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第一章极限与连续

第一节 数列的极限 一、数列极限的概念

按照某一法则，对于每一个n?N?，对应一个确定的实数xn，将这些实数按下标n从小到大排列，得到一个序列

x1,x2,?,xn,?

称为数列，简记为数列{xn}，xn称为数列的一般项。例如：

1212,231412,341843,?,nn?11265n,?

2,4,8,?,2n,?

,,,?,,?

n?1 1,?1,1,?,(?1) 2,一般项分别为

,,34,n,? n?(?1)nn?1n?1,?,,?

nn?1，2，

12n，(?1)，

n?(?1)nn?1

数列{xn}可看成自变量取正整数n的函数，即xn?f(n)，n?N? 设数列xn?n?(?1)n?111为使|xn?1|?，只需要n?100，即从101项以后各项都满足?1??nn1001， |xn?1|?100n?1n?(?1)11为使|xn?1|?，只需要n?100000，即从100001项以后各项都满足?1??nn1000001， |xn?1|?100000n?1n?(?1)111为使|xn?1|?，只需要n?，即当n?以后，?1???（?是任意给定的小正数）

??nn各项都满足|xn?1|??。

nn?1n?(?1)，来说明数列{xn}以1为极限。

令N?[]，当n?N时，因此有|xn?1|??，即任意给定小正数?，总存在正整数N?[]，n?，

???当n?N时的一切xn都满足|xn?1|??，则

定义：设{xn}为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数?（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n?N时的一切xn都满足不等式

111 |xn?a|??

则说常数a是数列{xn}的极限，或者说数列{xn}收敛于a，记为

limxn?a 或 xn?a(n??)

n??如果不存在这样的常数a，则说数列{xn}没有极限，或者说数列{xn}发散。

1

数列{xn}以a为极限的几何意义：任意给定的正数?，总存在正整数N，当n?N时的一切xn，有 |xn?a|??

即 a???xn?a?? 或 xn?(a??,a??)

也就是当n?N的一切xn都落在a的?邻域U(a,?)内，在U(a,?)的外边至多有N项（图） x1 xN a??xN?1 a xN?2a??

例1 证明数列

12,23,34,?,nn?1,?

的极限为1。

证明：①分析：为使|xn?a|?nn?11n?1?1??，只需要

1n?1??，或n?1?1②证明：任意给定小正数?，取N?[ |xn?1|?因此，limnn?1n??1?，即n?1??1

nn?1?1????

?1]，当n?N时的一切xn满足

?1

例2 已知xn?(?1)n21111，只需要，由于，???0????2222n?1(n?1)(n?1)(n?1)(n?1)111故??时，即 n?1?，或n??1时 n?1??1??。 2(n?1)1证明：任意给定小正数?，取N?[?1]，当n?N时的一切xn满足

?n(?1)11 |xn?0|??0??? 2(n?1)n?1(n?1)n(?1)因此，lim?0

n??(n?1)2例3 设|q|?1，证明等比数列

(n?1)，证明数列{xn}的极限是0。 (?1)n分析：为使|xn?a|? 1,q,q,?,q的极限是0。

2n?1,?

证明：任给??0（设??0），由于 |xn?0|?|qn?1?0|?|q|n?1

ln?ln|q|为使|xn?0|??，只需 |q?0|?|q|ln?N?[1?]，当n?N时，有

ln|q||xn?0|?|qn?1n?1n?1?? ，解得 (n?1)ln|q|?ln?，或n?1?。故取

?0|?|q|n?1??

因此，limqn??n?1?0。

二、收敛数列的性质

2

定理1（极限的唯一性）如果数列{xn}收敛，则它的极限是唯一的。 证明：反证法：如果xn?a，xn?b，不妨设a?b。取??由于xn?a，存在N1，当n?N1时，|xn?a|?又由于xn?b，存在N2，当n?N2时，|xn?b|?|xn?a|?b?a2b?a2b?ab?a2b?a2b?a2。

；

。取N?max{N1,N2}，则当n?N时，a?b2，|xn?b|?得xn?由|xn?a|?2a?b2n?1，

b?a2，由|xn?b|?得xn?，矛盾，故必须a?b。

例4 证明数列xn?(?1)（n?1,2,?）是发散的。

对于数列{xn}，如果存在正数M，使得对于一切xn，有|xn|?M，则说数列{xn}是有界的；否则，则说数列{xn}是无界的。

定理2（收敛数列的有界性）如果数列{xn}有极限，则数列{xn}一定有界。 证明：注意到|xn|?|xn?a?a|?|xn?a|?|a|，可证明定理2。

定理3（收敛数列的保号性）如果limxn?a，且a?0（或a?0），则存在正整数N，当n?N时

n??的一切xn，有xn?0（或xn?0）。

证明：取??a2即可证明定理。

n??推论 如果数列{xn}从某项起有xn?0（或xn?0），且limxn?a，则a?0（或a?0）。 对于数列{xn}，从中抽取 xn，xn，?，xn，?

12k称为数列{xn}的一个子数列。

定理4 如果数列{xn}收敛于a，则数列{xn}的任何子数列都收敛，且收敛于a。 第二节 函数的极限 一、函数极限的定义

1．自变量趋向于无穷大时函数的极限

数列是特殊的函数，如xn?f(n)?y?f(x)?xx?1nn?1，是否有x??时，f(x)?1？

xx?1，n?1,2,?，且n??时，xn?1，考虑函数

1x?11任意给定小正数?，为使|f(x)?1|?||x?1|?|x|?1，即|x|?1?1|??，只要||??，即|x?1|??1即可。 ?1任给??0，存在正数X??1，当|x|?X时，对应的函数值f(x)满足

?x |f(x)?1|?|?1|??

x?1?。由于

即当x??时，f(x)以1为极限。

定义1设函数f(x)当|x|大于某一正数时有定义。如果存在常数A，对于任意给定的正数?（不论

3

它多么小），总存在正数X，使得x满足不等式|x|?X时，对应函数值f(x)满足

|f(x)?A|??

则说常数A为函数f(x)当x??时的极限，记为

limf(x)?A 或 f(x)?A（当x??）

x??limf(x)?A：???0，?X?0，当|x|?X时，|f(x)?A|??。

x??例1 证明 lim分析：为使|3xx???0。

3x|??，即

3??，或|x|?3x?|x|33证明：???0，X?，当|x|?X时，|?0|???，因此

x|x|?3lim?0。 x??x3?0|??，只要|3。

limf(x)?A的几何解释：???0，?X?0，当|x|?X时，

x??|f(x)?A|??

即 ???f(x)?A?? 或 A???f(x)?A?? 如图所示：

如果???0，?X?0，当x?X时，|f(x)?A|??，则说x???时，f(x)?A，记为

x???limf(x)?A；

如果???0，?X?0，当x??X时，|f(x)?A|??，则说x???时，f(x)?A，记为

x???limf(x)?A

显然，limf(x)?A?limf(x)?A，limf(x)?A

x??x???x???例如：f(x)?|x|x，有limf(x)?1，limf(x)??1。

x???x???2．自变量趋向于有限值时函数的极限

例1，f(x)?2x?1，x?2时，f(x)?5； 例2：f(x)?x?1x?12，定义域为x?1，但x?1时，f(x)?2；

任意给定小正数?，为使|f(x)?A|?|2x?1?5|?|2x?4|??，只要2|x?2|??，即

?|x?2|???即可。

2任意给定小正数?，为使

|f(x)?A|?|x?1x?12?2|?|(x?1)(x?1)x?1?2|??

只要|x?1|??，即0?|x?1|????即可。

定义2 设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义。如果存在常数A，对于任意给定的正数?（不论它多么小），总存在正数?，使得x满足不等式0?|x?x0|??时，对应函数值f(x)满足

|f(x)?A|??

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则说常数A为函数f(x)当x?x0时的极限，记为

x?x0limf(x)?A 或 f(x)?A（当x?x0）

x?x0limf(x)?A：???0，???0，当0?|x?x0|??时，|f(x)?A|??。

例2 证明 lim(3x?1)?8。

x?3分析：为使 |(3x?1)?8|?|3x?9|??，只要3|x?3|??，即|x?3|?证明：???0，当0?|x?3|??3|f(x)?8|?|(3x?1)?8|?3|x?3|?? ，取???3。

?时，对应函数值满足

因此，lim(3x?1)?8。

x?3 limf(x)?A的几何解释：???0，???0，当0?|x?x0|??时，

x?x0|f(x)?A|??

即 ???f(x)?A?? 或 A???f(x)?A??

0即 x?U(x0,?)时，f(x)?U(A,?) 如图所示：

如果???0，???0，当x?x0??时，|f(x)?A|??，则说x从x0的右侧趋向于x0（记为

x?x0）时，f(x)?A，记为lim?f(x)?A，或f(x0)?A；

x?x0??如果???0，???0，当x0?x??时，|f(x)?A|??，则说x从x0的左侧趋向于x0（记为

x?x0）时，f(x)?A，记为lim?f(x)?A，或f(x0)?A；

x?x0??显然，limf(x)?A?limf(x)?A，limf(x)?A

x?x0x?x0?x?x0??x?1,x?0? f(x)??0,x?0

?x?1,x?0?当x?0时，f(x)的极限不存在。

例3 设函数

例4 证明 limc?c

x?x0例5 证明 limx?x0

x?x0例6 证明 limx?4x?2sinxx2x??2??4

例7 证明 limx????0

二、函数极限的性质

定理1 （函数极限的唯一性）如果limf(x)存在，则极限是唯一的。

x?x0定理2 （函数极限的局部有界性）如果limf(x)?A，则存在正数M和?，使得当0?|x?x0|??x?x0时，有|f(x)|?M。

证明： |f(x)|?|f(x)?A?A|?|f(x)?A|?|A|???|A|

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/n1qf.html