数学建模竞赛新手教程

数学建模竞赛新手教程 向为¤

（国防科技大学，湖南长沙410073） 1 数学建模竞赛是什么？

路漫漫其修远兮，吾将上下而求索

数学建模竞赛，就是在每年叶子黄的时候（长沙的树叶好像一年到头都是绿的）开始的一项数学应

用题比赛。大家都做过数学应用题吧，不知道现在的教育改革了没有，如果没有大变化，大家都应该做

过。比如说，树上有十只鸟，开枪打死一只，还剩几只，这样的问题就是一道数学应用题（应该是小学生

的吧）。正确答案应该是9 只，是吧？这样的题照样是数学建模题，不过答案就不重要了，重要的是过程。 真正的数学建模高手应该这样回答这道题。 “树上有十只鸟，开枪打死一只，还剩几只？” “是无声手枪或别的无声的枪吗？” “不是。” “枪声有多大？” “80－100 分贝。”

“那就是说会震的耳朵疼？” “是。”

“在这个城市里打鸟犯不犯法？”

“不犯。”

“您确定那只鸟真的被打死啦？” “确定。”

“OK，树上的鸟里有没有聋子？” “没有。”

“有没有关在笼子里的？” “没有。”

“边上还有没有其他的树，树上还有没有其他鸟？” “没有。”

“有没有残疾的或饿的飞不动的鸟？” “没有。”

“算不算怀孕肚子里的小鸟y？” “不算。”

“打鸟的人眼有没有花？保证是十只？”

¤作者简介：向为，SHUMO.COM 创始人之一，第一任站长兼网站设计师，曾获2001 年全国大学数学建模竞赛一等 奖，现为国防科技大学硕士研究生。 y编辑注：鸟类是卵生，不会怀孕的，：） 第1 期向为：数学建模竞赛新手教程7 “没有花，就十只。” “有没有傻的不怕死的？” “都怕死。”

“会不会一枪打死两只？” “不会。”

“所有的鸟都可以自由活动吗？” “完全可以。”

“如果您的回答没有骗人，打死的鸟要是挂在树上没掉下来，那么就剩一只，如果掉下来，就一只不 剩。” ￠ ￠ ￠ ￠ ￠ ￠

不是开玩笑，这就是数学建模。从不同的角度思考一个问题，想尽所有的可能，正所谓智者千虑，绝

无一失，这，才是数学建模的高手。然后，数学建模高手的搭档|论文写作高手（暂时称为写手吧），会 把以上的思想用最好的方式表达出来。

一般的写手会直接把以上的文字放到论文里就完了。但是专职的数学建模论文的写手不会这样做，

她们会先分析这些思想，归整好条理；然后，她们会试着用图画来深入浅出的表达这些思想，或者再使

用一些表格；这些都是在Word 中进行，当然，如果有不喜欢Microsoft 的朋友或是国粹主义者喜欢用

WPS 什么的当然也可以。她们都是这一行的专家，相信Word 什么的使用技巧，都够她们写一篇论文的

了。她们不一定会打字，但是输入公式的速度确是一流的。

她们一定会用一种画图软件，不管是Visio 还

是SmartDraw，她们都会用来明确而清晰的表达自己的思想。

好了，有了思想，也有了表达思想的人，还少一样东西|实现。屈原老哥就有那么多的怀疑与问题，

作为数学建模竞赛的评委当然也不是好骗的，不会那么容易相信高手们的话。所以要一个编程高手实现

之（暂时称为程序员吧）。就上面所说的问题，程序员会编一个仿真的程序，实现以上所有的情况。这个

程序是这样子的，他对以上所提到的每一种情况提供相应的选项，比如说，我们可以选择枪的声音的分

贝数，可以从80 到100 分贝调节，或者干脆从0 到200db 均可，调节方式是无级变速方式，当然，电脑

太慢，在遍历的时候可能要指定步长，嘿嘿，所以，最好买个好电脑，CPU 一定不要用赛扬的，要用奔

腾的，另外，为了程序员的安全，还要用液晶的显示器，要有UPS 不间断电源，要有健康的座椅￠ ￠ ￠ ￠ ￠ ￠ 哈 哈，扯远了。仿真程序会尽一切可能按实际所限制的条件遍历所有的情况，看一看还剩下几只bird。

当然，这也不是实践。真的做的绝的，会跑去烈士公园做实验，当然得拿一把枪，可以拿塑料子弹

枪。烈士公园离我们学校很近，就在南门嘛。那儿有一个地

方养了很多鸽子。虽然不能保证刚好10 只鸽

子，也不能保证刚好都在树上，但也可以将就着做实验，然后根据实验条件做一些修正。哈哈，这样就完

美了￠ ￠ ￠ ￠ ￠ ￠ 把实践结果与仿真结果、理论结果做比较，再修改理论、仿真程序、论文，再做实验、做仿真， 再比较，再修改，递归到时间的完结。 2 建模中的分工与合作

有些同学觉得，参加数学建模竞赛的目的就是为了提高一下自己的数学水平，或是别的水

平，我不以为然。既然参加数学建模竞赛，其目的就应该是，而且是强烈的目的，去拿一等奖。

我们应该如何分工？传统的标准答案是|数学、编程、写作。但是对于每一个参加过数学建模竞赛

的同学来说，感悟各不相同，所以答案也各不相同。下面是我的一家之言，有经验的朋友也可以一起讨论 一下。 8 数模2004 年

分工不用那么明确。但有个前提是大家关系很好。不然的话，很容易产生矛盾。提醒一点，在搞竞赛

的那几天，睡不好觉，心情急躁，很容易与搭档们发生冲突。分工太明确了，会让人产生依赖思想，不愿

去动脑子。假如写手只是实现一个打字员的功能，把数模高

手的思想表达出来，那是不够的，写手要有自

己的思想，能够检查对方的错误，能够提出自己的思想。 按我的想法，理想的分工是这样的。数学建模竞赛小组中的每一个人，都能胜任其他人的工作，就

算小组只剩下她（他）一个人，也照样能够搞定数学建模竞赛。在竞赛中的分工，只是为了提高工作的效

率，做出更好的结果，并不是由于能力不适合做别的工作。 我一直都这么认为，只有能够独当一面的人，才能更好的与他人合作。其实想想也应该是这样的，在

以后的学习、工作、研究中，数学能力、编程能力、论文写作能力，哪一项是可以缺少的呢？

当然，现实并非如此。我们很难找到三个这样的人凑到一起。所以，凑合着吧。我给一点儿建议，三

个人中，一定要有一个人脑子比较活，善于思考问题，这个人，嗯，勉强归于数学方面吧；一定要有一个

人会编程序，能够实现一些算法，这就够了。另外需要有一个论文写的比较好，不过写不好也没关系，也

可以学嘛，多看一看别人的优秀论文，多用几次Word ，Visio 就成了。（强烈推荐一篇论文《Word 在论

文写作中的技巧》，这篇文章我这儿有，不过怎么让大家看到呢？我想想，网上应该能搜到吧）。

说到看论文啊，我真是觉得，优秀的论文就像《九阴真经》

一样，看了之后会让你功力大增的。大家

一定要多看，特别是想在数学建模竞赛中取得好成绩的朋友。看过论文之后，明白的不仅仅是论文要怎

么写，也在同时学到了作者的思考方式。我建议，有决心的朋友不如背几篇优秀论文。

常常有人问，搞数学建模竞赛是不是需要我学习很多知识啊？比如图论、概率论、神经网络、组合数

学、小波分析、泛函分析、最优化￠ ￠ ￠ ￠ ￠ ￠ 我的回答是，一门都不用，甚至连高等数学都可以不学，有那么 多时间去学这么多课程，还不如把时间拿来去看懂别人的论文呢。很多优秀的论文，其高明之处并不是

用了多少数学知识，而是思维比较全面，切合实际，能解决问题或是有所创新。有时候，在论文中可能碰

见一些没有学过的知识，怎么办？现学现用呗，在优秀论文中用过的数学知识就是最有可能在数学建模 竞赛中用到的，你当然有必要去翻一翻啦。

有些同学觉得，参加数学建模竞赛的目的就是为了提高一下自己的数学水平，或是别的水平，我不

以为然。既然参加数学建模竞赛，其目的就应该是，而且是强烈的目的，去拿一等奖。这样，才会取得好 成绩的。

分工就说到这儿，下面讲合作。合作真的很难，哈哈，我也

没心得。上次合作做数模，我差点儿被气

爆了，可能是我耐性不够吧。我只能说一句话|以大局为重。我想，如果合作者中有一个是小MM，肯定 就不一样了吧，希望大家合作愉快！ 3 选拨的历程

百二秦关终属楚三千越甲定吞吴

请允许我引用一下我的搭挡王瑛的文章：数模之路[1]（略，全文见本期第1 页）

呵呵，我只能以我们学校为例，说一下数模竞赛的选拨历程了。看过以上文章，相信大家对数模竞赛

的选拨应该有所了解。第一轮选拨是在每年的5 月1 日开始的，为期一周，任何人都可以参加，甚至不

用报名，在网上下载了题目做掉上交即可。接着是对选拨出来的同学进行培训，再进行两次选拨，选拨方

式主要以做数学建模竞赛的题目为主。最终选定的人会在9 月份参加全国大学生数学建模竞赛。在全国

竞赛中取得较好成绩的而且原意参加美国数学建模竞赛的同学，会在寒假参加美国数学建模竞赛（可惜 不能去美国，只是网上发题）。

其实选拔上的人不一定就比没选上的人强多少，关键是个机会，看自己把握了。跟我一屇的一组，在 第1 期向为：数学建模竞赛新手教程9

第一次选拔赛中没有被选上，但他们仍然坚持参加后来的培训，最后参加了2001 年的全国赛，并取得全 国一等奖。

对于王瑛的文章，我有很多不同意的地方，也请大家不要太当真，对的地方接受，不对的地方就舍

弃。首先，文中提到“数学建模真的很难”，我就不同意。之所以第一次参加比赛没有什么结果，是因为

我们没有重视，一点儿准备都没有，事前对数学建模是什么都不太了解，就开始去做全国竞赛题，当然做

不出什么。其实数学建模竞赛不过是数学应用题罢了。 今天z偷偷懒，用了别人的文章。下一章我会详细写一下我们参加全国数学建模竞赛的全过程。 4 实战

2001 年9 月未，我们终于迎来了全国大学生数学建模竞赛。那时候西山居有一个游戏刚刚出炉， 里面有一首歌叫做“爱的废墟” 蓝蓝的天空是谁的身体 让云掠夺而去留下感情的证据 当感情在你的心里慢慢的扭曲 我的爱对你是不是委屈加上了恐惧 伤心的流星凄凉的逃避

留下星星收拾这不负责任的结局

是谁把天空撕裂出星星的伤口 抹杀了我的自由还有浪漫的温柔 如果说天外的雨是星星为我落下的泪滴 我不知道在你心里是否还有受伤的痕迹 如果说心中的雨是来自一处残破的屋宇 我不知道呵护的记忆是否会成为埋藏爱的废墟

不知道为什么，我比较喜欢忧伤的感觉，就象这首歌给人的感觉一样，那样容易让人产生力量:)

在竞赛开始的前一天，我和两位搭挡就开始往招待所里面搬运必要的作战武器了。列个清单吧：

2 数学手册一套（5 册）每一册都有一个拳头那么厚 2 高等数学教科书（国防科大），概率论（复旦大学），数值分析（国防科大），MATLAB 的一些参考 书，C 语言教程（谭浩强的那本），等等等等

2 三台自己的电脑，都是赛扬533、566 之类的配置，且均有网卡、UPS 不间断电源及网线（当时用的

是同轴电缆），一个Modem。软件有MATLAB，Visual C++，Microsoft Word，Windows 2000 操作

系统（当时还没有学会Visio，其他软件好像就没有什么了） 2 从学院的机关里借了一台HP 的Laser Jet 6.0 打印机 2 ￠ ￠ ￠ ￠ ￠ ￠

这么多东西当然不是人力所能承受的，还好学校给了辆不大

不小的车。

一切准备就绪，我们就入住了学校南门外的招待所里（以前条件一般，具说现在已经改建的上档次

了，哈哈，一般人住不上）。老师告诉我们第二天早上8:00 从网上Down 题目，但不知道是谁传来了一个

消息，说晚上就有可能从网上下载到题目。于是整个晚上我们都没有睡安稳，时不时上一下网，看一看能

不能下载赛题了。但是最终还是在第二天早上8:00 才搞到题目/:)

z编辑注：本文最初在SHUMO.COM 连载，不是一次完成的

10 数模2004 年

数学建模竞赛一般有四道题目，其中有两道是本科组的，两道是专科组的x。专科组与本科组有一道

题是基本相同的。题目分别是：血管的三维重建，公交车调度问题。

这两道题得选一道做。选哪一道呢？仔细研究了一下，我们发现，公交车调度是一个最优化的问题，

而血管的三维重建偏重于算法。与是我们三人毫不犹豫的选择了血管的三维重建。附带说一句，原因是

什么呢？因为我们曾在一年前也做过一个最优化的问题，那一次是钢管运输问题，做的奇差，于是大家心

有余悸，尽量不选这类题目。

题目：http://csiam.edu.cn/mcm/mcm01/AB01.htm

血管的三维重建，遇见的第一个困难就是―怎么把那些BMP 的图像给读进来，存为二进制的矩阵？

一开始，我们去图书馆找到了《BMP 文件格式》的书，准备利用C 程序把BMP 给读出来。刚准备着手

去做的时候，我们却意外的发现MATLAB 中有现成的函数imread 可以用！真是天助我也，马上把所有

100 张BMP 图片给读了进来，把每一个切片图的BMP 文件转化为一个512×512 的0，1 矩阵。并利用

save 函数，打开ASCII 开关，把每一个矩阵存都存为了txt 的文档。这样，C 程序就可以直接使用了。

在上面的过程中，我们发觉题中给的BMP 的命名不太好，它是0，1，2?到99 的，我们把这些名字

改成了01,02,03,04,....99，把所有的文件名都改成了两位的，方便操作。

接下来就是如何得出结果了。首先我们在图书馆里查了很久，看有没有论文解决相类似的问题。不

但要查中文的，还要查英文的。顺便说一句，英语真的很重要，在网上，英文更是当之无愧的霸主，想利

用网络查找资料，英语不好则寸步难行。我们发现了医学上的CT 成像技术有可以借鉴的地方。这些资

料不一定有用，但能够很好的开拓我们的思路，花时间在上面是值得的。

然后，我们想啊想啊，不停的想来想去，并且用ACDSEE 把这100 张BMP 的图像放幻灯版似的正

放倒放，还用像皮什么的模拟成血管，弯来弯去。最后，凭直觉猜测|能够被切片包含的半径最大的圆的 半径等于原始球（形成包络的球）的半径。

于是我们开始了分头的工作，一方面一个人去证明这个结论。另一方面，开始编程实现这个想法。

在编写程序的过程中，我们还延伸出了两个假设：可以被切片包含的圆的半径一定小于等于原始球

的半径；不能被包含于切片的圆的半径一定大于原始球的半径。呵呵，利用这两个假设，就很容易的用二

分法搞定了这个程序。不过程序运行起来可不轻松。我们把程序分到三个机子上工作，每一个机子上算

一部分图，这也算是并行式算法了吧。就是这么算，也用了一个晚上的时间。在其间，我们还修改了一点

算法，重新算了一遍。的确，算法是要不断改进的，请看这句：“因为所给数据精度有限，所以包含于切片

中的以原始球的半径为半径的圆可能不止一个”，这就是在算法实现过程中发现的。一开始，是很难想到 这些细节的。

还提一个细节，用Windows console 程序，或是用DOS 程序（Turbo C）编写这个程序很难。因为我

们最小就要用到512×512 的矩阵，在算法编写的过程中，为了方便，还会用到更大的矩阵。但是DOS 是

不支持这么大的矩阵数组的，所以建议大家都编写32 位的Windows 程序。

我们提了这些假设，要完全科学的证明可真不容易。有时候，他认为理所当然的事情，我认为应该证

明出来；我认为逻辑混乱的证明，他确认为完全正确。呵呵，于是，我们争论一会儿，证明一会儿，再交

流一会儿，再争论。一次，我争论的冒火，心就好像要爆炸了，心想，这竞赛我不做了！我回学校！我为

什么要和你们合作？我为什么要迁就你们？我不干了！我强忍着，没有说话，走到窗前，仰头看了看外面

的蓝天，突然间想起了那首歌―“蓝蓝的天空，是谁的身体￠ ￠ ￠ ￠ ￠ ￠ ”，我慢慢的哼起来，一刹那，一切都清 静了。我默默的坐到电脑旁，继续编起了程序￠ ￠ ￠ ￠ ￠ ￠ 第一天晚上睡了4 个小时，那个晚上睡了2 个小时。算完之后，就只有一天了。第三天晚上，没有睡 觉，因为要赶论文。

x编辑注：现在称为甲组、乙组 第1 期向为：数学建模竞赛新手教程11

由于我们不怎么会用Word，图表的编号、排版都是纯手工的，太苦了，唯有身在其中方能体会呀。

经过了大量体力劳动，论文完工了，来不及仔细检查，就打出来上交了。刚交完，我们就发现了的图的编 号命名出了点儿错误，唉，大家谨记我们的教训！ 顺便说一点儿做数学建模题的小经验。

1. 随时记下自己的假设。有时候在自己很合理的假设下开始了下一步的工作，我们就应该顺手把这个

假设给记下来，否则到了最后会搞忘记的。而且这也会让我们的解答更加严谨。

2. 随时记录自己的想法，并且不留余地的完全的表达自己的思想。在比赛后，老师讲评优秀论文时，有

很多同学常常抱怨，这个想法我也想到了的啊，就是没有表达出来，或是没有表达清楚。但常常就是

这一点别人没有表达清楚的东西，促成了一篇优秀论文。 3. 要有自己的特色。这么多数学建模竞赛论文，凭什么让老师们投自己一票？当然得有自己的特色了。 通俗点儿，就是要有自己的闪光点。 5 结束语

及荣华之未落兮，相下女之可治

新手教程写到今天，也差不多了，后面的，就不应该只是新手教程了，应该是提高教程，我能力不够，

写不出来了。还希望有高手能够把教程续继下去。这一系列教程文字拙劣、思想简单，还请大家容忍。我

建议大家再看一看董乘宇写的“数学建模竞赛中应当掌握的十类算法”[2]（在编程交流版块），好好练习

练习。再多做几道数学建模竞赛的题目，再与优秀论文比照比照。

常有人问：我觉得自己什么都不会，我不会用MATLAB，我不会用C++，或是我的程序编的不精

通，我的数学知识就那么一点儿，我没写过几篇论文，我怀疑自己什么都干不成￠ ￠ ￠ ￠ ￠ ￠ 其实，谁又知道自 己一定能拿奖呢？谁能保证什么都会，什么都精通？谁又能保证以完美的状态去参加竞赛呢？不要太苛求

自己，不要对自己没有信心。即使面对的是无法超越的崖，也要勇敢的跳过去。不试，你怎么知道呢？没

有必要去学那么多的东西，数学建模竞赛，竞赛而已。 参考文献

[1] 王瑛. 数模之路[J]. 数模，2004，1:1-2.

[2] 董乘宇. 数学建模竞赛中应当掌握的十类算法[J]. 数模，2004，1:12-14

写不出来了。还希望有高手能够把教程续继下去。这一系列教程文字拙劣、思想简单，还请大家容忍。我

建议大家再看一看董乘宇写的“数学建模竞赛中应当掌握的十类算法”[2]（在编程交流版块），好好练习

练习。再多做几道数学建模竞赛的题目，再与优秀论文比照比照。

常有人问：我觉得自己什么都不会，我不会用MATLAB，我不会用C++，或是我的程序编的不精

通，我的数学知识就那么一点儿，我没写过几篇论文，我怀疑自己什么都干不成￠ ￠ ￠ ￠ ￠ ￠ 其实，谁又知道自 己一定能拿奖呢？谁能保证什么都会，什么都精通？谁又能保证以完美的状态去参加竞赛呢？不要太苛求

自己，不要对自己没有信心。即使面对的是无法超越的崖，也要勇敢的跳过去。不试，你怎么知道呢？没

有必要去学那么多的东西，数学建模竞赛，竞赛而已。 参考文献

[1] 王瑛. 数模之路[J]. 数模，2004，1:1-2.

[2] 董乘宇. 数学建模竞赛中应当掌握的十类算法[J]. 数模，2004，1:12-14

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