第二章2-单自由度系统阻尼自由振动

单自由度系统阻尼自由振动

引言 惯性体由于任何外力原因离开平衡位置之 后，只受到和位移成比例的恢复力作用， 惯性体将在平衡位置附近按照其固有频率 进行简谐振动。由于没有能量耗散，系统 的机械能保持守恒。振动无限期的进行下 去。

引言 对于实际的振动系统，由于不可避免的存 在各种阻尼，振动系统的机械能不断转化 为其他形式的能，造成振幅衰减，以致最 后振动完全停止。

阻尼定义 阻尼是用来衡量系统自身消耗振动能量能 力的物理量 。

线性阻尼 又称粘性阻尼，由粘性阻尼引起的粘性阻 尼力的大小与相对速度成正比，方向与速 度方向相反。阻尼系数为常数。 为了研究方便，通常将阻尼进行线性化， 线性化的方法是等效原则。即在运动过程 中，线性阻尼和原非线性阻尼吸收的能量 一样多。

车辆中广泛存在的阻尼 在车辆当中，广泛存在的阻尼有，悬挂/悬 架系统的减振器，轮胎的橡胶和其他各种 橡胶支撑，液体(浸没在液体中振动物 体),摩擦表面(离合器),金属橡胶等。

液压减振器工作原理活塞缸 活塞运动方向

液流方向 活塞 阻尼孔

轮胎的阻尼轮 胎 恢 复 力

压缩 复原

O

轮胎变形量

单自由度粘性阻尼的自由振动 以物体的平衡位 置为原点，水平 方向为x轴正向， 建立如图所示的 坐标系。O k m c x kx m · cx x

微分方程的建立 根据受力分析，和初始条件，可以得到下 面的微分方程。

mx cx kx 0 x (0) x0 , x (0) x0

方程求解 由于方程为齐次的，因此，方程的解具有 如下形式：

x e

st

将解的形式带入微分方程：k st 2 c s s e 0 m m

特征方程及其解 由于 e 0 ,因此，要想方程成立；st

c k 必须： s s 0 称为微分方程 的特 m m 征方程 可以解出它的两个根：2

s1,2

c k c 2m 2m m

2

微分方程的通解 微分方程的通解为： x Bes1t

De

s2t

B, D 为任意常数，由运动的初始条件决定。 而解的形式，决定于 s1 , s2 。随着阻尼系数 的不同，特征方程可以有两个不等的负实 根，相等的负实根和一对共轭复根。

临界阻尼系数 使特征方程有两个相等负实根的阻尼系数 值，称为临界阻尼系数(critical damping coefficient)记为 cc

cc 2 km 2m n

阻尼比c c c 令 ,称为阻尼比或者相 cc 2 km 2m n

对阻尼系数。是一个无量纲的数， 是一个重要 振动参数。 表征一个振动系统阻尼的大小： 1 表示大阻尼， 1 表示临界阻尼， 1

表示小阻尼。

微分方程和解的表达方式 由 n k m

,和

c c cc 2m n 2 n m cc m m

原来的微分方程可以改写成： 2 2 n x n x 0 xs1,2 2 1 n 特征根：

大阻尼情况的讨论 当 1,方程的特征根x e nt

s1,2 2 1 n ,

均为实数，方程的通解为：

Ae1

2 1 nt

A2e

2 1 nt

A1 , A2 与初始条件 x0 , x0 有关，

1 x0 n x0 A1,2 x0 2 2 1 n

大阻尼系统的运动特点x 可以证明， e nt

Ae1

2 1 nt

A2e

2 1 nt

越过平衡位置的次数至多有一次。x · x0 x · x0 x0 t x x0 t x0

· x0 t

临界阻尼情况的讨论 当 1 ,特征方程的根 s1,2 n 由微分方程的理论，方程的解为：

x A1e

n t

A2te

n t

代入初始条件可得：

A1 x0 ,

A2 x0 n x0

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