以ＢＤ为直径的球面上，则ＢＭ⊥ＰＤ. 因为ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，则ＰＡ⊥ＡＢ，又ＡＢ⊥ＡＤ，

P Q

M

N

A

B

C

D

B

所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，则ＡＢ⊥ＰＤ，因此有ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，所以平面ＡＢＭ⊥平面ＰＣＤ. （２）设平面ＡＢＭ与ＰＣ交于点Ｎ，因为ＡＢ∥ＣＤ，所以ＡＢ∥平面ＰＣＤ，则ＡＢ∥ＭＮ∥ＣＤ， 由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，则MN 是PN 在平面ABM 上的射影，

所以 P N M ∠就是P C 与平面A B M 所成的角，且P N M P C D ∠=

∠tan tan P D P N M P C D D C

∠=∠==

所求角为arctan （3）因为O 是BD 的中点，则O 点到平面ABM 的距离等于D 点到平面ABM 距离的一半，由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ于M ，则|DM|就是D 点到平面ABM 距离. 因为在Rt △PAD 中，4PA AD ==，PD AM ⊥，所以M 为P D

中点，DM =O 点到平面ABM

方法二： （1）同方法一；

（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(0,0,4)P ，(2,0,0)B ，

(2,4,0)C ，(0,4,0)D ，(0,2,2)M ，

设平面A B M 的一个法向量(,,)n x y z = ，由,n A B n A M ⊥⊥

可得：20

220

x y z =??

+=?，令1z =-，则1y =，即(0,1,1)n =- .设所求角为α

，则sin 3P C n P C n

α?== ，

所求角的大小为arcsin 3.

（3）设所求距离为h ，由(1,2,0),(1,2,0)O A O =

，得：A O n

h n

?=

=

2010.10.过正方体1

1

1

1

ABC D A B C D -的顶点A 作直线L ，使L 与棱A B ,A D ,1

A A 所成

的角都相等，这样的直线L 可以作(D)

A.1条

B.2条

C.3条

D.4条

16.如图，在三棱锥O A B C -中，三条棱O A ，O B ，O C 两两垂直，且O A >O B >O C ,

分别经过三条棱O A ，O B ，O C 作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为1S ，2S ，

3S ，则1S ，2S ，3S 的大小关系为 321S S S << 。

20. （本小题满分12分）

如图△BCD 与△MCD 都是边长为2的正三角形，平面MCD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD

，AB =

（1） 求点A 到平面MBC 的距离；

（2） 求平面ACM 与平面BCD 所成二面角的正弦值。

【解析】本题以图形拼折为载体主要考查了考查立体图形的空间感、点到直线的距离、二面角、空间向量、二面角平面角的判断有关知识，同时也考查了空间想象能力和推理能力

解法一：（1）取CD 中点O ，连OB ，OM ，则OB ⊥CD ，OM ⊥CD .又平面M C D ⊥平面BC D ,则MO ⊥平面BC D ，所以MO ∥AB ，A 、B 、O 、M 共面.延长AM 、BO 相交于E ，则∠AEB 就是AM 与平面BCD 所成的角.OB =MO

MO ∥AB ，MO//面ABC ，M 、O 到平面ABC 的距离相等，作OH ⊥BC 于H ，连MH ，则MH ⊥BC ，求得：OH=OCsin600

=

2

,MH=

2

,利用体积相等得

：

5

A M BC M ABC V V d --=?=

。

（2）CE 是平面A C M 与平面BC D 的交线.由（1）知，O 是BE 的中点，则BCED 是菱形. 作BF ⊥EC 于F ，连AF ，则AF ⊥EC ，∠AFB 就是二面角A -EC -B 的平面角，设为θ. 因为∠BCE =120°，所以∠BCF =60°

. sin 60BF BC =?=

tan 2A B B F

θ=

=

，sin 5

θ=

所以，所求二面角的正弦值是

5

【点评】传统方法在处理时要注意到辅助线的处理，一般采用射影、垂线、平行线等特殊位置的元素解决 解法二：取CD 中点O ，连OB ，OM ，则OB ⊥CD ，OM ⊥CD ，又平面M C D ⊥平面BC D ,则MO ⊥平面BC D . 以O 为原点，直线OC 、BO 、OM 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系如图.OB =OM

O （0，0，0），C （1，0，0），M （0，0

，B （0，

0），A （0，

，

（1）设(,,)n x y z = 是平面MBC

的法向量，则BC

，

B M =

，由n B C ⊥

得0x +=；由n B M ⊥

得

0+

=

；取1,1),(0,0,n BA =-=

，则距离

5BA n d n

?==

（2

）(1,0,

C M =-

，(1,C A =-

.

设平面ACM 的法向量为1(,,)n x y z = ，由11n C M n C A

?⊥??⊥??

得00

x x ?-+

=??

--+=??.

解得x =，y z =

，取

1n = .又平面BCD 的法向量为(0,0,1)n =

，则1111cos ,n n n n n n

?<>==?

D

B

A

设所求二面角为θ

，则sin 5

θ==

.

11．如图，M 是正方体1111ABC D A B C D -的棱1D D 的中点，给出下列命题

①过M 点有且只有一条直线与直线A B 、11B C 都相交； ②过M 点有且只有一条直线与直线A B 、11B C 都垂直； ③过M 点有且只有一个平面与直线A B 、11B C 都相交； ④过M 点有且只有一个平面与直线A B 、11B C 都平行. 其中真命题是： ( C )

A ．②③④

B ．①③④

C ．①②④

D ．①②③

16．长方体1111ABC D A B C D -的顶点均在同一个球面上，11AB AA ==

，

BC =A ，B 两点间的球面距离为

3

π

.

20．（本小题满分12分）

如图，B C D ?与M C D ?都是边长为2的正三角形， 平面M C D ⊥平面B C D ，AB ⊥平面B C D ，

AB =（1） 求直线A M 与平面B C D 所成的角的大小；

（2） 求平面A C M 与平面B C D 所成的二面角的正弦值.

【解析】本题主要考查了考查立体图形的空间感、线面角、二面角、空间向量、二面角平面角的判断有关知识，同时也考查了空间想象能力和推理能力

解法一：（1）取CD 中点O ，连OB ，OM ，则OB ⊥CD ，OM ⊥CD .

又平面M C D ⊥平面B C D ,则MO ⊥平面B C D ，所以MO ∥AB ，A 、B 、O 、M 共面.延长AM 、BO 相交于E ，则∠AEB 就是AM 与平面BCD 所成的角.

OB =MO

=

，MO ∥AB ，则

12

E O M O E B

A B

==

，EO O B ==，所

以

EB AB ==，故45AEB ∠= .

（2）CE 是平面A C M 与平面B C D 的交线. 由（1）知，O 是BE 的中点，则BCED 是菱形.

作BF ⊥EC 于F ，连AF ，则AF ⊥EC ，∠AFB 就是二面角A -EC -B 的平面角，设为θ.

因为∠BCE =120°，所以∠BCF =60°

.

sin 60BF BC =?=

1

B 1

1

B

M

B 1

1

B

D

M

C

B

A

_

C _

H _

M _

D _

E _

B _

O _

A _

F

tan 2A B B F

θ=

=

，sin 5

θ=

所以，所求二面角的正弦值是

5

.

解法二：取CD 中点O ，连OB ，OM ，则OB ⊥CD ，OM ⊥CD ，又平面M C D ⊥平面B C D ,则MO ⊥平面B C D . 以O 为原点，直线OC 、BO 、OM 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系如图.

OB =OM

O （0，0，0），C （1，0，0），M （0，0

，

，B （0，

0），A （0，

，

（1）设直线AM 与平面BCD 所成的角为α.

因AM =

（0

，

，），平面B C D 的法向量为(0,0,1)n =

.

则有

sin cos ,2

A M n A M n

A M n

α?===

=

?

，所以45α= .

（2

）(1,0,

C M =-

，(1,C A =-

.

设平面ACM 的法向量为1(,,)n x y z = ，由11n C M n C A

?⊥??⊥??

得00

x x ?-+

=??

--+=??.

解得x =，y z =

，取

1n = .又平面BCD 的法向量为(0,0,1)n =

，则111cos ,n n n n n n

?<>==?

设所求二面角为θ

，则sin 5

θ==

.

2011.8.已知32

1

,,αα

α是三个相互平行的平面,平面21,αα之间的距离为1d ,平面32,αα之间的

距离为2d .直线l 与321,,ααα分别交于321,,P P P .那么”“3221P P P P =是”“21d d =的 ( C )

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

21.（本小题满分14分）

（1）如图，对于任一给定的四面体4321A A A A ， 找出依次排列的四个相互平行的平面 4321,,,αααα， 使得i i A α∈（i=1,2,3,4），且其中每相邻两个平面间 的距离都相等；

D

B

A

（2）给定依次排列的四个相互平行的平面4321,,,αααα，其中每相邻两个平面间的距离为1，若

一个正四面体4321A A A A 的四个顶点满足：i i A α∈（i=1,2,3,4），求该正四面体4321A A A A 的体积.

解：（1）将直线41A A 三等分，其中另两个分点依次为32,A A '',连接3322,A A A A '',作平行于3322,A A A A ''的平面，分别过332

2,A A A A ''，即为32,αα。同理，过点41,A A 作平面41,αα即可的出结论。 （2）现设正方体的棱长为a,若则有,11==MN M A ，2

11a M A =，a E A D A E D 2

52

1121111=

+=，

由于,

1111111E D M A E A D A ?=?得5=a ，那么，正四面体的棱长为102==a d ，其体积为

3

553

13

=

=a V （即一个棱长为a 的正方体割去四个直角三棱锥后的体积）

9.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为（ D ）

18.(本小题满分12分）

如图，在=

2,2

A B C B A B B C P A B π

?∠==中，，为边上一动点，PD//BC 交AC 于 点D,现将

'

'

,PD A .PD A PD PD A PBC D ??⊥沿翻折至使平面平面

（1）当棱锥'

A PBCD -的体积最大时，求PA 的长；

（2）若点P 为AB 的中点，E 为''

.A C B DE ⊥的中点，求证：A

解：（1）设x PA =，则)2(3

1312

x

x

x S PA V PDCB PBCD A -

=

?=

'底面-

令)0(,6

3

2)2

2(3

1)(3

2

>-

=

-

=

x x

x x

x x f

则232)(2x x f -=

'

由上表易知：当332=

=x PA 时，有PBCD A V -'取最大值。

证明： （2）作B A '得中点F ，连接EF 、FP

由已知得：FP ED PD BC EF ////21

//?

PB A '?为等腰直角三角形，PF B A ⊥' 所以DE B A ⊥'.

19.（本题满分12分）

在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，已知AB =AC =AA 1BC =4，在A 1在底面ABC 的投影是线段BC 的中点O 。

（1）证明在侧棱AA 1上存在一点E ，使得OE ⊥平面BB 1C 1C ，并求出AE 的长；

（2）求平面11A

B C 与平面BB

1C 1C 夹角的余弦值。 解：（1）证明：连接AO ，在1A O A 中，作1O E AA ⊥

于点E ，因为11//AA BB ，得1O E BB ⊥,

因为1A O ⊥平面ABC ，所以1

A O

B

C ⊥,因为,A B A C O B O C

==,得A O B C ⊥,所以B C ⊥平面1

A A O ,所以

B

C O E ⊥,所以O E ⊥平面11BB C C ,又11,AO AA ===得215AO AE AA ==

(2)如图所示，分别以1,,O A O B O A 所在的直线为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0), C(0,-2,0), A 1(0.0,2),B(0,2,0)

由（1）可知115A E A A = 得点E 的坐标为42

(,0,)55

，由（1）

可知平面11BB C C 的法向量是42

(,0,)5

5

，设平面11A B C 的法向

量(,,)n x y z =

，

由100n AB n A C ??=???=?? ，得200x y y z -+=??+=?，令1y =，得2,1x z ==-

，

即(2,1,1)n =- 所以cos ,10||||

O E n O E n O E n ?<>==?

即平面平面11A B C 与平面BB 1C 1C 夹角的余弦值是

10

。

7.若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为

A ．

112

B.5

C.4

D.

9

2

【答案】C

【解析】本题的主视图是一个六棱柱，由三视图可得地面为变长为1的正六边形，高为1，则直接带公式可求. 19. （本小题满分12分）

如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F 是线段AB 上的两点，且DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，AB=12，AD=5，，DE=4.现将△ADE ，△CFB 分别沿DE ，CF 折起，使A ，B 两点重合与点G ，得到多面体CDEFG.

（1） 求证：平面DEG ⊥平面CFG ；求多面体CDEFG 的体积。

【解析】（1）由已知可得AE=3，BF=4，则折叠完后EG=3，GF=4，又因为EF=5，所以可得E G G F ⊥ 又因为CF EGF ⊥底面,可得C F EG ⊥，即EG CFG ⊥面所以平面DEG ⊥平面CFG. （2）过G 作GO 垂直于EF ，GO 即为四棱锥G-EFCD 的高，所以所求体积为1

1125520335D E C F S G O ?=

???

=正方形

C 1

x