选修1-1圆锥曲线专题复习剪辑

※高二文科班数学课堂学习单73※

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（二）圆锥曲线专题复习（二）

一，学习目标:

1、 全面掌握圆锥曲线的知识要点 2、 能解解决圆锥曲线的相关问题 二，自学导航：

◇知识归纳：

一、圆锥曲线的定义：

1．椭圆的定义：平面内与两个定点F1，F2的距离12轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫做椭圆的

距离和等于|F1F2|时，动点的轨迹就是；距离和小于|F1F2|时，动点轨迹． 2．双曲线的定义：平面内与两定点F1，F2的距离的 等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫双曲线，这两个定点叫做双曲线的 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 ．

(1)定义中常数等于|F1F2|，动点的轨迹是以． (2)如果定义中常数为0，此时动点轨迹为 (3)如果定义中常数大于|F1F2|，此时动点轨迹．． (4)在定义中，如果将“差的绝对值”改为“差”，那么点的轨迹是． 3．抛物线的定义：平面内与一定点F和一条定直线l(l不经过点F)的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的 ，直线l叫做抛物线的 ．

特别强调：凡涉及圆锥曲线上的点与曲线焦点距离的问题，均可考虑 建立等式 二、求圆锥曲线的方程

1．求标准方程时，要“先定型，再定量”，即要先判断位置，再用 设出适合题意的标准方程，最后由条件确定待定系数即可．

2．当所求曲线的焦点位置不能确定时，应按焦点在 进行分类讨论，但要注意参数满足的条件,椭圆： ；双曲线： ；抛物线：

3．当已知椭圆、双曲线经过两点，求标准方程时，把方程设成 的形式，有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的位置，从而简化求解过程．

4．(1)双曲线的渐近线为Ax+By=0时，可设双曲线方程为x2y2

(2)－＝1(a>0，b>0)有共同焦点的双曲线的方程可设为

ab5．焦点在x轴上的抛物线方程可统一设为，焦点在y轴上的抛物线方程可统一设为 ．

三、求点的轨迹方程的方法： 直接法：建、设、现（限）、代、化；

定义法：分析几何图形所揭示的几何关系，判断动点的轨迹是圆锥曲线，然后根据题中条件求出参数a、b、p的值，直接由标准方程写出即可；

相关点法：已知P的轨迹方程，求M的轨迹方程的步骤是先设出点P和M的坐标，根据条件写出P点与M点的坐标之间的关系，然后用M点的坐标表示P点的坐标，并代入P点的坐标所满足的方程，整理即得M的轨迹方程．动点M与曲线上的点P称为相关点。

四、焦点三角形 在解焦点三角形的有关问题时，一般地利用两个关系式： 1．由可得|PF1|，|PF2|的关系式；

2．利用得|PF1|，|PF2|的关系式，然后求解得|PF1|，|PF2|，有时也根据需要，把|PF1|＋|PF2|，|PF1|－|PF2|，|PF1|·|PF2|等看成一个整体来处理．

五、离心率

c

1．椭圆：e＝离心率越 ，则椭圆越扁；越 ，则椭圆越圆。

a

c

双曲线：e＝离心率越，则开口越小；越则开口越大。

a

抛物线：e＝1，p越小，则开口；p 2．求椭圆离心率常用的有两种方法：

(1)求出a，c，再求比．

c

(2)列出含有a，c的齐次方程，再利用e＝转化为关于e的方程，解方程即可，此时要

a注意：椭圆：0<e<1；双曲线：e>1;抛物线：e=1

六、直线与圆锥曲线的位置关系

x2y2

1．直线y＝kx＋m与椭圆1(a>b>0)的位置关系，判断方法：

aby＝kx＋m， 22

联立 xy∴消y得一元二次方程．

1， ab当 时，方程有 ，直线与椭圆相交； 当 时，方程有 ，直线与椭圆相切； 当 时，方程 ，直线与椭圆相离．

x2y2

2．直线l：y＝kx＋m(m≠0)①与双曲线C－＝1(a>0，b>0)②的位置关系

ab把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.

b

(1)当0，即k＝时，直线l与 平行，直线与双曲线C相交于 点．

ab

(2)当0，即k≠时，

a

当 时，直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线 ； 当 时，直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线 ； 当 时，直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线 ．

3．直线l：y＝kx＋m，与抛物线y2＝2px(p>0)，的位置关系 联立方程，整理成关于x的方程：k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0

(1)若k＝0，有，直线平行于抛物线的重合． (2)若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线

当Δ＝0时，直线与抛物线 ，有一个交点； 当Δ<0时，直线与抛物线 ，无公共点；

七、弦长，当直线与圆锥曲线有两个公共点时，两交点间的距离，称为 ． (1)求弦长的方法：将x的然后运用根与系数的关系，再求弦长。

斜率为k(k≠0)的直线与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AB|＝|x1－x21＋k＝

＝|y1－y21＋＝

k

八、在处理 有关的问题时，常采用“点差法”， 建立了 之间的关系，即：

x2y2

如：，直线与椭圆＋＝1其交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且弦AB的中点为M(x，y)，则

ab

xy

a＋b＝1， ②

22x2y2＋＝1， ①ab

2222

①－②：a2(y21－y2)＋b(x1－x2)＝0，

y1－y2b2x1＋x2b2x

∴＝－. 点差法在双曲线与抛物线中同样可以使用

ay1＋y2ayx1－x2九、抛物线的焦半径

抛物线上一点与焦点F的连线的线段叫做 ，过焦点的直线与抛物线相交所得弦叫做 ，焦点弦与对称轴垂直时称谓通径，长为 。若P(x0，y0)是抛物线上任意一点，焦点弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据上述定义，完成以下表格。

离心率是 x2y2

2.已知方程1当m＝n>0时表示圆；当m>n>0或n>m>0时表示椭圆；当mn<0

mn时表示双曲线．

◇能力提升：

xy

1 0,y 0)与直线x-y-5=0的距离的最小值。

94

2.椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A、B，C是AB的中点，若|AB|＝2，OC2

，求椭圆的方程． 2

2

2

3.（本小题满分12分）已知椭圆、抛物线、双曲线的离心率构成一个等比数列且它们有一个公共的焦点(4,0)，其中双曲线的一条渐近线方程为y3x，求三条曲线的标准方程

4.已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），l交椭圆于A、B两个不同点。 （1）求椭圆的方程； （2）求m的取值范围；

◇课外练习：

x2y2

1．椭圆点P在椭圆上，如果线段PF1中点在y轴上，那么|PF1| 1的焦点为F1和F2，

123

是|PF2|的 （ ） A．7倍 B．5倍 C．4倍 D．3倍

x2y2

2．已知点F右焦点，过FF2分别是双曲线2 2 1(a 0,b 0)的左、1，1且垂直于x 轴

ab

的直线与双曲线交于A，B两点，若 ABF2是钝角三角形，则该双曲线离心率 的取值

范围是（ ）

A

．1, ) B

．1, ) C

．(1 ) D

．(1,1

x2y2

1的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程3、抛物线的焦点为椭圆94

为 .

4、 动点到直线x=6的距离是它到点A(1，0)的距离的2倍,求动点的轨迹方程。

x2y2

1有共同渐近线，2）5,根据下列条件，求双曲线方程。(1)与双曲线且过点（-3，； 916

x2y2

1有公共焦点，且过点（2，2）(2)与双曲线。 164

x2y2

6. P是椭圆1(a>b>0)上且位于第一象限的一点，F是椭圆的右焦点，O是椭圆中心，

aba2

B是椭圆的上顶点，H是直线x＝－c为椭圆的半焦距)与x轴的交点，若PF⊥OF，HB∥OP，

c试求椭圆的离心率e.

◇选作题：

x2y2

椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，P为椭圆C上任

ab

→→

意一点，已知PF1·PF2的最大值为3，最小值为2.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于M、N两点(M，N不是左右顶点)，且以线段MN为直径的圆过点A，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标

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