2015年高考数学复习学案：应用题中的图形建模问题

一、高考考情分析：

2013年－2008年江苏高考应用题类型：

2013 距离问题（几何背景：解三角形与解不等式） 2012 炮弹轨迹问题（几何背景：几何问题代数化） 2011 包装盒问题（几何背景：几何问题代数化）

2010 测量问题（几何背景：解直角三角形与基本不等式） 2009 利润问题（销售背景：基本不等式）

2008 函数与导数（几何背景：几何问题代数化，几何最值（费马点）问题）

综观江苏六年高考，从图形中建模是考试的热点。 二、应试策略：

1、优化解题过程：①审题清晰，明确背景；②建立恰当数学模型；③运算准确。 2、诸如航行、建桥、测量、人造卫星等涉及一定图形属性的应用问题，常常需要应用几何图形的性质，或用方程、不等式或用三角函数知识来求解. 三、专题训练：

1．若干毫升水倒入底面半径为2ｃｍ的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm．若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是

2．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为?，那么cos2?的值等于

3．如图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器。当这个正六棱柱容器的底面边长为 时，其容积最大.

4．右图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口A，B，C的机动车辆数如图所示(20，30；35，30；55，50)，图中x1,x2,x3分别表示该时段单位时间通过路段AB,BC,CA的机动车辆数（假设：单位

时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则x1,x2,x3的大小关系是

四、例题精析：

例1．如图，现有一个以?AOB为圆心角、湖岸OA与OB为半径的扇形湖面AOB.现欲在弧AB上取不同于A,B的点C，用渔网沿着弧AC（弧AC在扇形AOB的弧AB上）、半径OC和线段CD（其中CD//OA），在该扇形湖面内隔出两个养殖区域——养殖区域Ⅰ和养殖区域Ⅱ. 若OA?1km，

1

?AOB??3，?AOC??.

（1）用?表示CD的长度；

（2）求所需渔网长度（即图中弧AC、半径OC和线段CD长度之和）的取值范围.

例2．如图，某生态园欲把一块四边形地BCED辟为水果园，其中

?C??D?90?,BC?BD?3，CE?DE?1。若经过DB上一点P和EC上一点Q铺

设一条道路PQ，且PQ将四边形BCED分成面积相等的两部分，设DP?x,EQ?y。（1）求x,y的关系式；（2）如果PQ是灌溉水管的位置，为了省钱，希望它最短，求PQ的长的最小值；

（3）如果PQ是参观路线，希望它最长，那么P、Q的位置在哪里？

例3．如图，一载着重危病人的火车从O地出发，沿射线OA行驶，其中tan??距离O地5a（a为正数）公里北偏东β角的N处住有一位医学专家，其中sinβ=

1,在33,现有5110指挥部紧急征调离O地正东p公里的B处的救护车赶往N处载上医学专家全速追赶乘有重危病人的火车，并在C处相遇，经测算当两车行驶的路线与OB围成的三角形OBC面积S最小时，抢救最及时.

（1）求S关于p的函数关系； （2）当p为何值时，抢救最及时.

2

例4．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A,B及CD的中点P处，已知AB=20km，AD=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且与A,B等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP，设排污管道的总长为y km。

（1）按下列要求写出函数关系式： D P C ①设∠BAO=? (rad)，将y表示成?的函数关系式 ②设OP?x(km)，将y表示成x的函数关系式

O （2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水

A B 处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。

五、巩固练习：

1．如图1，一个密闭圆柱体容器的底部镶嵌了同

P底的圆锥实心装饰块，容器内盛有a升水．平放在地面,P则水面正好过圆锥的顶点P，若将容器倒置如图2，水面也恰过点P，则圆锥的高等于密闭圆柱体高的

图2图12．某大学的信息中心A与大学各部门、各院系B，C，D，2 D 2 E，F，G，H，I之间拟建立信息联网工程，实际测算的费用如E C 3 4 图所示（单位：万元）。请观察图形，可以不建部分网线，而3 4 1 使得中心与各部门、院系彼此都能连通（直接或中转），则最3 B F A 2 少的建网费用（万元）是 2 5 1 3 1 3．如图，实线部分的月牙形公园是由圆P上的一段优弧和I G 3 圆Q上的一段劣弧围成，圆P和圆Q的半径都是2km，点PH 1 在圆Q上，现要在公园内建一块顶点都在圆P上的多边形活动场地．（1）如图甲，要建的活动场地为△RST，求场地的最大面积； （2）如图乙，要建的活动场地为等腰梯形ABCD，求场地的最大面积．

A R M

B

P Q P C S

D T N

3 M Q N

4．有三个新兴城镇,分别位于A,B,C三点处,且AB=AC=a,BC=2b.今计划合建一个中心医院,为同时方便三镇,准备建在BC的垂直平分线上的P点处.(建立坐标系如图)

y (1)若希望点P到三个镇的距离的平方和最小,点P应位于何处? (2) 若希望点P到三个镇的最远距离最小,点P应位于何处? A 4

P B(-b,0) 0 C(b,0) x

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