抛物线三角形

1、如果一条抛物线y=ax2+bx+c?a?0?与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”． （1）“抛物线三角形”一定是 三角形；

（2）若抛物线y=-x2+bx?b>0?的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值； （3）如图，△OAB是抛物线y=-x2+bx'?b'>0?的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．

1、如果一条抛物线y=ax2+bx+c?a?0?与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”． （1）“抛物线三角形”一定是 三角形；

（2）若抛物线y=-x2+bx?b>0?的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值； （3）如图，△OAB是抛物线y=-x2+bx'?b'>0?的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．

【答案】解：（1）等腰

（2）∵抛物线y=-x2+bx?b>0?的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，

?bb2?bb2 ∴该抛物线的顶点?，?满足=?b>0?．

24?24? ∴b=2．

（3）存在．

如图，作△OCD与△OAB关于原点O中心对称， 则四边形ABCD为平行四边形．

当OA=OB时，平行四边形ABCD为矩形．

又∵AO=AB， ∴△OAB为等边三角形． 作AE?OB，垂足为E． ∴AE=3OE．

∴b'2b'4=3?2?b'>0?．

∴b'=23．

∴A?3，3?，B?23，0?．

∴C?-3，-?3，D?-2，3?0． 设过点O、C、D三点的抛物线y=mx2+nx，则

???12m-2n3，= 0 解之，得????3m-n3=-3.?m=1，?=23.

?n ∴所求抛物线的表达式为y=x2+23x．

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