概率论与数理统计试卷及答案(1)

模拟试题一

一、

填空题（每空3分，共45分）

1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A) = 0.85, 则P(A|B) = P( A∪B) =

12、设事件A与B独立，A与B都不发生的概率为，A发生且B不发生的概率与B发生且

9A不发生的概率相等，则A发生的概率为： ；

3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ；

?Aex,?4、已知随机变量X的密度函数为：?(x)??1/4,?0,?x?00?x?2, 则常数A= , 分布函x?2数F(x)= , 概率P{?0.5?X?1}? ；

5、设随机变量X~ B(2，p)、Y~ B(1，p)，若P{X?1}?5/9，则p = ，若X与Y独立，则Z=max(X,Y)的分布律： ； 6、设X~B(200,0.01),Y~P(4),且X与Y相互独立，则D(2X-3Y)= , COV(2X-3Y, X)= ； 7、设X1,X2, Y?,X5是总体X~N(0,1)的简单随机样本，则当k? 时，

k(X1?X2)X?X?X232425~t(3)；

1n,Xn为其样本，X??Xi为样本均值，

ni?18、设总体X~U(0,?)??0为未知参数，X1,X2,则?的矩估计量为： 。 9、设样本X1,X2,,X9来自正态总体N(a,1.44)，计算得样本观察值x?10，求参数a的置

信度为95%的置信区间： ；

二、

计算题（35分）

1

1、 (12分)设连续型随机变量X的密度函数为：

?1?x, ?(x)??2??0,0?x?2

其它 求：1）P{|2X?1|?2}；2）Y?X2的密度函数?Y(y)；3）E(2X?1)； 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为

?(x,y)???1/4,?0,|y|?x,0?x?2,其他

1） 求边缘密度函数?X(x),?Y(y)； 2） 问X与Y是否独立？是否相关？ 3） 计算Z = X + Y的密度函数?Z(z)； 3、（11分）设总体X的概率密度函数为：

x?1???e, ?(x)????0?x?0x?0,??0

X1,X2,…,Xn是取自总体X的简单随机样本。

1） 2）

三、

求参数?的极大似然估计量??；

验证估计量??是否是参数?的无偏估计量。

应用题（20分）

1、（10分）设某人从外地赶来参加紧急会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是3/10，1/5，1/10和2/5。如果他乘飞机来，不会迟到；而乘火车、轮船或汽车来，迟到的概率分别是1/4，1/3，1/2。现此人迟到，试推断他乘哪一种交通工具的可能性最大？

2．（10分）环境保护条例，在排放的工业废水中，某有害物质不得超过0.5‰，假定有害物质含

2

量X服从正态分布。现在取5份水样，测定该有害物质含量，得如下数据：

0.530‰，0.542‰，0.510‰，0.495‰，0.515‰ 能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定(??0.05)？ 附表：

模拟试题二

一、填空题(45分，每空3分)

1．设P(A)?0.5,P(B|A)?0.6,P(AB)?0.1, 则P(B)? P(AB)? 2．设A,B,C三事件相互独立，且P(A)?P(B?)P(A)? 。

P(，C若P(A?B?C)?37，则64 3．设一批产品有12件，其中2件次品，10件正品，现从这批产品中任取3件，若用X表示取出的3件产品中的次品件数，则X的分布律为 。 4．设连续型随机变量X的分布函数为

x(),?x R F(x)?A?Barctan 则(A,B)? ，X的密度函数?(x)? 。 5．设随机变量X~U[?2,2]，则随机变量Y? 6．设X,Y的分布律分别为

1X?1的密度函数?Y(y)? 2X -1 0 1 Y 0 1 P 1/4 1/2 1/4 P 1/2 1/2

3

且P{X?Y?0}?0，则(X,Y)的联合分布律为 。和P{X?Y?1}?

1 7．设(X,Y)~N(0,25;0,36;0.4)，则cov(X,Y)? ，D(3X?Y?1)? 。

28．设(X1,X2,X3,X4)是总体N(0,4)的样本，则当a? ，b? 时，统计量

X?a(X1?2X2)2?b(3X3?4X4)2服从自由度为2的?2分布。

9．设(X1,X2,??k?(Xi?X)2是参,Xn)是总体N(a,?)的样本，则当常数k? 时，?22i?1n数?2的无偏估计量。

10．设由来自总体X~N(a,0.92)容量为9的样本，得样本均值x=5，则参数a的置信度为0.95

的置信区间为 。 二、计算题(27分)

1．(15分)设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为

?1?(x?y),?(x,y)??8??0,0?x?2,0?y?2其它

（1） 求X与Y的边缘密度函数?X(x),?Y(y)； （2） 判断X与Y是否独立？为什么？ （3） 求Z?X?Y的密度函数?Z(z)。 2．(12分)设总体X的密度函数为

?e?(x??),?(x)???0,其中??0是未知参数，(X1,X2,x?? x??,Xn)为总体X的样本，求

（1）参数?的矩估计量??1； （2）?的极大似然估计量??2。 三、应用题与证明题(28分)

1．(12分)已知甲，乙两箱中有同种产品，其中甲箱中有3件正品和3件次品，乙箱中仅有3

4

件正品，从甲箱中任取3件产品放入乙箱后， （1）求从乙箱中任取一件产品为次品的概率；

（2）已知从乙箱中取出的一件产品为次品，求从甲箱中取出放入乙箱的3件产品中恰有2

件次品的概率。

2．(8分)设某一次考试考生的成绩服从正态分布，从中随机抽取了36位考生的成绩，算得平均成绩x?66.5分，标准差s?15分，问在显著性水平??0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分，并给出检验过程。

3．(8分)设0?P(A)?1，证明：A与B相互独立?P(B|A)?P(B|A)。 附表：

u0.95?1.65,u0.975?1.96,t0.95(35)?1.6896,t0.95(36)?1.6883, t0.975(35)?2.0301,t0.975(36)?2.0281,

模拟试题三

一、填空题（每题3分，共42分）

1．设P(A)?0.3,P(A?B)?0.8, 若A与B互斥，则P(B)? ；

A与B独立，则P(B)? ；若A?B，则P(AB)? 。

2．在电路中电压超过额定值的概率为p1，在电压超过额定值的情况下，仪器烧坏的概率为p2，则由于电压超过额定值使仪器烧坏的概率为 ；

?4x3,0?x?1 3．设随机变量X的密度为?(x)??，则使P{X?a}?P{X?a}成立的常数

其它?0,a? ；P{0.5?X?1.5}? ；

4．如果(X,Y)的联合分布律为

Y 1 2 3

5

X 1 1/6 1/9 1/18

2 1/3 ? ?

则?,?应满足的条件是 0???1,0???1 / ，若X与Y独立，?? ，?,???1?? ，E(X?3Y?1)? 。

5．设X~B(n,p)，且EX?2.4,DX?1.44, 则n? ，p? 。 6．设X~N(a,?2)，则Y?X?3服从的分布为 。 27．测量铝的比重16次，得x?2.705,s?0.029， 设测量结果服从正态分布N(a,?2)，参数a,?2未知，则铝的比重a的置信度为95%的置信区间为 。 二、（12分）设连续型随机变量X的密度为：

?ce?x,x?0?(x)??

x?0?0, （1）求常数c； （2）求分布函数F(x)； （3）求Y?2X?1的密度?Y(y)

三、（15分）设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度为

?(x,y)???c,0?x?1,0?y?x

0,其它?（1）求常数c； （2）求X与Y的边缘密度?X(x),?Y(y)； （3）问X与Y是否独立？为什么？

（4）求Z?X?Y的密度?Z(z)； （5）求D(2X?3Y)。

6

四、（11分）设总体X的密度为

?(??1)x?,0?x?1?(x)??

其它?0,其中???1是未知参数，(X1,,Xn)是来自总体X的一个样本，求

（1） 参数?的矩估计量??1； （2） 参数?的极大似然估计量??2；

五、（10分）某工厂的车床、钻床、磨床和刨床的台数之比为9:3:2:1，它们在一定时间内需要修理的概率之比为1:2:3:1，当有一台机床需要修理时，求这台机床是车床的概率。

六、（10分）测定某种溶液中的水份，设水份含量的总体服从正态分布N(a,?2)，得到的10个测定值给出x?0.452,s?0.037，试问可否认为水份含量的方差?2?0.04？（??0.05）

附表：

2222?0.05(10)?3.94,?0.025(10)?3.247,?0.05(9)?3.325,?0.05(9)?2.7,

2222?0.975(10)?20.483,?0.975(9)?19.023,?0.95(10)?18.307,?0.95(9)?16.919,

模拟试题四

一、填空题（每题3分，共42分）

1、 设A、B为随机事件，P(B)?0.8，P(B?A)?0.2，则A与B中至少有一个不发生的

概率为 ；当A与B独立时，则P(B(A?B))? 2、 椐以往资料表明，一个三口之家患某种传染病的概率有以下规律：P?孩子得病?=

0.6，P?母亲得病孩子得病?=0.5，P?父亲得病母亲及孩子得病?=0.4，那么一个三口之家患这种传染病的概率为 。

7

3k3、设离散型随机变量X的分布律为：P(X?k)?a(k?0,1,2,...)，则

k!a=_______P(X?1)? 。

x??3?0,?x?4、若连续型随机变量X的分布函数为F(x)??A?Barcsin,3?x?3??1,?3?x?3

则常数A? ，B? ，密度函数?(x)?

1?x5、已知连续型随机变量X的密度函数为f(x)?e8?2?2x?18,???x???，则

E(4X?1)? ， EX2? 。P?X?1?2?? 。

6、设X～U[1,3]， Y～P(2) ，且X与Y独立， 则

D(X?Y?3))= 。

7、设随机变量X,Y相互独立，同服从参数为分布?(??0)的指数分布，令

U?2X?Y,V?2X?Y的相关系数。则COV(U,V)? , ?U,V? 。

（注：?(1)?0.8143,?(0.5)?0.6915） 二、计算题（34分）

1、 （18分）设连续型随机变量(X，Y)的密度函数为

?(x,y)????x?y,??0,0?x?1,0?y?1其他

（1）求边缘密度函数?X(x),?Y(y)； （2）判断X与Y的独立性； （3）计算cov(X,Y)；

8

（3）求Z?max(X,Y)的密度函数?Z(z)

?1,若X?Y为偶数2、（16分）设随机变量X与Y相互独立，且同分布于B(1,p)(0?p?1)。令Z??。

?0，若X?Y为奇数（1）求Z的分布律；

（2）求(X，Z)的联合分布律；

（3）问p取何值时X与Z独立？为什么？

三、应用题（24分）

1、 （12分）假设一部机器在一天内发生故障的概率是0.2。若一周5个工作日内无故障则可获10万元；若仅有1天故障则仍可获利5万元；若仅有两天发生故障可获利0万元；若有3天或3天以上出现故障将亏损2万元。求一周内的期望利润。

2、 （12分）将A、B、C三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为0.8，而输出为其它一字母的概率都为0.1。今将字母AAAA，BBBB，CCCC之一输入信道，输入AAAA，

BBBB，CCCC的概率分别为0.5，0.4，0.1。已知输出为ABCA，问输入的是AAAA的概率是多少？（设信道传输每个字母的工作是相互独立的）。

9

答 案（模拟试题一） 四、

填空题（每空3分，共45分）

1、0.8286 ， 0.988 ； 2、 2/3 ；

16C12C64?112C126!3、，；

126126?1xx?0?2e,?31?1x4、 1/2, F(x)= ??,0?x?2， P{?0.5?X?1}? ?e?0.5；

4224?x?2?1,??5、p = 1/3 ， Z=max(X,Y)的分布律： Z 0 1 2

P 8/27 16/27 3/27；

6、D(2X-3Y)= 43.92 , COV(2X-3Y, X)= 3.96 ； 7、当k? 3 时，Y?2k(X1?X2)X?X?X232425~t(3)；

8、?的矩估计量为：2X。 9、 [9.216，10.784] ； 五、

计算题（35分）

9 161、解 1） P{|2X?1|?2}?P{?0.5?X?1.5}?2）

?1(?X(y)??X(?y)),y?0??Y(y)??2y?0,y?0??1?,??4??0,0?y?4其它

453）E(2X?1)?2EX?1?2??1?

33

10

?x1dy,?2、解：1）?X(x)???(x,y)dy????x4???0,???2?1????dx, ?Y(y)???(x,y)dx??|y|4????0,0?x?2其它|y|?2?x?,??2?0,?0?x?2其它

?1|y|?2?(2?|y|),??4 ?其它其它?0,2）显然，?(x,y)??X(x)?Y(y)，所以X与Y不独立。

又因为EY=0，EXY=0，所以，COV(X,Y)=0，因此X与Y不相关。

3）

?Z(z)???(x,z?x)dx?????21??zdx,??24?0,?0?z?4其它?1z??,??28?0,?0?z?4 其它3、解1）L(x1,x2,,xn,?)??ei?1?n1?xi??1?ne?i?1?xi?n

lnL(x1,x2, 令

,xn,?)??nln??nx?

dlnLnnx???2?0 d?????X 解出：???EX?EX?? 2）E??是?的无偏估计量。 ??六、 应用题（20分）

1解：设事件A1，A2，A3，A4分别表示交通工具“火车、轮船、汽车和飞机”，其概率分别等于3/10，1/5，1/10和2/5，事件B表示“迟到”，

已知概率P{B|Ai},i?1,2,3,4分别等于1/4，1/3，1/2，0 则P{B)??P(Ai)P(B|Ai)?i?1423 12011

P(A1|B)?P(A1)P(B|A1)9P(A2)P(B|A2)8??，P(A2|B)?

P(B)23P(B)23P(A3)P(B|A3)6P(A4)P(B|A4)??0 ，P(A4|B)?P(B)23P(B)P(A3|B)?由概率判断他乘火车的可能性最大。

2． 解：H0:a?0.5（‰），H1:a?0.5

拒绝域为：?0?{x?0.55?t0.95(4)} s 计算x?0.5184,s?0.018

t?x?0.55?2.2857?t0.95(4)， s所以，拒绝H0，说明有害物质含量超过了规定。 附表：

答 案（模拟试题二）

一、填空题(45分，每空3分)

1．P(B)?0.4,P(AB)?0.4 2．P(A)?1 43． X 0 1 2 P 6/11 9/22 1/22

111,4．(A,B)?(,)， ?(x)??(1?x2)2?x?R

?1?,5．?Y(y)??2??0,y?[0,2]y?[0,2]

6．

Y 0 1 X -1 0

1/4 0 0 1/2 12

1

P{X?Y?1}?3 41/4 0 7．cov(X,Y)?12,8．a?1D(3X?Y?1)?198

211； ,b?2010019．k?； 10. (4.412,5.588)

n?1二、计算题(27分)

?1?(x?1),1．（1）?X(x)??4??0,x?[0,2]x?[0,2]?1?(y?1),?Y(y)??4??0,y?[0,2]y?[0,2],

（2）不独立

?12?8z,??1 （3）?Z(z)??z(4?z),?8?0,????0?z?22?z?4 其它2．（1）计算EX???xe?(x??)dx???1

根据矩估计思想，x?EX???1

??X?1； 解出：?1（2）似然函数 L(x1,?n?(xi??)?nx?n?),xi???,xi????e?e ,xn,?)??i?1??其它??0,?0,其它? 显然，用取对数、求导、解方程的步骤无法得到?的极大似然估计。用分析的方法。因为??x(1)，所以e??e(1)，即L(x1,x,xn,?)?L(x1,,xn,x(1))

??X?min(X,所以，当?2(1)1

,Xn)时，使得似然函数达最大。极大似然估计为??2。

13

三、1．解：（1）设Ai表示“第一次从甲箱中任取3件，其中恰有i件次品”，（i=0,1,2,3） 设B表示“第二次从乙箱任取一件为次品”的事件；

3121311C3C32C31C1C3CC3C13C23 P(B)??P(Ai)P(B|Ai)?3?0?3?1?3?1?3?1?

C6C6C6C6C6C6C64i?1n （2）P(A2|B)?P(A2B)?0.6 P(B)2． 解： H0:a?70（‰），H1:a?70 拒绝域为：?0?{|x?70|36?t0.975(35)} … s 根据条件x?66.5，s?15，计算并比较

x?7036?1.4?t0.975(35)?2.0301 s所以，接受H0，可以认为平均成绩为70分。

3．(8分)证明：因为P(B|A)?P(B|A) ? P(AB)P(A)?P(AB)P(A)

?P(AB)[1?P(A)]?[P(B)?P(AB)]P(A) ?P(AB)?P(B)P(A)

? A与B相互独立

答 案（模拟试题三）

一、填空题（每题3分，共42分）

1． 0.5 ； 2/7 ； 0.5 。 2． p1p2 ； 3．1；P{0.5?X?1.5}? 15/16； 42 4． 0???1,0???1,????1/3， ?? 2/9 ，?? 1/9 ， 17/3 。

14

a?3?25． n? 6 ，p? 0.4 。 6．N(2,4)。 7． (2.6895, 2.7205) 。

????二、解：（1）??(x)dx?1?ce?xdx?c?1

???0x?（2）F(x)?????(t)dt??0,x?0?x?e?tdt?1?e?x,x?0 ??0（3）Y的分布函数F{X?y?1Y(y)?P{2X?1?y}?P2}

?y?1 ??2e?xdx,y?1y?1 ??0?????1?e?2,?0,y?1??0,?1?y?1 ???e2,y?1Y(y)??

?2?0,y?1三、解：（1）1????1xc????????(x,y)dxdy??0?0cdydx?2， ?c?2 （2）?x)?????(x,y)dy???x??02dy?2x,0?x?1X(??

??0,其它1???????2dy?2(1?y),0????(x,y)dx???yy?1Y(y)

??0,其它（3）X与Y不独立；

??z?z/22dy?z,0?z?1（4）?????1X?Y(z)????(x,z?x)dx???2dy?2?z,1?z?2?z/2

?0,其它?（5）EX??12x220dx?3,EX2??1102x3dx?2 EY??111102y(1?y)dy?23,EY??02y2(1?y)dx?6

DX?1?(2)2111123?18,DY?6?(3)2?18

15

y?1y?1

11 2xydydx?,?covX(Y,?)EXY?EX?EY?0?0447 ?D(2X?Y3?)DX4?DY9?2coXv(Y2?,3 )181??1四、解：（1）EX??x(??1)x?dx?,

0??2??1 令EX?x，即?x

??2 EXY??1x21??331? 36??2X?1。 解得?11?X （2）L(?)???(xi,?)?(??1)(?xi)?,0?xi?1,i?1,2,...,n

ni?1i?1nnn?lnL(?)nlnL(?)?nln(??1)???lnxi，???lnxi?0

????1i?1i?1n???1?解得?2n?lnXi?1n

i五、解：设A1={某机床为车床}，P(A1)?A2={某机床为钻床}，P(A2)?9； 151； 52A3={某机床为磨床}，P(A3)?；

151A4={某机床为刨床}，P(A4)?；

151231B ={需要修理}，P(B|A1)?，P(B|A2)?，P(B|A3)?，P(B|A4)?

7777 则P(B)??P(Ai)P(B|Ai)?i?1422 105 P(A1|B)?P(A1)P(B|A1)9?。

P(B)22六、解：H0:?2?0.04,H1:?2?0.04

拒绝域为：{(n?1)S?202???{/2(n?1)}或(n?1)S?20??12??/2(n?1)}

计算得

(n?1)s2?0(9?1)?0.03722(9)?2.7?0.2738 ??0.2738，查表得?0.0250.0416

11 2xydydx?,?covX(Y,?)EXY?EX?EY?0?0447 ?D(2X?Y3?)DX4?DY9?2coXv(Y2?,3 )181??1四、解：（1）EX??x(??1)x?dx?,

0??2??1 令EX?x，即?x

??2 EXY??1x21??331? 36??2X?1。 解得?11?X （2）L(?)???(xi,?)?(??1)(?xi)?,0?xi?1,i?1,2,...,n

ni?1i?1nnn?lnL(?)nlnL(?)?nln(??1)???lnxi，???lnxi?0

????1i?1i?1n???1?解得?2n?lnXi?1n

i五、解：设A1={某机床为车床}，P(A1)?A2={某机床为钻床}，P(A2)?9； 151； 52A3={某机床为磨床}，P(A3)?；

151A4={某机床为刨床}，P(A4)?；

151231B ={需要修理}，P(B|A1)?，P(B|A2)?，P(B|A3)?，P(B|A4)?

7777 则P(B)??P(Ai)P(B|Ai)?i?1422 105 P(A1|B)?P(A1)P(B|A1)9?。

P(B)22六、解：H0:?2?0.04,H1:?2?0.04

拒绝域为：{(n?1)S?202???{/2(n?1)}或(n?1)S?20??12??/2(n?1)}

计算得

(n?1)s2?0(9?1)?0.03722(9)?2.7?0.2738 ??0.2738，查表得?0.0250.0416

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