重庆科技学院高数2 题库

2013高等数学(II)复习资料

一、填空题

1.

xyz平面x?y?kz?1?0与直线??平行的直线方程是___________

2?112. 过点3. 设

M(4,?1,0)且与向量a?(1,2,1)平行的直线方程是________________

a?i?j?4k,b?2i??k，且a?b，则??__________

4. 设

|a|?3,|b|?2,(b)a??1，则(a,b)?____________

Ax?By?z?D?0通过原点，且与平面6x?2z?5?0平行，则

?5. 设平面

A?______B_,?_______D_?,________ __6. 设直线

x?1y?2???(z?1)与平面?3x?6y?3z?25?0垂直，则m2 _m?_______?_?,__________7.

?x?1直线?，绕z轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程是_______________

?y?08. 过点

M(2,0,?1)且平行于向量a?(2,1,?1)及b(3,0,4)的平面方程是__________

9. 曲面

z2?x2?y2与平面z?5的交线在xoy面上的投影方程为__________

10. 幂级数

?2n?1?nnxn的收敛半径是____________

11. 过直线

x?1 z?3x?1 y?1 z?3 ?y?2???且平行于直线的平面方程是2?2023_________________

12. 设

f(x,y)?ln(x?y),则fy'(1,0)?__________ 2x?z?z?__________,?____________ 13. 设z?arctan(xy),则?x?y14. 设

f(xy,x?y)?x2?y2,则fx'(x,y)?____________________

z?x,则dz?_____________ y15. 设

16. 设

f(x,y)?x2y3,则dz|(1,?2)?______________

x?cost,y?sint,z?sint?cost，在对应的

17. 曲线

t?0处的切线与平面

x?By?z?0平行，则B?__________

18. 曲面

z?x2?y2在点

(1,1,2)处的法线与平面Ax?By?z?1?0垂直，则

A?_______B_?,______________

19. 设a?{1,0,?2}，b?{?3,1,1}，则a?b=________， a?b=____________

20. 求通过点M0(2,?1,4)和z轴的平面方程为________________ 21. 求过点M0(0,1,0)且垂直于平面3x22. 向量d垂直于向量a?y?2?0的直线方程为_______________

?????[2,3,?1]和b?[1,?2,3]，且与c?[2,?1,1]的数量积为?6，则向量

?d=___________________ ??23. 向量7a?5b??分别与7a?2b垂直于向量

??a?3b与

??a?4b，则向量

?a?与b的夹角为

_______________ 24. 球面x2?y2?z2?9与平面x?z?1的交线在xOy面上投影的方程为______________

是_________________

?x?2y?z?1?025. 点M0(2,?1,`的距离d1)到直线l：?x?2y?z?3?0?26. 一直线

l过点

M0(1,2,0)且平行于平面

?：

x?2y?z?4?0，又与直线

l：

x?2y?1x?2?? 相交，则直线l的方程是__________________ 121??????π???27. 设a?5,b?2,?a?b??,则2a?3b?____________ ??3??????28. 设知量a,b满足a?b?3,29. 已知两直线方程L1???????a?b??1,?1,1?，则?__ ?a,b???__________??:x?1y?2z?3x?2y?1z，L2:????，则过L1且平行L2的平面

10?1211方程是__________________ 30. 若

?b)?π，则a?b? 2 ，a?b? ____________ ab?2，(a,231.

z?xy,则?z?z?______________. ?x?y=_________________

32. 设 z33. 设 u??y?1?1?x2sin?x,y??x3,则z?x?2,1??____________

____________ ?x,y??xlny?ylnx?1 则 du?__________?x2?y2?z2?2确定z34. 由方程xyz?z?x,y?在点?1,0,?1?全微分dz?______

35.

z?y2?fx2?y2??z?z??___________ ? ，其中f?u?可微，则 y?x?y?z?2x2?y2,36. 曲线?在xOy平面上的投影曲线方程为 _________________

z?1?37. 过原点且垂直于平面2y?z?2?0的直线为__________________

38. 过点(?3,1,?2)和(3,0,5)且平行于x轴的平面方程为 _________________ 39. 与平面x?y?2z?6?0垂直的单位向量为______________

40.

z?x?(?z?zx2?y?____________ ,可微，则 ?(u)) ?x?yy2，则在点(2,1)处的全微分dz?41. 已知z?lnx2?y2z_________________

42. 曲面z?e?2xy?3在点(1,2,0)处的切平面方程为___________________?xy43. 设

z?z?x.y? 由方程e?z?2z?e?0，求=________________

?xz44. 设

z?f?2x?y??g?x,xy?，其中f?t?二阶可导，g?u,v?具有二阶连续偏导数 有

?2z=___________________ ?x?yxz?ln 45. 已知方程zy46. 设

?2z定义了z?z?x.y?，求=_____________

2?xu?f?x.y.z?，??x2.ey.z??0，y?sinx，其中f，?都具有一阶连续偏导数，

??dz且?0，求=______________________

dx?z47. 交换积分次序

?dy?012?y2yf(x,y)dx? _______________________________

22?y1048. 交换积分次序

?0dy?0xy1yf(x,y)dx??dy?f(x,y)dx=___________________

49. 50.

I???xedxdy?_________其中D?{(x,y)0?x?1,0?y?1}

DI???(3x?2y)dxdy?________，其中D是由两坐标轴及直线x?y?2所围

D51.

I???D11?x?y2222，其中D是由x?y?4所确定的圆域 dxdy?________52. 53.

I???Da2?x2?y2dxdy?___________，其中D：x2?y2?a2

I???(x?6y)dxdy?________，其中D是由y?x,y?5x,x?1所围成的区域

D54.

?201dx?e?ydy＝ _____________________

xxx22255.

?dx?0(x?y)2222?12dy?___________

??2?56. 设L为x?y?9，则F?(2xy?2y)i?(x?4x)j按L的逆时针方向运动一周所作的功

_. 为__________57. 曲线??y?2x在?1,2,7?点处切线方程为______________________ 22?z?3x?yx2?y2在（2，1，3）处的法线方程为_____________________ 58. 曲面z?259.

1?pn?1n?，当p满足条件 时收敛

60. 级数

?n?1???1?2nn?n?2n的敛散性是__________

61.

?an?1?n?1?nx在x=-3时收敛，则

?an?1?nxn在x?3时

62. 若

??lna??n收敛，则a的取值范围是_________

63. 级数

?(n(n?1)?2n?111n)的和为

1??2n?1??2n?1?=___________

64. 求出级数的和n?1?(ln3)n65. 级数?2nn?0?的和为 _____

66. 已知级数

?unn?1?的前n项和sn?n，则该级数为____________ n?1n267. 幂级数?xn的收敛区间为 n?1n?2n?1x68. ?的收敛区间为 ，和函数s(x)为 n?12n?1?xn69. 幂级数?p(0?p?1)的收敛区间为

n?0n?70. 级数

1?nn?01?a?当a满足条件 时收敛

71. 级数

?n?1??x?2?n4n?2n的收敛域为 ______

72. 设幂级数

?axnn?0n的收敛半径为3，则幂级数

?na(x?1)nn?1?n?1的收敛区间为 _____

73.

f(x)?1展开成x+4的幂级数为 ，收敛域为

x2?3x?274. 设函数

该幂级数的收敛区间f(x)?ln(1?x?2x2)关于x的幂级数展开式为 __________，

为 ________

?z?x?y??? ______ 75. 已知 xlny?ylnz?zlnx?1，则

?x?y?z76. 设

z?(1?x2?y2)xy y

,那么

?z?z?_____________，?_____________ ?x?y77. 设78. 设79.

D是由xy?2及x?y?3所围成的闭区域，则??dxdy?_______________

DD是由|x?y|?1及|x?y|?1所围成的闭区域，则??dxdy?_______________

DC22(x?y)ds??________________,其中

C为圆周

x?acost,y?asint(0?t?2?)

80.

22(x?y)dx?________________,其中L是抛物线y?x2上从点?0,0?到点?2,4?的?L一段弧。 二、选择题

1. 已知a与b都是非零向量，且满足(A)aa?b?a?b，则必有（ ）

?b?0； (B)a?b?0 ； (C)a?b?0 (D)a?b?0

2. 当a与b满足（ ）时，有a?b?a?b；

．

(A)a?b； (B)a??b(?为常数)； (C)a∥b； (D)a?b?ab3. 下列平面方程中，方程( )过(A) x?y轴；

y?z?1； (B) x?y?z?0； (C) x?z?0； (D) x?z?1．

4. 在空间直角坐标系中，方程z?1?x2?2y2所表示的曲面是( )；

(A) 椭球面； (B) 椭圆抛物面； (C) 椭圆柱面； (D) 单叶双曲面

x?1yz?1??与平面x?y?z?1的位置关系是( )． 21?1ππ(A) 垂直； (B) 平行； (C) 夹角为； (D) 夹角为?．

446. 若直线(2a+5)x+(a -2)y+4=0与直线(2-a)x+(a+3) y-1=0互相垂直，则（ ）：

5. 直线

(A). a=2 (B). a=-2 (C). a=2或a=-2 (D). a=±2或a=0 7.

?z?x2?y2?2,空间曲线?在xOy面上的投影方程为( )

z?5?22?x2?y2?7(A)x?y?7； (B)??z?58. 设z?x2?y2?7； (C) ??z?0?z?x2?y2?2；(D)?

?z?0?z(x,y)由方程F(x?az,y?bz)?0所确定，其中F(u,v)可微，a,b为常数，则必有

（ ） (A) a?z?z?z?z?b?1 (B) b?a?1 ?x?y?x?y?z?z?z?z?b?1 (D) b?a?1 ?x?y?x?y1?xysin?f?x,y???x2?y2?0?(C) a?x,y???0,0?，则函

9. 设函数

f?x,y?在?0,0?处（ ）(A)．不

?x,y???0,0?连续 (B)．连续但不可微 (C)．可微 (D)．偏导数不存在 10. 设函数

f?x,y?在点?x0,y0?处偏导数存在，则f?x,y?在点?x0,y0?处 ( )

(A).有极限 (B).连续 (C).可微 (D).以上都不成立 11. 已知

f?x,y?在?a,b?处偏导数存在，则 limf?a?h,b??f?a?h,b?h?0h???

(A).0 (B).

fx??2a,b? (C).fx??a,b? (D).2fx??a,b?

?f(x,y)??xy12. 设

?2,x2?y2?0，则在(0,0)点关于f(x,y)叙述正确的是（ ?x?y2?0,x2?y2?0(A) 连续但偏导也存在 (B) 不连续但偏导存在 (C) 连续但偏导不存在 (D) 不连续偏导也不存在

?4x2y413. 函数f?x,y?????y4?x20??22x?y2??0x2?y2?0在?0,0?极限( )

(A).0 (B).不存在 (C).无法确定 (D).以上都不成立 14. 设z?arctan?????z?xy?4??，则?x???

(A)

xyx?1

1?(xy?? (B)

4)1?(xy??4)2xysec2(xy??)(C)

4 (D)

y1?(xy??24)1?(xy??

4)2?f?x,y???xysin1?15. 函数

?x2?y2?x,y???0,0，则函

f?x,y?在?0,0?处（ ）??0?x,y???0,0?(A).不连续 (B)．连续但不可微 (C).可微 (D).偏导数不存在 16. 设

f???x,y?xyx?= xsinx2?y2 ，则 ?f(x,y)

??x

= ( )

(A).sinxyx2?y2+xcosxyx2?y2?y??y2?x2?y

x2?y2?2 (B)．

xsin1?y2(C).siny1?y2 (D).xcosy1?y2

17. 函数 z?x2?y2在点

?0,0?处 ( )

）

(A).不连续 (B)．连续且偏导数存在 (C).取极小值 (D).无极值

??2zx?18. 设 z?ln?xy??,则 = ( )

???x?yy??(A).0 (B)．1 (C).

1x (D).

y 2y?119. 设 x?z?yfx2?z2?z?z

+ y = ( ) ?则 z??x?y

(C).z (D).

(A).x (B)．20. 若函数(A).

y

yfx2?z2??

f?x,y?在点?x0,y0?处取极大值，则 ( )

fx??x0,y0??0,fy??x0,y0??0

(B)．若

?x0,y0?是D内唯一极值点，则必为最大值点

200(C).

?f???x,y??xy???x0,y0??fyy???x0,y0??0,且fxx???x0,y0??0 ?fxxD、以上结论都不正确 21. 判断极限limx??x?0x?yy?0?

(A).0 (B)．1 (C).不存在 (D).无法确定

x2y??22. 判断极限lim2x?0x?y2y?0?

(A).0 (B)．1 (C).不存在 (D).无法确定 23. 设

f?x,y?可微，f?x,3x??x4，则fx??1,3????

(A).1 (B)．-1 (C).2 (D).-2 24. 设

f?x,y,z??yz2ex，其中z?g?x,y?是由方程x?y?z?xyz?0确定的隐函数，则

fx??0,1,?1????

(A).0 (B)．-1 (C).1 (D).-2 25. 设

f?x,y,z?是k次齐次函数，即f?tx,ty,tz??tkf?x,y,z?，其中k为某常数，则下列结论正

确的是（ ） (A)x?f?f?f?f?f?f?y?z?ktf?x,y,z? (B)．x?y?z?tkf?x,y,z? ?x?y?z?x?y?z?f?f?f?f?f?f?y?z?kf?x,y,z? (D).x?y?z?f?x,y,z? ?x?y?z?x?y?z(C).x26. 已知I???cosy2?sinx2d?，其中D是正方形域：0?x?1,0?y?1，则( )

D??(A).1?27. 设

I?2 B．1?I?2 (C).0?I?2 (D).0?I?2

是由

f?x,y??4xy2???yf?u,v?dudv，其中D

Dy?x,x?0,以及y?1围成在，则

???x,y???fxy?

(A).4x (B)．4y (C).8x (D).8y 28. 设D??x,y?|x2?y2?a2,y?0yd??2??x2yd?D12??，D???x,y?|x12?y2?a2,y?0,x?0?，则下列

命题不对的是：（ ） (A).(C).

??xDD2 (B)． (D).

??xD2yd??2??xy2d?D1

??xyd??2??xy2d?D1??xyd??0

D229. 设

f?x,y?是连续函数，当t?0时，

x2?y2?t2??f?x,y?dxdy?o?t2?，则f?0,0???12?

(A).2 (B)．1 (C).0 (D).

?

30. 累次积分

10?20d??cos?0f?rcos?,rsin??rdr可写成（ ）

11?y20(A).(C).

?dy?y?y20f?x,y?dx (B)．?dy?01x?x200f?x,y?dx

?dx?f?x,y?dy (D).?dx?0011f?x,y?dy

31. 函数

f?x,y??4?x?y??x2?y2的极值为（ ）

(A).极大值为8 (B)．极小值为0 (C).极小值为8 (D).极大值为0 32. 函数z?xy在附加条件x?y?1下的极大值为（ ）

(A).33.

12D (B)．?x?ye??d????111 (C). D．1

42?，其中D由x?y?1所确定的闭区域。

?1(A).e?e34.

(B)．e?e (C).e?e?2 (D).0

其中D：I1???(x?y)3dxdy与I2???(x?y)2dxdy，(x?2)2?(y?1)2?2的大小关系

DD为:（ ）。 (A). I1?I2 (B). I1?I2 (C). I1?I2 (D). 无法判断

35. 设

f(x,y)连续,且f(x,y)?xy???f(u,v)dudv,其中

DD由

y?0,y?x2,x?1所围成,则

f(x,y)?()

?1 8(A). xy (B). 2xy (C). xy?1 (D). xy36.

x2?y2?1??5x2?y2d?的值是( )

(A)

5?3 (B) 是

5?6 (C)

10?7 (D)

10?11

轴所围成的区域，则

37. 设

D

x?y?1所围成区域, D1是由直线x?y?1和x轴, y???1?x?y?dxdy???

D(A) 4???1?x?y?dxdy (B) 0 (C)2???1?x?y?dxdy (D) 2

D1D138. 半径为a均匀球壳(?4?1)对于球心的转动惯量为（ ）

44(A) 0 (B)2?a (C) 4?a (D) 6?a

x2y2??1的周长为l，则?(3x?2y)2ds?（ ） 39. 设椭圆L：

L43 (A) l (B) 3l (C) 4l (D) 12l 40. 下列级数中收敛的是（ ）

nn?nn?2?42n?4n8?44?8（A） （B）? （C） (D)?

nnn?n8888n?1n?1n?1n?1?nn??41. 下列级数中不收敛的是（ ）

??113n?(?1)n （A）ln(1?1) （B） （C） （D）

?n??n4nn?13n?1n?1n(n?2)n?1????42. 下列级数中收敛的是（ ）

?n?13n（A）? （B）? （C）?nnn(n?2)nnn?1n?1n?1n?2?1 （D）

4?n?1(n?1)(n?3)?

43.

?un?1?n为正项级数，下列命题中错误的是（ ）

?un?1(A)如果lim???1，则?unn??un?1n?un?1收敛。 (B) lim???1，则?unn??un?1n发散

?un?1(C) 如果?1，则?ununn?1?un?1收敛。 (D)如果?1，则?ununn?1发散

44. 下列级数中条件收敛的是（ ） （A）

?(?1)n?1??n?111 （B）?(?1)n2nn?1n??n1n (C）?(?1) （D）?(?1)

n?1n(n?1)n?1n?1n?45. 下列级数中绝对收敛的是（ ）

?1(?1)n?1（A）?(?1) （B）?nlnnn?1n?2n??? （C）

?n?1?(?1)n?1(?1)n?1 （D）?nnn?2nlnn?

46. 当

?(an?1?n?bn)收敛时，?ann?1与

?bn?1n（ ）

（A）必同时收敛 （B）必同时发散 （C）可能不同时收敛 (D)不可能同时收敛 47. 级数

?an?12n收敛是级数

?an?1?4n收敛的（ ）

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件 48.

?an?1?n为任意项级数，若

an?an?1且limann???0，则该级数（ ）

（A）条件收敛 （B）绝对收敛 （C）发散 （D）敛散性不确定 49. 下列结论中，正确的为（ ）

1（A）若?un发散，则?n?1n?1un（C）若

??发散(un?0)； （B）若?unn?1?收敛，则

1?n?1un?发散(un?0)

?unn?1??收敛，则

?(un?n?1?1)收敛； 10010?（D）若

?un?1n与

?vn?1?n发散，则

?(un?1n?vn)发散

50. 函数

f(x)?11?x的麦克劳林展开式前三项的和为（ ）

x32x3x3x3?x； （B）1??x2； （C）1??x2； （D）1??x2 24242828an?|an|an?|an|,n?1,2,3,???，则下列命题正确的是（ ）51. 设pn?，qn?．

22（A）1?（A）若

?an?1?n条件收敛，则

?p与?qnn?1n?1??n都收敛；

???（B）若

?an绝对收敛，则

n与n都收敛；

n?1?pn?1?qn?1???（C）若

?an条件收敛，则

pn与

n?1??qn的敛散性都不定；n?1n?1???（D）若

?an绝对收敛，则

nn的敛散性都不定.

n?1?p与n?1?qn?152. 设 , 则（ ）

(A) 与

都收敛. (B)

与

都发散.

(C) 收敛, 而

发散. (D) 发散, 收敛

53. 75、 若 在 处收敛, 则此级数在

处（ ）

(A) 条件收敛, (B) 绝对收敛, (C) 发散, (D) 收敛性不确定

54. 设幂级数 的收敛半径为3, 则幂级数

的必定收敛的区间为(A) (－2, 4) (B) [－2, 4] (C) (－3, 3) (D) (－4, 2) ??55. 若幂级数

?annx的收敛半径为

R，则幂级数

?x?2?n的收敛开区间为（ n?1?ann?1??R,R? （B）?1?R,1?R? （C）???,??? （D）?2?R,2?R?

56. 级数

??(?x?5)n ）

n?1n的收敛区间（（A）（4，6） （B）?4,6? （C）?4,6? （D）[4，6]

57. 若级数

??(2x?a)n的收敛域为?3,4?，则常数a=（ ）

n?12n?1（A）3 （B）4 （C）5 （D）以上都不对 ??58. 若幂级数

an?x?1?n在x??1处收敛，则该级数在x?2处（ ）

n?1（A）条件收敛 （B）绝对收敛 （C）发散 （D）敛散性不能确定 59. 函数

f(x)?e?x2展开成x的幂级数为（ ）

）

）（A）

（x2n（A）?n?0n!?(?1)n?x2n （B）?n!n?0??xn(?1)n?xn （C）? （D）?n!n?0n?0n!?

60. 函数

x4f?x??1?x2展开成x的幂级数是（ ）

（A）

?n?1?x2n （B）

?(?1)xnn?1?2n （C）

?n?2?x2n （D）

n2n(?1)x ?n?2?64．下列各组角中，可以作为向量的方向角的是（ ）

??2????，， （B）?，，

334334??2???（C），?， （D），，

36633（A）65．向量a（A）ax66．设a??ax,ay,az?与x轴垂直，则（ ）

?0 （B） ay?0 （C）az?0 （D） ay?ax?0

??1,1,?1?,b???1,?1,1?，则有（ ）

???????2?（A）a//b （B）a?b （C）??a,b???3 （D）??a,b???3????67．直线??x?2y?1xy?1z?1?与直线?关系是( )．

10?1?2y?z?12(A) 垂直； (B) 平行； (C) 重合； (D) 既不平行也不垂直． 68．柱面x（A）

?z?0的母线平行于（ ）

y轴 （B）x轴 （C） z轴 （D）zox面

69．设a?b（A）

?a?c,a,b,c均为非零向量，则（ ）

b?c （B）a//(b?c) （C） a?(b?c) （D）b?c

70．函数z（A）x（C）

?ln?xy?的定义域为（ ）

?0,y?0 （B） x?0,y?0或x?0,y?0

x?0,y?0 （D）x?0,y?0或x?0,y?0

71．

f?x,y??xyx2?y2，则

?y?f?,1????x??

xy（A）2x?y2x2?y2 （B）

xy （C）

xx2

（D）2x?11?x4

72．下列各点中，是二元函数（A）

f?x,y??x3?y3?3x2?3y?9x的极值点的是（ ）

??3,?1? （B） ?3,1? （C）??1,1?． （D）??1,?1?

1?x2073．

?10dx?1?x2?y2dy?（ ）

2?3 （C）

（A）

3?2 （B）

4?3 （D）

?6

74．设D是由

x?2，y?1所围成的闭区域，则??xy2dxdy?（ ）

D（A）

43 （B）

816 （C） （D）0 33D75．设D是由0?x?1,0?y??所确定的闭区域，则??ycos?xy?dxdy?（ ）

2? （C）

（A） 2 （B） 三、计算题

1、下列函数的偏导数

??1 （D）0

?x5?6x4y2?y6；

x（3）z?xy?；

y（1）z（5）z

（2）z?x2ln(x2?y2)；

（4）z?sin(xy)?cos2(xy)；

?e(cosy?xsiny)；

?sinxy?cos； yx

x

?x2?（6）z?tan??y??；

??（8）z（7）z（9）z

?(1?xy)y；

?ln(x?lny)；

（10）zx?y?arctan；

1?xy?xyz

（11）u (13)u?ex(x2?y2?z2)；

2 ；

（12）u

z ；

?1x?y?zni?122 （14）u?xy（15）u（17）z2．设

??aixi（ai为常数）；

（16）u?i,j?1?anijixyj,aij?aji且为常数。

y?t；求

dzdt

?ex?2y,x?sint,y?t z?ex?2y,，求

x?sint,f(x,y)?x?y?x2?y2xfx(3,4)及fy(3,4)。

3．设z?ey2，验证2x?z?z?y?0。 ?x?y4．求下列函数在指定点的全微分：

（1） （2）（3）

f(x,y)?3x2y?xy2，在点(1,2)；

f(x,y)?ln(1?x2?y2)，在点(2,4)；

sinx???f(x,y)?2，在点(0,1)和?,2?。

y?4?

5．求下列函数的全微分：

?yx；

x?y （3）z?；

x?y （1）z （5）u?xyexy；

y （4）z?x2?y2

（2）z （6）u；

?x2?y2?z2；

?ln(x2?y2?z2)。

6．验证函数

xy?,x2?y2?0,?2f(x,y)??x?y2 在原点(0,0)连续且可偏导，但它在该点

?0,x2?y2?0?不可微。

7．验证函数

1?2222(x?y)sin,x?y?0,?22f(x,y)??x?y?0,x2?y2?0? 的偏导函数

fx(x,y),fy(x,y)在原点（0，0）不连续，但它在该点可微。

8．计算下列函数的高阶导数：

y?2z?2z?2z（1）z?arctan，求； ,,x?x2?x?y?y2

?2z?2z?2z（2）z?xsin(x?y)?ycos(x?y)，求,,2； 2?x?x?y?y?3z?3z（3）z?xe，求,?x2?y?x?y2xy

；

9. 计算下列重积分:

（1） ,其中是矩形闭区域: ,

（2） ,其中是矩形闭区域: ,

（3） ,其中

是顶点分别为 (0,0), 和

的三角形闭区域.

（4） ,其中是由两条抛物线 ,所围成的闭区域.

（5）,其中是由 所确定的闭区域.

（6） 改换下列二次积分的积分次序

①

②

③

（7）

（8）

（9） ,其中是由圆周 所围成的区域.

（10）,其中是由圆周 及坐标轴所围成的在第一象限的闭区域.

（11）

,其中 是由直线 , 及曲线

所围成的闭区域

（12）

,其中 是由圆周

及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域.

（13） 的闭区域.

,其中

是由直线, , , 所围成

（14）

,其中

是圆环形闭区域:

（15）

和

.

,其中

是平行四边形闭区域,它的四个顶点是 , ,

（16）

,其中 是由两条双曲线

和

,直线 和

所围成的

在第一象限内的闭区域.

（17）

,其中 是由 轴, 轴和直线

所围成的闭区域

（18）

,其中

为椭圆形闭区域

10.计算下列由曲面所围成的立体的体积 (1)

(含有

及

轴的部分).

(2)

二. 曲线积分

及

1．计算下列对弧长的曲线积分

(1) ,其中 为圆周 ,

(2) ,其中 为连接(1,0)及(0,1)两点的直线段

(3) ,其中 为由直线 及抛物线 所围成的区域的整个边界.

(4) 边界.

,其中 为圆周 ,直线 及 轴在第一象限内所围成的扇形的整个

(5) 段弧.

,其中 为曲线 ,, 上相应于 从0变到2的这

(6) ,其中 为折线 ,这里 , , ,依次为点(0,0,0),(0,0,2),

(1,0,2),(1,3,2).

(7) ,其中 为摆线的一拱 ,

(8) ,其中 为曲线 ,

2．计算下列对坐标的曲线积分

(1) ,其中 是抛物线 上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧

(2) ,其中 为圆周 及 轴所围成的在第一象限内的区域的整

个边界(按逆时针方向绕行).

(3) ,其中 为圆周(按逆时针方向绕行).

(4) 一段弧.

,其中 为曲线 ,, 上对应 从0到 的

(5) ,其中 是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的一段直线

(6) ,其中 是抛物线 上从点 到点(1,1)的一段弧.

3. 计算 ,其中 是

(1) 抛物线 上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧.

(2) 从点(1,1)到点(4,2)的直线段

(3) 先沿直线从点(1,1)到点(1,2),然后再沿直线到点(4,2)的折线. (4) 曲线

,

上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧.

4.把对坐标的曲线积分 划成对弧长的曲线积分,其中 为

(1) 在 面内沿直线从点(0,0)到点(1,1)

从点(0,0)到点(1,1)

(2) 沿抛物线

(3) 沿上半圆周 从点(0,0)到点(1,1)

5.计算下列曲线积分,并验证格林公式的正确性.

(1) 曲线.

,其中 是由抛物面 和 所围成的区域的正向边界

(2)

区域的正向边界.

,其中 是四顶点分别为(0,0),(2,0),(0,2)和(2,2)的正方形

6.利用曲线积分,求下列曲线所围成的图形的面积 (1) 星形线

,

(2) 椭圆

7.证明下列曲线积分在整个

面内与路径无关,并计算积分值

(1)

(2)

8.利用格林公式,计算下列曲线积分

(1) 边界

,其中 为三顶点分别为(0,0),(3,0),(3,2)的三角形正向

(2) ,其中 为正向星形线

(3) (0,0)到

的一段弧

,其中 为在抛物面 上由点

(4) 段弧 9.验证下列 个 (1)

,其中 是在圆周 上由点(0,0)到点(1,1)的一

在整个 平面内是某一函数 的全微分,并求这样的一

(2)

(3)

第三部分 级数

1. 判别下列级数的收敛性

(1)

(2)

(3)

(4)

2. 用比较审敛法或极限审敛法判别下列级数的收敛性

(1)

(2)

(3)

(4)

3. 用比值审敛法判别下列级数的收敛性

（1）

（2）

（3）

4．用根值审敛法判别下列级数的收敛性

(1)

(2)

(3) ,其中 , , , 均为

正数.

5.判别下列级数的收敛性

(1)

(2)

(3)

(4)

6.判别下列级数是否收敛?如果是收敛的,是绝对收敛还是条件收敛?

(1)

(2)

(3)

(4)

7.求下列幂级数的收敛区间 (1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

8.利用逐项求导或逐项积分,求下列级数的和函数.

(1)

(2)

(3)

9.将下列函数展开成 的幂级数,并求展开式成立的区间.

(1)

(2) (3)

(4)

10.将 展开成 的幂级数,并求展开式成立的区间.

11.将函数 展开成 的幂级数.

12.将函数 展开成 的幂级数.

13.将函数 展开成 的幂级数.

四、 证明题 1．设其中z?yf(x2?y2),f是导数存在的一元函数，证明函数z满足方程

1?z1?zz???2。 x?xy?yy2．证明

limx?0y?0x?y不存在。 x?y?2u?2u?2u12223．设u?,r?x?y?z,证明?2?2?0. 2r?x?y?z4．证明：曲面xyz?1的任一切平面与坐标面形成的四面体体积为常数。

5．设

1?2222(x?y)sin,x?y?0?22， x?yf(x,y)??22?0,x?y?0?f(x,y)在原点（0，0）偏导数存在但不连续。

证明：

6．证明曲线积分I（0，0）

???(x?2xy)dx?(x2?y4)dy与路径无关，其中L是由点

L2到（1，1）的曲线

y?sin??22x，并计算I收敛。

的值。

7．若级数

?a(ann?1n?0)收敛，证明?ann?18. 已知级数

?an?1?2n和

?bn?1?2n都收敛，证明级数

?abn?1?nn绝对收敛。

五、 应用题 1． 求曲线x?t,y??t2,z?t3与平面x?2y?z?4平行的切线。

2． 用对称式方程及参数方程表示直线??x?y?z?1?0

?2x?y?3z?4?03． 曲面z?e4． 求曲面zz?2xy?3在点（1，2，0）处的切平面方程和法线方程。

?x2?y2及z2?x2?y2所围成的立体的体积。

25． 求由曲面x?y2?z2?a2及x2?y2?ax所围成图形的体积。

26．求位于两圆x?(y?2)2?4和x2?(y?1)2?1之间的均匀薄片的重心位置。

7．试分解已知正数a为三个正数之和，而使它们的倒数之积最小。

x2y2z28．在第一卦限内作椭球2?2?2?1的切平面，使得切平面与三坐标面围成的体积最小，求切点

abc的坐标。 11．求级数

n?nn?12?的和。

12．将函数

f(x)?x展开x的幂级数。 2x?x?213．设曲线积分

?Lxy2dx?y?(x)dy与路径无关，其中?(x)具有连续的导数，且?(0)?0，计算

??

?1，1?0,0?xy2dx?y??x?dy。

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