数学悖论及其对数学发展的影响

数学悖论及其对数学发展的影响

魏瑜

（西北师范大学 数学与信息科学学院,甘肃 兰州 730070）

摘要：本文论述了三次数学危机的解决，以及危机解决后给数学带来的新的内容、新的进展，甚至革命性的变更。

关键词: 数学危机; 数学;变更

Mathematical Paradox and Its Influence upon the Development of Mathematics

Wei Yu

(Institute of Mathematics and Information Science，Northwest Normal University， Lanzhou

730070, China)

Abstrct:This paper offers a comprehensive analysis of the solution of mathematical crisises and researches the new content , further development and even revolutionany change in the field of mathematics after the solution.

Key words: mathematical paradox ; mathematics; modify

1毕答哥拉斯悖论与第一次数学危机 1.1毕答哥拉斯悖论

毕答哥拉斯悖论，又称希帕索斯悖论。大约公元前580年到公元前500年左右，出生在撒摩斯岛的著名哲学家、数学家、天文学家、音乐家、教育家毕答哥拉斯（与我国孔子，印度释迦牟尼基本同时）。这位伟大的天才创办了以其名字命名的学派——毕答哥拉斯学派，这个学派当时对数学做了大量的研究并且有突出的贡献。

毕答哥拉斯及其学派把“万物皆数”作为基本信念。也就是说，在他们眼里，一切事物和现象可以归结为整数与整数的比，这就是所谓的“数的和谐”。而他们相信宇宙的本质就是这种“数的和谐”，在这种情况下，他们对几何量做了大量的研究。换句话说，他们认为,有理数可以充满整个数轴。

他们通过实验的方式证实了，任何两条线段都是可通约的。这一命题显然是正确的。于是，我们可以明白，当毕答哥拉斯学派提出“任何两个量都是可通约的”时，古希腊人是如何坦然地接受这一似乎是无可怀疑的结论。怀疑可作为共同公度量的第三条线段的存在，似乎是十分荒谬的，不是吗？

答案竟是：就不是！

毕答哥拉斯的一个学生希帕索斯，他发现的2就是人类历史上诞生的第一个无理数，不可通约量或无理数的发现，是毕答哥拉斯学派的最重大的贡献。 1.2第一次数学危机的解决 1.2.1欧多克索斯的解决方案

毕答哥拉斯悖论，曾使希腊数学的发展陷入迷途、陷入困境。然而，帮助希

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腊人摆脱困境的关键一步是由才华横溢的欧多克索斯迈出的。我们已经清楚地了解到，古希腊人面对的难题是任何解决不可通约量或以我们现在的方式说是无理数。对他们来说，问题的来源是几何，只要研究线段等几何量，就不得不面对不可通约量。这是无法绕过去的，但是涉及到“数”时，则可以采取“避而不谈”的策略。于是，古希腊人设想的思路是：在数的领域，仍然只承认整数（或整数的比）。只要在几何研究中，能解决几何量中出现的不可通约量问题就可以宣告万事大吉了。简而言之，把数和量分开，研究的关键转向线段、面积、体积等几何量，令人称奇的是，古希腊人依照这种思路走下去，竟然成功了。

欧多克索斯本人的著作已经全部失传。不过，他的比例论成果被保存在欧几里得的《几何原本》一书的第五卷中。在其中，欧几里得先是给出了关于量的几个定义。其中比较重要的有：

“定义3：两个同类量之间的一种数量关系叫比。 定义4：如果一个量增大几倍后可以大于另一个量，则说这两个量有一个比。 这两个定义的特别之处在于，它实际上允许了不可通约量的存在。如正方形的边长增加2倍后就可以超过起对角线了，所以现在就可以对两者定义一个比了。

上述的两个定义是迈出的第一步，为了能够展开研究，还需要进一步定义两个比之间的关系，定义5就是给出了两个比相等的定义，这是欧多克索斯解决方案中的一个中心概念。

这一定义的文字描述是：所谓四个量成等比，即第一个量与第二个量之比等于第三个量与第四个量之比。”

正是这个定义，被誉为是数学史上的一个里程碑，这个定义的贡献在于：如果在只知道有理数而不知道无理数的情况下，它指出了可用全部大于某数和小于某数的有理数来定义该数，从而使可公度量和不可公度量都能参加运算。

这样，古希腊人们就走向了一条独特的道路：把数和量分开，回避无理数，研究无理量。

1.2.2古代中国无理数的解决方案

也许是因为民族特性的差异，或许是因为数学文化的不同，或者是数学历史的原因。造成中国与古希腊截然不同的对待无理数的方式。

在《九章算术》少广章中提到：“若开之不尽者，为不可开，当以面命之。”对这句话，因为其过于简单，故不同的研究者有不同的理解。一种观点认为：面就是边，以面命之，就是对开方不尽的数，取一分数，以面作为分母，以其根命名一个分数，于是，以面命之，即指可取x?a2?r?a?ra。另一种观点认为，

在不可开的情形下，以面命之，就是把开不尽的数命为“面”。这样就定义了一个无理数。

其实，无论是何种理解，均可看出我国古代在处理无理数问题时所采取的方式以及对待无理数的态度。那就是，有这种数吗？好吧，我们承认就是了。他们不纠缠这是不是数的问题，而是坦然接受，甚至于根本不考虑它与有理数之间是否存在本质区别，而如何求出更精确的近似则是中国古代数学所专注的目标。

为了求出更准确的近似值，刘徽还创造了开方求其微数的方法，所谓求微法，其实就是求无理数的十进制分数近似值，如他所说：“其数可举，不以面命之，加定法如前，求其微数，向数无名者以为分子，在全退以十为母，其再退以百为母，退之弥下，其分弥细，则朱幂虽有所弃之数，不足言之也。”

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由此，我国在对无理数的态度上是采用了现实的，实用主义立场，由于他们是客观存在的，无可避免的，这样引入他们就是自然的。又由于他们是有用有效的，这就证明了对他们的使用是不无道理的。于是，人们的注意力很快转移到任何更好地用他，即求得他的近似值与运算等方面，并取得了不凡的结果。 1.3第一次数学危机的深远影响

第一次数学危机表明，当时希腊的数学已经发展到这样的阶段： 1)数学已经由经验科学变为演绎科学; 2)把证明引入了数学;

3)演绎的思想首先出现在几何学中，而并非在代数中，使得几何具有更加重 要的地位，这种状态一直保持到笛卡尔的解析几何的诞生。

然而中国、埃及、巴比伦、印度等国家一直停留在算数阶段，希腊则走上了完全不同的道路，形成了欧几里德的《几何原本》与亚里士多德的逻辑体系而成为现代科学的始祖。

第一次数学危机对数学思想的影响以及《几何原本》。

经过第一次数学危机的洗礼，希腊人不得不承认：直觉、经验以及实验都不是绝对可靠的，推理论证才是可靠的。证明思想在希腊人心中扎下了根，进一步，古希腊人发展了逻辑思想并加深了数学的抽象性，理解化等本质特征的认识。

有一位数学家曾经评论说：“虽然柏拉图本人在数学研究方面没有特别的杰出的学术成就，然而，他却是那个时代的数学活动的核心，??他对数学的满腔热忱没有使得他成为知名的数学家。但却赢得了‘数学好家的缔造者’的美称。” 柏拉图的思想对希腊产生了强有力的影响，他强调要把数奠基于逻辑之上。并坚持使用准确的定义，清楚的假设严格的证明，他坚持对数学知识体系演绎整理，在他的《理想国》中明白的陈述：“你们知道几何，算术和有关科学的学生，在他们的各种分支里，假定奇数和偶数，图形以及三种类型的角度是已知的；这些是他们的假设，使大家认为他们以及所有人都知道的事，因而认为是无需向别人做任何交代的；但他们是从这些事实出发的，并以前后一贯的方式往下推，直到得出结论，柏拉图所强调的应以自然的假设出发进行严格的证明的思想后来成为古希腊公理方法的发端。

柏拉图的这些思想在他的学生尤其是亚里士多德那里又得到了极大的发展和完善，对数学而言，亚里士多德最大的贡献是在前人基础上完成经典著作《工具论》，把逻辑规律典范化，阐述了逻辑学理论，从而创立了古典逻辑学。 亚里士多德研究和讨论了三段论问题，他相信逻辑它应该建立在三段论的基础上，（三段论是由三个判断构成，其中的两个判断是前提，一个判断是结论），如果三段论的前提是正确的，那么结论也必然正确。但在他看来，不是任何知识都可以作为三段论的前提，前提必须是大众普遍接受的事实，他还认为根据我们不会出错的直觉可知，公理是真的，他也首次提出了基本的思想规律矛盾律和排中律。

亚里士多德的逻辑思想为他在严密的体系之中做几何整理创造了必要条件，奠定了基础，为形成一门独立的初等几何理论做好了充分的准备。而在这之后，作为亚里士多德的逻辑学与当时已有数学成果完善结合的结晶，孕育出了欧几里德的巨著《几何原本》。

从公元前6世纪起，希腊几何学不断超前积累新的事实和阐明几何原理的相互关系的方向迅速发展，在欧几里德之前，希腊人已经积累了大量的数学知识，并已用逻辑推理的方法去证明结论。而在亚里士多德的影响推动下，逻辑理论这

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一学科渐臻成熟，公理化思想已是大势所趋，这些为形成一门独立的理论科学做好了充分准备，形成一个严整的几何结构是“山雨欲来风满楼”了。其实，在欧几里德之前已有好几位数学家做过这种整理但经得起历史风霜考验的只有欧几里德的 《几何原本》。

就《几何原本》内容而言，有很多来自于此前毕达哥拉斯学派及欧多克索斯的前驱工作，但使它赢得非凡评价的绝不限于其内容的重要，或者其对定理的出色证明。真正重要的是欧几里德在书中创造的被称为公理化的方法。

《几何原本》最终给出了119个定义，5条公设和5条公理成为全书推理的出发点，论证的依据。利用公理、公设，定义为要素，作为已知欧几里德先证明了第一个命题。然后又以之为基础，并作为新的已知来证明第二个命题，其中包括54个作图。其证明之精彩，逻辑之严密，结构之严谨令人叹为观止，零散的数学理论被他成功编织为一个从基本假定到最复杂结论的连续网络。因而在数学发展史上 ，欧几里德认为是成功而系统地应用公理化方法的第一人，他的工作被公认为是最早公理法建立演绎数学体系的典范。

《几何原本》的影响还越出数学，成为人类文明史的里程碑，并对西方思想产生了及其深远的影响。它的创立孕育出一种理论性的精神。人类任何其他的创造都不可能像欧几里德的几百条定理那样显示出这么多的知识都是仅仅靠推导得出来的，这些大量深奥的演绎结果，使得希腊人和以后的的文明了解到理性的力量，从而增强了他们利用这种才能获得成功的信心，受这一成就的鼓舞，西方人把理性运用于其他领域，神学家，逻辑学家，哲学家，政治家和教育真理的追求者，都纷纷仿效欧几里德几何的形式的 推演过程，著名数学家，哲学家罗素在《西方哲学史》中说：“欧几里德的《几何原本》毫无疑义是古往今来最伟大的著作之一，是希腊理智最完美的纪念碑”。

在人类历史发展的长河中，任何民族的文化都既有优点，又有不足之处。在谈过古希腊的辉煌成就之后，我们也有必要去关注其负面影响。

古希腊人在解决危机的过程中，把数和量区分开来，对无理量建立了严密理论并由此建筑了几何大厦，而由于无理数作为数没有可靠的逻辑基础，所以他们对无理数采取了回避的方式，由于整数及其不能包括一切几何量，而几何量可以表示一切数，因此希腊人认为几何较之算术占有更重要的地位，几何成了全面希腊数学的基础，他们几乎把整个数学概念都用纯粹几何的形式来表示，把数的研究隶属于形的研究，代数依附于几何，称为“几何代数学”。

这种处理方式还带来许多禁忌，比如说，我们不能把三个以上的数相乘，要遵守同类量之间相加成的要求，列方程时要求方程中各项都是“奇性”的——因为不如此就会导致几何解释无意义，这使代数算术的发展受到了极大的限制，而几何却得到了充分发展。

代数，几何分家的另一表现是，原本能紧密结合在一起的数与形也被割裂开来，现在我们知道，数轴上的点与实数有一种对应关系，然而对古希腊人而言，直线与数的结合是严格禁止的。 2贝克莱悖论与第二次数学危机 2.1贝克莱悖论

牛顿和莱布尼茨创立微积分之后的大约一百年中，很少有人注意到从逻辑上加强这门学科的基础，但绝对不是薄弱的基础没有人批评，一些数学家进行了长期的争论，并且，两位创立者本人对学科的基础也不满意，对有缺陷的基础最强有力的批评来自一位非数学家，这就是著名的唯心主义哲学家，贝克莱，他坚持

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微积分的发展包含了偷换假设的逻辑错误，原来，牛顿在1704年发表的 “曲线的求积”其中，他确定x3的导数，采用如下方法：

当x增长为x??时,幂x3成为(x??)3或x3?3x2??3x?2??3,我们的增量分别为?和3x2??3x?2??3。

这两个增量与x的增量?的比分别为1与3x2?3x???2,然后让增量消失,则最终的比为1:3x2,从而x3对x的变化率为3x2。

从中我们可以看出，偷换假设的错误是明显的，在论证的前一部分，假定?是非零的，而在论证的后一部分，它又被取为零，贝克莱说：“在我们假定增量消失时，理所当然，也得假设它的大小，表达式以及其他，由于它的存在而随之而来的一切也随之消失。”他还说：“总之，不论怎样看，牛顿的流数算法是不符合逻辑的”这就是历史上著名的《贝克莱悖论》。 2.2 18世纪数学家的努力

笼统地说，贝克莱悖论可以表述为：“无穷小量究竟是否为零”的问题。在微积分的使用中，无穷小量有时当做零，有时又看做不是零，从逻辑上看，这无疑是一个矛盾。

牛顿和莱布尼茨都认识无穷小量的难题，牛顿也曾在《原理》一书中给极限下了一个定义，试图改进自己的理论，试图把流数建立在极限概念的基础之上。然而，芝诺的飞矢不动又对他造成极大的困惑，莱布尼茨也做过许多阐述，但却没有一种见解令人真正满意。

除牛顿和莱布尼茨外，个别其他数学家在微积分创建之时也曾努力去弥补遗漏的基础，但得到的结果都是不成功。

贝克莱悖论的提出，使微积分基础问题引起更大的重视，结果在此后的7年中，出现了约20多种小册子和论文，企图纠正这种情形，更多数学家在这一危机面前，投入到微积分基础严密化的尝试中，他们试图通过建立严格的微积分基础以清除悖论并回击贝克莱的批评。

在整个18世纪，人们都试图为微积分找出合乎逻辑的理论的基础，几乎是每一个数学家也都对此做了一些努力，虽然一二个路子对头，但所有的努力都没有获得圆满结果。微积分的逻辑基础在18世纪结束的时候还是一个悬而未决的问题。

2.3 英雄时代

为了消除贝克莱悖论，18世纪的数学家做出了许多不成功的努力。但在微积分可靠基础建立起来之前，数学家们并没有静等基础建立牢固后再去展开新的工作。事实上，虽然微积分基础存在可质疑之处，让人们困惑重重，但微积分在科学的应用中却显示出无比的威力和顽强的生命力。

18世纪时，绝大多数数学家被微积分这新兴的有无限发展前途的学科所吸引，他们大胆前进，大大扩展了微积分的应用范围，不断拓展出新的数学领地。一系列新数学分支如微积分方程，复变函数，微分几何，解析数论，变分法，无穷级数等都在18世纪成长起来，这些新分支合在一起，形成了被称为数学分析的广大领域，与代数，几何并列为数学的三大科学。

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