2012年上海高考数学（理科）试卷（Word版有答案） zgh

2012年上海高考数学（理科）试卷 一、填空题（本大题共有14题，满分56分） 1．计算：

3?i= （i为虚数单位）. 1?i 2．若集合A?{x|2x?1?0}，B?{x|x?1?2}，则A?B= .

3．函数f(x)?2cosx的值域是 . sinx?1 4．若n?(?2,1)是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为 （结果用反三角

函数值表示）. 5．在(x?26)的二项展开式中，常数项等于 . x12 6．有一列正方体，棱长组成以1为首项，为公比的等比数列，体积分别记为

V1,V2,…,Vn,…，则lim(V1?V2???Vn)? .

n?? 7．已知函数f(x)?e|x?a|（a为常数）.若f(x)在区间[1,+?)上是增函数，则a的取值范 围是 .

8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2?的半圆面，则该圆锥的体积为 .

2 9．已知y?f(x)?x是奇函数，且f(1)?1.若g(x)?f(x)?2，则g(?1)? . 10．如图，在极坐标系中，过点M(2,0)的直线l与极轴的夹角

.若将l的极坐标方程写成??f(?)的形式，则 ???6l O M ? x f(?)? . 11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有 两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）. 12．在平行四边形ABCD中，∠A=3, 边AB、AD的长分别为2、1. 若M、N分别

是边BC、CD上的点，且满足?|BM||CN|，则AM?AN的取值范围是 . ?|BC||CD|13．已知函数y?f(x)的图像是折线段ABC，若中A(0,0)，B(1,5)，C(1,0). 2函数y?xf(x)(0?x?1)的图像与x轴围成的图形的面积为 .

1

14．如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2.

若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为

常数，则四面体ABCD的体积的最大值是 .

二、选择题（本大题共有4题，满分20分）

2D C

A B （ ）

15．若1?2i是关于x的实系数方程x?bx?c?0的一个复数根，则

（A）b?2,c?3. （B）b??2,c?3. （C）b??2,c??1.（D）b?2,c??1. 16．在?ABC中，若sinA?sinB?sinC，则?ABC的形状是

222（ ）

（A）锐角三角形. （B）直角三角形. （C）钝角三角形. （D）不能确定. 17．设10?x1?x2?x3?x4?104，x5?105. 随机变量?1取值x1、x2、x3、x4、x5的

概率均为0.2，随机变量?2取值

x1?x22、

x2?x32、

x3?x42、

x4?x52、

x5?x12的概率也为0.2.

（ ）

若记D?1、D?2分别为?1、?2的方差，则

（A）D?1＞D?2. （B）D?1＝D?2. （C）D?1＜D?2. （D）D?1与D?2的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关.

?18．设an?1，Sn?a1?a2???an. 在S1,S2,?,S100中，正数的个数是 （ ） sinnn25 （A）25. （B）50. （C）75.

三、解答题（本大题共有5题，满分74分）

19．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形， PA⊥底面ABCD，E是PC的中点.已知AB=2， AD=22，PA=2.求：

（1）三角形PCD的面积；（6分）

B

（2）异面直线BC与AE所成的角的大小.（6分）

20．已知函数f(x)?lg(x?1).

（D）100. P E A C D （1）若0?f(1?2x)?f(x)?1，求x的取值范围；（6分）

（2）若g(x)是以2为周期的偶函数，且当0?x?1时，有g(x)?f(x)，求函数

y?g(x)(x?[1,2])的反函数.（8分）

2

21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴 正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海 里A处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线

y 122P y?49x；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救

援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t.

（1）当t?0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时 O 两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）

（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分） A

22．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1:2x2?y2?1.

（1）过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成 的三角形的面积；（4分）

（2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆x2?y2?1相切，求证： OP⊥OQ；（6分）

（3）设椭圆C2:4x?y?1. 若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON， 求证：O到直线MN的距离是定值.（6分）

23．对于数集X?{?1,x1,x2,?,xn}，其中0?x1?x2???xn，n?2，定义向量集

22x Y?{a|a?(s,t),s?X,t?X}. 若对于任意a1?Y，存在a2?Y，使得a1?a2?0，则称X

具有性质P. 例如X?{?1,1,2}具有性质P.

（1）若x＞2，且{?1,1,2,x}，求x的值；（4分）

（2）若X具有性质P，求证：1?X，且当xn＞1时，x1=1；（6分）

（3）若X具有性质P，且x1=1，x2=q（q为常数），求有穷数列x1,x2,?,xn的通 项公式.（8分）

3

2012年上海高考数学（理科）试卷解答 一、填空题（本大题共有14题，满分56分）

3?i 1．计算：= 1-2i （i为虚数单位）.

1?i 2．若集合A?{x|2x?1?0}，B?{x|x?1?2}，则A?B=(?1,3) . 2 3．函数f(x)?2cosx的值域是[?5,?3] . 22sinx?1 4．若n?(?2,1)是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为 arctan2 （结果用反三角

函数值表示）. 5．在(x?26)的二项展开式中，常数项等于 -160 . x12 6．有一列正方体，棱长组成以1为首项，

n??为公比的等比数列，体积分别记为

87V1,V2,…,Vn,…，则lim(V1?V2???Vn)? .

7．已知函数f(x)?e|x?a|（a为常数）.若f(x)在区间[1,+?)上是增函数，则a的取值范

围是 (-?, 1] . 8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2?的半圆面，则该圆锥的体积为

33? .

9．已知y?f(x)?x2是奇函数，且f(1)?1.若g(x)?f(x)?2，则g(?1)? -1 . l 10．如图，在极坐标系中，过点M(2,0)的直线l与极轴的夹角 .若将l的极坐标方程写成??f(?)的形式，则 ???6f(?)?sin(?1??) . O 6M ? x 11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有 两人选择的项目完全相同的概率是2（结果用最简分数表示）. 312．在平行四边形ABCD中，∠A=3, 边AB、AD的长分别为2、1. 若M、N分别

是边BC、CD上的点，且满足?|BM||CN|，则AM?AN的取值范围是 [2, 5] . ?|BC||CD|13．已知函数y?f(x)的图像是折线段ABC，若中A(0,0)，B(1,5)，C(1,0). 2函数y?xf(x)(0?x?1)的图像与x轴围成的图形的面积为5. 414．如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2.

若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为

D C

A B ca2?c2?1 . 常数，则四面体ABCD的体积的最大值是23二、选择题（本大题共有4题，满分20分）

215．若1?2i是关于x的实系数方程x?bx?c?0的一个复数根，则 （ B ）

（A）b?2,c?3. （B）b??2,c?3. （C）b??2,c??1.（D）b?2,c??1. 16．在?ABC中，若sinA?sinB?sinC，则?ABC的形状是 （ C ） （A）锐角三角形. （B）直角三角形. （C）钝角三角形. （D）不能确定.

222 4

17．设10?x1?x2?x3?x4?104，x5?105. 随机变量?1取值x1、x2、x3、x4、x5的

概率均为0.2，随机变量?2取值

x1?x22、

x2?x32、

x3?x42、

x4?x52、

x5?x12的概率也为0.2.

（ A ）

若记D?1、D?2分别为?1、?2的方差，则

（A）D?1＞D?2. （B）D?1＝D?2. （C）D?1＜D?2. （D）D?1与D?2的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关.

?18．设an?1，Sn?a1?a2???an. 在S1,S2,?,S100中，正数的个数是 （ D ） sinnn25 （A）25. （B）50. （C）75. （D）100.

三、解答题（本大题共有5题，满分74分）

P 19．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形， PA⊥底面ABCD，E是PC的中点.已知AB=2， AD=2PA=2.求： E 2，D （1）三角形PCD的面积；（6分）

A （2）异面直线BC与AE所成的角的大小.（6分）B [解]（1）因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，又AD⊥CD，所以CD⊥平面C PAD， 从而CD⊥PD. ……3分 因为PD=22?(22)2?23，CD=2，

所以三角形PCD的面积为12?2?23?23. z ……6分 （2）[解法一]如图所示，建立空间直角坐标系， P 则B(2, 0, 0)，C(2, 22,0)，E(1, 2, 1)，

AE?(1,2,1)，BC?(0,22,0). ……8分 E D 设AE与BC的夹角为?，则

A y

cos??AE?BC4|AE||BC|?2?22?2?B 2，?=4. x C 由此可知，异面直线BC与AE所成的角的大小是?4 ……12分 [解法二]取PB中点F，连接EF、AF，则 P EF∥BC，从而∠AEF（或其补角）是异面直线 BC与AE所成的角 ……8分

在?AEF中，由EF=2、AF=2、AE=2

F E

知?AEF是等腰直角三角形， A D 所以∠AEF=?4. B 因此异面直线BC与AE所成的角的大小是

?4 C ……12分

20．已知函数f(x)?lg(x?1).

（1）若0?f(1?2x)?f(x)?1，求x的取值范围；（6分）

（2）若g(x)是以2为周期的偶函数，且当0?x?1时，有g(x)?f(x)，求函数

y?g(x)(x?[1,2])的反函数.（8分）

[解]（1）由??2?2x?0?0，得?1?x?1.

?x?1 由0?lg(2?2x)?lg(x?1)?lg2?2x2xx?1?1得1?2?x?1?10. ……3分 因为x?1?0，所以x?1?2?2x?10x?10，?23?x?13. 由???1?x?1??2得?2. ……63?x?13?x?13分 3 （2）当x?[1,2]时，2-x?[0,1]，因此

y?g(x)?g(x?2)?g(2?x)?f(2?x)?lg(3?x). ……10分

5

由单调性可得y?[0,lg2].

因为x?3?10，所以所求反函数是y?3?10x，x?[0,lg2]. ……14分

21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴 正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海 里A处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线 y P y?12x2；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救 49援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为.

（1）当t?0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时 两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）

（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分） [解]（1）t?0.5时，P的横坐标xP=7t? 由|AP|=

949272yO x ，代入抛物线方程y?1249x2 A 中，得P的纵坐标yP=3. ……2分 ，得救援船速度的大小为949海里/时. ……4分

72 由tan∠OAP=3?12?7307，得∠OAP=arctan30，故救援船速度的方向

7 为北偏东arctan30弧度. ……6分

（2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为(7t,12t2). 由vt? 因为t2?2(7t)2?(12t2?12)2，整理得v2?144(t2?12)?337.……10分

t1t2?2，当且仅当t=1时等号成立，

2 所以v?144?2?337?25，即v?25.

因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. ……14分 22．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1:2x?y?1.

（1）过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成 的三角形的面积；（4分） （2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆x?y?1相切，求证： OP⊥OQ；（6分） （3）设椭圆C2:4x2?y2?1. 若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON， 求证：O到直线MN的距离是定值.（6分） [解]（1）双曲线C1:x2122222?y2?1，左顶点A(?22,0)，渐近线方程：y??2x.

2(x?22 过点A与渐近线y?2x平行的直线方程为y?)，即y?2x?1.

??y??2x?x?? 解方程组?，得?1?y?2x?1??y?224. ……2分

28 所以所求三角形的面积1为S?1|OA||y|?2 故

|b|2. ……4分

（2）设直线PQ的方程是y?x?b.因直线与已知圆相切，

?1，即b2?2. ……6分

由??y?x?b22x?2bx?b?1?0. ，得22?2x?y?1?x1?x2?2b. 2xx??b?1?12 设P(x1, y1)、Q(x2, y2)，则? 又y1y2?(x1?b)(x2?b)，所以

OP?OQ?x1x2?y1y2?2x1x2?b(x1?x2)?b2

6

?2(?b2?1)?b?2b?b2?b2?2?0，

故OP⊥OQ. ……10分

（3）当直线ON垂直于x轴时， |ON|=1，|OM|=

22，则O到直线MN的距离为

2233.

当直线ON不垂直于x轴时，

设直线ON的方程为y?kx（显然|k|?2??y?kx?x? 由?2，得?22??4x?y?1?y?2同理|OM|?1?k22k2?1），则直线OM的方程为y??1x. k1?k24?k214?k2k24?k22，所以|ON|?.

. ……13分

3k2?3k2?1 设O到直线MN的距离为d，因为(|OM|2?|ON|2)d2?|OM|2|ON|2， 所以d12?1|OM|21?|ON?|2?3，即d=

33.

综上，O到直线MN的距离是定值. ……16分 23．对于数集X?{?1,x1,x2,?,xn}，其中0?x1?x2???xn，n?2，定义向量集

Y?{a|a?(s,t),s?X,t?X}. 若对于任意a1?Y，存在a2?Y，使得a1?a2?0，则称X 具有性质P. 例如X?{?1,1,2}具有性质P. （1）若x＞2，且{?1,1,2,x}，求x的值；（4分）

（2）若X具有性质P，求证：1?X，且当xn＞1时，x1=1；（6分） （3）若X具有性质P，且x1=1，x2=q（q为常数），求有穷数列x1,x2,?,xn的通 项公式.（8分）

[解]（1）选取a1?(x,2)，Y中与a1垂直的元素必有形式(?1,b). ……2分 所以x=2b，从而x=4. ……4分 （2）证明：取a1?(x1,x1)?Y.设a2?(s,t)?Y满足a1?a2?0.

由(s?t)x1?0得s?t?0，所以s、t异号.

因为-1是X中唯一的负数，所以s、t中之一为-1，另一为1，

故1?X. ……7分 假设xk?1，其中1?k?n，则0?x1?1?xn.

选取a1?(x1,xn)?Y，并设a2?(s,t)?Y满足a1?a2?0，即sx1?txn?0， 则s、t异号，从而s、t之中恰有一个为-1. 若s=-1，则x1?txn?t?x1，矛盾； 若t=-1，则xn?sx1?s?xn，矛盾.

所以x1=1. ……10分

（3）[解法一]猜测xi?qi?1，i=1, 2, …, n. ……12分 记Ak?{?1,1,x2,?,xk}，k=2, 3, …, n. 先证明：若Ak?1具有性质P，则Ak也具有性质P.

任取a1?(s,t)，s、t?Ak.当s、t中出现-1时，显然有a2满足a1?a2?0； 当s??1且t??1时，s、t≥1.

因为Ak?1具有性质P，所以有a2?(s1,t1)，s1、t1?Ak?1，使得a1?a2?0，

从而s1和t1中有一个是-1，不妨设s1=-1.

假设t1?Ak?1且t1?Ak，则t1?xk?1.由(s,t)?(?1,xk?1)?0，得s?txk?1?xk?1，与

s?Ak矛盾.所以t1?Ak.从而Ak也具有性质P. ……15分

7

现用数学归纳法证明：xi?qi?1，i=1, 2, …, n. 当n=2时，结论显然成立；

假设n=k时，Ak?{?1,1,x2,?,xk}有性质P，则xi?qi?1，i=1, 2, …, k； 当n=k+1时，若Ak?1?{?1,1,x2,?,xk,xk?1}有性质P，则Ak?{?1,1,x2,?,xk} 也有性质P，所以Ak?1?{?1,1,q,?,qk?1,xk?1}.

取a1?(xk?1,q)，并设a2?(s,t)满足a1?a2?0，即xk?1s?qt?0.由此可得s与t

中有且只有一个为-1. 若t??1，则s?1，所以xk?1?qs?q，这不可能；

所以s??1，xk?1?qt?q?qk?1?qk，又xk?1?qk?1，所以xk?1?qk. 综上所述，xi?qi?1xi?qi?1，i=1, 2, …, n. ……18分 [解法二]设a1?(s1,t1)，a2?(s2,t2)，则a1?a2?0等价于

s1t1t2??s2.

记B?{s|s?X,t?X,|s|?|t|}，则数集X具有性质P当且仅当数集B关于 t原点对称. ……14分

注意到-1是X中的唯一负数，B?(??,0)?{?x2,?x3,?,?xn}共有n-1个数， 所以B?(0,??)也只有n-1个数. 由于

xnxn?1?xnxn?2???xnx2?xnx1，已有n-1个数，对以下三角数阵

xnxn?1xn?1xn?2x2x1??xnxn?2xn?1xn?3??????xnx2xn?1x1?

xnx1

……

注意到

xnx1x ，所以

xnxn?1?xn?1x1???x2x1?xn?1xn?2???x2x1，从而数列的通项公式为

2k?1)?qk?1，k=1, 2, …, n. ……18分 xk?x1(x1

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