大学物理习题1解答

作业1 质点运动学力

1-1 有一物体做直线运动，它的运动方程式为x = 6t2 -2t3，x单位为米，t单位为秒．则

⑴第2秒内的平均速度为4m/s；

⑵第3秒末的速度为-18m/s；

⑶第1秒末的加速度为0m/s2；

⑷这物体所做运动的类型为加速度减小的加速直线运动．

原题1-1

1-2 一质点在xOy平面内运动，其运动方程为以下五种可能：

⑴x=t，y = 19 -2/t；⑵x = 2t，y = 19 - 3t；⑶x = 3t，y = 17- 4t2；

⑷x = 4sin5t，y = 4cos5t；⑸x = 5cos6t，y = 6sin6t，

那么表示质点作直线运动的方程是⑵，作圆周运动的方程是⑷，作椭圆运动的方程是⑸，作抛物线运动的方程是⑶，作双曲线运动的方程是⑴．原题1-2

1-3 质点在xOy平面内运动，其运动方程为：x = 10-2t2，y = 2t，⑴计算什么时刻，其速度与位矢正好垂直？⑵什么时刻，加速度与速度间夹角为

45？

原题1-4

1

2 1-4 两辆车A 、B 在同一公路上作直线运动，方程分别为 x A = 4t + t 2，x B = 2t 2 + 2t 3,若同时发车，则刚离开出发点（t = 0）时，哪辆车行驶的速度快？出发后什么时刻两车行驶距离相等，什么时候B 车相对A 车速度为零？

原题 1-5

1-5 在与速率成正比的阻力影响下，一个质点具有加速度a = - 0.2υ，求需多长时间才能使质点的速率减小到原来速率的一半．

原题 1-7

1-6 半径为R 作圆周运动的质点，速率与时间的关系为 2ct =υ（式中的c 为常数，t 以秒计），求：⑴ t = 0到t 时刻质点走过的路程．⑵ t 时刻质点加速度的大小．

原题 1-8

3 1-7 离水面高为h 的岸边，有人用绳拉船靠岸，船在离岸s 米处，如图所示，当人以0υ米/秒恒定的速率收绳时，试求船的速度和加速度的大小．

原题 1-11

1-8 一路灯距地面高度为 h ，身高为 l 的人以速度 0υ 在路灯下匀速慢跑，如图所示，求人的影子中头顶的移动速度 υ，并求影长增长的速率 u ． P8 1.3 解：建立坐标系，人坐标为1x ，人影头顶坐标为2x ．

则 t x d d 2=υt x d d 2=υ，t x d d 10=υt x d d 10=υ ∵ 12x x - 为人影长度，

∴ )(d d 12x x t u -=t

x t x d d d d 12-=0υυ-= 由图知 122x x l x h -=， 12x l h h x -= ∴ t

x d d 2=

υt x l h h d d 1-=0υl h h -=, 0υυ-=u 0υl h l -= 1-9 质点沿半径为0.100 m 的圆周运动，其角位移 θ 随时间 t 的变化规律是

θ= 2 + 4t 3（SI ），在 t = 2 s 时，它的法向加速度 =n a 2s m -?，

切向加速度=t a 2s m -?．

参考解：22.1d d t t R ==θυ, 424.14t R a n ==υ, t t

a t 4.2d d ==υ . 当 s t 2=时, 21030.2?=n a 2s m -?, 80.4=t a 2s m -?

题1-7图 题1-8图

4 1-10 质点 M 在水平面内运动轨迹如图所示，OA 段为直线，AB 、BC 段分别为不同半径的两个 1/4 圆周．设t = 0 时，M 在O 点，已知运动方程为 s = 10 t + 2t 3 （SI ），求 t = 2 s 时刻，质点M 的切向加速度和法向加速度．

解： ∵ s = 10 t + 2t 3 ∴各瞬时质点的速率：=υd s /d t = 10 + 6t 2 切向加速度：22t d d d d t

s t a ==υ = 12 t 法向加速度：ρυ2

n =a ∴ t = 2 s 时， s = … = 36 m (在大圆上)， =υ34 m /s ，

a t = 24 m /s 2， a n = 57.8 m /s 2

1-11 质量m 为10 kg 的木箱放在地面上，在水平拉力F 的作用下由静止开始沿直线运动，其拉力随时间是变化关系如图所示．已知木箱与地面间的摩擦系数 μ 为0.2，求t 为4s 和7s 时，木箱的速度大小．（g = 10 m /s 2）． 原题 2-4

1-12 某质点质量 m = 2.00 kg ， 沿x 轴做直线运动，受外力2610x F +=(SI 制)．若

在0x = 0处，速度 00=υ，求该物体移到 x = 4.0 m 处时速度的大小．

解： 因为运动方程为 2610x ma F +==， 又 x

t x x t a d d d d d d d d υυυυ===，则 有 2610d d x x m +=υυ 即 x x m x

v d )610(1d 020??+=υυ

得 130.4=υ1s m -?

题1-11图

题1-10图

5 1-13 光滑的水平桌面上放置一固定的圆环带，半径为R ，一物体贴着环带的内侧运动，如图所示，物体与环带间的滑动摩擦系数为 k μ，设物体在某一时刻经A 点时的速率为0υ，求此后t 时间物体的速率以及从A 点开始所经过的路程． 原题 2-6

1-14．质量为m 的物体在竖直平面内沿着半径为R 的圆形轨道作圆周运动．设t 时刻物体瞬时速度的大小为υ，速度的方向与竖直方向成θ角（如图所示）．求： ⑴ t 时刻物体的切向加速度t a 和法向加速度n a ． ⑵ t 时物体对轨道的压力的大小N ． 解：建立切向、法向坐标，列方程 切向：θsin t mg ma = ，

法向：N mg ma '+=θcos n ，R a 2n υ=，

⑴ θs i n

t g a = R a 2n υ= ⑵ θυcos 2mg R m N -=

1-15 质量为m 的静止物体自较高的空中落下，它除受重力外，还受到一个与速度成正比的阻力的作用，比例系数为k > 0，该下落物体的收尾速度（即最后物体作匀速运动时的速度）．

解: υυk mg t m -=d d ? ??=-t v t m k g 00d d υυ ? ?

?-=-t t m k k mg 00d d υυυ ?t m k k mg -=??? ??-υ

υ0ln ?t m k k mg k mg -=??? ??--??? ??-ln ln υ ?t m k k mg k mg -=--υln ?

t m k e k mg k mg -=--υ ? )1(t m k e k mg --=υ “最后”,相当于∞→t , 则有 k mg m =υ 题1-13图 题1-14图

6 *1-16如图所示，一弯曲杆OA 可绕Oy 的轴转动，OA 上有一个小环，可无摩擦地沿

OA 运动．当OA 绕Oy 轴以角速度 ω 转动时，欲使小环与杆OA 保持相对静止，

试求杆OA 的形状 （即给出函数关系?)(==x f y ）． 原题 2-8

*1-17 以初速率 0υ 从地面竖直向上抛出一质量为 m 的小球，小球除受重力外，

还受一个大小为 2 υαm 的粘滞阻力（α为常数，υ为小球运动的速率），求当小球回到地面时的速率．P25 2-1

解：取地面为原点，y 轴正向竖直向上．

小球上抛时，由牛顿第二定律有 t

m m mg d d 2 υυα=-- 变量替换 y y t y t d d d d d d d d υυυυ==，有 y m m mg d d 2 υυυα=--，即 y m mg m d d 2

=+-υαυυ 积分 y m mg m h ?

?=+-02 0

d d 0υαυυυ 得最大高度 mg

m mg h 20 ln 21υαα+= ① 小球下落时，由牛顿第二定律有 t

m m mg d d 2 υυα=+- 变量替换后有 y m m mg d d 2 υυυα=+-， 即 y m mg m d d 2

=--υαυυ 积分 y m mg m h ?

?=---02 0d d 1

υαυυυ 得 21 ln 21υααm mg mg h -= ② 由①、②式有21 20 ln 21ln 21υααυααm mg mg mg m mg -=+，解得：

题1-16图

7

作业3 刚 体

3-1 一飞轮的转动惯量为J ，在 t = 0时角速度为0ω，此后飞轮经历制动过程，阻力矩M 的大小与角速度ω的平方成正比，比例系数k > 0，当30ωω=时，飞轮的 角加速度=β ，从开始制动到0ωω=时，所经过的时间 t = .

解：由转动定律：βωJ K M =-=2 将0ωω=代入 得 J k 920

ωβ-= 由 t J J K d d 2ωβω==- t J

k t o d d 03

20??=-ωωωω 解得 k J t 02ω= 3-2 一滑轮半径为10cm, 转动惯量为 22m kg 100.1??-,有一变力 230.050.0t t F += (N)沿切线方向作用在滑轮的边沿上，

m ?．如果滑轮最初处于静止状态，则在0.3s 后的角速度为 49.5 rad /s ． 解：()230.050.010.0t t rF M +?==(

)203.005.0t t += m N ? t J M d d ω=???=ωd d J t M ?()()t t t o

o d 03.005.0d 100.10.322??+=?-ωω

?5.49=ωrad/s

3-3 如图，滑块A ，重物B 和滑轮C 的质量分别为m A = 50 kg ，m B = 200 kg 和m C = 15 kg ，滑轮半径为R = 0.10 m ，220R m J C =，A 与桌面之间，滑轮与轴承间均无摩擦，绳质量可不计，绳与滑轮间无相对滑动．求滑块A 的加速度及滑轮两边绳中的张力．

解：P110 6.3 a M T A A = （1） a m T g m B B B =-（2）

2)(2ββR m J R T T C A B ==-（3）

βR a = （4）

所以 2

c B A B m m m g m a ++= = 7.61 m /s 2 a M T A A == 381 N )(a g m T B B

-== 440 N

题3-3图

8

3-4 如图所示，一半径为R 质量为m 的均匀圆盘，可绕水平固定光滑轴转动，转动惯量为 J = mR 2/2，现以一轻绳绕在轮边缘，绳的下端挂一质量为m 的物体，求圆盘从静止开始转动后，它转过的角度和时间的关系．

原题 5-2

3-5 以力F 将一块粗糙平面紧压在轮上，平面与轮之间的滑动摩擦系数为μ，轮的初角速度为 0ω，问转过多少角度时轮即停止转动？已知轮的半径为R ，质量为m ，可视为匀质圆盘，转动惯量为 J = mR 2/2；轴的质量忽略不计；压力F 均匀分布在轮面上． P115 6.13

解：以轮心为中心，r 为半径，取宽为d r 的细环，

细环上压力为 r r R F F d π2) π(d 2??=， 细环上摩擦力为 r r R F F f d )(2d d 2μμ==

d f 对轴的力矩为 r r R F f r M d )(2d d 22μμ== 总摩擦力矩为 r r R F M M d )

(2d R

22?

?==μ2FR μ=

由动能定理 2020

ωθJ M -=??- ∴ F

mR μωθ832

=?

3-6 已知滑轮对中心轴的转动惯量为J ，半径为R ，物体的质量为m ，弹簧的劲度系数为k ，斜面的倾角为θ

且释放时绳子无伸长（如图所示），求物体下滑x 原题 5－5 解：∵ 仅保守力作功，∴ 机械能守恒

θυωsin 2

12121222mgx m J kx =++

而 R ωυ= ∴ R J

mR kx mgx ?+-=

22

sin 2θυ 题3-6图

题3-4图

题3-5图

轴

9 3-7 氧分子对垂直于两氧原子连线的对称轴的转动惯量为1.944610-?2m kg ?，氧分子质量为5.302610-?kg ．若氧气中有一个氧分子具有500 m /s 的平动速率，且这个分子的转动动能是其平动动能的2/3．这个分子转动角速度大小为 6.75×1012 (rad/s)． 解：2kr ωJ E =，22kt υm E =，32kt kr E E =，υω)3(2J m == 6.75×1012(rad/s) P116 6.14

3-8 一人手执两个哑铃，两臂平伸坐在以0ω角速度旋转的转轴处，摩擦可不计，现突然将两臂收回，转动惯量为原来的1/3，则收臂后的转动动能是收臂前的 3 倍． 解：000ωωJ J = 收臂后角速度 03ωω= ，收臂前动能 220

0ωJ E k = 收臂后动能 ()()232332002

00ωωJ J E k ==' ∴3='k k E E

3-9 质量为m ，半径为R 的匀质薄圆盘，可绕光滑的水平轴 O '在竖直平面内自由转动，如图所示，圆盘相对于轴的转动惯量为 32mR ，开始时，圆盘静止在竖直位置上，当它转动到水平位置时，求：(1) 圆盘的角加速度；(2) 圆盘的角速度；

(3) 圆盘中心O 点的加速度．

原题 5－9

3-10 质量分别为m 和2m ，半径分别为r 和2r 的两个均匀圆盘，同轴地粘在一起，可以绕通过盘心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动，对转轴的转动惯量为9mr 2/2，大小圆盘边缘都绕有绳子，绳子下端都挂一质量为m 的重物，如图所示．求盘的角加速度的大小．

原题 5－10

题3-9图

题3-10图

10 3-11 质量为m ，长为L 的匀质木棒可绕Ｏ轴自由转动，转动惯量为 J = mL 2/3，开始木棒铅直悬挂，现在有一只质量为m 的小猴以水平速度v 0抓住棒的一端（如图），求：⑴ 小猴与棒开始摆动的角速度；⑵ 小猴与棒摆到最大高度时，棒与铅直方向的夹角．

原题 5-7

3-12 如图所示，一质量m 、长 l 的匀质细杆，以O 点为轴，从静止在与竖直方向成0θ角处自由下摆，到竖直位置时与光滑桌面上一质量也为m 的静止物块（可视为质点）发生弹性碰撞，已知杆对O 轴的转动惯量为2l m ．求：⑴棒开始转动时的角加速度;

⑵ 棒转到竖直位置碰撞前的角速度1ω及棒中央点C

⑶ 碰撞后杆的角速度2ω和物块的线速度2υ．

解：⑴ 由转动定律 βJ M = 0s i n 2θl mg M = 联立求得 l g 2sin 30θβ=（2rad ） ⑵ 棒从0θ角转到竖直位置过程，机械能守恒有：

()21021c o s 12ωθJ l mg =-， ()21206

1c o s 12ωθl m l mg =- 得： ()l g 01c o s 13θω-= ①， ()011c o s 132

12θωυ-==gl l C ⑶ 棒与物块在弹性碰撞过程中对转轴的角动量守恒，有：

222123

131υωωml ml ml += ② 由机械能守恒，得： 222222122

131213121υωωm ml ml +?=? ③ 联立 ① ② ③ 式得：

()02cos 1321θυ-=

gl ()02c o s 1321θω--=l g （逆时针反转） 题3-12图 题3-11图

11 3-13 单摆和直杆等长l ，等质量m ，悬挂于同一点O ，摆锤拉到高度h 0（h 0 ≤ l ）放开，与静止的直杆作弹性碰撞，已知直杆绕O 点的转动惯量32ml J =，求碰撞后直杆下端可上升的最大高度h ．

解: 碰撞前摆锤速率 0

02gh =υ 设碰撞后摆锤速率υ，直杆角速率ω，已知 32ml J =，则

碰撞前后角动量守恒 ωυυJ ml ml +=0

碰撞前后机械能守恒 2220111ωυυJ m m += 直杆上升过程机械能守恒 222h mg J =ω

解得 l

230υω= 230h h =

*3-14 一长为 l 的匀质细杆，可绕通过中心O 的固定水平轴在铅垂平面内自由转动（转动惯量为 122l m ），开始时杆静止于水平位置．一质量与杆相同的昆虫以速率0υ垂直落到距O 点 4l 处的杆上，昆虫落下后立即向杆的端点爬行，如图所示．若要使杆以匀角速度转动，试求昆虫沿杆爬行的速率．P107 6.5

解：设杆和虫的重量均为m ，碰后角速度为ω，虫

落到杆上为完全非弹性碰撞（时间很短，重力可

忽略），对杆和虫的系统，合外力矩为零，角动

量守恒 ωυ])4(12[4220l m l m l m +=

得 l

0712υω= 设碰后t 时刻，杆转过θ角，虫爬到距O 点为r 处，

此时杆和虫系统所受合外力矩为

θcos mgr M = 根据角动量定理有 t

J M d )(d ω=

由题设ω不变，∴ t J M d d ω= t 时刻系统对O 的转动惯量为 2212mr l m J +=，代入上式，有

t r r m mgr d d 2cos ωθ= ∴ 为了保持ω不变，虫的爬行速录应为l 0712υω=

ω

θυ2cos d d g t r ==t g ωωcos 2=)(0712cos 2470t l l υυ=

题3-14图 40υ4θ0

υmg m

12

作业5 热力学基础

5-1 一定量理想气体从a (2p 1，V 1) 状态经历如图直线过

程到 b (p 1，2V 1) 状态，则在ab 过程中系统对外作功

A = 3P 1V 1/2 ，内能改变 E ?= 0 ． 解： 面积111111232)2(21V p V V p p A =-?+=）（， 又因为b b a a V p V p =，所以

B A T T =，0=?E

5-2 图示系统中, 由a 状态沿acb 到b 状态, 有335 J 热量传入系统, 而系统作功126J. ⑴ 若沿adb 时，系统作功42 J ，问有多少热量传入系统？

⑵ 当系统由b 状态沿线ba 返回a 状态时，外界对系统作功84 J ，试问系统是吸热还是放热？热量传递多少？ ⑶ 若E d - E a = 40 J ，求沿ad 和db 各吸收热量多少？

原题 9—1

5-3 某理想气体在标准状态下的密度为0.0894 kg/m 3，求该气体的摩尔定压热容C p ,m 及摩尔定体热容C V ,m ．

原题 9—2

题5-2图 题5-1图

2P P 1 1

13 5-4 图示为1摩尔的理想气体的T-V 图，ab 为直线，其延长线过O 点，则ab 过程

是 等压 过程，在此过程中气体对外作功为 RT 0/2 ．

原题 9—4

5-5 20g 的氦气（He ）从初温度为17o C 分别通过（1）等体过程；（2）等压过程，

升温至27o C ，求气体内能增量，吸收的热量，气体对外做的功．

原题 9—5

5-6 理想气体由状态 ( p 0，V 0) 经绝热膨胀至状态( p ，V )，证明在此过程中气体所作的功为 )1()(00--=γpV V p A ．

原题 9—7

T 0 0 题5-4图

14 5-7 容器内贮有刚性多原子分子理想气体，经准静态绝热膨胀过程后，压强减小为初压强的一半，求始末状态气体内能之比 E 1 : E 2 ．

原题 9—8

5-8 1 mol 理想气体，23R C V =，进行图示的循环，ab 和cd 为等压过程，bc 和da

为等体过程，已知：510026.2?=a p Pa ，0.1=a V L ，510013.1?=c p Pa ，0.2=a V L ．试

求循环的效率．

解： 循环中气体做功 )()(a b c a b a V V p V V p A ---=))((a b c a V V p p --= = …… = 1.013 × 102 (J) R V p T a a a ==…= 24.4 (K)；R

V p T b b b ==…= 48.8 (K)； R

V p T d d d ==…= 12.2 (K). 在 da 等体过程和ab 等压过程中，气体吸热

ab da Q Q Q +=1)()(a b p d a V T T C T T C -+-==…= 659 (J) ∴ 循环的效率 1

Q A =

μ=…=15.4% 5-9 一卡诺热机工作于温度为1000 K 与300 K 的两个热源之间，如果

⑴ 将高温热源的温度提高100 K ，则理论上热机的效率将增加 3 %； ⑵ 将低温热源的温度降低100 K ，则理论上热机的效率各增加 10 %． 解：热机工作在1000 K 与300 K 之间时的效率 121T T -=η=…= 70%

⑴ 高温热源提高100 K 时的效率 1211T '-=η=…= 73%，提高ηη-1= 3%； ⑵ 低温热源降低100 K 时的效率 1221T T '-=η=…= 80%，提高ηη-2= 10%； 题5-8图

p p a b

15 5-10 汽缸内贮有36g 水蒸气（视为刚性分子理想气体），经abcda 循环过程如图所示，其中a →b 、c →d 为等体过程，b →c 为等温过程，d →a 为等压过程，试求： ⑴ A da = ？ ⑵ ?E ab = ？ ⑶ 循环过程水蒸气作的净功A = ？⑷ 循环效率 η=？

( 1atm=1.013×105 Pa)．

原题 9—11

5-11 图示为一定量理想气体所经历循环过程的T-V 图，其中CA 为绝热过程，状态

A (T 1,V 1)和状态

B (T 1,V 2)为已知．求：

⑴ 状态C 的p 、V 、T 量值（设气体的γ和摩尔数已知）；

⑵ 在AB 、BC 两过程中工作物质与热源所交换的热量，是吸热还是放热？ ⑶ 循环的效率． 原题 9—9

题5-10图

题5-11图

16 5-12 一台电冰箱，为了制冰从260 K 的冷冻室取走热量209 kJ ．如果室温是300 K ，电力做功至少应是多少（假定冰箱为理想卡诺循环致冷机）？如果此冰箱能以0.209 kJ /s 的速率取出热量，试问所需电功率应是多少？

解：

此卡诺循环的致冷系数为 A Q w 2=212T T T -=260

300260-==…= 6.5 从冷冻室取走热量209 kJ 时，所需电功至少为w

Q A 2=

=…= 3.22×104 J = 32.2 kJ 如果此冰箱以0.209 kJ /s 的速率取出热量，所需电功率至少为 5.610209.03?=P = 32.2 w

*5-13 有一套动力装置，用蒸汽机带动致冷机．若蒸汽机锅炉的温度为227℃，用暖气系统作为蒸汽机的制冷器，制冷器温度为57℃；致冷机在温度为7℃的天然蓄水池中吸热，并放给暖气系统．试求每燃烧1 kg 燃料（燃烧值为2.00×107 J /kg ）所能共给暖气系统热量的理想值．

解：

蒸汽机的效率为 1211T T Q A -==η273

227273571++-== 34% 从1 kg 燃料中吸收的热量为 1Q = 2.00×107 J

对外做功为 1Q A η==…= 6.80×106 J

因此放入暖气系统的热量为 A Q Q -=12 = 1.32×107 J

致冷机的致冷系数为 A Q w 2'=212T T T '-''=)

2737()27357(2737+-++== 5.6 它从天然蓄水池中吸热 wA Q ='2= 3.81×107 J

每燃烧1 kg 燃料所能共给暖气系统的总热量为

12Q Q Q '+=总A Q A Q +'+-=2121Q Q '+==…= 5.81×107 J

17

作业7 振 动

7-1 固体中相邻原子之间的作用力类似于用弹簧联接的弹力．在常温下，固体中原子振动的频率约为 1310Hz ，某固体中的一个银原子以此频率振动，假设其余原子都不动．已知一摩尔银（有6.022310?个原子）的质量为 108 g ．则原子间的等 效劲度系数为 707 N /m ．

P131. 7.4 解：银原子质量 m = 108×10-3/6.02×1023 , m v k 2)π2(== 707 N /m ． 7-2 喇叭膜片作简谐振动，频率为 440 Hz ，其最大位移为 0.75 mm ，则角频率为 880π ；最大速率为 2.07 m /s ；最大加速度为 5.73×103 m /s 2． P132. 7.6 解：)cos(?ω+=t A x ，νωπ2=；)sin(?ωωυ+-=t A ，A ωυ=max ；

)cos(2?ωω+-=t A a ，A a 2max ω=

7-3 一汽车可视为是被支撑在四根相同的弹簧上，可沿铅垂方向振动，频率为3.00 Hz ，车的质量为 1450 kg ，设车重均匀的分配在四根弹簧上，则每根弹簧的劲度系数k = 1.288×105 N /m ；若有平均质量为 73.00 kg 的 5 个人坐在车上，仍定车和人的总重量均分于四根弹簧上，则此时车与人所构成系统的振动频率为v = 2.68 Hz ．

P137 7.14 解：四根弹簧并联 k k 4='，m k '=ω，?m v k 22π== 1.288×105 N /m M = 1450 + 73 × 5，? M k v 4)π21(= = 2.68 Hz

7-4 图(a)、(b)为两个简谐振动的 x ~t 曲线，用余弦函数表示振动时，它们的初相位分别是 a ?= - π/3 ，b ?= π/2 ；角频率分别为a ω = 5π/6 rad /s ，b ω= π rad/s ；图(a)曲线上P 点的相位 P ?= π/3 ，速度的方向为 负 ，加速度的方向与速度的方向 相同 ，达到P 点的时刻 t = 0.8 s ．

原题

题7-4图

18 7-5 一个小球和轻弹簧组成的系统，按 )ππ8cos(05.0 +=t x (SI) 的规律振动． ⑴ 求振动的角频率，周期，振幅，初相位，最大速度及最大加速度；

⑵ 求t = 1秒，2秒和10秒等时刻的相位．

原题 19-1

7-6 一长方形木块浮于静水中，其浸入深度为 h ，用手慢慢下压木块，使其浸入深度变为 b ，然后放手任其运动．⑴ 试证明：若不计阻力，木块的运动为谐振动，并写出木块运动的动力学（微分）方程；⑵ 求振动的角频率，周期，振幅，初相位，并写出木块的运动学（余弦函数）方程．P138 7.15

解：⑴ 取如图所示的坐标系， 木块在任一位置x 处所受浮力为 g S x h f )(ρ+=

由平衡条件有 g hS mg ρ= 木块所受合力为 x g S f mg F ρ-=-=

木块运动微分方程为 x g S t x m 22d d ρ-=gx h

m -= 即 0d d 22=+x h g t x

∴木块的运动为谐振动．

⑵ 振动的角频率 h g =ω， 周期 g h T π2=

设木块的运动学方程为 )c o s (?ω

+=t A x 由初始条件 t = 0时 h b A x -==?

c o s 0，0sin 0=-=?ωυA ，求得 振幅 h b A -=， 初相位 0=?

∴木块的运动学方程为 )c o s ()(t h g h b x -=

19 7-7 有一个与轻弹簧相连的小球，沿x 轴作振幅为A 的简谐振动，该振动的表达式用余弦函数表示，若t = 0时，球的运动状态为：① A x -=0；② 过平衡位置向x 轴正向运动；③ 过x = A /2，且向x 轴负方向运动．试用矢量图法确定相应的初相位．

原题 19-2

7-8 一质点在一直线上作简谐振动，当它距离平衡位置为 +3.0 cm ，其速度为π39- cm /s ，加速度为2π27-cm /s 2．从此时刻开始计时，写出余弦函数形式的振动方程，经过多长时间反向通过该点？

原题 19-3

20 7-9 当重力加速度g 改变dg 时，试问单摆的周期T 的变化d T 如何？写出周期的变化T

T d 与重力加速度的变化g g d 之间的关系式．在某处（g = 9.80 m /s 2）走时准确的一个单摆挂钟被移至另一地点后每天慢10 s ，试用上关系式计算该地的重力加速度的值．

原题 19-6

7-10 一质点作谐振动，其振动方程为：]4π)3πcos[(100.62-?=-t x (SI)

⑴ 当x 值为多大时，系统的势能为总能量的一半；

⑵ 质点从平衡位置移动到此位置所需最短时间为多少？

原题 19-7

7-11 有两个同方向、同频率的谐振动，其合成振动的振幅为0.20米，其相位与第一振动的相位差为π，已知第一振动的振幅为0.17米，求第二振动的振幅以及第一和第二振动之间的相位差．

原题 19-8

7-12 已知x1 = 6.0cos()π

.0

100+

t mm，求合成

25

π

75

.0

π

100+

t mm，x2 = 8.0cos()π振动的振幅及相位，并写出余弦函数形式的振动方程．

原题19-9

7-13 有一根轻弹簧，下面挂一质量为10g的物体时，伸长为4.9cm，用此弹簧和质量为80g的小球构成一弹簧振子，将小球由平衡位置向下拉开1.0cm后，给予向上的速度5.0cm/s，试求振动的周期及余弦函数形式的振动方程．

原题19-10

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