丰台区2017-2018第一学期高三数学理科期末试卷

丰台区2017—2018学年度第一学期期末练习 高三数学（理科） 2018.01

第一部分 （选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

，，01}，B?{x|x2?1}，则AUB? （1）已知集合A?{?1，} (A) {?11，0，1} (B) {?1(C) {x|?1?x?1}

(D) {x|x?1}

x（2）“x?1”是“2?1”的

(A) 充分而不必要条件

(C) 充分必要条件 (B) 必要而不充分条件

(D) 既不充分也不必要条件

（3）在极坐标系Ox中，方程??sin?表示的曲线是

(A) 直线

(B) 圆

(C) 椭圆

(D)双曲线

?x?y?1，?（4）若x，y满足?x?y?1， 则z?x?2y的最大值是

?x?0，?(A) ?2 (C) 1

(B) ?1 (D) 2

开始 输入x ?1.5)内， （5）执行如图所示的程序框图，如果输入的x的值在区间[?2，那么输出的y属于

x≥0? 否 是 0.5) (A) [0，1] (C) (0.5，0.5] (B) (0，1) (D) [0.5， x=x+1b y=x 输出y 结束 （6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱的棱长为

(A) 2 (C) 22

(B)

5 (D) 3

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x2y2（7）过双曲线2?2?1(a?0，b?0)的一个焦点F作一条与其渐近线垂直的直线，垂足为A，O为

ab坐标原点，若OA?(A)

1OF，则此双曲线的离心率为 2(B)

2 3

(C) 2

(D)

5

y)|x?Z，y?Z}，非空集合S?U，且S中的点在平面直角坐标系xOy内形成的图（8）全集U={(x，形关于x轴、y轴和直线y?x均对称．下列命题：

3)?S，则(?1，?3)?S； ①若(1，4)?S，则S中至少有8个元素； ②若(0，0)?S，则S中元素的个数一定为偶数； ③若(0，y)|x?y?4，x?Z，y?Z}?S，则{(x，y)||x|?|y|?4，x?Z，y?Z}?S． ④若{(x，其中正确命题的个数是

(A) 1 (B) 2

(C) 3

(D) 4

第二部分 （非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）已知单位向量a，b的夹角为120?，则(a+b)?a? ．

（10）若复数z?(1?i)(1?ai)在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a? ． （11）在(2?x)的展开式中，x项的系数是 （用数字作答）．

（12）等差数列{an}的公差为2，且a2，那么a1? ，数列{an}的前9项和S9? ． a4，a8成等比数列，（13）能够说明“方程(m?1)x2?(3?m)y2?(m?1)(3?m)的曲线是椭圆”为假命题的一个m的值

是 ．

530?x?π，??xsinx，f(x)?g(x)?f(x)?kx(k?R)． （14）已知函数???x，x?π ，① 当k?1时，函数g(x)有 个零点；

② 若函数g(x)有三个零点，则k的取值范围是 ．

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三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题共13分）

在△ABC中，3sin2B?2sinB． （Ⅰ）求角B； （Ⅱ）若a?4，S?ABC2?63，求b的值．

（16）（本小题共13分）

某校为了鼓励学生热心公益，服务社会，成立了“慈善义工社”．2017年12月，该校“慈善义工社”为学生提供了4次参加公益活动的机会，学生可通过网络平台报名参加活动．为了解学生实际参加这4次活动的情况，该校随机抽取100名学生进行调查，数据统计如下表，其中“√”表示参加，“×”表示未参加．

公益 学生 活动 第1次 第2次 第3次 第4次 人数 30 × × √ √ 20 15 12 10 × √ √ × √ × √ √ √ √ × × × √ √ × × × √ √ × × × × a b 根据表中数据估计，该校4000名学生中约有120名这4次活动均未参加． （Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）从该校4000名学生中任取一人，试估计其2017年12月恰参加了2次学校组织的公益活动的概率； （Ⅲ）已知学生每次参加公益活动可获得10个公益积分，任取该校一名学生，记该生2017年12月获得的公益积分为X，求随机变量X的分布列和数学期望E(X)．

（17）（本小题共14分）

在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA?底面ABCD，E，F分别是AB，PC的中点，PA?AD?2，CD?2．

P（Ⅰ）求证：EF//平面PAD；

（Ⅱ）求PC与平面EFD所成角的正弦值；

（Ⅲ）在棱BC上是否存在一点M，使得平面PAM?平面

EFD？若存在，求出

BM的值；若不存在，请说明理由． BCFAEBCD丰台区高三数学第一学期期末试题（理科）第 3 页 共 4 页

（18）（本小题共13分）

已知函数f(x)=x2?ax?a2lnx(a?R)． （Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若f(x)?0恒成立，求实数a的取值范围．

（19）（本小题共14分）

0)的距离和它到直线x??1的距离相等，记点P的轨迹在平面直角坐标系xOy中，动点P到点F(1，为C．

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）设点A在曲线C上，x轴上一点B（在点F右侧）满足AF?FB．平行于AB的直线与曲线C相切于点D，试判断直线AD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

（20）（本小题共13分）

?5an?1?3an?2,an?1?an?2为偶数,在数列{an}中，若a1，a2是整数，且an?? (n?N*，且n≥3)．

a?a,a?a为奇数,?n?1n?2n?1n?2（Ⅰ）若a1=1，a2=2，写出a3，a4，a5的值；

（Ⅱ）若在数列{an}的前2018项中，奇数的个数为t，求t的最大值；

（Ⅲ）若数列{an}中，a1是奇数，a2?3a1，证明：对任意n?N*，an不是4的倍数．

（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）

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