线性方程组求解matlab实现

3.1 方程组的逆矩阵解法及其MATLAB程序

3.1.3 线性方程组有解的判定条件及其MATLAB程序 判定线性方程组Am?nX?b是否有解的MATLAB程序

function [RA,RB,n]=jiepb(A,b)

B=[A b];n=length(b); RA=rank(A); RB=rank(B);zhica=RB-RA; if zhica>0,

disp('请注意：因为RA~=RB，所以此方程组无解.') return end

if RA==RB if RA==n

disp('请注意：因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一解.') else

disp('请注意：因为RA=RB

例3.1.4 判断下列线性方程组解的情况.如果有唯一解，则用表 3-2方法求解.

?3x1?4x2?5x3?7x4?0,?2x1?3x2?x3?5x4?0,?2x?3x?3x?2x?0,?3x?x?2x?7x?0,1234?1234(1) ? (2) ? ??4x1?11x2?13x3?16x4?0,?4x1?x2?3x3?6x4?0,???7x1?2x2?x3?3x4?0;?x1?2x2?4x3?7x4?0;?4x1?2x2?x3?2,?2x?y?z?w?1,?(3) ??3x1?x2?2x3?10, (4) ?4x?2y?2z?w?2,

?11x?3x?8;?2x?y?z?w?1.?2?1

解 在MATLAB工作窗口输入程序

>> A=[2 3 -1 5;3 1 2 -7;4 1 -3 6;1 -2 4 -7]; b=[ 0; 0; 0; 0]; [RA,RB,n]=jiepb(A,b)

运行后输出结果为

请注意：因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一解. RA = 4,RB =4,n =4 在MATLAB工作窗口输入

>>X=A\\b,

运行后输出结果为 X =(0 0 0 0)’.

(2) 在MATLAB工作窗口输入程序

>> A=[3 4 -5 7;2 -3 3 -2;4 11 -13 16;7 -2 1 3];b=[ 0; 0; 0; 0];

[RA,RB,n]=jiepb(A,b)

运行后输出结果

请注意：因为RA=RB

(3) 在MATLAB工作窗口输入程序

>> A=[4 2 -1;3 -1 2;11 3 0]; b=[2;10;8]; [RA,RB,n]=jiepb(A,B)

运行后输出结果

请注意：因为RA~=RB，所以此方程组无解. RA =2,RB =3,n =3

(4)在MATLAB工作窗口输入程序

>> A=[2 1 -1 1;4 2 -2 1;2 1 -1 -1]; b=[1; 2; 1]; [RA,RB,n]=jiepb(A,b)

运行后输出结果

请注意：因为RA=RB

3.2 三角形方程组的解法及其MATLAB程序

3.2.2 解三角形方程组的MATLAB程序 解上三角形线性方程组AX?b的MATLAB程序

function [RA,RB,n,X]=shangsan(A,b)

B=[A b]; n=length(b); RA=rank(A); RB=rank(B);zhica=RB-RA; if zhica>0,

disp('请注意：因为RA~=RB，所以此方程组无解.') return end

if RA==RB if RA==n

disp('请注意：因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一解.') X=zeros(n,1); X(n)=b(n)/A(n,n); for k=n-1:-1:1

X(k)=(b(k)-sum(A(k,k+1:n)*X(k+1:n)))/A(k,k);

end else

disp('请注意：因为RA=RB

end end

例3.2.2 用解上三角形线性方程组的MATLAB程序解方程组

?5x1?x2?2x3?3x4?20,??2x?7x?4x??7,?234. ?6x3?5x4?4,??3x4?6.?解 在MATLAB工作窗口输入程序

>>A=[5 -1 2 3;0 -2 7 -4;0 0 6 5;0 0 0 3]; b=[20; -7; 4;6];

[RA,RB,n,X]=shangsan(A,b)

运行后输出结果

请注意：因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一解. RA = RB =

4, 4, n =

4,

X =[2.4 -4.0 -1.0 2.0]’

3.3 高斯（Gauss）消元法和列主元消元法及其MATLAB程序

3.3.1 高斯消元法及其MATLAB程序

用高斯消元法解线性方程组AX?b的MATLAB程序

function [RA,RB,n,X]=gaus(A,b)

B=[A b]; n=length(b); RA=rank(A); RB=rank(B);zhica=RB-RA; if zhica>0,

disp('请注意：因为RA~=RB，所以此方程组无解.') return end

if RA==RB if RA==n

disp('请注意：因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一解.') X=zeros(n,1); C=zeros(1,n+1); for p= 1:n-1

for k=p+1:n

m= B(k,p)/ B(p,p);

B(k,p:n+1)= B(k,p:n+1)-m* B(p,p:n+1); end end

b=B(1:n,n+1);A=B(1:n,1:n); X(n)=b(n)/A(n,n); for q=n-1:-1:1

X(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*X(q+1:n)))/A(q,q); end

else

disp('请注意：因为RA=RB

例3.3.2 用高斯消元法和MATLAB程序求解下面的非齐次线性方程组，并且用逆矩阵解方程组的方法验证.

?x1?x2?x3?3x4?1,??x2?x3?x4?0, ???2x1?2x2?4x3?6x4??1,??x1?2x2?4x3?x4??1.解 在MATLAB工作窗口输入程序

>> A=[1 -1 1 -3; 0 -1 -1 1;2 -2 -4 6;1 -2 -4 1]; b=[1;0; -1;-1]; [RA,RB,n,X] =gaus (A,b)

运行后输出结果

请注意：因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一解. RA =

X = 4

0 RB =

-0.5000 4

0.5000 n =

0 4

3.3.2 列主元消元法及其MATLAB程序

用列主元消元法解线性方程组AX?b的MATLAB程序

function [RA,RB,n,X]=liezhu(A,b)

B=[A b]; n=length(b); RA=rank(A); RB=rank(B);zhica=RB-RA; if zhica>0,

disp('请注意：因为RA~=RB，所以此方程组无解.') return end

if RA==RB if RA==n

disp('请注意：因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一解.') X=zeros(n,1); C=zeros(1,n+1); for p= 1:n-1

[Y,j]=max(abs(B(p:n,p))); C=B(p,:); B(p,:)= B(j+p-1,:); B(j+p-1,:)=C; for k=p+1:n

m= B(k,p)/ B(p,p);

B(k,p:n+1)= B(k,p:n+1)-m* B(p,p:n+1); end end

b=B(1:n,n+1);A=B(1:n,1:n); X(n)=b(n)/A(n,n); for q=n-1:-1:1

X(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*X(q+1:n)))/A(q,q); end

else

disp('请注意：因为RA=RB

例3.3.3 用列主元消元法解线性方程组的MATLAB程序解方程组

?x2?x3?x4?0,??x?x?x?3x?1,?1234. ??2x1?2x2?4x3?6x4??1,??x1?2x2?4x3?x4??1.解 在MATLAB工作窗口输入程序

>> A=[0 -1 -1 1;1 -1 1 -3;2 -2 -4 6;1 -2 -4 1]; b=[0;1;-1;-1]; [RA,RB,n,X]=liezhu(A,b)

运行后输出结果

请注意：因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一解. RA = 4，RB = 4，n = 4，X =[0 -0.5 0.5 0]’

3.4 LU分解法及其MATLAB程序

3.4.1判断矩阵LU分解的充要条件及其MATLAB程序 判断矩阵A能否进行LU分解的MATLAB程序

function hl=pdLUfj(A)

[n n] =size(A); RA=rank(A); if RA~=n

disp('请注意：因为A的n阶行列式hl等于零，所以A不能进行LU分解.A的秩

RA如下：'), RA,hl=det(A); return

end

if RA==n

for p=1:n,h(p)=det(A(1:p, 1:p));, end

hl=h(1:n); for i=1:n

if h(1,i)==0

disp('请注意：因为A的r阶主子式等于零，所以A不能进行LU分解.A

的秩RA和各阶顺序主子式值hl依次如下：'),hl;RA,return

end end

if h(1,i)~=0

disp('请注意：因为A的各阶主子式都不等于零，所以A能进行LU分解.A

的秩RA和各阶顺序主子式值hl依次如下：')

hl;RA end end

例3.4.1 判断下列矩阵能否进行LU分解，并求矩阵的秩.

?123??123??123????. ??（1）?1127?；（2）?127?；（3）?123???456??456??456???????解 （1）在MATLAB工作窗口输入程序

>> A=[1 2 3;1 12 7;4 5 6];hl=pdLUfj(A)

运行后输出结果为

请注意：因为A的各阶主子式都不等于零，所以A能进行LU分解.A的秩RA和各阶

顺序主子式值hl依次如下：

RA = 3， hl = 1 10 -48

（2）在MATLAB工作窗口输入程序

>> A=[1 2 3;1 2 7;4 5 6];hl=pdLUfj(A)

运行后输出结果为

请注意：因为A的r阶主子式等于零，所以A不能进行LU分解.A的秩RA和各阶顺

序主子式值hl依次如下：

RA = 3， hl =1 0 12

（3）在MATLAB工作窗口输入程序

>> A=[1 2 3;1 2 3;4 5 6];hl=pdLUfj(A)

运行后输出结果为

请注意：因为A的n阶行列式hl等于零，所以A不能进行LU分解.A的秩RA如下

RA = 2， hl = 0

3.4.2 直接LU分解法及其MATLAB程序 将矩阵A进行直接LU分解的MATLAB程序

function hl=zhjLU(A)

[n n] =size(A); RA=rank(A); if RA~=n

disp('请注意：因为A的n阶行列式hl等于零，所以A不能进行LU分解.A

的秩RA如下:'), RA,hl=det(A);

return end

if RA==n for p=1:n

h(p)=det(A(1:p, 1:p)); end

hl=h(1:n); for i=1:n

if h(1,i)==0

disp('请注意：因为A的r阶主子式等于零，所以A不能进行LU分解.A

的秩RA和各阶顺序主子式值hl依次如下：'), hl;RA

return end end

if h(1,i)~=0

disp('请注意：因为A的各阶主子式都不等于零，所以A能进行LU分解.A的

秩RA和各阶顺序主子式值hl依次如下：')

for j=1:n

U(1,j)=A(1,j); end

for k=2:n for i=2:n for j=2:n

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