第二章 导数与微分课后答案

第二章 导数与微分

内容概要 名称 主要内容 导数的定义f?(x0)?limf(x0??x)?f(x0) ?x?0?xf(x0?h)?f(x0)f?(x0)?lim h?0h 函数的求导法则f?(x0)?limx?x0f(x)?f(x0) x?x0(1) 导数的四则运算法则 i.[u(x)?v(x)]??u?(x)?v?(x) ??ii.[u(x)?v(x)]??u?(x)v(x)?u(x)v?(x) iii.[u(x)u?(x)v(x)?u(x)v?(x)]??(v(x)?0) 2v(x)v(x) (2) 复合函数的求导法则(链式法则) dydydu?? dxdudx(1)求隐函数的导数时,只需将确定隐函数的方程两边同时对自变量x求导,凡遇到含有因变量y隐函数的导数 的项时,把y当作中间变量看待,再按照复合函数求导法则求之,然后从所得等式中解出dy dx(2)对数求导法:对幂指函数y?u(x)v(x),可以先在函数两边取对数,然后在等式两边同时对自变量x求导,最后解出所求导数 反函数的导数等于直接函数导数的倒数,即 反函数的导数 f?(x)?1,其中x??(y)为y?f(x)的反函数 ??(y) (1) 直接法:利用基本求导公式及导数的运算法则,对函数逐次地连续求导 (2) 间接法:利用已知的高阶导数公式,通过导数的四则运算,变量代换等方法,间接求出指定的高阶高阶导数导数 (3)莱布尼茨公式 (uv)(n)kn?kk??Cnuv k?0n

课后习题全解

习题2-1

★ 1. 用定义求函数

y?x3在x?1处的导数.

知识点：函数在某点处导数的定义

思路：按照三个步骤：(1)求增量；（2）算比值；（3）求极限 解： ?y　?(1??x)3?13?3?x?3(?x)2?(?x)3

?y　　　?3?3?x?(?x)2?x

?y　　y?|x?1?lim?lim(3?3?x?(?x)2)?3?x?0?x?x?0★ 2. 已知物体的运动规律s?t2(m),求该物体在t?2(s)时的速度.

知识点：导数的定义

思路： 根据导数的定义，按照三个步骤求导

s(2??t)?s(2)(2??t)2?22?t2?4?t?lim?lim?4 解: 　v|t?2?lim?t?0?t?0?t?0?t?t?t3. 设

f?(x0)存在，试利用导数的定义求下列极限：

知识点：导数的定义

f(x0?h)?f(x0)?f?(x0)求极限

h?0hf(x0??x)?f(x0)★(1)lim

?x?0?xf(x0??x)?f(x0)f(x0??x)?f(x0)＝－lim＝－f?(x0) 解：lim?x?0?x?0?x－?xf(x0?h)?f(x0?h)★(2)lim

h?0hf(x0?h)?f(x0?h)f(x0?h)?f(x0)?f(x0)?f(x0?h)?lim　　解：lim

h?0h?0hhf(x0?h)?f(x0)f(x0?h)?f(x0)?lim?lim?f?(x0)?f?(x0)?2f?(x0) h?0 h?0h?h思路：利用导数的定义式limf(x0??x)?f(x0?2?x)

?x?02?xf(x0??x)?f(x0?2?x)f(x0??x)?f(x0)?f(x0)?f(x0?2?x)＝lim解：lim

?x?0?x?02?x2?xf(x0??x)?f(x0)f(x0?2?x)?f(x0)113＝lim?lim＝f?(x0)+f?(x0)＝f?(x0) ?x?02?x?0?x?2?x22　　★★ (3)

lim★★ 4.设

f(x)在x?2处连续，且limx?2f(x)?2，求f?(2). x?2知识点:导数和连续的定义

思路: 关键求出f(2),再利用导数的定义 解:

f(x)在x?2处连续

x?2?f(2)?limf(x)

又limf(x)?lim(x?2)?x?2x?2f(x)f(x)f(x)?lim(x?2)?lim?0?lim?0 x?2x?2x?2x?2x?2x?2?f(2)?0?f?(2)?limx?2 f(x)?f(2)f(x)?lim?2x?2x?2x?2★ 5.给定抛物线

y?x2?x?2,求过点(1,2)的切线方程与法线方程.

知识点：导数的几何意义

思路：利用导数的几何意义得切线的斜率

解:y??2x?1 ?切线的斜率k?y?|x?1?21?1?1

?切线的方程为y?2?1(x?1),即y?x?1

法线方程为y?2?(?1)(x?1),即y??x?3

★ 6.求曲线

1)处的切线方程和法线方程. y?ex在点(0，知识点：导数的几何意义

思路：利用导数的几何意义得切线的斜率 解: y??e ?切线的斜率k?y?|x?0?e0?1

x?切线的方程为y?1?1(x?0),即y?x?1

法线方程为y?1??(x?0),即y??x?1

11★ 7.函数

?x2?1,0?x?1在点x?1处是否可导?为什么? f(x)??1?x?3x?1,知识点：函数在某点可导的充要条件

思路：利用导数的定义求左右导数，然后利用函数在某点可导的充要条件判别 解：f??(1)?lim?x?1f(x)?f(1)3x?1?2?lim?3 x?1?x?1x?1f(x)?f(1)x2?1?2f??(1)?lim?lim?2

x?1?x?1?x?1x?1

f??(1)?f??(1) ?f(x)在x?1处不可导.

★ 8.用导数的定义求

x?0?x,在x?0处的导数. f(x)??ln(1?x),x?0?知识点：函数在某点可导的充要条件

思路：利用导数的定义求左右导数，然后利用函数在某点可导的充要条件 解: f??(0)?lim?f(x)?f(0)ln(1?x)?0?lim?1 ?x?0x?0x?0x?0f(x)?f(0)x?0f??(0)?lim?lim?1

x?0?x?0?x?0x?0?f??(0)?f??(0) ?f?(0)?f??(0?)?f★★ 9.设

(?0)

?sinx,x?0,求f?(x). f(x)??x?0?x,知识点：分段函数的导数

思路：分段函数在每一段内可以直接求导，但是在分段点处要利用导数的定义求导 解：当x?0时，f?(x)?(sinx)??cosx

当x当x?0时，f?(x)?x??1 ?0时，f??(0)?lim?f(x)?f(0)x?lim?1

x?0x?0?xx?0f(x)?f(0)sinx?lim?1 f_?(0)?limx?0?x?0?x?0x?f?(0)?1

?cosx,x?0 ??f(x)??x?0?1,1?2?xsin,x?0★★ 10.试讨论函数y??在x?0处的连续性与可导性. x?x?0?0,知识点：函数在某点连续与可导的定义

思路：利用函数在某点连续与可导的定义判断 解: limf(x)?limxsinx?0x?021?0?f(0) x ?y?f(x)在x?0处连续.

1(?x)2sin?0?y?x lim?lim??x?0?x?x?0?x12 ?y?xsin在x?0处可导.

x★★ 11.设

x?0?li?mx[(1)s?in ?x]0?(x)在x?a处连续, f(x)?(x2?a2)?(x),求f?(a).

知识点：函数在某点处导数的定义 思路：利用导数的定义求导数 解:?(x)在x?a处连续

?lim?(x)??(a)x?a

f(x)?f(a)(x2?a2)?(x)?0?f?(a)?lim?lim?lim(x?a)?(x)?2a?(a)x?ax?ax?ax?ax?a★★ 12.设不恒为零的奇函数

f(x)在x?0处可导,试说明x?0为函数f(x)x的何种间断点.

知识点：导数以及间断点的定义

思路：利用导数的定义求极限 解:

又

f(x)为奇函数 ?f(0)?f(?0)??f(0) ?f(0)?0

f(x)?f(0)'f(x)?f(0)lim?f?(0) f(x)在x?0处可导 ?lim即

x?0x?0x?0xf(x)在x?0处有极限. ?xf(x)?x?0为函数的可去间断点.

x★★ 13.当物体的温度高于周围介质的温度时,物体就不断冷却,若物体的温度T与时间t的函数关系为

T?T(t),应怎样确定该物体在时刻t的冷却速度?

知识点: 导数的定义

思路: 导数反映的是函数的变化率,在t时刻的冷却速度即为函数T?T(t)对时间t的导数 解:t时刻该物体的温度为T?T(t),则t??t时刻物体的温度为T?T(t??t),

?物体在t时刻的冷却速度v(t)?lim★★★ 14.设函数

T(t??t)?T(t)dT??T?(t).

?t?0?tdtf(x)在其定义域上可导,若f(x)是偶函数,证明f?(x)是奇函数;若f(x)是奇函数,

则

f?(x)是偶函数(即求导改变奇偶性).

知识点：导数的定义

思路：利用导数的定义求导数

解:若f(x)为偶函数时, f(?x)?f(x)

?f?(?x)?limf(?x??x)?f(?x)f(x??x)?f(x)＝lim?x?0?x?0?x?x

f(x??x)?f(x)＝-lim?－f?(x)??x?0??x ?f?(x)为奇函数.

若

f(x)为奇函数时, f(?x)??f(x)

?f?(?x)?limf(?x??x)?f(?x)?f(x??x)?f(x)＝lim?x?0?x?0?x?x

f(x??x)?f(x)＝lim?f?(x)??x?0??x?f?(x)为偶函数. 　习题2-2

★ 1. 计算下列函数的导数：

知识点：基本初等函数的导数和导数的四则运算法则

思路：利用基本初等函数的导数和导数的四则运算法则求导数

(1)

y?3x?5x;

52x

解: y??(3x?5x)??(3x)??(5x)??3?(2)

y?5x2?3x?3ex;

2xx2xxxx解: y??(5x?3?3e)??(5x)??(3)??(3e)??10x?3ln3?3e

(3)

y?2tanx?secx?1;

2解: y??(2tanx?secx?1)??(2tanx)??(secx)??(1)??2secx?secxtanx

(4)

y?sinx?cosx;

22解: y??(sinx?cosx)??(sinx)?cosx?sinx(cosx)??cosx?sinx?cos2x

(5)

y?x3lnx;

1?x2(3lnx?1) x33323解: y??(xlnx)??(x)?lnx?x(lnx)??3xlnx?x(6)

y?excosx;

xxxxx解: y??(ecosx)??(e)?cosx?e(cosx)??ecosx?esinx

(7)

y?lnx; x1x?lnx(lnx)?x?x?lnxx1?lnx解:y?? ??222xxx(8)y?(x?1)(x?2)(x?3);

解:y??(x?1)?(x?2)(x?3)?(x?1)(x?2)?(x?3)?(x?1)(x?2)(x?3)?

?(x?2)(x?3)?(x?1)(x?3)?(x?1)(x?2)

(9)s?1?sint;

1?cost解:s??(1?sint)?(1?cost)?(1?sint)(1?cost)?cost(1?cost)?(1?sint)(?sint)? 22(1?cost)(1?cost)1?sint?cost

(1?cost)2 ?(10)

y?3xsinx?axex;

解：y??(3xsinx)??(axex)??(3x)?sinx?3x(sinx)??(ax)?ex?ax(ex)?

11?2xxxx ?x3sinx?x3cosx?aelna?ae

3(11)

y?xlog2x?ln2;

1 ln2解:y??(xlog2x)??(ln2)??x?log2x?x(log2x)??0?log2x?5x2?3x?4(12)y?. 2x?1(5x2?3x?4)?(x2?1)?(5x2?3x?4)(x2?1)?解:y'?

(x2?1)2(10?3x)(x2?1)?(5x2?3x?4)(2x)3(x2?6x?1) ? ?2222(x?1)(x?1)★ 2.计算下列函数在指定点处的导数:

知识点：基本初等函数的导数和导数的四则运算法则

思路：利用基本初等函数的导数和导数的四则运算法则求导数

3x3?(1)y?3?x3,求

y?(0);

13x332??y(0)?解:y??( )??()???x33?x3(3?x)2(2)

y?ex(x2?3x?1),求y?(0).

x2x2xx2解:y????e(x?3x?1)???e(x?3x?1)?e(2x?3)?e(x?x?2)

??y?(0)?ex(x2?x?2)★ 3.求曲线

x?0?1(1?1?2)??2

y?2sinx?x2上横坐标为x?0的点处的切线方程与法线方程.

知识点：导数的几何意义，基本初等函数的导数和导数的四则运算法则 思路：利用基本初等函数的导数和导数的四则运算法则求导数得切线的斜率

解:y??2cosx?2x ?在x?0的点处切线的斜率k?y?|x?0?2cos0?20?2

又当x?0时,y?0 ?在x?0的点处切线方程为y?2x，法线方程为y??1x 2★ 4.写出曲线

y?x?1与x轴交点处的切线方程. x知识点：导数的几何意义，基本初等函数的导数和导数的四则运算法则 思路：利用基本初等函数的导数和导数的四则运算法则求导数得切线的斜率 解:y??(x?)??1?1 x21当y?0时，即x??0 解得x?1或?1 ?曲线与x轴的交点为(1,0),(?1,0)

x1x ?点(1,0)处的切线的斜率为k1?y?|x?1?2 ?切线方程为y?2(x?1)，即y?2x?2 ?y?|x??1?2 ?切线方程为y?2(x?1)，即y?2x?2

?点(?1,0)处的切线的斜率为k2★ 5.求下列函数的导数:

知识点：基本初等函数的导数以及复合函数的求导法则 思路：利用链式法则求复合函数的导数

(1)

y?cos(4?3x);

解:y???cos(4?3x)???(4?3x)???sin(4?3x)(?3)?3sin(4?3x)

(2)

y?e?3x22;

22解:y??(e?3x)??e?3x?(?3x2)???6xe?3x(3)

y?a2?x2(a2?x2)?2a?x22;

解:y???12a?x22(?2x)??xa?x22

(4)

y?tan(x2);

解:y??sec2(x2)?(x2)??2xsec2(x2)

(5)

y?arctan(ex);

(ex)?ex解:y'??1?(ex)21?e2x(6)

y?arcsin(1?2x);

解:y??(1?2x)?1?(1?2x)2??1x?x2

(7)

y?arccos1; x11()?21x解:y??? ?x?2111?()21?2|x|x?1xx(8)

y?ln(secx?tanx);

11(secx?tanx)??(secxtanx?sec2x)?secx

secx?tanxsecx?tanx解:y??(9)

y?ln(cscx?cotx).

11(cscx?cotx)???(?cscxcotx?csc2x)?cscx

cscx?cotxcscx?cotx解:y??★ 6.求下列函数的导数:

知识点：导数的四则运算法则和复合函数的求导法则

思路：利用导数的四则运算法则和复合函数的求导法则求导数

(1)

y?(2?3x2)1?5x2; 2222解:y??(2?3x)?1?5x?(2?3x)?(1?5x)??x(16?45x2)1?5x2

(2)

y?lnx?lnx; 1(lnx)?11?(x)????x2lnx2x2xlnx

解:y??(3)

y?ln1?x1?x; 11?x1?x1?x2x解:y???()???1?x1?x1?x(4)

?(1?x)?12x(1?x)2?(1?x)?1(1?x)?x

y?lntanx; 2解:y??x1x11?(tan)???sec2???cscx xx222sinxtantan221(5)

y?lnlnx;

11?(lnx)?? lnxxlnx解:y??(6)

y?x1?x2?arcsinx;

22解:y??1?x?x?(1?x)??11?x2?1?x2?x??2x21?x2?11?x2?21?x2

(7)

xy?(arcsin)2;

2解:y??2arcsinxxx1x?(arcsin)??2arcsin??()??2221?(x2)222arcsin4?xx22

(8)

y?1?ln2x; (1?ln2x)?21?lnxx2解:y???2lnx(lnx)?21?lnx2?2lnx(1x)21?lnx2?lnxx1?lnx2

(9)

y?earctan 解:y??earctanx?(arctanx)??earctanx(x)?arctan??e1?(x)2x11earctanx ???21?x2x2x(1?x)(10)

y?10xtan2x;

xtan2x解:y??10 ?10?ln10?(xtan2x)??10xtan2xln10[tan2x?xsec22x?(2x)?] ln10(tan2x?2xsec22x)

xtan2xe4x(11)y?ln; 4xe?1

解:y?11[lne4x?ln(e4x?1)]?2x?ln(e4x?1) 2211(e4x?1)?2e4x4x?y??[2x?ln(e?1)]??2??4x?2?4x

22e?1e?1(12)

y?e?sin21x.

11?sin2?sin2111111x?(?sin)??e?(?2sin)?(sin)??ex?(?2sin)?(cos)?()?

xxxxxx2解:y??e?sin21x1?sin212xsin ?2exx★★ 7.设

f(x)为可导函数,求

dy: dx知识点：复合函数的导数

思路：利用链式法则求复合函数的导数

(1)

y?f(x3);

解:y??f?(x3)?(x3)??3x2f?(x3)

(2)

y?f(sin2x)?f(cos2x);

222222解:y??f?(sinx)?(sinx)??f?(cosx)?(cosx)??sin2x[f?(sinx)??f?(cosx)] (3)y?f(arcsin).

解:y??f?(arcsin)?(arcsin)??f?(arcsin)?1x1x1x1x11?1x2?(?1) 2x ??f?(arcsin)?11 2x|x|x?1★★ 8.设

f(1?x)?xe?x,且f(x)可导,求f?(x).

知识点：抽象函数的导数

思路：利用换元法求函数表达式，然后求导数 解:令1?x?t,则x?1?t

?f(t)?(1?t)e?(1?t)?(1?t)et?1 ?f(x)?(1?x)ex?1 ?f?(x)?[(1?x)ex?1]??(1?x)?ex?1?(1?x)(ex?1)???xex?1

★★ 9.设

f(u)为可导函数，且f(x?3)?x5，求f?(x?3),f?(x).

知识点：复合函数的导数

思路：f?(x?3)表示对(x?3)的导数，f?(x)表示对x的导数，注意求导的变量 解: 由f(x?3)?x5有 f(x?3)?[(x?3)?3]5

?f?(x?3)?5[(x?3)?3] 令x?3?t,则x ?4?1?5x4

?t?3

f(t)?(t?3)5 ?f(x)?(x?3)5 ?f?(x?3)?(x5)??5x4

1xf()?，求f?(x). x1?x★★ 10.已知

知识点：抽象函数的导数

思路：利用换元法求函数表达式，然后求导数

11?t,则x? xt11111)??? ?f(x)? ?f?(x)?( ?f(t)?t?211?t1?x1?x(1?x)1?t解:令

★★ 11.已知

?(x)?af2(x),且

f?(x)?1,证明??(x)?2?(x).

f(x)lna知识点：复合函数的导数 思路：利用链式法则求导数 解:??(x)?af由

2(x)?lna?[f(x)]??2af22(x)lna?f(x)?f?(x)

???(x)?2af2(x)f?(x)?11，得f?(x)?f(x)?lnaf(x)lna?2?(x)

★★ 12.设

f(x)在(??,??)内可导,且F(x)?f(x2?1)?f(1?x2),证明:F?(1)?F?(?1)

知识点: 复合函数的导数

思路: 利用链式法则求导

解:由F(x)?f(x?1)?f(1?x),有

22F?(x)?f?(x2?1)?2x?f?(1?x2)?(?2x) ?F?(1)?2f?(0)?2f?(0)?0

F?(?1)??2f?(0)?2f?(0)?0 ?F?(1)?F?(?1)

★ 13.求下列函数的导数:

知识点：复合函数的导数 思路：利用链式法则求导数

(1)

y?ch(shx);

解:y??sh(shx)?(shx)??sh(shx)?chx

(2)

y?shx?echx;

解:y??(shx)??echx?shx?echx?(shx)??chx?echx?shx?echx?shx?echx(chx?sh2x)

(3)

y?th(lnx);

解:y??11? ?(lnx)?ch2lnxx?ch2(lnx)(4)

y?sh3x?ch2x;

解:y??3sh2x?(shx)??2chx?(chx)??3sh2x?chx?2chx?shx

(5)

y?arch(e2x);

2x解:y??[arch(e)]??1e4x?1?(e2x)??1e4x?1?2e2x

(6)

y?arsh(1?x2).

解:y??习题2-3

11?(1?x)2?(1?x2)??2x1?(1?x)2 ★ 1.求下列函数的二阶导数:

知识点：高阶导数

思路：利用基本求导公式及导数的运算法则,对函数逐次求导

(1)

y?x5?4x3?2x;

423解:y??5x?12x?2 y???20x?24x

(2)

y?e3x?2;

3x?2解:y??e(3)

?(3x?2)??3e3x?2 y???3e3x?2?(3x?2)??9e3x?2

y?xsinx;

解:y??x?sinx?x(sinx)??sinx?xcosx

y???(sinx)??x?cosx?x(cosx)??2cosx?xsinx

(4)

y?e?tsint;

解:y??(e?t)?sint?e?t(sint)??e?t(cost?sint)

y???(e?t)?(cost?sint)?e?t(cost?sint)???2e?tcost

(5)

y?1?x2; 解:y??(1?x2)?21?x2??x1?x2

y????x?1?x2?x(1?x2)?(1?x)221?x2?x(?x??1?x21?x2)??1(1?x)23

(6)

y?ln(1?x2);

(2x)?(1?x2)?2x(1?x2)?2(1?x2) y???? ??2222(1?x)(1?x)(1?x2)?2x??解:y??1?x21?x2(7)

y?tanx;

解:y??sec2x y???2secx?(secx)??2secx2tanx

(8)

y?1;

x2?1

?(x2?1)?2x解:y????(x2?1)2(x2?1)2(2x)?(x2?1)?2x?[(x2?1)2]?2(x2?1)?2x?2(x2?1)2?2x6x2?2y???????2(x2?1)4(x2?1)4(x?1)3(9)

y?xex2.

22222解:y??x?ex?x(ex)??ex?xex(x2)??ex(1?2x2)

y???(ex)?(1?2x2)?ex(1?2x2)??2xex(1?2x2)?ex?4x?2xex(3?2x2)

★ 2.设

22222f(x)?(3x?1)10,求f???(0).

知识点：高阶导数

思路：利用基本求导公式及导数的运算法则,对函数逐次求导 解:f?(x)?10(3x?1)?(3x?1)??30(3x?1)

99f??(x)?30?9(3x?1)8(3x?1)??810(3x?1)8

?194 40f???(x)?810?8(3x?1)7(3x?1)??19440(3x?1)7 ?f???(0)★ 3.已知物体的运动规律为s?Asin?t(A,?是常数),求物体运动的加速度,并验证:

d2s??2s?0. 2dt知识点：高阶导数

思路：利用基本求导公式及导数的运算法则,对函数逐次求导 解:s??A?cos?t s???A?2sin?t

d2sd2s2?a?2??A?sin?t ?2??2s??A?2sin?t?A?2sin?t?0

dtdt★ 4.验证函数

y?C1e?x?C2e??x(?,C1,C2是常数)满足关系式: y????2y?0

知识点：高阶导数

思路：利用基本求导公式及导数的运算法则,对函数逐次求导 解:y??C1?e?x?C2?e??x y???C1?2e?x?C2?2e??x

?y????2y??2(C1e?x?C2e??x)??2(C1e?x?C2e??x)?0

★★ 5.设

g?(x)连续,且f(x)?(x?a)2g(x),求f??(a).

知识点: 导数的定义

思路: 因为g??(x)不一定存在,不能直接求二阶导数,要利用导数的定义求 解:f?(x)?2(x?a)g(x)?(x?a)g?(x) ?f?(a)?0

又

2g?(x)连续,但g?(x)不一定存在 ?limg?(x)?g?(a)

x?a?f??(a)?limx?af?(x)?f?(a)f?(x)?lim?lim[2g(x)?(x?a)g?(x)]?2g(a) x?ax?ax?ax?a★★ 6.若

d2yf??(x)存在,求下列函数的二阶导数2:.

dx知识点: 高阶导数,复合函数的求导法则 思路: 利用链式法则求导 (1)y?f(x);

解:y??f?(x)?3x ?y???6xf?(x)?3xf??(x)?3x?6xf?(x)?9xf??(x) (2)y?ln[f(x)].

3232323433f?(x)f??(x)?f(x)?[f?(x)]2解:y?? ?y???f(x)[f(x)]2

★★★ 7.已知

?ax2?bx?c,x?0在x?0处有二阶导数,试确定参数a,b,c的值. f(x)??x?0?ln(1?x),知识点：可导与连续的定义，以及可导与连续的关系

思路：由已知条件得方程组，联立方程组求解 解:

f(x)在x?0处有二阶导数 ?f(x)在x?0处连续，且f?(x)在x?0处连续

x?0从而有

2lim?f(x)?f(0)，即lim(ax?bx?c)?0 ?c?0

?x?0 又

f(x)在x?0处可导 ?f??(0)?f??(0)

x?0 而

f??(0)?lim?f(x)?f(0)ln(1?x)?lim?1 x?0?x?0x

f(x)?f(0)ax2?bxf_?(0)?lim?lim?b

x?0?x?0?x?0x ?b?1，且

f??(0)?f??(0)?1

?2ax?1,x?0?1? ?f?(x)??,x?0

1?x?,x?0??1 又

f(x)在x?0处二阶可导 ?f???(0)?f???(0)

1?1f?(x)?f?(0)1?x??(0)?lim 而 f??lim??1 ??x?0x?0xxf?(x)?f?(0)(2ax?1)?1?lim?2a f???(0)?lim?x?0?x?0xx1 ?2a??1，即a??

28.求下列函数所指定阶的导数:

知识点：高阶导数

思路: 利用已知的高阶导数公式和莱布尼茨公式求高阶导数

★ (1)

y?excosx,求y(4);

?ex?4ex(?sinx)?6ex(?cosx)?4exsinx?(?cosx)

y?xlnx,求y(n);

解:y(4)★★ (2)

(n)解:y?x(lnx)(n)?n(lnx)(n?1)?x(?1)n?1(n?1)!n?2(n?2)!?n?(?1) xnxn?11,求y(n); 2x?3x?2111??解:y?2

x?3x?2x?2x?1★★ (3)

y??y(n)?(★★ (4)

1(n)1(n)n!n!n)?()?(?1)n?(?1)x?2x?1(x?2)n?1(x?1)n?1

y?sin4x?cos4x,求y(n).

4422222解:y?sinx?cosx?(sinx?cosx)?2sinxcosx?1?(n)?y?

1231sin2x??cos4x 2441?(cos4x)(n)?4n?1cos(4x?n?) 42d2ydy2x??ye?0. ★★★ 9.作变量代换x?lnt简化方程2,dxdx知识点: 高阶导数

思路: 利用链式法则求导

dydydx1dydydy?????t解: dtdxdttdx dtdt

d2yddyd1dy1dy1ddy1dy1d2ydx?()?()??2?()??2?? 又dt2dtdtdttdxtdxtdtdxtdxtdx2dt1dy1d2y?22 ??tdttdxd2y2d2ydy?2?t?tdxdt2dt

d2yd2y2?yt?0 即 2?y?0 代入方程得tdt2dt2习题2-4

1.求下列方程所确定的隐函数

y的导数

dydx:

知识点: 隐函数的导数

思路: 方程两边同时对自变量x求导,凡遇到含有因变量y的项时,把y当作中间变量看待,再按照复合

函数求导法则求之,然后从所得等式中解出

dy dx★(1)

xy?ex?y;

x?y解:方程两边同时对x求导,得 y?xy??e(1?y?)

y?ex?y 解得y??x?ye?x★ (28)

xy?sin(?y2)?0;

解:方程两边同时对x求导,得 y?xy??cos(?y2)?2?yy??0

解得

y??y2?ycos(?y2)?x

★ (3)

exy?y3?5x?0;

解:方程两边同时对x求导,得 exy?(y?xy?)?3y2y??5?0

5?yexy 解得y??xexy?3y2★ (4)

y?1?xey;

解:方程两边同时对x求导,得 y??ey?xeyy?

ey 解得y??1?xey★ (5)arctan

y?lnx2?y2x解:方程两边同时对x求导,得

.

2x?2yy?y?x?y22x2?2x?y 即?y?xy??x?yy? 解得y??x?y y2x?yx2?y21?2xd2y2.求下列方程所确定的隐函数y的导数: 2dx知识点: 隐函数的导数,高阶导数

思路: 方程两边同时对自变量x求导,凡遇到含有因变量y的项时,把y当作中间变量看待,再按照复合

函数求导法则求之,然后从所得等式中解出求导

★★ (1)

dy,再对一阶导数利用导数四则运算法则和复合函数求导法则dxb2x2?a2y2?a2b2

22'b2x解:方程两边同时对x求导,得 2bx?2ayy??0 解得y??2

ayb2y?xy?b2a2y2?b2x2b2a2b2b4?y????2???2???2?23??23

ay2aa2y3aayay★★ (2)siny?ln(x?y);

解: 方程两边同时对x求导,得 cosy?y??11 (1?y?) 解得y??(x?y)cosy?1x?y(1?y')cosy?(x?y)(?siny)?y'(x?y)cos2y?(x?y)siny?y????2

[(x?y)cosy?1][(x?y)cosy?1]3''★★ (3)

y?tan(x?y).

解: 方程两边同时对x求导,得 y??sec2(x?y)(1?y?)

?sec2(x?y)122 解得y????1???1?cot(x?y)??csc(x?y) 22sec(x?y)?1sec(x?y)?1 ??2csc2(x?y)cot3(x?y)

3.用对数求导法则求下列函数的导数:

知识点: 对数求导法

思路: 在函数两边取对数,然后在等式两边同时对自变量x求导,最后解出所求导数

★ (1)

y?(1?x2)tanx;

2解:等式两边同时取对数,得 lny?tanxln(1?x)

等式两边同时对x求导,得

12xy??sec2xln(1?x2)?tanx?y1?x22xtanx] 21?x

?y??(1?x2)tanx[sec2xln(1?x2)?5★★ (2)

y?x?333x?2

x?2解: 等式两边同时取对数,得

111lny?ln(x?3)?ln(3x?2)?ln(x?2)

532等式两边同时对x求导,得

11(x?3)?1(3x?2)?1(x?2)?y??????? y5x?333x?22x?2?y??5x?333x?2111[??] 5(x?3)3x?22(x?2)x?2★★ (3)

y?x?2(3?x)4(x?1)5

解:等式两边同时取对数,得

1ln(x?2)?4ln(3?x)?5ln(x?1) 2等式两边同时对x求导,得 lny?11145 y?????y2x?23?xx?1?y??★ 4.设函数

x?2(3?x)4145[??] 5(x?1)2(x?2)3?xx?1y?y(x)由方程y?xey?1确定,求y?(0),并求曲线上其横坐标x?0处点的切线方程

与法线方程.

知识点:隐函数导数和导数的几何意义

思路: 方程两边同时对自变量x求导,凡遇到含有因变量y的项时,把y当作中间变量看待,再按照复合

函数求导法则求之,然后从所得等式中解出

dy dxyey解: 方程两边同时对x求导,得 y??e?xey??0 解得 y??1?xeyy

当x?0时,y?1 ?在x?0处切线的斜率k?y?(0)?e

?0处的切线方程为y?1?ex,即y?ex?1

?x 法线方程为

11y?1??x,即y??x?1

ee?x?ln(1?t2)★★ 5.求曲线?在t?1对应点处的切线方程和法线方程.

?y?arctant知识点: 参数方程表示的函数的导数

思路: 利用参数方程表示的函数的求导公式求导

1dy1dy1?t21解:?? ?|t?1?

2tdx2dx2t21?t?当t?1时,x?ln2,y?

4?111?? 在t?1对应点处的切线方程为y??(x?ln2), 即y?x?ln2?

42224????2(x?ln2), 即y??2x?2ln2? 法线方程为y?44

6.求下列参数方程所确定的函数的导数

dy: dx知识点: 参数方程表示的函数的导数

思路: 利用参数方程表示的函数的求导公式求导

?x?at2★ (1) ?;

3?y?btdyyt?3bt23bt解:???dxxt?2at2a

?x?etsint★ (2) ?;

t?y?ecostdyyt?etcost?etsintcost?sint解: ???dxxt?etsint?etcostsint?cost

?x?cos2t★ (3) ?.

2?y?sint解:

dyyt?2sintcost????1

?dxxt?2costsintdy: dx7.求下列参数方程所确定的函数的导数

知识点: 参数方程表示的函数的导数

思路: 利用参数方程表示的函数的求导公式求一阶导数,再将t看作中间变量利用复合函数求导法则求二

阶导数,

?x?3e?t★★ (1) ?t?y?2e;

dyyt?2et22t解: ????e t?dxxt?3e3d2yd22td22tdt42t143t?(?e)?(?e)??e?(?)?e dx2dx3dt3dx33e?t9?x?1?t2★★ (2) ?;

3?y?t?tdyyt?1?3t21?3t2解: ????dxxt??2t2t

d2yd1?32td1?32tdt?62?t21)?(?)??2? ?2?(?dxdx2tdt2tdx4t?223?t1??3 t4t?x?ln(1?t2)★★ (3) ?.

?y?t?arctant12d2ydtdtdt11?t21?t2dyyt?t1?t?解: ??? 2?()?()??2tdxdx2dt2dx22t4tdxxt?21?t2★★ 8.落在平静水面上的石头,产生同心波纹,若最外一圈波半径的增大率总是6m/2,问在2s末扰动水

1?面面积的增大率为多少?

知识点: 导数的定义

思路: 导数反映的函数的变化率,列出函数求导

解:设最外一圈波半径为r,则水面面积s??r

2?扰动水面面积的增大率

ds2?rdrdr??2?r (*) dtdtdtdr?6m/s 在t?2s时,r?6?2?12m. dtds?2??12?6?144?(m2/s) 代入(*)式得dt★★ 9.一长为5米得梯子斜靠在墙上.如果梯子下端以0.5米/秒的速率滑离墙壁,试求梯子与墙的夹角为

?3时,该夹角的增加率.

知识点: 导数的定义

思路: 导数反映的函数的变化率,列出函数求导 解:设梯子下端离墙面的距离为L,则L?0.5t

设梯子与墙的夹角为?,则sin??L0.5tt??5510,即0.5t ???arcsint 10当???3时,L?5sin?3?532?532 ?t?53 ?当???3时,夹角?的增加率为

d??dt110t1?()210|t?53?1 5★★ 10.在中午十二点整甲船以6公里/小时的速率向东行驶,乙船在甲船之北16公里处,以8公里/小时的

速率向南行驶,问下午一点整两船相距的速率为多少?

知识点: 导数的定义

思路: 导数反映的函数的变化率,列出函数求导

解:在十二点后t小时甲船行驶的路程s甲?6t(km),乙船行驶的路程为s乙?8t(km)

当0?t?2时,甲乙两船的距离s甲乙?(16t)2?(16?8t)2?36t2?64(2?t)2 ?当t?1时,甲乙两船相距的速率

习题2-5

★ 1.已知

ds甲乙?256?200t?|??2.8km/h

22t?1dt236t?64(2?t)y?x3?1，在点x?2处计算当?x分别为1，0.1，0.01时的?y及dy之值.

知识点：函数增量以及函数微分的定义

思路：利用函数增量以及函数微风的定义计算即可

解：?y?f(2??x)?f(2)?(2??x)3?8 dy|x?2?f?(2)dx?12dx

(1)当?x?1时，?y?33?8?19 dy?12?1?12

(2) 当?x?0.1时，?y?(2.1)3?8?1.261 dy?12?0.1?1.2

(3) 当?x?0.01时，?y?(2.01 dy?12?0.01?0.12 )3?8?0.120601★ 2.将适当的函数填入下列括号内，使等式成立：

知识点：微分形式的不变性

思路：利用dy?f?(u)du求函数微分

(1)

d()?5xdx

5222解：?d(x)?2xdx ?d(x?c)?5xdx

(2)

d()?sin?xdx

1解：?d(cos?x)???sin?xdx ?d(?(3)

?cos?x?c)?sin?xdx

d()?1dx 2?x11dx ?d(ln(2?x)?c)?dx 2?x2?x解：?d(ln(2?x))?(4)

d()?e?2xdx

?2x解：?d(e(5)

1)??2e?2xdx ?d(?e?2x?c)?e?2xdx

2d()?1dx x12xdx ?d(2x?c)?1dx x解：?d(x)?(6)

d()?sec22xdx

2x?c)?sec2xdx解：?d(tan2x)?2sec22xdx ?d(tan

3.求下列函数的微分：

122知识点：基本初等函数的导数，导数的四则运算法则，复合函数的导数，以及微分的定义 思路：利用dy?f?(x)dx求函数微分

★ (1)

y?lnx?2x

1111 ?dy?(??)dx

xxxx解：y??★（2）

y?xsin2x

解：y??sin2x?2xcos2x ?dy?(sin2x?2xcos2x)dx

★ (3)

y?x2e2x

解: y??(x2)?e2x?x2(e2x)??2x(1?x)e2x ?dy?2x(1?x)e2xdx

★ (4)

y?ln1?x3(1?x3)?1?x3 解:y??3x23x2 ?dy??dx ??2(1?x3)2(1?x3)★ (5)

y?(ex?e?x)2

x?xx?x2x解:y??2(e?e)(e?e)?2(e★ (6)

?e?2x) ?dy?2(e2x?e?2x)dx

y?x?x

解:y??(x?x)?2x?x?2x?14xx?x?dy?

2x?14xx?xdx

1?x2★ (7)y?arctan1?x2

1?x2()?22x2x1?xdy??dx 解:y????44 x?11?x22x?11?()1?x2★★ (8)

y?ax?1?a2xarccos(ax)

x解:y??alna?(1?a2x)21?a2xarccos(a)?1?a[?x2x(ax)?1?a2x]

?alna?

xa2xlna1?a2xarccos(a)?alna??xxa2xlna1?a2xarccos(ax)

?dy??

a2xlna1?a2xarccos(ax)dx

★★ 4.求方程2y?x?(x?y)ln(x?y)所确定的函数y?y(x)的微分dy.

知识点: 微分的四则运算法则和微分形式的不变性 思路: 方程两边同时求微分,再解出dy

解:方程两边同时求微分, d(2y?x)?d(x?y)ln(x?y)?(x?y)d(ln(x?y))

即2dy?dx?(dx?dy)ln(x?y)?(x?y)?dx?dy2?ln(x?y)dx 化简得dy? x?y3?ln(x?y)★★ 5.求由方程cos(xy)?x2y2所确定的函数y的微分.

知识点: 微分的四则运算法则和微分形式的不变性 思路: 方程两边同时求微分,再解出dy

解:方程两边同时求微分,得d(cos(xy))?d(x2y2) 即?sin(xy)(dydx?xdy)?2xy(dx?xdy)

2xy2?ysin(xy) 化简得dy??dx 2xsin(xy)?2xy★★ 6.当|x|较小时,证明下列近似公式:

知识点: 微分的应用

思路: 当|x|较小时,f(x)?f(0)?f?(0)x

(1)sinx?x

解:当|x|较小时,f(x)?f(0)?f?(0)x

?sinx?sin0?cos0?x?x 即sinx?x

xe?1?x (2)

解:e?e?ex 即e?1?x (3)n1?x?1?x00xx n1n1?111n解: 1?x?(1?0)?(1?0)?x 即n1?x?1??x

nnn

★★ 7.计算下列格式的近似值:

知识点: 微分的应用

思路: 当|x|较小时,f(x)?f(x0)?f?(x0)x (1)

1001.002 100解: 令f(x)?取x0x,则

991?100f?(x)?x

100?1,?x?0.002,得1001.002?f(1)?f?(1)?x?1?01?0.002?1.00002 100(2) cos29

解:令f(x)?cosx,则f?(x)??sinx

取x0?30??6,?x??1???180,

得cos29?cos???3? ?(?sin)?(?)??66180236011?x2(3) arcsin0.5002

解:令f(x)?arcsinx,则f?(x)? 取x0?0.5,?x?0.0002,得

11?(0.5)2?0.0002?arcsin0.5002?arcsin0.5??6?3 7500★★ 8.为了计算出球的体积(精确到

1%), 问度量球的直径D所允许的最大相对误差是多少?

知识点: 微分的定义

思路: 当|?x|很小时, ?y?dy

4D3?D3dV解:球的体积V??()? ??326V由题目已知条件可知|?D22dD??D363dD DdVdD1|?1% ?||??0.0033 VD300★★ 9.扩音器插头为圆柱形,截面半径r为0.15cm,长度l为4cm,为了提高它的导电性能,要在该圆柱的侧

面镀上一层厚为0.001cm的纯铜,问每个插头约需多少克纯铜?

知识点: 微分的定义

思路: 当|?x|很小时, ?y?dy

2解:圆柱底面积S??r ?dS?2?rdr

?镀层的体积dV?dS?l?2?rldr?2??0.15?0.001?4?3.768?10?3cm3 ?m??dV?8.9?3.768?10?3?3.354?10?2(g)

★★ 10.某厂生产一扇形板,半径

R?200mm ,要求中心角?为55,产品检测时,一般用测量弦长L0的方法来间接测量中心角?.如果测量弦长L时的误差?L多少?

?0.1mm,问由此而引起的中心角测量误差是

知识点: 微分的定义

思路: 当|?x|很小时, ?y?dy

解:

LL?L???2arcsinsin?2?2R 2R2R

?d???4R?L22dL,又L?2Rsin?2?2?200?sin22.5?184.7

????d??总习题二

★★ 1.设

2?0.14?(200)?184.722?0.00056(弧度)

f?(x)存在，求limh?0f(x?2h)?f(x?3h)

h知识点：导数的定义

f(x0?h)?f(x0)?f?(x0)求极限

h?0hf(x?2h)?f(x?3h)f(x?2h)?f(x)?f(x)?f(x?3h)?lim解：lim

h?0h?0hhf(x?2h)?f(x)f(x?3h)?f(x)?3lim?2f?(x)?3f?(x)?5f?(x) ?2limh?0h?02h?3h思路：利用导数的定义式lim★★ 2．设

f(x)?x(x?1)(x?2)(x?1000)，求f?(0).

知识点: 导数的四则运算法则

思路: 含有x的项为零,所以只需要求出导数不含x的 解: f?(0)?limx?0f(x)?f(0)?lim(x?1)(x?2)x?0x?0(x?1000)?1000!

★★★ 3.设

f(x)对任何x满足f(x?1)?2f(x),且f(0)?1,f'(0)?C(常数),求f'(1).

知识点: 导数的定义

思路: 关键凑出导数定义的极限形式

解:由f(x?1)?2f(x).得 f(1)?2f(0)?2

f(x)?f(0)f(x)?1?lim?C

x?0x?0xxf(x)?f(1) 而f?(1)?lim 令x?1?t,则x?t?1,当x?1时,t?0

x?1x?1f(x)?f(1)f(t?1)?22f(t)?2?lim?lim?limf?2C 即f?(1)?2C x?1t?0t?0x?1ttf?(0)?C ?lim★★ 4.设函数

f(x)对任何实数x1,x2有f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)且f?(0)?1,证明:函数

f(x)可导,且f?(x)?1.

知识点: 导数的定义

思路: 关键凑出导数定义的极限形式

?f2( 0 )?0解:由f(x1?x2)?f(x1)?f(x2) f(0) ?f(0)

?f?(x)?limf(x??x)?f(x)f(x)?f(?x)?f(x)?lim?x?0?x?0?x?x

f(?x)f(0??x)?f(0)?lim?lim?f?(0)?1?x?0?x?0?x?x5.求解下列问题:

★ (1)求

y?lnx?ex的反函数x?x(y)的导数;

知识点: 反函数的导数

思路: 反函数的导数等于原函数导数的倒数

1x1x1?xex?解:y???e? ?x?(y)? y?1?xexxx★ (2)设

y?f(x)是x??(y)的反函数,且f(2)?4,f?(2)?3,f?(4)?1,求?'(4).

知识点:反函数的导数

思路: 关键是理解反函数和原函数之间的关系,反函数中的自变量的值是原函数的函数值 解:由f(2)?4,f?(2)?3得??(4)?11? f?(2)3★ 6.在抛物线

y?x2上取横坐标为x1?1及x2?3的两点,作过两点的割线,问抛物线上哪一点的切线

平行于这条割线?

知识点:导数的几何意义

思路: 切线的斜率为曲线在该点的导数,列方程求解 解:当x?1时,y?1; 当x?3时，y?9

?过点(1,1)和点(3,9)的直线的斜率为k?9?1?4 3?1设点P(x0,y)处的切线平行于这条割线，则f?(x0)?4

?2x0?4，即x0?2 ?y0?4，即P(2,4)

★★ 7.求与直线

x?9y?1?0垂直的曲线y?x3?3x2?5的切线方程.

知识点:导数的几何意义

思路: 切线的斜率为曲线在该点的导数,列方程求解 解:y??3x2?6x 直线x?9y?1?0的斜率为k??设点P(x0,y0)处的切线与直线垂直,则

23x0?6x0?9?x0??1或x0?3

1 9当x0??1时,y0?1;当x0?3时,y0?5

?点P为(-1,1)或(3,5)

?切线方程为y?1?9(x?1)即y?9x?10?0或y?5?9(x?3)，即y?9x?22?0

★★ 8.讨论函数

y?x|x|在点x?0处的可导性.

知识点: 导数的定义

思路: 利用定义求左右导数,看左右导数是否相等

?x2,x?0解:y?x|x|??2

??x,x?0f(x)?f(0)x2?f??(0)?lim?lim?0?x?0?x?0xx ) ?f(x)在x?0处可导. f??(0)?f_?(0f(x)?f(0)?x2f_?(0)?lim?lim?0?x?0?x?0xx

★★ 9.设函数

?x2,x?1,为了使函数f(x)在x?1处连续且可导,a,b应取什么值 f(x)???ax?b,x?1知识点:连续与可导的定义

思路: 利用连续与可导的定义的方程组求解

f(x)?limf(x)?f(1) 解：要使f(x)在x?1处连续，则lim??x?1x?1?a?b?1

要使

f(x)在x?1处可导，则f??(1)?f_?(1)

x?1而

f??(1)?lim?f(x)?f(1)ax?b?1?lim?a, x?1?x?1x?1f(x)?f(1)x2?11 f_?(1)?lim?lim?lim(x?1)?2 ?a?2 ?b??x?1?x?1?x?1x?1?x?1★★ 10.试确定a,b，使

?b(1?sinx)?a?2,x?0在x?0处可导. f(x)??axe?1,x?0?知识点: 连续与可导的定义

思路: 可导一定连续,由连续性和可导得方程组求解 解：若f(x)在x?0处可导，则f(x)在x?0处连续

?limf(x)?lim?f(x)?f(0) ?a?b?2?0① ?x?0x?0要使

f(x)在x?0处可导，则f??(0)?f_?(0)

x?0而

f??(0)?lim?f(x)?f(0)b(1?sinx)?a?2?lim??lim(bcosx)?b x?0?x?0?xxf(x)?f(0)eax?1axf_?(0)?lim?lim?lim(ae)?a ?a?b②

x?0?x?0?x?0?xx由①②得a?b??1

3f(x)在[-1,1]上定义,且满足x?f(x)?x?x,?1?x?1,证明f?(0)存在,且

★★ 11.设函数

f?(0)?1.

知识点: 导数的定义

思路: 利用定义求左右导数,看左右导数是否相等 解：由x?f(x)?x?x,x?[?1,?1],得

30?f(0)?0 ?f(0)?0

当x而

?0时1?f(x)?x2?1 xx?0lim(x2?1)?1 ??由夹逼准则知lim?f(x)?1

x?0xf(x)?f(0)f(x)?f??(0)?lim?lim?1

x?0?x?0?xxf(x)2?1 当x?0时x?1?x而

x?02lim(x?1)?1 ??由夹逼准则知lim?f(x)?1

x?0xf(x)?f(0)f(x)?f_?(0)?lim?lim?1 ?x?0?x?0xx? 1又?f??(0)?f_?(0)?1 ?f?(0)

★★ 12.设??x?2t?|t|dy|t?0. ,求2?y?5t?4t|t|dx知识点: 导数的定义

思路: 求分段函数在分段点的导数, 利用定义求左右导数,看左右导数是否相等

?y5?t2?4?t|?t|9?t2解:lim??lim??lim??0 ?t?0?x?t?0?t?03?t2?t?|?t|?y5?t2?4?t|?t|?t2lim?lim??lim??0 ?t?0??x?t?0?t?02?t?|?t|?t13.求下列函数的导数:

?t?0lim??y?ydy?lim?|t?0?0 ??t?0?x?xdx知识点: 导数的四则运算法则及复合函数的求导法则

思路: 利用导数的四则运算法则和链式法则求导数

★ (1)

y?(3x?5)3(5x?4)5;

解：y??9(3x?5)2(5x?4)5?25(3x?5)3(5x?4)4

★ (2)

y?arctanx?1; x?1解：y??1x?11?()???2

x?12x?1x?11?()x?11?x?1?x; 1?x?1?x★★ (3)

y?解：y?1?x?1?x2xx ??221?x?1?x(1?x?1?x)1?1?x1?1?x2?x(?2x2?y??y?21?x(1?1?x2)2)?11?x?1?x22 lnx; xlnx1n1??n?lnx?x?n ?y???x?n?lnx(??n?x)?(x解：y?xx★ (4)

1?)?(n?nx?1)ln xet?e?t★ (5)y?; t?te?e(et?e?t)2?(et?e?t)24解：y?? ?(et?e?t)2(et?e?t)2★ (6)

y?xa?ax?aa;

解：y??axa?1?axlna

★★ (7)

y?etan1x;

解：y??etan1x1tan111?(tan)??ex?sec2?(?2)

xxx★★ (8)

y?x?x; 解：y??(x?x)?2x?x?2x

2x?x1?1★★ (9)

y?xarcsinx?4?x2. 2解:y??arcsinx?x?212x1?()22?x?arcsin

224?x2?2x111?x2?12★★ 14.设y?,求y? arctan1?x?ln2241?x?1知识点: 导数的四则运算法则及复合函数的求导法则

思路: 先利用对数的性质化简函数, 再利用导数的四则运算法则和链式法则求导数

111?x2?12解：y?arctan1?x?ln 2241?x?111x2112?arctan1?x?ln?arctan1?x2?[lnx?ln(1?x2?1)] 24(1?x2?1)2221(1?x2)?11(1?x2?1)?1?y????[?]?? 22221?(1?x2)22x1?x?1x(2?x)1?x15.设

f(x)为可导函数,求

dy: dx知识点: 导数的四则运算法则及复合函数的求导法则 思路: 利用导数的四则运算法则和链式法则求导数

★★ (1)

y?f(ex?xe);

xexexexe?1解：y??f?(e?x)?(e?x)??f?(e?x)?(e?ex★★ (2)

)

y?f(ex)ef(x).

解：y??f?(ex)?ex?ef(x)?f(ex)?ef(x)?f?(x)?ef(x)[f?(ex)?ex?f(ex)?f?(x)]

★★ 16.设

13x?0时，可导函数f(x)满足：f(x)?2f()?xx1x,得方程组求解

，求

f?(x)(x?0).

知识点: 函数的定义

思路: 由已知条件可将自变量x换为解：由f(x)?2f()?1x3x①得

1f()?2f(x)?3x② x311 ?f(x)?2x? ?f?(x)?2?2 xxxdy3x?2),f?(x)?arctan(x2),求|x?0. ★★ 17.已知y?f(dx3x?2②?2?①得3f(x)?6x?知识点: 复合函数的导数

思路: 利用链式法则求导 解:

dy3x?23x?23x?2212?f?()?()??arctan()? dx3x?23x?23x?2(3x?2)2?dy3?|x?0?arctan1?3? dx418.求下列函数的二阶导数:

知识点: 高阶导数

思路: 利用基本求导公式及导数的运算法则,对函数逐次求导

★ (1)

y?(1?x2)arctanx;

2解：y??2xarctanx?(1?x)?1?2xarctanx?1 1?x2?y???2arctanx?★ (2)

2x 21?xy?ln(x?1?x2).

1?x12?111?x?(1?x2?x)(1?x2?x)???(1?x2)2 解：y??x?1?x21?x21?x23?12?y????(1?x)2

2★★★ 19.试从

dx1?导出: dyy?知识点:高阶导数

思路: 要分清求导的变量,求导过程中y?表示对自变量x的导数

d2xy??(1); ??23dy(y??)d2xddxd1d1dxy??1y??解：2? ()?()?()??????dydydydyy?dxy?dy(y?)2y?(y?)3d3x3(y?)2?y?y???(2). ?35dy(y?)d3xdd2xdy??dy??dx解：3?(2)?(?)?(?)? 33??dydydydy(y)dx(y)dyy????(y?)3?3(y?)2y???y??13?(y??)2?y????y? ?? ??65(y?)y?(y?)★★★ 20.已知函数

f(x)具有任意阶导数，且f?(x)?[f(x)]2，则当n为大于2的正整数时，f(x)的

n阶导数

f(n)(x)是( A )

知识点: 高阶导数

思路: 利用归纳推理法

(A)n![f(x)]n?1;(B)n[f(x)]2n?1;(C)[f(x)]2n;

解：f?(x)?[f(x)]

?f??(x)?2f(x)?f?(x)?2![f(x)]3

24 f???(x)?6[f(x)]?f?(x)?3![f(x)]

(4) f(x)?24[fx(3)?]?ff(n)?n![f(x)]n?1

x(?)5 ()]4f![x归纳可得

21.求下列函数所指定阶的导数：

知识点: 高阶导数

思路: 通过函数变形, 利用已知的高阶导数公式间接求出指定的高阶导数,对乘积函数利用莱布尼茨公式

求n阶导数

★★ (1)

y?1(n),求y； 2x?5x?6解：y?1111??? 2x?5x?6(x?2)(x?3)x?3x?2?y(n)?(1(n)1(n)n!n!(n) )?()?(?1)(n)??(?1)?n?1n?1x?3x?2(x?3)(x?2)

4x2?1(n)★★★ (2)设y?，求y； 2x?14x2?14(x2?1)?33311解：y?2??4??4?(?)

x?1x2?1(x?1)(x?1)2x?1x?131(n)31(n)3n!n!?y(n)?()?()?(?1)(n)[?]

2x?12x?12(x?1)n?1(x?1)n?1★★★ (3)

y?x2sin2x，求y(50).

0212解：y(50)?C50x(sin2x)(50)?C50(x2)?(sin2x)(49)?C50(x2)??(sin2x)(48)

?250sin(2x?25?)?100x?249sin(2x??250(?x2sin2x?50xcos2x?★★★ 22.设

49?)?1225?248sin(2x?24?) 21225sin2x) 2f(x)?arctanx,求f(n)(0).

知识点: 高阶导数

思路: 转化为乘积函数,利用莱布尼茨公式求n阶导数 解：f?(x)?12 ?(1?x)f?(x)? 121?xn(n?1)(n?1)f(x)?2?0 2等式两边同时求n阶导数,并由莱布尼茨公式,可得

f(n?1)(x)(1?x2)?nf(n)(x)?2x??当x?0时,有f(n?1)(0)?n(n?1)f(n?1)(0)?0

?f又

(n?1)((0)??nn(?1)fn?1)n*?)3) (0),((f(0)?0,f?(0)?1,f??(0)?0 ?由(*)式递推,可得

f(2k)(0)?0,f(2k?1)(0)?(?1)k(2k!)(k?0,1,2)

★★ 23.求曲线

x?y?a232323在点(22a,a)处的切线方程和法线方程. 44知识点: 导数的几何意义

思路: 利用隐函数的求导方法求出导数,得切线斜率

2?12?1'3解：方程两边同时对x求导,得x?y3y?0

33

解得

y???xy ?点(?131322a,a)处切线的斜率为k?y?|22??1

(a,a)4444?切线方程为y?222a??(x?a)，即x?y?a?0 44222a?x?a，即x?y?0 44?x确定y为x的函数,求

dy|x?0. dx 法线方程为

y?★★ 24.设方程sin(xy)?ln(y?x)知识点:隐函数导数

思路: 将方程两边同时对自变量x求导,凡遇到含有因变量y的项时,把y当作中间变量看待,再按照复

合函数求导法则求之,然后从所得等式中解出

dy dx解：方程两边同时对x求导,得cos(xy)(y?xy?)?y??1?1 y?x 解得

y??y?x?y(y?x)cos(xy)?1

1?x(y?x)cos(xy)dy|x?0?y?|(0,? 1)1dx 将x?0代入方程,得y?1 ?25.用对数求导法则求下列函数的导数:

知识点: 隐函数求导

思路: 方程两边同时取对数,利用对数性质化简函数,再利用隐函数的求导方法求导数

★★ (1)

y?xsinx1?ex; 解:两边同时取对数,得lny?11[lnx?lnsinx?ln(1?ex)] 22111cosxex 两边同时对x求导,得y??[??] xy2xsinx2(1?e)1exx1 ?y??xsinx1?e[?cotx?]

2x2(1?ex)★★ (2)

y?(tanx)sinx?xx.

sinx解: y?(tanx)?xx?esinxlntanx?exlnx

y??esinxlntanx两边同时对x求导,得

sec2x(cosxtanx?sinx?)?exlnx(lnx?1)

tanx ?(tanx)sinx(cosxtanx?secx)?xx(lnx?1)

★★★ 26.设函数

y?y(x)由方程ey?xy?e所确定，求y??(0).

知识点:隐函数求导法

思路: 先利用隐函数求导法求一阶导数,再对一阶导数求导,在求到过程中将y看作中间变量,利用复合函

数求导法求之

解:方程两边同时对x求导,得ey?y??y?xy??0

yy?(ey?x)?y(ey?y??1)解得y???y ?y????

e?x(ey?x)3将x?0代入方程得y?1 ?y??(0)?1 2ed2y27.求下列方程所确定的隐函数y的导数: 2dx知识点:隐函数求导法

思路: 先利用隐函数求导法求一阶导数,再对一阶导数求导,在求到过程中将y看作中间变量,利用复合函

数求导法求之

★★ (1)

y?tan(x?y)；

解:等式两边同时对x求导,得y??sec2(x?y)(1?y?) 解得y???1 2sin(x?y)2cos2(x?y)?y???(1?y?) 将y?代入得y????3 3sin(x?y)sin(x?y)★★ (2)

1x?y?siny?0.

21cosy?y??0 2解: 方程两边同时对x求导,得1?y?? 解得

y??2?2siny?y? ?y???

2?cosy(2?coys2)?4siny 3(2?cosy)f(y) 将

y?代入得y???★★★ 28.设

y?y(x)由方程xe?ey所确定,

f(u)二阶可导且

d2yf?1,求2.

dx知识点: 隐函数的导数

思路: 利用对数求导法求一阶导数,再求二阶导数 解：等式两边同时取对数,得lnx?f(y)?y

等式两边同时对x求导,得

11?f?(y)y??y? ?y??

?xx[1?f(y)]d2y1?f?(y)?x[?f?(y)y?][f?(y)?1]2?f??(y) ?2?? ??2223??dxx[1?f(y)]x[1?f(y)]d2y29.求下列参数方程所确定的函数的二阶导数2:

dx知识点: 参数方程表示的函数的导数

思路: 求二阶导数时将t看作中间变量,利用复合函数求导法则求之

★★ (1)??x?acost;

y?bsint?dyd2yddydbdtbdydtbcostb?()??(cot?st)??解: ?????cost?t 223dxdxdxdxdtadxasintdxasintadt?x?f?(t)★★ (2)?,f??(t)?0.

?y?tf(t)?f(t)?dydyd2yddyddt1dt解: ???t ?()?t(?)?2dxdxdxdxdxdtdxf??(t)dt?x?2t?1d2y|?( ) ★★★ 30.设由方程组?确定了y是x的函数，则2t?0ydxte?y?1?0?知识点: 参数方程表示的函数及隐函数的导数

思路: 求二阶导数时将t看作中间变量,利用复合函数求导法则求之

(A)

1e2; (B)

12e2 (C) ?1 (D)?1e2e

y解:在方程te?y?1?0的两边同时对t求导,得e?te?yydydy??0 dtdtdxdyey?2 ??y解得 由x?2t?1得dtdtte?1dydydteyd2yddy ??????()?dxdx2(tey?1)dx2dxdxdt★★★ 31.设函数

d(?dt2(edt )?y?te1)dxyy?f(x)由方程xd2yy?x(x?0,y?0)所确定，求2.

dxy知识点: 隐函数的导数

思路: 利用对数求导法,在等式两边同时取对数,再求隐函数的导数 解: 方程两边同时取对数,得

11lny?lnx.即ylny?xlnx xy等式两边同时对x求导,得y?lny?y??lnx?1

?y??lnx?1

lny?111(lny?1)?(lnx?1)y?2dyxy(lny?1)2?x(lnx?1)2y?2?? dx(lny?1)2xy(lny?1)3★★★ 32.设函数

y?f(x)的极坐标式为??a(1?cos?),求

dy. dx知识点:参数方程表示的函数的导数

思路: 利用函数的极坐标形式转化为参数方程

?x??cos??a(1?cos?)cos?解:由??a(1?cos?)得?

y??sin??a(1?cos?)sin??dy?asin2??a(1?cos?)cos?cos2??cos? ????dx?asin?cos??a(1?cos?)sin?sin2??sin?★★★ 33.设一质点的运动方程为??x?3sin?t?4cos?t,求质点在t?0时的运动速度及加速度的大

y?4sin?t?3cos?t?小(?为大于零的常数).

知识点: 参数方程表示的函数的导数

dy思路: 由导数的意义知v(t)?dx解: v(t)?d2y,而a(t)?

dx2dy4cos?t?3sin?t? dx3cos?t?4sin?td2yddyd4cos?t?3sin?tdt?25 a(t)? ?()?()?dx2dxdxdt3cos?t?4sin?tdx(3cos?t?4sin?t)3 ?v(0)?425,a(0)?? 32734.求下列函数的微分:

知识点`: 函数微分的定义

思路: 利用导数的四则运算法则和复合函数求导法则先求导数,即得函数微分

★★ (1)

y?e?xcos(3?x);

?x解: y???e?xcos(3?x)?e?xsin(3?x) ?dy?e[sin(?3x?) xcos?(x3d)★★ (2)

y?arcsin1?x2; (1?x2)?1?(1?x)2解:y????x|x|1?x2 ?dy??x|x|1?x2d x★★ (3)

y?tan2(1?2x2).

解:y??2tan(1?2x2)?[tan(1?2x2)]??8xtan(1?2x2)sec2(1?2x2) ?dy?8xtan(1?2x2)sec2(1?2x2)dx

★★ 35.设

y?f(lnx)ef(x),其中f可微,求dy.

知识点`: 函数微分的定义

思路: 利用导数的四则运算法则和复合函数求导法则先求导数,即得函数微分

11f?(lnx)ef(x)?f(lnx)ef(x)?f?(x)?ef(x)[f?(lnx)?f(lnx)?f?(x)] xx1?dy?ef(x)[f?(lnx)?f(lnx)?f?(x)]

x解: y??dy,★★★ 36.已知y?cosx,求dx2dy,dx2dy,dx3d2y. dx2知识点: 微分的定义 思路: 先求微分,得微商

dydy?2xsinx2dx2??2xsinx 2???sinx2 解: dxdx2xdxdy?2xsinx2dx2sinx2???dx33x2dx3xd2yddyd2222?()?(?2xsinx)??2sinx?4xcosx 2dxdxdxdx课外习题

★★ 1.设

f(x)可导,求下列函数得导数

dy: dx知识点: 复合函数的导数 思路: 利用链式法则求导数

(1)

y?f(x2);

dy?f?(x2)?(x2)??2xf?(x2) dx解:

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/n1a.html