高中复习强化训练精品全集之 函数y=asin( x+ )的图象及三角函数模型的简单应用

高中经典训练题,找了好长时间

2010届高三数学一轮复习强化训练精品――函数y=Asin( x+ )

的图象及三角函数模型的简单应用

1.（2008·天津理，3）设函数f（x）=sin 2x

，x∈R，则f（x）是 （填序号）. 2

①最小正周期为 的奇函数 ②最小正周期为 的偶函数 ③最小正周期为④最小正周期为答案 ②

2.（2008· 浙江理，5）在同一平面直角坐标系中,函数y=cos 个. 答案 2

3.为了得到函数y=2sin

x 3

x 2

3

2

2

的奇函数 的偶函数

2

(x∈[0,2 ])的图象和直线y=

12

的交点个数是

，x∈R的图象，只需把函数y=2sinx，x∈R的图象上所有的点向 平移 单位，6

再把所有各点的横坐标变为原来的 倍. 答案 左

6

3

4.下面有五个命题：

①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是 . ②终边在y轴上的角的集合是{ | =

k 2

,k∈Z}.

③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点. ④把函数y=3sin(2x+

2

3

)的图象向右平移

6

得到y=3sin2x的图象.

⑤函数y=sin(x-)在［0, ］上是减函数.

其中，真命题的编号是 . 答案 ①④

5.已知函数f(x)=2sin x ( ＞0)在区间

3,

上的最小值是-2，则 的最小值等于 . 4

答案

3

2

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例1 已知函数y=2sin 2x

, 3

(1)求它的振幅、周期、初相；

(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象； (3)说明y=2sin 2x

的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换而得到. 3

解 （1）y=2sin 2x 初相 =

3

2

= ， 的振幅A=2,周期T=23

.

3

（2）令X=2x+

,则y=2sin 2x

=2sinX.

3

列表，并描点画出图象：

（3）方法一 把y=sinx的图象上所有的点向左平移上的点的横坐标缩短到原来的

12

3

个单位，得到y=sin x

的图象，再把y=sin x 的图象3 3

倍（纵坐标不变），得到y=sin 2x

的图象，最后把y=sin 2x 上所有点的纵坐3 3

标伸长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到y=2sin 2x

的图象.

3 12

方法二 将y=sinx的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到y=sin2x的图象；

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6

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再将y=sin2x的图象向左平移

个单位；

得到y=sin2 x

=sin 2x 的图象；再将y=sin 2x 的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来6 3 3

的2倍，得到y=2sin 2x

的图象.

3

例2 如图为y=Asin（ x+ ）的图象的一段，求其解析式. 解 方法一 以N为第一个零点， 则A=-3，T=2

5 6

3

= ，

∴ =2，此时解析式为y=-3sin（2x+ ）. ∵点N

×2+ =0，∴ =， ,0 ，∴-636

所求解析式为y=-3sin 2x

.

3

①

方法二 由图象知A=， 以M

5 ,0 为第一个零点，P ,0 为第二个零点. 3 6

2

解之得 2

3

0 3

列方程组

5 6

.

∴所求解析式为y=3sin 2x

2

. 3

2

②

例3 （14分）已知函数f(x)=

A2

-

A2

cos(2 x+2 ) (A＞0, ＞0,0＜ ＜),且y=f(x)的最大值为2，其图象相邻

两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）. （1）求 ;

(2)计算f(1)+f(2)+ +f(2 008). 解 （1）∵y=

A2

-

A2

cos(2 x+2 ),

且y=f(x)的最大值为2，A＞0, ∴

A2

+

A2

=2,A=2.

又∵其图象相邻两对称轴间的距离为2, ＞0, ∴

1 2

. =2, =42 2

22

4分

∴f(x)= -

22

cos

x 2 =1-cos x

2 . 2 2

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2 2

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6分

∵y=f(x)过(1,2)点，∴cos

2

=-1.

2

=2k + ,k∈Z.∴ =k +

2

4

,k∈Z.

又∵0＜ ＜(2)∵ =

4

，∴ =

4

.

2

8分

,∴f(x)=1-cos

x

x. =1+sin22

∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+1+0+1=4. 分

12

又∵y=f(x)的周期为4，2 008=4×502,

∴f（1）+f（2）+ +f（2 008）=4×502=2 008.

14分

1.已知函数y=3sin

1 2

x

4

（1）用五点法作出函数的图象；

（2）说明此图象是由y=sinx的图象经过怎么样的变化得到的； （3）求此函数的振幅、周期和初相； （4）求此函数图象的对称轴方程、对称中心. 解 （1）列表：

描点、连线,如图所示：

（2）方法一 “先平移，后伸缩”. 先把y=sinx的图象上所有点向右平移

4

个单位，得到y=sin x

的图象；再把y=sin x 的图象上所有点的横坐4 4

标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到 y=sin

1 2

x

1

，就得到 的图象，最后将y=sin x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变）

4 24

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1 2

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y=3sin

x

的图象. 4

方法二 “先伸缩，后平移”

先把y=sinx的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sin

2

12

x的图象；再把y=sin

12

x图象上

所有的点向右平移得到y=sin

12

个单位，

x 2

(x-

2

)=sin

1 2

x

x

的图象，最后将y=sin 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不

4 4 2

变），就得到y=3sin

2

的图象.

4

（3）周期T=

=

2 12

=4 ，振幅A=3，初相是-

4

.

(4)令

12

x

4

=

2

+k (k∈Z),

得x=2k +令

12

32

(k∈Z),此为对称轴方程.

x-

4

=k (k∈Z)得x=

2

+2k (k∈Z).

对称中心为 2k

,0 (k∈Z). 2

2.函数y=Asin( x+ )( ＞0,| |＜ 式为 . 答案 y=-4sin

8

x

2

,x∈R)的部分图象如图所示，则函数表达

4

3.已知函数f(x)=Asin x+Bcos x (其中A、B、 是实常数，且 ＞0)的最小正周期为2,并当x=

13

时,f(x)取得最大值2.

（1）函数f(x)的表达式； （2）在闭区间

2123

, 上是否存在f(x)的对称轴?如果存在,求出其对称轴方程;如果不存在,说明理由. 44

22

解 （1）f(x)=Asin x+Bcos x=A Bsin( x )

由T=

2

=2知 = ，

又因为f（x）最大值为2，所以f（x）=2sin（ x+ ）. 由x=

13

6

时f（x）max=2，得sin .∴f（x）=2sin x

=1， 3

∴ =

. 6

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6

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（2）令 x+

13

=k +

2

（k∈Z）得对称轴方程为

214

x=k+即

5912

，由对称轴满足

6512

≤k+

13

≤

234

（k∈Z）

≤k≤且k∈Z，∴k=5.

故在 x=5+

2123

上f（x）只有一条对称轴. ,

44 13

=

163

，即对称轴方程为x=

163

.

一、填空题

1.某三角函数图象的一部分如下图所示，则该三角函数为

.

答案 y=cos 2x

6

2.（2008·全国Ⅰ理，8）为得到函数y=cos 2x 长度. 答案 左

512

的图象，只需将函数y=sin2x的图象向 平移 个单位3

4

,

3.（2008·湖南理，6）函数f(x)=sin2x+3sinxcosx在区间 答案

32

上的最大值是 . 2

4.（2008·四川理，10）设f（x）=sin（ x+ ），其中 ＞0,则f(x)是偶函数的充要条件是 . 答案 f′(0)=0 5.函数y=3sin

1 2

x

的周期、振幅依次是

3

答案 4 、3

6.若函数f(x)=2sin( x )对任意x都有f 答案 -2或2

x =f x ，则f = . 6 6 6

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7.（2008·辽宁理，16）已知f(x)=sin x 则 = . 答案

143

( ＞0),f =f ,且f(x)在区间 , 上有最小值，无最大值，3 6 3 63

8.函数y=|sinx|cosx-1的最小正周期与最大值的和为 . 答案 2 -二、解答题

9.是否存在实数a，使得函数y=sinx+acosx+在，说明理由. 解 y=1-cos2x+acosx+

2

2

12

58

a-

32

在闭区间 0,

上的最大值是1？若存在，求出对应的a值；若不存

2

58

a-

32

a a51

= cosx a

2 482

2

当0≤x≤若

a2

2

时，0≤cosx≤1，

＞1,即a＞2,则当cosx=1时

58a2

2

ymax=a+若0≤

a

a-

32

=1,∴a=

2013

＜2(舍去).

a2

≤1，即0≤a≤2,则当cosx=

58

12

时,

ymax=若

a2

4

a =1,∴a=

32

或a=-4(舍去).

＜0,即a＜0时,则当cosx=0时,

58a

12

ymax==1,∴a=

32

125

＞0(舍去).

综上所述,存在a=符合题设.

6

10.已知函数f(x)=sin（ x+(1)求函数f(x)的值域；

）+sin（ x-

6

x

）-2cos2,x∈R(其中 ＞0).

2

(2)若对任意的a∈R，函数y=f(x),x∈(a,a+ ］的图象与直线y=-1有且仅有两个不同的交点，试确定 的值（不必证明），并求函数y=f(x),x∈R的单调增区间. 解 （1）f(x)=

2

sin x

12

cos x

2

sin x

12

cos x (cos x 1)

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=2

2

sin x

1

cos x -1

2

=2sin x

-1.

6

由-1≤sin x

≤1,得-3≤2sin x -1≤1. 6 6

可知函数f(x)的值域为［-3，1］.

（2）由题设条件及三角函数图象和性质可知，y=f(x)的周期为 ,又由 ＞0,得于是有f(x)=2sin 2x

2

= ,即得 =2.

-1,

6

再由2k -解得k -

2

≤2x-

6

≤2k +

3

2

(k∈Z)，

6

≤x≤k +(k∈Z).

所以y=f(x)的单调增区间为 k

6

,k

(k∈Z). 3

+2sin x ·sin x .

4 4 3

11.（2008·安徽理，17）已知函数f(x)=cos 2x

(1)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程; (2)求函数f(x)在区间

12

,

2

上的值域.

解 （1）∵f（x）=cos 2x

+2sin x ·sin x

4 4 3

=

121212

cos2x+

323232

sin2x+（sinx-cosx）(sinx+cosx)

2

2

==

cos2x+cos2x+

sin2x+sinx-cosx sin2x-cos2x=sin 2x

. 6

∴周期T=

2 2

= .

2

k 2

由2x

6

=k +(k∈Z),得x=

3

(k∈Z).

∴函数图象的对称轴方程为x=(2)∵x∈

k 2

3

3

(k∈Z).

5

6

12

,

2

，∴2x

6

∈

,

.

∵f（x）=sin 2x

, 上单调递增，在区间 , 上单调递减， 在区间

6 123 32

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3

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∴当x=

时，f(x)取得最大值1,

又∵f

1＜f =, =-212 2 2

∴当x=

12

时，f(x)取得最小值-

32

.

,1 . 2 31 t1 t

∴函数f(x)在

12

,

2

上的值域为

12.（2008·湖北理，16）已知函数f(t)=

，g(x)=cosx·f(sinx)+sinx·f(cosx),x∈ ,

17

. 12

（1）将函数g(x)化简成Asin( x+ )+B(A＞0, ＞０, ∈［0，2 )）的形式； （2）求函数g(x)的值域. 解 (1)g(x)=cosx·

sinx1 sinx

sinx

cosx1 cosx

2

=cosx·

1 sinx 2

cos

2

sinx

(1 cosx)sin

2

xx

=cosx·

1 sinxcosx

+sinx·

1 cosxsinx

.

∵x∈ ,

17

，∴|cosx|=-cosx，|sinx|=-sinx. 12

∴g（x）=cosx·

1 sinx cosx

+sinx·

1 cosx sinx

=sinx+cosx-2=2sin x （2）由 ＜x≤∵sint在 sin

5 3

5 4

,

-2.

4

17 12

，得

5 4

＜x+

4

≤

5 3

.

3 3 5

,上为减函数，在 上为增函数， 232

＜sin

5 4

,

5

＜sin4 4

17

x , 12

∴sin

3 2

≤sin x

即-1≤sin x ∴-2-2≤

2

, ＜-24

2sin x -2＜-3,

4

故g（x）的值域为［-2-2，-3）.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/n2u4.html