范德蒙德行列式的几点应用

范德蒙德行列式的几点应用

第2讲 范德蒙德行列式的几点应用

我们知道，n阶范德蒙德行列式

1x1

Vn

1x2

1xn

x12 x1n 1

2n 1x2 x2

1≤j i≤n

x x ，

i

j

2n 1xn xn

当这些xi两两互异时，Vn 0．这个事实有助于我们理解不少结果．

例1 证明一个n次多项式之多有n个互异根．

证 设f x a0 a1x a2x anx有n 1个互异的零点x1,x2, ,xn 1，则有

2

n

f xi a0 a1xi a2xi2 anxin 0，1 ≤ i ≤ n 1．

即

a0 x1a1 x12a2 x1nan 0,

2n

a0 x2a2 x2a2 x2an 0,

a xa x2a xna 0.

n 1n 0n 1nn 12

这个关于a0,a1, ,an的齐次线性方程组的系数行列式

x1x2

x12

2

x2

x1n

nx2

1≤j i≤n 1

x x 0，

i

j

xn 1

2nxn xn 1 1

因此a0 a1 a2 an 0．这个矛盾表明f x 至多有n个互异根．

例2 设a1,a2, ,an是n个两两互异的数．证明对任意n个数b1,b2, ,bn，存在惟一的次数小于n的多项式L x ：

L x bi

i 1

j i

n

x ajai aj

，

使得L ai bi，1 ≤ i ≤ n．

证 从定义容易看出L x 的次数小于n，且L ai bi，故只需证明唯一性即可． 设f x c0 c1x c2x cn 1x

2

n 1

满足

范德蒙德行列式的几点应用

f ai bi，1 ≤ i ≤ n，

即

c0 a1c1 a12c2 a1n 1cn 1 b1, 2n 1

c0 a2c1 a2c2 a2cn 1 b2,

c ac a2c an 1c b.

nn 1n 0n1n2

这个关于c0,c1,c2, ,cn 1的线性方程组的系数行列式

1a11a2

1an

a12 a1n 1

2n 1

a2 a2

1≤j i≤n

a a 0，

i

j

2n 1an an

故c0,c1,c2, ,cn 1是唯一的，必须f x L x ． 这个例子就是有名的拉格朗日插值公式．

例3 设f1 x ,f2 x , ,fn 1 x 是n 1个复系数多项式，满足

1 x xn 1|f1 xn xf2 xn xn 2fn 1 xn ，

证明f1 1 f2 1 fn 1 1 0． 证 设f1x

xf x x

n

n2

n 2

fn 1 xn p x 1 x xn 1 ，取 cos

2 2

， isin

nn

分别以x , , ,

2n 1

代入，可得

f1 1 f2 1 n 2fn 1 1 0,

2 n 2

fn 1 1 0, f1 1 2f2 1

n 1 n 2 n 1f1 f1 fn 1 1 0. 12

这个关于f1 1 ,f2 1 , ,fn 1 1 的齐次线性方程组的系数行列式

2

n 2 2 n 2

n 1 n 2

0，

n 1

因此f1 1 f2 1 fn 1 1 0．

范德蒙德行列式的几点应用

例4 设n是奇数，f1 x ,f2 x , ,fn 1 x 是n 1个复系数多项式，满足

xn 1 xn 2 xn 3 1|f1 xn 2 xf2 xn xn 2fn 1 xn ，

证明f1 1 f2 1 fn 1 1 0．

证 注意到当n是奇数时，

xn 1 x 1 xn 1 xn 2 xn 3 1 ，

可按照例3的思路完成证明．

例5 设A是个n阶矩阵，证明A的属于不同特征值的特征向量线性无关．

证 设 1, 2, , r是A的两两不同的r个特征值，非零向量 1, 2, , r适合

A i i ≤ r， ii，1 ≤

假设

x1 1 x2 2 xr r 0，

那么有

Aj x1 1 x2 2 xr r 0，1 ≤ j ≤ r 1．

即

r

r rj

A xi i xiA i ij xi i 0，

i 1 i 1 i 1j

注意到

ji

r r

0，

必须x1 1 x2 2 xr r 0，于是x1 x2 xr 0，这证明了 1, 2, , r线性无关．

例6 计算行列式

11

1

1 x1

Dn 2 x1

其中 k x x a1kx

k

1 x2 2 x2

1 xn 2 xn ，

n 1 x1 n 1 x2 n 1 xn

k 1

ank．

解 注意到下面的等式：

范德蒙德行列式的几点应用

1

1 1

1 x1

1 x2 1 xn

2 x1 2 x2 2 xn

n 1 x1

n 1 x2

n 1xn

1

00 0 1

1 a11

10 0 x1x2

a22a121 0 x2

x2

2

1

a

n 1n 1an 2n 1an 3n 1

1 xn 1

1

xn 12

即得

Dn

1≤ xi

xj

．

j i≤n

例7 计算行列式

1

1 1 x1

x2 D 1 1

xn 1

n

， x1 n 1 x2 n 1 xn

n 1

其中 x

x x 1 x k 1

k

k!

．

解 直接利用例6可得

D1

n

1!2! n 1!1≤ xi xj ．j i≤n

例8 设a1,a2, ,an是正整数，证明n阶行列式

a1

a2n 1

1 a1Va2a2 an 1

22

n

an

a2n 1n an

能被1n 12

n 2

n 2 2

n 1 整除．

证 直接运用例6、例7可得

1

x

n x2

n , xn 1n

范德蒙德行列式的几点应用

a1

Vn

a2

an

a1 a1 1

a1 a1 1 a1 2 a1 n 2

a1 a1

2 n 1 a2 a2

2n 1

a2 a2 1 a2 a2 1 a2 2 a2 n 2 an an 1 an an 1 an 2 an n 2

a

1 1 a 2

1!2! n 1 ! 1

a a a n n n 1 2 n 1

能被1!2! n 1 ! 12

n 1n 2

n 2 n 1 整除．

2

例9 计算n阶范德蒙德行列式

Vn

11

1

2

n 1

2 4

n 1

2 n 1

，

n 1 2

其中 cos

2 n 1

2 2

． i sin

nn

k

解 注意到 1当且仅当n|k，可得

n0 0000 0nV 00 n0 1

2

n

n 1 n 2

2

nn，

n 1 n 2

0n 00

由此Vn i故

2

n，Vn的模n n．现在来确定Vn的幅角：令 cos

n2n2

n

isin

n

， ，

2

Vn

0≤j k≤n 1

k

j

0≤j k≤n 1

2k

2j

k j k j k j

k j

0≤j k≤n 1

n

0≤j k≤n 10≤j k≤n 1

k j 2i sin .

范德蒙德行列式的几点应用

对于上面考虑的j和k，总有0 k j n，这意味着sin

k j

n

n2

0，因此

n

由此可设Vn Vn ，其中

0≤j k≤n 1

k j 2sin

n

n，

i i

n 1 3n 2

0≤j k≤n 1n n 1 2

k j

,

n2

0≤j k≤n 1

n n 1 n n 1

2

i i

n n 1

2

2

n 1 2

i

2

i

n 1 2

n 1 3n 2

2

这样就求得了Vn i

2

n．

1

n2

例10 证明缺项的n阶范德蒙德行列式

11

22

Vn 23

2n

32 n2

n 1 n 1 n n 11 n

33 n3 1!2!3! n! 1 .

12323n n

3n nn

证 按Vn的第一行展开行列式，可得

22

Vn

23 2n

32 n233 n3

3n nn

2

32 n2

33 n3

3n nn12

1i 1

22123

12n

42 n243 n3

4n nn1i 1

1n

n 2

22

1

n 1

23

2n

n 1

3

n 1

2

n 1

n

1

i 1

n

i 1

n!

i2

2n 2

n

2

i 1

i 1

n 2

i 1

nn 2

n! n 1 ! n 2 ! 2!1!

1

i2i 1!n i!i 1

n 1 n 1 n n 11 n

1!2! n! 1 .

n n 1 2 2 3 3

范德蒙德行列式的几点应用

例11 设有n个常数b1,b2, ,bn，n个两两不同的常数a1,a2, ,an以及由x的恒等式

x

x2 xn 1a12 a1n 1

2n 1a2 a2

p x b1b2 bn

0

a1a2

an

2n 1an an

定义的一个多项式p x ．对于一个已知多项式 t ，定义另一个多项式Q x ，它为上面的恒等式中将p x ,b1,b2, ,bn分别代之以Q x , b1 , b2 , , bn 所得的x的恒等式所确定．证明用多项式 x a1 x a2 x an 除以 p x 所得的余式为Q x ．

证 由于n阶范德蒙德行列式

a1a2

an

a12 a1n 1

2n 1

a2 a2

1≤j k≤n

a

k

aj 0，

2n 1an an

按题设这里的行列式的最后一列展开，可知p x 是个次数小于n的多项式．从条件知对每个ai，

1ai1a11a2

1an

ai2 ain 1a12 a1n 1

2n 1

a2 a2

p ai b1b2 bn

000 0

p ai bi

b1b2 bn

0，

1a1 1a2

1an

a12 a1n 1

2n 1

a2 a2

2n 1

an an2n 1

an an

必须p ai bi，1 ≤ i ≤ n．由拉格朗日插值公式知

p x bi

i 1

j i

n

x ajai aj

．

同理可求出由恒等式

x

x2 xn 1

Q x

a1a2

an

所定义的多项式

a12 a1n 1 b1

2n 1

a2 a2 b2 0

2n 1an an bn

Q x bi

i 1

j i

n

x ajai aj

．

范德蒙德行列式的几点应用

设 p x q x x a1 x a2 x an r x ，其中r x 的次数小于n．为证

r x Qx，只需证明1≤ i ≤ n 时，r ai Q ai 即可．事实上，对每个ai， r ai p ai bi Q ai 是易见的，因此结论成立．

例12 设f y 在 a,b 上连续，在 a,b 内存在2阶导数，证明在a x b上有

f x f a f b f a

1 f c ，

x b2

这里c a,b ．

特别地，存在c a,b ，使

b a f c a b

f b 2f fa ．

4 2

证 在 a,b 上构造函数

2

y

F y

axb

y2a2x2b2

f y f a f x f b

，

则F y 在 a,b 上连续，在 a,b 内存在2阶导数．因F a F x F b 0，由中值定理存在

a x1 x x2 b，使F x1 F x2 0，故再运用一次中值定理，存在c x1,x2 ，使F c 0，即

00

F c

1x

2x2

f c f a f x f b

0，

1aa21bb2

展开行列式即得

f x f a f b f a

1 f c ．

x b2

特别地，取x

a b

，则有相应的c a,b ，使上式成立，即 2

范德蒙德行列式的几点应用

a b f f a f b f a 2

b a a

1 f c ，

2 b2

化简即得

b a a b

f b 2f f c ． f a

4 2

例13 设f x 在 a,b 内存在n 1阶导数，a x1 x2 xn b．证明存在c a,b ，使

2

i 1

n

x xi

j

j i

f xi

f

c ． n 1!

n 1

证 在 a,b 上构造函数

x

x2 xn 1x12 x1n 1

2n 1x2 x2

f x f x1 f x2 ， f xn

x1

F x x2

xn

2n 1xn xn

F x 在 a,b 内存在n 1阶导数．因f x1 f x2 f xn 0，反复利用微分中值定理，

存在c a,b ，使F

n 1

c 0，即

01

0x1x2

n 1 !

x1n 1

n 1

x2

f

F

n 1

c 1

x12 x1n 2

2n 2x2 x2

c

f x1

f x2 0．

n 1

n 1xn

1xn

按第一行展开行列式得

2n 2xn xn

f xn

x1 x1n 2

f x1 f x2 f xn

f

n 1

x1

x12 x1n 1

2n 1

x2 x2

n 1 !

n 2

x2 x2

c

x2

xn

，

n 2

xn xn2n 1xn xn

左边按最后一列展开行列式，化简可得

范德蒙德行列式的几点应用

i 1

n

x xi

j

j i

f xi

f

c ． n 1!

n 1

例14 设f x 在 a,a nh 内存在n阶导数，这里h 0．证明存在a c a nh，使

n n nn

f a nh f a n 1 h f a n 2 h 1 f a hnf c ．

1 2

证 置xi a ih，0 ≤ i ≤ n，则a x0 x1 x2

xn a nh例13的特殊情形．

14在本质上是．于是例

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/n3lj.html