第十节 连续函数的运算与初等函数的连续性

第一章 函数与极限（§10连续函数的运算与初等函数的连续性）

第十节 连续函数的运算与初等函数的连续性

要求：会利用函数的连续性求函数的极限，会讨论分段函数的连续性。 重点：利用函数的连续性求函数的极限。 难点：分段函数连续性的讨论。

作业：习题1－10（P,24)5)6)7),33)4),4 86）1问题提出 为了讨论函数的连续性，用定义逐点讨论将是很困难的．但是，如果我们用连续函数的一些特殊性质来讨论将会方便得多，因此来讨论连续函数的四则运算，复合运算，从而讨论我们主要研究对象――初等函数连续性．

一、连续函数的和、差、积及商的连续性

定理1 有限个在某点连续函数的和（差）是在该点的连续函数． 定理2 有限个在某点连续函数的乘积是在该点的连续函数．

定理3 两个在某点连续函数的商是在该点的连续函数，且分母在该点不为零．

sinxcosx,cotx?，因为sinx,cosx在区间(??,??)内连续，cosxsinx故由定理3知正切tanx和余切函数cotx在它们的定义域内是连续函数．

例1． 函数tanx?结论2 三角函数在它们的定义域内是连续函数．

二、反函数与复合函数的连续性

定理4 如果函数y?f(x)在区间Ix上单调增加（或单调减少）且连续，那么它的反函数x??(y)在对应的区间Iy?y?f(x)x?Ix上单调增加（或单调减少）且连续．

例2． 正弦函数y?sinx在区间[?????,]上单调增加且连续，所以它的反正弦函数22y?arcsinx在相应的闭区间[?1,1]上也是单调增加且连续．

同样，反余弦函数y?arccosx在区间[?1,1]上是单调减少且连续；

反正切函数y?arctanx在区间(??,??)内是单调增加且连续； 反余切函数y?arccotx在(??,??)是单调减少且连续． 结论3 反三角函数在它们的定义域内是连续函数．

定理5 设函数u??(x)当x?x0时的极限存在且等于a，即lim?(x)?a，而函数

x?x0y?f(u)在点u?a处连续，那么复合函数y?f[?(x)]，当x?x0时的极限也存在且等

于f(a)，即limf[?(x)]?f(a)．

x?x0说明

（1）上式又可写为limf[?(x)]?f[lim?(x)]；

x?x0x?x0（2）定理5中的x?x0换成x??可得类似定理．

1

第一章 函数与极限（§10连续函数的运算与初等函数的连续性）

例3．求极限limarctanx?0sinx． x解 limarctanx?0sinxsinx??arctan(lim)?arctan1?．

x?0xx4定理6 设函数u??(x)在点x0处连续且?(x0)?u0，而函数y?f(u)在点u0处连续，那么复合函数y?f[?(x)]在点x0处也是连续的．

证明 因为limf(u)?f(a)，所以???0,???0,当|u?a|??时，有

u?a |f(u)?f(a)|??．

又因为?(x)在点x0连续，所以对上述的??0，???0，当|x?x0|??时，有 |?(x)?a|?? 即 |u?a|?? 于是，对???0,???0,当|x?x0|??时，总有

|f[?(x)]?f(a)|??

所以复合函数y?f[?(x)]在点x0处连续．

2例4．讨论函数y?sin(3x?2x?5)及y?sin1的连续性． x22解 函数y?sin(3x?2x?5)可看作由y?sinu及u?3x?2x?5复合而成，而正

2弦函数y?sinu在区间???u???内是连续函数，又函数u?3x?2x?5在(??,??)内是连续函数，据定理6知复合函数y?sin(3x?2x?5)在区间(??,??)内是连续函数．

211可看作由y?sinu及u?复合而成，而正弦函数y?sinu在区间xx1???u???内是连续函数，又函数u?在???x?0和0?x???内是连续函数，

x1据定理6知复合函数y?sin在区间(??,0)和(0,??)内是连续函数．

x三、初等函数的连续性

函数y?sin1． 指数函数y?a(a?0,a?1)在区间(??,??)内是连续函数． 证明 对任x0?(??,??)，?y?ax?0?x?0?x?0xx0??x?ax0?ax0(a?x?1)，在极限部分已证明极限

limax?1，所以lima?x?1，故lim?y?limax0(a?x?1)?0，因此指数函数y?ax在

?x?0 2

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点x0处连续，又由于x0?(??,??)的任意性，指数函数y?ax在(??,??)内连续．

2． 对数函数y?logax(a?0,a?1)在区间(0,??)内是连续函数． 由指数函数y?ax单调性和连续性得到．

3．幂函数y?x?（?为任何实数）．

幂函数定义域随?而变，不过在(0,??)内总是有定义的，因此幂函数在(0,??)内是连续的．

因为y?x??e?lnx，函数y?eu与u??lnx都是连续的，由定理6可知幂函数y?x?在区间(0,??)内连续．

4．幂指函数 形如y?u(x)v(x),(u(x)?0)的函数称为幂指函数．

若函数u(x),v(x)连续，且u(x)?0，则幂指函数y?u(x)v(x)连续．

v(x)?AB． 若极限limu(x)?A(A?0),limv(x)?B，则limu(x)x?x0x?x0x?x0例5．求极限lim(1?x)x?02sinx．

12x?xsinx解 lim(1?x)x?02sinx?lim(1?x)x?0?lim(1?x)x?012x?limxx?0sinx?e2

结论4 指数函数，对数函数，幂函数在它们的定义域内连续． 5．初等函数连续性

（1）基本初等函数在它们的定义域内是连续函数． （2）一切初等函数在其定义区间内是连续的．（定义区间：包含在定义域内的区间） 说明 由连续性提供了求极限的方法，如果f(x)是初等函数，且x0是函数f(x)的定义区间内的点，则有limf(x)?f(x0)．

x?x0例6．求极限limlnsinx．

x??2解 因为x0??2是初等函数f(x)?lnsinx定义区间内的点，所以

limlnsinx?lnsinx??2??0．

21?x2?1?x例7． 求极限lim．

x?0x

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1?x2?1?x1?x2?1?xx?11解 lim?lim?lim??．

x?0x?0x2x(1?x2?1?x)x?01?x2?1?x)例8． 求极限limloga(1?x)．

x?0x11log(?1x)1解 lima， ?limloga(1?x)x?logalim(1?x)x?logae?x?0x?0x?0xlna若a?e，则limln(1?x)?1．

x?0xax?1例9．求极限lim．

x?0xax?1解 limx?0xax?1?t?limt?0t?lna，

loga(1?t)ex?1?1． 若a?e，则limx?0x例10．求极限limln(1?2x)．

x?0x11?2ln(1?2x)x2x解 lim?limln(1?2x)?lnlim(1?2x)?lne2?2．

x?0x?0x?0x又同理可得limx?0e3x?13x?te?1lim?3?3． ?t?0xttln(1??)e??1?1,lim?1，从上面两例可得到，lim（?中变量一样）．

??0??0??例11．求极限limn(na?1)n??(a?0)．

1?t，则 x解 由于n??改为连续变量x???，令

1x1xtlnatlnaa?1a?1e?1e?1?lim?limlimx(xa?1)?lim?limlna?lna，

x???x???x???t?0t?011ttlnaxx又由函数极限与数列极限关系定理，当n为自然数时，有

limn(na?1)?lna．

n???x2,x?1例12．当b为何值时，函数f(x)??在区间(??,??)上连续．

?x?b,x?1

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解 当x?1时，f(x)?x2为初等函数，所以是连续函数，

当x?1时，f(x)?x?b为初等函数, 所以是连续函数，

当x?1时，若使函数在x?1处连续，必有f(1?0)?f(1?0)?f(1)，即

1?b?1，

所以，当b?0时，函数f(x)在点x?1处连续，从而在区间(??,??)上连续．

6．常用的基本极限

（1）设P(x)?a0xn?a1xn?1???an,Q(x)?b0xm?b1xm?1???bm，

（a0?0,b0?0,m,n为自然数）

?P(x0)Q(x0)?0?Q(x),0P(x)?????,Q(x0)?0,P(x0)?0， 则 limx?x0Q(x)?消去零因子Q，(x0)?0,P(x0)?0????a0?b,0P(x)????0, limx??Q(x)??,???（2）limm?nm?n． m?nsinxtanx1?cosx1?1,lim?1,lim?．

x?0x?0x?0xx2x211x（3）lim(1?)?e,lim(1?x)x?e，

x??x?0xlimloga(1?x)1?x?0xlna(limln(1?x)?1)，

x?0xax?1ex?1lim?lna(lim?1)． x?0x?0xx（4）limnn?1,n??limna?1(a?0)．

n??（5）limarctanx?x???2,x???limarctanx???2

x???limarccotx?0,x???limarccotx??

x???limex??,x???limex?0．

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