2020届高三数学文科一轮复习_第九章 解析几何课时作业9-8-1

9-8-1

课时作业

A组——基础对点练

1．已知边长为8 3 的正三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线C：x2＝2py(p>0)上．

(1)求抛物线C的方程．

(2)已知圆过定点D(0，2)，圆心M在抛物线C上运动，且圆M与x轴交于

A，B两点，设|DA|＝l1，|DB|＝l2，求l1

l2＋

l2

l1的最大值．

【解析】(1)由题意可得此正三角形的另外两个顶点为(±43，12)，代入抛物线方程可得(±43)2＝2p×12，解得p＝2.∴抛物线C的方程为x2＝4y.

(2)设M(a，b)，则a2＝4b.

半径R＝|MD|＝a2＋（b－2）2，

可得⊙M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋(b－2)2.

令y＝0，可得x2－2ax＋4b－4＝0，

∴x2－2ax＋a2－4＝0，解得x＝a±2.

不妨设A(a－2，0)，B(a＋2，0)．

∴l1＝（a－2）2＋4，l2＝（a＋2）2＋4，

∴l1

l2＋

l2

l1＝

l21＋l22

l1l2＝

2a2＋16

a4＋64

＝2

（a2＋8）2

a4＋64

＝21＋

16a2

a4＋64

，(*)

当a ≠0时，由(*)得，l 1l 2＋l 2l 1＝21＋16a 2＋64a 2 ≤21＋162×8

＝2 2. 当且仅当a 2＝64a 2，即a ＝±22时取等号．

当a ＝0时，l 1l 2＋l 2l 1

＝2. 综上可知，l 1l 2＋l 2l 1

的最大值为2 2. 2．设椭圆M ：y 2a 2＋x 2

b 2＝1(a >b >0)的离心率与双曲线x 2－y 2＝1的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4.

(1)求椭圆M 的方程．

(2)若直线y ＝2x ＋m 交椭圆M 于A ，B 两点，P (1，2)为椭圆M 上一点，求△P AB 面积的最大值．

【解析】 (1)由题可知，双曲线的离心率为2，则椭圆的离心率e ＝c a ＝22，

由2a ＝4，c a ＝22，b 2＝a 2－c 2，得a ＝2，c ＝2，b ＝2， 故椭圆M 的方程为y 24＋x 2

2＝1.

(2)联立方程?????y ＝2x ＋m ，x 22＋y 24＝1， 得4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0，

由Δ＝(22m )2－16(m 2－4)>0，得－22<m <2 2.

且?????x 1＋x 2＝－22m ，

x 1x 2＝m 2－44，

所以|AB |＝1＋2|x 1－x 2|

＝3·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2

＝3· 12

m 2－m 2＋4＝3· 4－m 22. 又P 到直线AB 的距离为d ＝|m |3

， 所以S △P AB ＝12|AB |·d ＝32·

4－m 22·|m |3 ＝12 ? ????4－m 22·m 2 ＝1

22 m 2（8－m ）2 ≤1

22·m 2＋（8－m 2）2＝ 2. 当且仅当m ＝±2∈(－22，22)时取等号， 所以(S △P AB )max ＝ 2.

B 组——能力提升练

1．(2019·珠海摸底)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)，

F 1 ，F 2是其左右焦点，A 1，A 2为其左右顶点，B 1，B 2为其上下顶点，若∠B 1F 2O ＝π6，|F 1A 1|＝2－ 3

(1)求椭圆C 的方程．

(2)过A 1 ，A 2分别作x 轴的垂线l 1，l 2，椭圆C 的一条切线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)，l 与l 1，l 2交于M ，N 两点，求证：∠MF 1N ＝∠MF 2N .

【解析】 (1)由题设知?????c ＝32a ，a －c ＝2－3，a 2＝b 2＋c 2.

解得a ＝2，b ＝1，c ＝ 3.

∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)证明：由题设知，l 1：x ＝－2，l 2：x ＝2 l 与C 的方程联立消y 得

(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0 ∵l 与C 相切

∴Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1)＝0 得m 2－4k 2＝1

l 与l 1，l 2联立得M (－2，－2k ＋m )，N (2, 2k ＋m ) 又F 1(－3， 0)，F 2(3， 0)

∴kMF 1·kNF 1 ＝－2k ＋m －2＋3·2k ＋m 2＋3

＝m 2－4k 2

－1＝－1 ∴MF 1⊥NF 1，即∠MF 1N ＝π2.

同理可得∠MF 2N ＝π2，

∴∠MF 1N ＝∠MF 2N .

2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 23－y 2＝1的离心率互为倒数，

且直线x －y －2＝0经过椭圆的右顶点．

(1)求椭圆C 的标准方程．

(2)设不过原点O 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，且直线OM ，MN ，ON 的斜率依次成等比数列，求△OMN 面积的取值范围．

【解析】 (1)∵双曲线的离心率为233，

∴椭圆的离心率e ＝c a ＝32.

又∵直线x －y －2＝0经过椭圆的右顶点，

∴右顶点为(2，0)，即a ＝2，c ＝3，b ＝1，

∴椭圆方程为x 24＋y 2＝1.

(2)由题意可设直线的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)，

M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．

联立?????y ＝kx ＋m ，x 24

＋y 2＝1， 消去y ，并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0，

则x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4（m 2－1）1＋4k 2

， 于是y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )

＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2.

又直线OM ，MN ，ON 的斜率依次成等比数列，

故y 1x 1·y 2x 2

＝k 2x 1x 2＋km （x 1＋x 2）＋m 2x 1x 2 ＝k 2?－8k 2m 21＋4k 2＋m 2＝0.

由m≠0得k2＝1

4，解得k＝±

1

2.

又由Δ＝64k2m2－16(1＋4k2)(m2－1)

＝16(4k2－m2＋1)>0，得0<m2<2，

显然m2≠1(否则x1x2＝0，x1，x2中至少有一个为0，直线OM，ON中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾)．

设原点O到直线的距离为d，则S

△OMN ＝

1

2|MN|d

＝1

2·

|m|

1＋k2

·1＋k2·|x1－x2|

＝1

2|m|（x1＋x2）

2－4x

1

x2

＝－（m2－1）2＋1.

故由m的取值范围可得△OMN面积的取值范围为(0，1)．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/n30j.html