如图，ABC中，AB=AC,BAC=90°，D是BC边上任意一点，求证BD+CD=2AD

1、 如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是BC边上任意一点，求证BD2+CD2=2AD2

2、 在三角形ABC中，AB=AC=m,P为BC上任意一点，则PA2+PB*PC的值为多少？

解：过点A作AN⊥BC于N。(不妨设P在NC上）

AP^2+PB*PC=AB^2-BN^2+(NC-PC)^2＋PB*PC=m^2-BN^2+BN^2+PC^2-2BN*PC+PB*PC=m^2+PC(PC-2BN+PB)=m^2{三角形是等腰三角形}

3、 在三角形ABC中，BC=6，AD是BC边上的中线，交BC于点D，AD=3，AB+AC=8，

则三角形ABC的面积是_____ 解：

∵AD是中线，BC=6，AD=3 ∴∠BAC=90° ∴BA2+AC2=BC2=36 ∵AB+AC=8

∴AB2+2AB*AC+AC2=64 ∴2AB*AC=64-36=28 AB*AC=14 1/2AB*AC=7

∴△ABC 的面积=7

4、 在三角形ABC中，AB=5，AC=13,高AD=12，则三角形ABC的周长是__42或32___ 5、 在矩形ABCD中,已知AB=3,AD=4,P是AD上的动点,PE垂直于AC于E,PF垂直于BD于F,则PE+PF

等于多少？ 解：假设AC、BD的交点是O，连接PO S△APO＝(1/2)AO*PE S△DPO＝(1/2)DO*PF

所以 PE+PF＝2S△APO/AO + 2S△DPO/DO 根据勾股定理，AO＝DO＝5/2

所以 PE+PF＝(4/5)*(S△APO+S△DPO)＝(4/5)*S△AOD＝(4/5)*(3×4÷4)＝12/5

6、 E为正方形ABCD的边AB上一点，AE=3 BE=1 P为AC上的动点，则PB+PE的最小值等于多少？

解：两点之间直线最短 在AD上做AF=AP=3 连接FB

这时P点是PB+PE的最小值的点，应该是 根号下（3^2+4^2）=5 7、 如图：已知DE=m,BC=n, ∠EBC与∠DCB互余，求BD2+CE2

解:沿BE和CD做一延长线交点为A.因为∠EBC+∠DCB=90°.所以,∠BAC=90° 所以BD2=AB2+AD2 CE2=AE2+AC2 所以CE2+BD2=AB2+AC2+AE2+AD2 又有∠EAD=∠BAC=90°所以AB2+AC2=BC2=n2 AE2+AD2=ED2=m2

所以有BD2+CE2=m2+n2

8、 已知：△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠

BPC的度数。 解：将△CPB绕点C逆时针旋转90度得到△CP'B,连接PP' 所以△CPB全等于△CP'A

所以CP=CP' BP=P'A ∠PCB=∠P'CA 所以∠PCB+∠ACP=∠P'CA+∠ACP 因为角ACB等于90°所以角P'CP等于90° 在等腰直角三角形P'CP中角CP'P等于45° 因为CP=CP'=2 所以PP'等于2倍根号2 因为AP'=BP=1 AP=3

所以PP'等于根号下AP的平方减AP'的平方 PP'等于2倍根号2 所以角AP'P=90°

所以角CPB=角AP'C=角AP'P+角PP'C=90°+45°=135° 9、 如图，CD是△ABC的中线，CN=MN，求证AM=CB。

10、

（1）如图1，把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上(CG>BC)，取线段AE的中点M,探究线段MD,MF的关系，并加以证明。 （2）将正方形ＣＧＥＦ绕点Ｃ旋转任意角度后（如图3），其他条件不变． 探究：线段ＭE与ＭＤ的关系，并加以说明．

解：(1)线段MD、MF的关系是MD=MF，DM⊥MF。

延长DM交CE于N，连结FD、FN。由正方形ABCD，得AD//BE，AD=DC，所以∠DAM=∠MEN。 因为AM=EM，∠AMD=∠E（……隐藏……）8。因为∠7+∠DCF=∠8+∠FEN=90°，

所以∠DCF=∠FEN，易得△DCF≌△NEF，所以FD=FN，∠DFC=∠NFE。由∠CFE=90°，得∠DFN=90°， 所以MD=MF，DM⊥MF。

11、 矩形ABCD中，AB=20，BC=10。若在AC，AB上各取一点M，N，使BM+MN

的值最小，求这最小值。 解：遇到这类问题我们一般做镜像,也就是做轴对称,作B点关于AC的对称点E,连接AE交CD于F,连接CE,过E作EN垂直AB交CD于G交AC于M,连接MB,所以BM＋MN＝NM＋EM，显然EN垂直AB时值最小．

由于CEF为直角三角形,CF=AF,CF+EF=AE=20;CE=10;所以CE=12.5,EF=7.5,直角三角形EFC斜边高EG=6,所以EN=BC+EG=16.

12、已知正方形ABCD的边长AB=k（k是正整数），正△PAE的顶点P在正方形内，

顶点E在边AB上，且AE=1. 将△PAE在正方形内按图1中所示的方式，沿着正方形的边AB、BC、CD、DA、AB、……连续地翻转n次，使顶点第一次回到原来的起始位置. ．．P．（1）如果我们把正方形ABCD的边展开在一直线上，那么这一翻转过程可以看作是△PAE在直线上作连续的翻转运动. 图2是k=1时，△PAE沿正方形的边连续翻转过程的展开示意图. 请你探索：若k=1，则△PAE沿正方形的边连续翻转的次数n= 时，顶点第一次回到原来的起始位置. ．．P．

DDCPAEB P

C图1

AB(E)CDABCDABCDABCDAB图2

（2）若k=2，则n= 时，顶点第一次回到原来的起始位置；若k=3，则 ．．P．n= 时，顶点第一次回到原来的起始位置. ．．P．

（3）请你猜测：使顶点第一次回到原来的起始位置的n值与k之间的关系（请用含．．P．k的代数式表示n）.

分析：这是一道面动滚动型问题，正△PAE在滚动的过程中，第1次以点E为圆心，第2次以点P为圆心，第3次以点A为圆心第4次又以点E为圆心……，每3次成循环，而半径始终为1。而把四边形展开顶点A、B、C、D、A……，每4个成循环。故问题1转化为求3与4的最小公倍数即12；问题2中，三角形每转2次，顶点才会重合一次，故需24次；问题3中，三角形每转3，顶点A便会与四边形的下一个顶点重合，故仅需12次；总结一、二两题的规律，可归纳得出第3题的结论。

解：（1）12次（2）24次；12次（3）当k是3的倍数时，n=4k；当k不是3的倍数时，n=12k.

12、 设x、y为正实数，且X+Y=4 。 求根号下X的平方加1加上根号下Y平方加4的最小值？ 解：解:令T=√(x^2+1)+√(y^2+4)

则T>0

T^2=x^2+1+y^2+4+2√(x^2+1)(y^2+4) =x^2+y^2+5+2√(x^2y^2+4x^2+y^2+4)

因为x+y=4 所以(x+y)^2=16 即x^2+y^2=16-2xy

因为x,y都是正实数 所以 4x^2+y^2≥4xy（当且仅当2x=y时取等号） 所以T^2≥21-2xy+2√(x^2y^2+4xy+4) =21-2xy+2√(xy+2)^2 = 25

因为T>0,所以T≥5（当且仅当2x=y时取等号） 即最小值是5。(此时x=4/3,y=8/3)

13、正△ABC的边长为3厘米边长为1厘米的正

△RPQ的顶点R与点A重合点PQ分别在ACAB上将△RPQ沿着边ABBCCA顺时针连续翻转直至点P第一次回到原来的位置则点P运动路径的长为 CM 解：在AB上翻转时，是两段半径为1，圆心角是120度的弧。 在BC上，CA上也一样。

一共6段，长为3.14*2*1*2=12.56厘米

13、

在菱形ABCD中,AD=BD=6,点E是AD上的一点,AE=2,点P是对角线BD上的一个动点,则PA+PE的最小值。

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