201x年春七年级数学下册 第2章 二元一次方程 2.3 第2课时 加减消

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精品 2.3 解二元一次方程组

第2课时 加减消元法

知识点 加减消元法解二元一次方程组

对于二元一次方程组，当两个方程的同一个未知数的系数是互为相反数或相同时，可以通过把两个方程的两边相加或相减来消元，转化为一元一次方程求解．这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法．

用加减法解二元一次方程组的一般步骤：

(1)将其中一个未知数的系数化成相同(或互为相反数)；

(2)通过相减(或相加)消去这个未知数，得到一个一元一次方程(注意：一般在消去一个字母时，考虑用另一个字母系数大的式子减系数小的式子)；

(3)解这个一元一次方程，得到一个未知数的值；

(4)将求得的未知数的值代入原方程组中的任一个方程，求得另一个未知数的值．

(5)写出方程组的解．

解方程组：?

????3x ＋2y ＝21，3x －4y ＝3.

一 加减消元法解二元一次方程组

教材例2变式题用加减法解方程组：?

????2x ＋3y ＝12，3x ＋4y ＝17.

[归纳总结] 运用加减消元法解方程组时，首先要观察两个方程中同一个未知数的系数，若系数相等，则将这两个方程相减；若系数互为相反数，则将这两个方程相加，就可以消去该未知数．若系数既不相等也不互为相反数，我们应该设法使用等式的性质，将同一个未知数的系数化为相等或互为相反数．

注意：(1)把某个方程乘一个数时，方程两边的每一项都要和这个数相乘；(2)把两个方程相加减时，一定要把两个方程两边分别相加减．

二 灵活选择适当的方法解二元一次方程组

教材补充题用适当的方法解下列方程组：

(1)?????6s ＋3t ＝13，3s －t ＝5；(2)?

????5x －6y ＝17，4x ＋3y ＝28.

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[归纳总结] 二元一次方程组解法的选取主要取决于未知数的系数，当方程组中某未知数的系数较简单，如系数为1或－1时，常选用代入消元法；当方程组中某未知数的系数相等或互为相反数或成倍数关系时，常选用加减消元法．

[反思] 请观察下面解方程组?????4x ＋3y ＝6，2x －y ＝4

的过程，并判断该过程是否正确，若不正确，请写出正确的解法．

解：?

????4x ＋3y ＝6，①2x －y ＝4，② ②×2，得4x －2y ＝8.③

①－③，得y ＝－2.

把y ＝－2代入②，得2x －(－2)＝4，x ＝1.

∴原方程组的解是?

????x ＝1，y ＝－2.

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一、选择题

1．将方程－12

x ＋y ＝1中含x 的项的系数化为3，则以下结果中，正确的是( ) A ．3x ＋y ＝1 B ．3x ＋6y ＝1

C ．3x －6y ＝1

D ．3x －6y ＝－6

2．方程组?????x ＋y ＝5，①2x ＋y ＝10，②由②－①得到的正确的方程是( )

A ．3x ＝10

B ．x ＝5

C ．3x ＝－5

D ．x ＝－5

3．用加减法解方程组?????2x ＋3y ＝3，3x －2y ＝11

时，有下列四种变形，其中正确的是( ) A .?????4x ＋6y ＝3，9x －6y ＝11 B .?????6x ＋3y ＝9

，6x －2y ＝22

C .?????4x ＋6y ＝6，9x －6y ＝33

D .?????6x ＋9y ＝3，

6x －4y ＝11

4．方程组?????8x －3y ＝9，8x ＋4y ＝－5消去x 后，得到的方程是( )

A ．y ＝4

B ．－7y ＝14

C ．7y ＝14

D ．y ＝14

5．xx·河北利用消元法解方程组?????2x ＋5y ＝－10，①5x －3y ＝6，②下列做法正确的是( ) A ．要消去y ，可以将①×5＋②×2

B ．要消去x ，可以将①×3＋②×(－5)

C ．要消去y ，可以将①×5＋②×3

D ．要消去x ，可以将①×(－5)＋②×2

6．方程组?????x ＋y ＝1，2x －y ＝5的解为( )

A .?????x ＝－1，y ＝2

B .?????x ＝－2，y ＝3

C .?????x ＝2，y ＝1

D .?????x ＝2，

y ＝－1

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精品 7.已知方程组?

????2x ＋y ＝4，x ＋2y ＝5，则x ＋y 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．2 D ．3

8．若关于x ，y 的二元一次方程组?

????x ＋y ＝5k ，x －y ＝9k 的解也是二元一次方程2x ＋3y ＝6的解，则k 的值为( )

A ．－34

B .34

C .43

D ．－43

二、填空题

9．用加减法解二元一次方程组?????11x －3y ＝4，①13x －6y ＝－5，②将方程①两边乘________，再把得到的方程与方程②相__________，可以消去未知数________．

10．xx·温州方程组?????x ＋2y ＝5，3x －2y ＝7

的解是________． 11．已知二元一次方程组?

????3x ＋4y ＝28，①4x ＋3y ＝7，②不解方程组，直接求x ＋y 与x －y 的值，则x ＋y ＝________，x －y ＝________.

12．xx·咸宁如果实数x ，y 满足方程组?????x －y ＝－12，2x ＋2y ＝5，

那么x 2－y 2的值为________． 13．已知方程3x

2m ＋5n ＋9＋4y 4m －2n －7＝2是关于x ，y 的二元一次方程，则m ＝________，n

＝________.

三、解答题 14．用加减法解方程组：(1)?????3x －y ＝2，3x ＋2y ＝11；

(2)?????x 2－y ＋13＝1，3x ＋2y ＝10.

15．用适当的方法解下列方程组：

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精品 (1)?????x ＋2y ＝1，3x －2y ＝11； (2)?

????5x ＋3y ＝6，5x －2y ＝－4；

(3)?????4x －3y ＝39，7x ＋4y ＝－15； (4)?

????2（2x ＋5y ）＝3.6，5（3x ＋2y ）＝8.

16．如果二元一次方程组?

????x ＋y ＝a ，x －y ＝5a 的解是二元一次方程3x －5y －38＝0的一个解，请你求出a 的值．

17．已知关于x ，y 的方程组?????2x ＋5y ＝－6，3x －5y ＝16和方程组?

????ax －by ＝－4，bx ＋ay ＝－8的解相同，求代数式3a ＋7b 的值．

1．[技巧性题目] 在解关于x ，y 的方程组?

????ax ＋by ＝2，cx －7y ＝8时，一位同学把c 看错而得到?????x ＝－2，y ＝2，正确的解应是?

????x ＝3，y ＝－2，求a ，b ，c 的值．

2．[技巧性题目] 如果关于x ，y 的二元一次方程组?????3x －ay ＝16，2x ＋by ＝15的解是?

????x ＝7，y ＝1，那么关于x ，y 的二元一次方程组?????3（x ＋y ）－a （x －y ）＝16，2（x ＋y ）＋b （x －y ）＝15

的解是什么？

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精品 详解详析

【预习效果检测】

[解析] 解方程组?????3x ＋2y ＝21，①3x －4y ＝3，②两个方程中x 的系数相等，因此，可直接由①－②消

去未知数x .

解：?

????3x ＋2y ＝21，①3x －4y ＝3，② ①－②，得6y ＝18，解得y ＝3.

把y ＝3代入方程②，得

3x －4×3＝3，解得x ＝5.

所以原方程组的解是?

????x ＝5，y ＝3. 【重难互动探究】

例1 [解析] 方程组中两个方程的同一未知数的系数均不成倍数关系，则需选定一个系数相对简单的未知数，将两个方程通过变形使其绝对值相等，再进行消元．

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精品 解：?

????2x ＋3y ＝12，①3x ＋4y ＝17，② ①×3，得6x ＋9y ＝36，③

②×2，得6x ＋8y ＝34，④

③－④，得y ＝2，把y ＝2代入①，得x ＝3.

所以原方程组的解是?

????x ＝3，y ＝2. 例2 [解析] 用适当的方法解方程组要求同学们能认真观察方程组中各项系数的特征，根据代入消元法和加减消元法的解题思路选择简捷的方法求解．故(1)可选择代入法求解，(2)可选择加减法求解．

解：(1)?

????6s ＋3t ＝13，①3s －t ＝5，② 由②，得t ＝3s －5，③

把③代入①，得6s ＋3(3s －5)＝13，

解得s ＝2815

. 把s ＝2815代入③，得t ＝35

. 所以原方程组的解为?????s ＝2815，t ＝35.

(2)?

????5x －6y ＝17，①4x ＋3y ＝28，② ②×2，得8x ＋6y ＝56，③

①＋③，得13x ＝73，所以x ＝7313

. 把x ＝7313

代入②，得 4×7313＋3y ＝28，所以y ＝2413

. 所以原方程组的解为?????x ＝7313，y ＝2413.

【课堂总结反思】

[反思] 该过程不正确．正确的解法如下：

?

????4x ＋3y ＝6，①2x －y ＝4，②

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精品 ②×2，得4x －2y ＝8.③

①－③，得5y ＝－2，y ＝－25

. 把y ＝－25代入②，得2x －? ??

??－25＝4，x ＝95. ∴原方程组的解是?????x ＝95，y ＝－25.

【作业高效训练】

[课堂达标]

1．D 2.B

3．[解析] C 根据等式的基本性质进行检验，发现正确答案为C .

4．B 5.D 6.D

7．[解析] D 两式相加，可得3x ＋3y ＝9，故x ＋y ＝3.

8．[解析] B 解方程组?

????x ＋y ＝5k ，x －y ＝9k ，得?????x ＝7k ，y ＝－2k. 把x ，y 的值代入二元一次方程2x ＋3y ＝6，得2×7k ＋3×(－2k)＝6，解得k ＝34

. 9．[答案] 2 减 y

[解析] ①×2，得22x －6y ＝8，③

③－②可消去y.

10．[答案] ?

????x ＝3，y ＝1 11．[答案] 5 －21

[解析] ①＋②，得7x ＋7y ＝35，即x ＋y ＝5.②－①，得x －y ＝－21.

12．[答案] －54

13．[答案] 1 －2

[解析] 根据二元一次方程的定义可知，x ，y 的次数都是1，所以得方程组： ?

????2m ＋5n ＋9＝1，4m －2n －7＝1， 解方程组，得?

????m ＝1，n ＝－2. 14．[解析] 方程组(2)较复杂，可先通过化简，将其变形为二元一次方程组的一般形式后再消元．

解：(1)?

????3x －y ＝2，①3x ＋2y ＝11，② ②－①，得3y ＝9，解得y ＝3.

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精品 把y ＝3代入①，得3x －3＝2，解得x ＝53

. 所以原方程组的解是?????x ＝53，y ＝3.

(2)原方程组可化简为?

????3x －2y ＝8，①3x ＋2y ＝10，② ①＋②，得6x ＝18，解得x ＝3.

将x ＝3代入①，得

9－2y ＝8，解得y ＝12

. 所以原方程组的解是?????x ＝3，y ＝12

. 15．[解析] 认真观察每个方程组，发现方程组(1)用加减法求解比较简便；(2)未知数x 的系数相同，可通过相减消去“x”，用加减法比较简便；(3)是一个较复杂的方程组，用加减法求解较合适；(4)需先将此方程组化简，再确定求解方法．

解：(1)?

????x ＋2y ＝1，①3x －2y ＝11，② ①＋②，得4x ＝12，

解得x ＝3.

把x ＝3代入①，得3＋2y ＝1，

解得y ＝－1.

所以原方程组的解是?

????x ＝3，y ＝－1. (2)?

????5x ＋3y ＝6，①5x －2y ＝－4，② ①－②，得5y ＝10，解得y ＝2.

把y ＝2代入①，得5x ＋3×2＝6，

解得x ＝0.

所以原方程组的解是?

????x ＝0，y ＝2. (3)?????4x －3y ＝39，①7x ＋4y ＝－15，②

①×4，得16x －12y ＝156，③

②×3，得21x ＋12y ＝－45，④

③＋④，得37x ＝111，

解得x ＝3.

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精品 把x ＝3代入①，得4×3－3y ＝39，

解得y ＝－9.

所以原方程组的解是?

????x ＝3，y ＝－9. (4)将原方程组化简为?

????4x ＋10y ＝3.6，①15x ＋10y ＝8，② ②－①，得11x ＝4.4，

解得x ＝0.4.

把x ＝0.4代入①，得1.6＋10y ＝3.6，

解得y ＝0.2.

所以原方程组的解为?

????x ＝0.4，y ＝0.2. 16．[解析] 用方程组中的a 分别表示x ，y ，再把x ，y 的值代入3x －5y －38＝0，即可求得a 的值．

解：解方程组?????x ＋y ＝a ，x －y ＝5a ，

得?

????x ＝3a ，y ＝－2a. 把?

????x ＝3a ，y ＝－2a 代入方程3x －5y －38＝0， 得3×3a－5×(－2a)－38＝0，

解得a ＝2.

17．解：?

????2x ＋5y ＝－6，①3x －5y ＝16，② ①＋②，得5x ＝10，x ＝2.

把x ＝2代入①，得2×2＋5y ＝－6，y ＝－2.

将?????x ＝2，y ＝－2代入方程组?

????ax －by ＝－4，bx ＋ay ＝－8，得 ?

????2a ＋2b ＝－4，2b －2a ＝－8， 解这个方程组，得?

????a ＝1，b ＝－3， 所以3a ＋7b ＝3×1＋7×(－3)＝－18.

[数学活动]

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精品 1．[解析] 根据题意，把?

????x ＝－2，y ＝2代入方程ax ＋by ＝2，得关于a ，b 的一个方程，再把?

????x ＝3，y ＝－2代入方程ax ＋by ＝2，得关于a ，b 的另一个方程，组成方程组，求得a ，b 的值．把?

????x ＝3，y ＝－2代入方程cx －7y ＝8，即可求得c 的值． 解：把?

????x ＝－2，y ＝2，?????x ＝3，y ＝－2分别代入方程ax ＋by ＝2， 得?

????－2a ＋2b ＝2，3a －2b ＝2， 解得?

????a ＝4，b ＝5. 把?

????x ＝3，y ＝－2代入方程cx －7y ＝8， 得3c ＋14＝8，

解得c ＝－2.

即a ＝4，b ＝5，c ＝－2.

2．解：设x ＋y ＝m ，x －y ＝n ，所求方程组可变形为?

????3m －an ＝16，2m ＋bn ＝15.由题意，可得该方程组的解为?????m ＝7，n ＝1，由此可得到关于x ，y 的方程组?????x ＋y ＝7，x －y ＝1，解得?????x ＝4，y ＝3.故所求方程组的解是?????x ＝4，y ＝3.

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