材料力学习题综合

第一章 绪论 1、 内力的概念； 2、 用截面法求杆件内力； 重点 3、 正应力和剪应力的概念； 4、 小变形的概念； 5、 线应变和角应变的概念； 答案 此说法错误

答疑 构件中单位长度的变形量是平均线应变。而线应变是构件内某点沿某方向的变形程度的度量。 10、\材料力学只限于研究等截面直杆。\ 答案 此说法错误

答疑 材料力学主要研究等截面直杆，也适当地讨论一些变截面直杆，等截面曲杆。

难点 6、变形固体的基本假设及其在材料力学问题中的应用； 11、\切应变是变形后构件内任意两根微线段夹角角度的变化量。\

答案 此说法错误

1、应力是一点的应力，应力与横截面之间的方位关 答疑 切应变是某点处单元体的两正交线段的夹角的变化量。

系； 2、小变形概念在解决材料力学问题时的应用； 12、 \杆件的基本变形是拉压、剪切、扭转、弯曲，如果还有另外

3、材料力学处理问题的方法； 的变形，必定是这四种变形的某种组合。\

1、 理解材料力学研究的对象及其任务； 答案 此说法正确 2、 材料力学的基本假设及力学模型； 选择题 绪论

1、构件的强度、刚度、稳定性 。 A：只与材料的力学性质有关 B：只与构件的形状尺寸有关 C：与二者都有关 D：与二者无关 答案 正确选择 C

2、均匀性假设认为，材料内部各点的 是相同的。

判 断 题 绪 论 A：应力 B：应变 C：位移 D：力学性质 答案 正确选择 D

3、各向同性认为，材料沿各个方向具有相同的 。 A：力学性质 B：外力 C：变形 D：位移 答案 正确选择 A

4、在下列四种材料中， 不可以应用各向同性假设。 A：铸钢 B：玻璃 C：松木 D：铸铁 答案 正确选择 C

3、了解内力、应力和应变的概念； 4、了解杆件的四种基本变形； 5、了解基本变形的受力和变形特点； 6、了解构件强度、刚度、稳定性的概念； 基本知识点 1、\材料力学是研究构件承载能力的一门学科。\ 答案 此说法正确 2、\材料力学的任务是尽可能使构件安全地工作。\ 答案 此说法错误 答疑材料力学的任务是在保证构件既安全适用又尽可能经济合理的前提下，为构件选择适当的材料、合适的截面形状和尺寸，确定构件的许可载荷，为构件的合理设计提供必要的理论基础和计算方法。 答疑 只有松木材料是各向异性，在轴线方向和与轴线垂直的

3、\材料力学主要研究弹性范围内的小变形情况。\ 方向上力学性质不同 答案 此说法正确 4、\因为构件是变形固体，在研究构件的平衡时，应按变形后的尺寸进行计算。\ 答案 此说法错误 答疑材料力学研究范围是线弹性、小变形，固构件的变形和构件的原始尺寸相比非常微小，通常在研究构件的平衡时，仍按构件的原始尺寸进行计算。 5、\外力就是构件所承受的载荷。\ 答案 此说法错误 答疑 外力包括作用在构件上的载荷和支座反力。 6、\材料力学中的内力是构件各部分之间的相互作用力。\ 答案此说法错误 答疑在外力的作用下，构件内部各部分之间的相互作用力的变化量，既构件内部各部分之间因外力而引起的附加的相互作用力。 7、\用截面法求内力时，可以保留截开后构件的任意部分进行平衡计算。\ 答案 此说法正确 8、\应力是横截面上的平均应力。\ 答案 此说法错误 答疑 应力是截面上某点的内力集度，不是整个横截面上的平均值。 9、\线应变是构件中单位长度的变形量。\ 5、根据小变形条件，可以认为： A：构件不变形 B：构件不破坏

C：构件仅发生弹性变形 D：构件的变形远小于原始尺寸 答案 正确选择 D 6、外力包括:

A:集中力和均布力 B:静载荷和动载荷 C:所有作用在物体外部的力 D:载荷与支反力 答案 正确选择 D

7、在下列说法中，正确的是 。

A：内力随外力的增大而增大； B：内力与外力无关； C：内力的单位是N或KN； 答案 正确选择 A

答疑 内力与外载形成平衡力系，固内力随外力的增大而增大 8、静定杆件的内力与其所在的截面的 有关。 A：形状；

B：大小；

C：材料；

D：位置

D：内力沿杆轴是不变的；

答案 正确选择 D

答疑 杆件的内力只与外载的大小，外载的作用点位置有关，固与其所在的截面的形状、大小、材料均无关。

9、在任意截面的任意点处，正应力σ与剪应力τ的夹角α＝ 。 A：α＝90O； B：α＝45O； C：α＝0O； 任意角。

答案 正确选择 A

D：α为

答疑 在任意截面的任意点处正应力与剪应力永远相互垂直。 方面的要求。 10、图示中的杆件在力偶M的作用下，BC段上 。 A：有变形、无位移；

B：有位移、无变形；

C：既有位移、又有变形；

答案 构件有足够的强度、足够的刚度、足够的稳定性。 4、下列图示中实线代表变形前，虚线代表变形后，角应变 D：既无变形、也无位移； 为 。(各标注角为α)

答案 正确选择B

答疑 BC段的横截面上没有内力，固没有变形；是AB段的变形带动BC段产生位移。

11、等直杆在力P作用下：

A：Nａ大 B：Nｂ大 C：Nｃ大 D：一样大

答案 π/2-α、 2α、 0 答疑 角应变等于单元体的两个相互正交的线段在变形前后角度的变化量的极限值，即：角应变＝lim(变形前的角度－变形后的角度)。 5、杆件的基本变形形式有 。 答案 拉压、剪切、扭转、弯曲 6、以拉伸变形为主的杆件称为 ；以扭转变形为主的杆件称为 ；以弯曲变形为主的杆件称为 ； 答案 杆、 轴、 梁 7、运用截面法研究内力时，其过程可归纳为以下三步； ； ； 。 简述 绪论 1、图示中的悬臂梁,初始位置位于水平,受力后变成虚线形状,问①:AB 、BC两段是否都产生位移？②：两段是否都产生变形？ 答案 分二留一； 内力代弃； 内外平衡、求合力 答案 正确选择 D

答疑 用截面法求各截面上的内力时、各截面上的内力均与外载P组成二力平衡

12、用截面法求内力时，是对 建立平衡方程而求解的。 A：截面左段 B：截面右段 C：左段或右段 D：整个杆件 答案 正确选择 C

答案 AB、BC两段都产生位移、但AB段产生变形,BC段不产生变形 答疑 整个构件处于平衡状态，固其左段、右段均处于平衡状态， 答疑 AB段存在内力，发生变形；BC段横截面上不存在内力，没有发生变形；是在AB段的变形下，带动BC段发生位移。 可以取左段也可以取右段建立平衡方程。

13、构件的强度是指 ，刚度是指 ，稳定性是指 。

A：在外力作用下抵抗变形的能力； B：在外力作用下保持其原有平衡态的能力； C：在外力的作用下构件抵抗破坏的能力； 答案 正确选择：C、A、B

答疑 强度是指构件抵抗破坏的能力；刚度是指构件抵抗变形的能力，稳定性是指构件保持原有直线平衡的能力。

填空 绪论

重 点 2、在材料力学中分析杆件内力的基本方法与步骤。 答案 截面法，分三步。 答疑 分二留一、内力代弃、内外平衡，求合力。 第二章 轴向拉伸和压缩 1、轴向拉压的受力特点和变形特点；2、轴向拉压的内力和内力图；3、轴向拉压杆件横截面上的的应力分布规律和计算公式；4、强度计算的三类问题；5、轴向拉压杆件的变形计算－拉压虎克定律；6、材料在拉压时的力学性质；7、拉压静不定问题－三关系法的应用。 1、ζ＝N/A的适用条件；2、强度计算中系统许可载荷的确定；3、三关系法的应用； 1、理解轴向拉压杆的受力及变形特征；2、 学会用截面法来计算轴力及画轴力图；3、 理解轴向拉压杆横截面及斜截面上上的应力分布规律及计算公式；4、 利用强度条件计算三个方面的问题:强度校核、设计截面、确定许用载荷；5、 明确许用应力[ζ]的概念，1、在材料力学中，对变形固体作了 ， ， 三个基本

假设，并且是在 ， 范围内研究的。

答案 均匀、连续、各向同性； 线弹性、小变形 2、材料力学课程主要研究内容是： 。 答案 构件的强度、刚度、稳定性；

难点 基本知识 3、为保证构件正常工作，构件应具有足够的承载力，固必须满足 理解引入安全系数的原因；6、 理解低碳钢在拉伸时的四个变形阶段及材料的强度指标和塑性指标；7、 理解材料在压缩时的力学性能以及塑性材料与脆性材料力学性质的异同处；8、 轴向拉压杆纵向变形和横向变形的概念，轴向拉压杆变形的胡克定律；9、 掌握“以切代弧”求解简单平面桁架节点位移的计算方法；10、学会使用三关系法解决拉压静不定、温度应力、装配应力等问题；11、了解应力集中现象和应力集中系数的意义； 判断题 轴向拉压时横截面上的内力 1、 “使杆件产生轴向拉压的外力必须是一对沿杆轴线的集中力。“ 答案 此说法错误 答疑 合力作用线与杆件的轴线重合的外力系使杆件产生轴向拉压 2、“等直杆的两端作用一对等值、反向、共线的集中力时，杆将产生轴向拉伸或压缩变形。” 答案 此说法错误 答疑 只有当外力的作用线与杆件的轴线重合时才能使杆件产生轴向拉压变形。 3、“求轴向拉压杆件的横截面上的内力时必须采用截面法” 答案 此说法正确 4、“轴向拉压杆件横截面上内力的合力作用线一定与杆件的轴线重合。” 答案 此说法正确 答疑 外力的作用线与杆件的轴线重合，内力的合力与外载平衡，固内力的合力作用线必然与杆件的轴线重合 5、“只根据轴力图就可以判断出轴向拉压变形时杆件的危险面” 答案 此说法错误 答疑 判断危险面的位置应综合考虑轴力的大小，横截面面积的大小；轴力大，横截面面积也大，不一定是危险面。 选择题 轴向拉压横截面上的内力 1、计算M－M面上的轴力 。 答疑 内力只与外力的大小和作用点有关，与材料无关。 3、关于轴向拉压杆件轴力的说法中，错误的是： 。 A：拉压杆的内力只有轴力； B：轴力的作用线与杆轴重合； C：轴力是沿杆轴作用的外力； D：轴力与杆的材料、横截面无关。 答案 正确选择：C 答疑 轴力是内力，不是外力； 4、下列杆件中，发生轴向拉压的是 。 A：a；

B：b； C：c； D：d；

答案 正确选择：d 答疑 只有d的外力合力作用线与杆件轴线重合。

填空题 轴向拉压时横截面上的内力

1、 情况下，构件会发生轴向拉压变形。 答案 外力的合力作用线与杆件的轴线重合。 2、轴向拉压时横截面上的内力称为 。

答案 轴力答疑 内力的合力作用线与杆件的轴线重合

简述 轴向拉压时横截面上的内力

1、等直杆受力如图，根据理论力学力的可传性原理，将力P移到C、A点，m-m面上的轴力相同吗？应用力的可传性原理时应注意些什么？

A：－5P B：－2P C：－7P D：－P 答案 正确选择：D

答疑 用截面法在M－M处截开，取右段为研究对象， 列平衡方程。 2、图示结构中，AB为钢材，BC为铝材，在P力作用下 。 A：AB段轴力大 B：BC段轴力大 C：轴力一样大 答案 不相同；

答疑 移到C点时，m-m截面上的内力为P，移到A点时，m-m截面

上的内力为零。只有在求支座反力时才可以应用力的可传性，求杆件的变形时，一定不能应用力的可传性。 选择题 轴向拉压时横截面上的应力

答案 正确选择：C 1、图示中变截面杆，受力及横截面面积如图，下列结论中正确的是 。

A：轴力相等，应力不等； B：轴力、应力均不等

C：轴力不等，应力相等 D：轴力、应力均相等

答疑 在杆件的整个拉伸过程中，外力的合力作用线始终与杆件的轴线重合

2、下列各图所给截面中哪一个可以应用ζ=N/A？

答案 正确选择：C

答疑 用截面法求各段的轴力分别为P、2P、3P； 2、等直杆受力如图，横截面的面积为100平方毫米，则横截面MK上的正应力为： 。

A:-50Mpa B:-40MP C:-90Mpa D:+90MPa

答案 正确选择：a、c

答疑 只有a、c的外力的合力作用线与杆件轴线重合。 3、杆件受力如图，由于1、2截面上的轴力为N1＝N2＝P，截面面积A1＝2A2，所以正应力分别为ζ1=N1/A1=P/2A2,ζ2=N2/A2=P/A2。即：ζ2=2ζ1，对吗？如果不对，在什么情况下可以得到上述结果？

答案 正确选择：D

答疑 截面法求M－K截面上的轴力为＋9KN。 3、拉杆的应力计算公式ζ=N/A的应用条件是： 。

A：应力在比例极限内； B：外力的合力作用线必须沿杆件的轴线； C：应力在屈服极限内； D：杆件必须为矩形截面杆； 答案 正确选择：B

答疑 此公式适用于轴向拉压杆件横截面的应力计算，与截面形状无关，且直到杆件在拉伸破坏之前均成立。

4、轴向拉压细长杆件如图所示，下列说法中正确的是 。 A：1－1面上应力非均匀分布，2－2面上应力均匀分布； B：1－1面上应力均匀分布，2－2面上应力非均匀分布；

C：1－1面、2－2面上应力皆均匀分布； D：1－1面、2－2面上应力皆非均匀分布；

答案 a图中的m m面上的应力是均匀分布；其余各图中的m m面上的应力不是均匀分布。

答案 正确选择：A

答疑 2－2截面离开力的作用点的距离较远，应力在截面上均匀分布；而1－1截面离开端面的距离不大于构件的横向尺寸，应力在1－1截面上非均匀分布。

简述 轴向拉压时横截面上的应力

1、 ζ=N/A的应用条件是什么？适用范围是什么？

答案 应用条件：外力的合力作用线与杆件的轴线重合；适用范围：在整个拉伸破坏之前均适用

答疑 b图中的m m面离开截面端面的距离没有超过杆件的横向尺寸，应力非均匀分布；c图中外力的合力作用线不与杆件的轴线重合，不是轴向拉压变形；d图中是两种材料，应力在整个截面上也不是均匀分布。

判断题 轴向拉压时斜截面上的内力与应力

1、“轴向拉压杆件任意斜截面上的内力作用线一定与杆件的轴线重合”

答案 此说法正确 答疑 任意斜截面的内力与外载平衡，外载的作用线位于杆件的轴线上，固任意斜截面的内力的作用线也一定在杆件的轴线上 和受力如下：

答案 不对

答疑 1截面处外力的作用线与杆件的轴线重合，可以采用公式ζ1=N1/A1；2截面处外力的作用线不在杆件的轴线上，不能采用公式ζ2=N2/A2计算2截面的应力。只有当外力的合力的作用线与2截面处的轴线也重合时，可以得到ζ2=2ζ1的计算结果。即：杆件的形状

4、设各直杆在m-m的截面面积均为A，问图示中的各m-m面上的应力是否均为P/A?为什么？

2、“拉杆内只存在均匀分布的正应力，不存在剪应力。” 答案 此说法错误 答疑 拉杆在横截面上只存在均匀分布的正应力，但在任意斜截面上不仅有正应力，还有剪应力。 3、“杆件在轴向拉压时最大正应力发生在横截面上”

答疑 ζα＝ζcosα、η

2

α

=ζsin2α/2

4、轴向拉压杆，与其轴线平行的纵向截面上 。

A：正应力为零、剪应力不为零； B：正应力不为零、剪应力为零； C：正应力、剪应力均不为零； D：正应力和剪应力均为零。

答案 此说法正确 答疑 任意斜截面的正应力计算公式

2

为ζα＝ζcosα,当α＝0时，ζα取得最大值。

4、“杆件在轴向拉压时最大剪应力发生在与轴线成45度角的斜截面上”

答案 此说法正确 答疑 任意斜截面的剪应力计算公式

o

为ηα＝ζsin2α/2,当α＝45时，ηα取得最大值。

选择 轴向拉压时斜截面上的内力与应力

1、杆件的受力和截面如图，下列说法中，正确的是 。 A：ζ1>ζ2>ζ3； B：ζ2>ζ3>ζ1

答案 正确选择：D 答疑 ζ90＝ζcos90＝0、η

2

90

=ζ/2sin2×90＝0。

简述 轴向拉压时斜截面上的内力与应力

1、轴向拉伸杆件的最大正应力与最大剪应力分别发生在哪个面上？ 答案 根据任意斜截面上的应力计算公式ζα＝ζcosα、

ηα=ζsin2α/2，得到当α＝0时，ζα取得最大值，固最大正应力

o

发生在横截面上；当α＝45时，ηα取得最大值，固最大剪应力发生在与轴线成45度角的斜截面上。

2、 最大正应力所在的面与最大剪应力所在的面的几何方位如何？

C：ζ3>ζ1>ζ

2

2

Ｄ：ζ2>ζ1>ζ3

答案 轴向拉压时的最大正应力发生在横截面上，最大剪应力发生在与轴线成45度角的斜截面上，固最大正应力所在的面与最大剪应力所在的面互成45度角。

3、横截面面积为A的等直杆，受轴向拉力P的作用，则最大剪应力ηmax= , ηmax作用面上ζ＝ 。 答案 0.5P/A 0.5P/A

答案 正确选择：A

判断题 材料在拉压时的力学性质 答疑 1、2横截面的轴力相等，2截面的面积大，固1截面的应力

大于2截面的应力；斜截面3处的横截面与横截面2处的内力相等，横截面面积相等，固横截面2处的正应力与斜截面3处的横截面的正1、“材料的延伸率与试件的尺寸有关。“ 应力相等；但是在任意斜截面中，最大正应力发生在横截面上，固横截面2处的正应力大于斜截面3处的正应力。

答案 此说法正确 答疑 标准试件在拉伸试验时取标距l＝5d或l＝10d，测得延伸率不同。

2、设ｍ－ｍ的面积为Ａ，那么P/Ａ代表 A：横截面上正应力；B：斜截面上剪应力； C：斜截面上正应力；D：斜截面上应力。

2、“没有明显的屈服极限的塑性材料，可以将产生0.2％应变时的应力作为屈服极限。“

答案 此说法错误 答疑 对于没有明显屈服极限的塑性材料，将产生0.2％塑性变形时的应力作为材料的名义屈服极限，而不是产生0.2％的应变时的应力。

3、“构件失效时的极限应力是材料的强度极限。”

答案 正确选择：D

选择题 材料在拉压时的力学性质

答疑 此时外力P的作用线与ｍ－ｍ截面成一夹角，固P/Ａ只能是斜截面上的应力，既不是正应力，也不是剪应力，是斜截面上的正应力与剪应力的矢量和。

3、设轴向拉伸杆横截面的正应力为ζ，则45度斜截面上的正应力和剪应力分别为 。

1、 现有两种说法：

①弹性变形中，ζ-ε一定是线性关系

答案 此说法错误 答疑 塑性材料的极限应力是材料的屈服极限；脆性材料的极限应力才是材料的强度极限。

②弹塑性变形中，ζ-ε一定是非线性关系 ；哪种说法正确？ A：①对②错； B：①对②对；

A：ζ/2、ζ； B：均为ζ； C：ζ、ζ/2； D：均为ζ/2 C：①错②对； D：①错②错； 答案 正确选择：D

答案 正确选择：C 答疑 弹性变形中的应力－应变关系只有在线弹性范围内是线性的，当应力超过比例极限而低于弹性极限的一

段范围内应力－应变的关系就是非线性的；而弹塑性变形中应力－应变的关系一定是非线性的。

2、进入屈服阶段以后，材料发生 变形。

A：弹性；B：非线性；C：塑性；D：弹塑性；

答案 正确选择：D 答疑 当应力到达屈服极限时，开始出现塑性变形，进入屈服阶段以后的变形，较小的一部分是弹性变形，大部分是塑性变形。

3、钢材经过冷作硬化以后， 基本不变。 A：弹性模量； B：比例极限； C：延伸率； D：断面收缩率； 答案 正确选择：A 答疑 钢材经过加载，当工作应力超过屈服极限到达强化阶段以后卸载，应力－应变曲线会沿与上升阶段平行的一条直线回到ζ＝0。此时再重新加载，会沿与上升阶段平行的一条线段达到卸载点。重新加载时上升线段的斜率与初次加载时上升线段的斜率几乎相等。

答案 正确选择：D 答疑 此时试件并没有破断，可以继续加载，只是产生很大的塑性变形。

8、低碳钢材料试件在拉伸试验中，经过冷作硬化后，以下四个指标中 得到了提高。

A：强度极限 B：比例极限 C：截面收缩率 D：延伸率 答案 正确选择：B 答疑 冷作硬化后，直线段增大，固比例极限得到提高。

9、低碳钢的拉伸时的应力-应变曲线如图。如断裂点的横坐标为ε，则ε 。A：大于延伸率； B：等于延伸率C：小于延伸率； D：不能确定。

答案 正确选择：A

4、钢材进入屈服阶段后，表面会沿 出现滑移线。 答疑 延伸率代表试件的塑性变形。而断裂点的横坐标ε既包

含塑性变形也包含小部分的弹性变形。 A：横截面； B：纵截面；

C：最大剪应力所在面； D：最大正应力所在的面；

答案 正确选择：C 答疑 最大剪应力使材料内部相对滑移。

5、下图为某材料由受力到拉断的完整的应力应变曲线，该材料的变形过程无 。

A：弹性阶段、屈服阶段； B：强化阶段、颈缩阶段； C：屈服阶段、强化阶段； D：屈服阶段、颈缩阶段。

10、对于没有明显屈服极限的塑性材料，通常以产生0.2％的 所对应的应力作为屈服极限。 A：应变；

B：残余应变；

C：延伸率

答案 正确选择：B 答疑 产生0.2％的塑性变形时的应力定义为材料的名义屈服极限。

11、现有钢、铸铁两种棒材，其直径相同。从承载能力和经济效益两个方面考虑，合理选择方案是 。

A：1杆为钢，2杆为铸铁； B：1杆为铸铁，2杆为钢； C：两杆均为钢； D：两杆均为铸铁；

答案 正确选择：A

答案 正确选择：D 答疑 曲线没有锯齿波固曲线没有塑性流动阶段；曲线在邻近破坏时没有下降一段，固曲线没有颈缩阶段。 答疑 通过受力分析得到1杆受拉，2杆受压；钢材的抗拉压强度

相等，可作受拉构件也可作受压构件，但铸铁材料抗压不抗拉，宜作受压构件，固受压构件选择铸铁材料，受拉构件选择钢材。

选择题 材料在拉压时的力学性质 6、关于铸铁： A 抗剪能力比抗拉能力差； B 压缩强度比拉伸强度高。 C 抗剪能力比抗压能力高。正确的是 。

填空题 材料在拉压时的力学性质

1、低碳钢由于冷作硬化，会使 提高， 降低。

答案 正确选择：B 答疑 铸铁在拉伸破坏时断面位于横截面，

说明抗剪强度高于抗拉强度；铸铁在压缩破坏时，断面位于与轴线成 答案 比例极限、延伸率 答疑 直线段增大，塑性变形减小 45度角的斜截面，是由于剪应力引起破坏，说明铸铁的抗压强度高

2、铸铁试件的压缩破坏是由 应力引起的。 答案 最大于抗剪强度；铸铁抗压不抗拉。

剪应力 答疑 铸铁试件压缩破坏的断面在与轴线大约成45度角的斜截面上，该截面有最大剪应力 7、当低碳钢试件的试验应力ζ=ζs时，试件将 。 A：完全失去承载能力； B：破断；C：发生局部颈缩现象； D：产生很大的塑性变形；

3、外载卸掉以后，消失的变形和遗留的变形分别

是 。 答案 弹性变形，塑性变形； 答疑 弹性变形是卸载后可以恢复的变形，塑性变形不可恢复。固弹性变形消失、塑性变形遗留下来。

4、低碳钢在拉伸过程中依次表现为 ， ， ， 四个阶段 答案 弹性阶段、屈服阶段、强化阶段、颈缩阶段 5、铸铁压缩试件，破坏是在 截面发生剪切错动，是由于 引起的。 答案 与轴线大约成45度角的斜截面，最大剪应力 答疑 45度角的斜截面上有最大剪应力

答案 C点的纵坐标是材料的名义屈服极限ζP0.2 6、三根杆的尺寸相同、但材料不同，材料的应力－应变曲线如图。 材料的强度高， 材料的刚度大， 塑性好。

答疑 名义屈服极限是产生0.2%的塑性变形时的应力。

12、在下图中标示出：ζ

0.2

和延伸率δ。

答案

答案 1材料的强度高；2材料的刚度大； 3材料的塑性好。 答疑 材料1有最大的强度极限；在相同的应力作用下，材料2有最小的变形；材料3有最大的延伸率

7、对某低碳钢材料进行拉伸试验时，测得其弹性模量为E＝200GPａ。若在超过屈服极限后继续拉伸，当试件横截面上的正应力为300MPａ

-3

时测得轴向线应变为3.5×10,然后立即卸载到正应力为0，则试件的轴向塑性应变为 。

答案 2.0×10 答疑 轴向线应变3.5×10中，既有弹性变形的线应变又有塑性变形的线应变。而弹性变形的线应变＝

-3

ζ/E=1.5×10，固塑性变形的线应变＝总的应变－弹性变形的线应

-3

变＝2.0×10

填空题 材料在拉压时的力学性质 8、常温、静载下，材料的塑性指标是 和 。

答案 延伸率、断面收缩率。 答疑 延伸率、断面收缩率越大，材料的塑性性能越好。

9、低碳钢拉伸实验，表面磨光的试件出现与轴线大致成45度角的滑移线，说明低碳钢的屈服现象与 有关。

-3

-3

答疑 ζ0.2是指产生0.2%的塑性变形时的应力；延伸率是破坏后的残余变形。

13、已知低碳钢的应力应变曲线，在点ｆ试件被拉断，图中代表延伸率的线段是：

答案 最大剪应力

答案 OO1线段;

答疑 在与轴线大约成45度角的斜面上有最大剪应力。

答疑 试件在点ｆ处被拉断时的总应变为OO2,此总应变包含弹性变形和塑性变形，O1O2是试件被拉断时的弹性变形，会逐渐消失；OO1

10、当低碳钢试件的试验应力达到材料的屈服极限时，试件将出现 现象。 答案屈服现象、产生很大的塑性变形，出现与轴线大致成线段代表不可恢复的塑性变形；延伸率是指试件不可恢复的塑性变

形。 45度角的滑移线。

答疑 当应力达到材料的屈服极限时，试件出现塑性流动现象，在

应力变化不大的情况下，应变却发生急剧变化，材料好象失去了抵抗变形的能力，出现不可恢复的塑性变形；在与轴线大约成45度角的斜截面上的最大剪应力使杆件内部的晶格之间发生相对错动，在试件的表面出现滑移线。

11、某材料的应力、应变曲线如图，曲线上 点的纵坐标是材料的名义屈服极限ζP0.2

4、标距为100毫米的标准试件，直径为10毫米，拉断后测得伸长后的标距为123毫米，颈缩处的最小直径为6.4毫米，该材料的延伸率δ= ，断面收缩率Ψ＝ 。 答案 δ=23％、Ψ＝59.04％

答疑 延伸率＝杆件的伸长量/杆件的原长＝(123－100)/100=23%

断面收缩率Ψ＝A-A /A=(π10/4-π6.4/4)/π10/4=59.04%。 15、工程中通常把延伸率 的材料称为塑性材料，而塑性材料是以 为其破坏应力。

’

2

2

2

答案 δ>5% 强度极限ζb；

答疑 工程中通常把延伸率δ>5%的材料称为塑性材料，δ<5%的材料称为脆性材料；

当拉伸试件内的工作应力达到强度极限ζb 时，试件出现颈缩现象，出现裂痕。

简述 材料在拉压时的力学性质

1、冷作硬化以后材料发生了哪些变化？

答案 比例极限得到提高，塑性变形减小； 2、在杆件的整个拉伸破坏过程中，ζ=N/A是否一直适用？ 答案 在整个试件被拉断之前均适用；在整个拉伸破坏过程中外力的合力作用线始终与杆件的轴线重合； 3、衡量材料力学性能的指标有哪些？

9、进行金属材料等截面杆拉伸试验时，通常能得到该材料的哪些参数？对一些极值在拉伸曲线上加以说明。

答案 比例极限、弹性极限、屈服极限、强度极限；

答疑 直线段的最高点所对应的应力为比例极限；过比例极限不远处弹性变形的最高点的纵坐标为弹性极限；锯齿波的最低点所对应的应力为屈服极限；整个曲线的最高点所对应的应力为材料的强度极限。

判断 虎克定律

1、杆件在拉伸变形后，横向尺寸会缩短，是因为杆内有横向应力存在。答案 此说法错误 答疑 杆件内没有横向应力存在，是由

答案 比例极限、弹性极限、屈服极限、强度极限，弹性模量。 于纵向应力使杆件产生横向变形。 4、请分别指出低碳钢、铸铁在拉伸、压缩破坏时的断面。并简述破坏的原因。 答案 低碳钢拉伸破坏的断面位于横截面，此截面上有最大正应力，是最大正应力引起试件破坏；低碳钢是塑性材料，在压缩时不可能被压断；铸铁拉伸破坏的断面位于横截面，最大正应力引起破坏；铸铁的压缩破坏的断面位于与轴线大约成45度角的斜截面上，此斜截面有最大剪应力，是最大剪应力引起的破坏。

2、虎克定律适用于弹性变形范围内。 答案 此说法错误 答疑 虎克定律适用于线弹性变形范围，当应力超过比例极限后，应力－应变关系不再呈线性关系

’

’

3、“拉压变形时杆件的横向变形ε和轴向应变ε之间的关系为ε＝－με” 答案 此说法错误 答疑 当变形

’

5、简述：为什麽铸铁一般作为受压构件而不作受拉构件？ 答案 处于弹性范围内时，杆件的横向变形ε和轴向应变ε之间的关系

’

为ε＝－με 铸铁的抗拉强度不如抗压强度好。

6、低碳钢的应力-应变曲线如图,当应力加到K点时逐渐卸载,相应的

卸载路径为哪条?此时对应的弹性应变和塑性应变各是多少?

选择题 虎克定律

1、均匀拉伸的板条表面上画两个正方形，如图所示。受力后会成 形状。

A：a正方形、b正方形； B： a正方形、b菱形； C：a矩形、b菱形 D：a矩形、b正方形

答案 卸载路径为KA，弹性应变AB，塑性应变OA。

答疑 卸载后会沿上升阶段平行的线段KA回到ζ＝0；K点对应的总应变为OB，应变AB在卸载后消失，遗留下来的塑性应变是OA。 答案 正确选择：C 7、通常把延伸率小于5％的的材料称为脆性材料，延伸率大于5％的材料称为塑性材料。是否塑性材料制成的圆柱型试样只能压成薄圆饼状而不能压至破裂，因而得不到压缩强度极限？是否脆性材料必定被压破而不会被压成薄饼状？ 答案

8、同一牌号的低碳钢，分别做成标距为5倍直径与10倍直径的标准拉伸试件，定性地分析两者延伸率的大小。

答案 标距为L=5d的试件的延伸率大于标距为L=10d的试件的延伸率。

答疑正方形a的左右两对边之间的纵向纤维的原长相等，在均匀拉力作用下伸长量相等；上下两对边之间的横向纤维尺寸变小，且缩短量相等，固变形后成为矩形。正方形b的任意两条纵向纤维之间的原长不等，受力后的伸长量也不相等，中间纤维的伸长量最大，向上、向下依次变形量减小，固变形后成为菱形。

2、受轴向拉伸的圆截面杆件的横截面上画两个圆，拉伸后会变成什么形状？

A：a圆、b圆； B：a圆、b椭圆； C：a椭圆、b圆；D：a椭圆、b椭圆；

答疑 通过试验得到杆件的塑性伸长量为ΔL=αL0+β

；其

中L0、A0为构件的原始尺寸；α、β是与材料性能有关的常数；固试件的延伸率δ=ΔL/L0=α+β

越大，试件的延伸率越低。

/L0，由此可见，试件的原始长度

答案 正确选择：B

答案正确选择：A

答疑横截面上只存在与横截面垂直的正应力且正应力在横截面上均匀分布，沿径向无应力存在。由于横截面上拉应力的存在使得两圆的半径减小，但形状不变。

答疑 拉杆的轴力相同均为P，横截面面积相等，固拉杆的各个横截面上的正应力相等均为P/A。但拉杆由两种材料制成，材料的弹性模量不相同，固两种材料的变形不同。

7、图示中的等直杆，AB=BC=CD=a，杆长为3a，材料的抗拉压刚度为EA。杆中点横截面的铅垂位移为： 。

A: 0 B：2Pa/EA C：Pa/EA D：3Pa/EA

3、低碳钢圆截面在拉伸破坏时，标距由100毫米变成130毫米。直

径由10毫米变为7毫米，则Poisson’s ratio(泊松比) ε为： A： μ=(10-7)/(130-100)=0.1 B：μ=ε

’

μ=|ε/ε|=1 D：以上答案都错。 答案 正确选择：D

答案 正确选择：C

答疑 ε＝－με的适用范围是线弹性。此时试件已经被拉伸破坏，不是在弹性范围内，固此公式不能适用。

4、钢材的弹性模量E＝200GPa，比例极限ζp=200MPa，轴向线应变ε=0.0015，则横截面上的正应力ζ= 。 A：ζ＝Eε＝300Mpa； B：ζ>300Mpa；

A：平动； B：转到； C：不动 D：平动加转动

C：200Mpa<ζ<300Mpa； D：ζ<200Mpa 答案 正确选择：C

答疑 Eε＝300MPa超过比例极限，固此时材料的应力－应变曲线超过材料的弹性范围，到达屈服阶段。 5、在板状试件表面贴两片应变片，在力P作用下

-6-6

ε1=-120×10,ε2=40×10,那么泊松比为：

A：3； B：－3； C：1/3; D:-1/3

答案 正确选择：D

答疑 斜线代表一斜截面，斜截面与左侧端面之间的纵向纤维在拉力的作用下将伸长，使得斜线产生位移；另一方面，斜截面与左侧端面之间的纵向纤维的伸长量不相等，使得斜线发生转动。 9、空心圆轴受轴向拉伸时，受力在弹性范围内，它的 。 A：内外径都减小； B：外径减小，内径增大；

答案正确选择：C

答疑ε1为纵向线应变，ε2为横向线应变。而泊松比＝－横向线应变/纵向线应变＝1/3

选择题 虎克定律

6、拉杆由两种材料制成，横截面面积相等，承受轴向拉力P， 。

A：应力相等、变形相同； B：应力相等，变形不同； C：应力不同，变形相同； D：应力不同，变形不同

C：内外径都增大； D：外径增大，内径减小。 答案 正确选择：A

答疑 在轴向拉力的作用下，横截面上横向尺寸减小。

’

’

/ε=-0.3/0.3=-1 C：

答疑 杆件的BC段的轴力为零，固杆件中间截面的铅垂位移

等于AB段的伸长量，而AB段的轴力为P，伸长量为Pa/EA。 8、图示中，拉杆的外表面有一条斜线，当拉杆变形时，斜线将 。

10、图示中各杆件的材料相同、横截面A1＝A2/2,杆件的长度均为L,

载荷均为P。C1与C2点在铅垂方向的位移分别为Δ1、Δ2。那么有：

A：Δ1＝Δ2；

B：Δ1>Δ2； C：Δ1<Δ2；

答案 正确选择：B 答疑 Δ1=ΔL/cos30=NL/EA1/cos30=PL/1.5EA1、 Δ2＝PL/EA2=PL/2EA1, 填空 虎克定律 1、承受集中力的轴向拉压杆件，只有在 长度范围内变形才是均匀的。 答案 在距端截面的距离大于横向尺寸的 答疑 根据圣维南原理，在离开杆端一定距离(大于杆件横向尺寸的范围)之外，横截面上各点的应力才是均匀的。 2、图示中杆件，AB＝BC＝CD＝L。如果截面的抗拉压刚度为EA，在四个相等的P力作用下，杆件的总变形为： ，BC段的变形为： 。 答疑 点1位于固定端处，不会产生位移；点2的位移等于1、2段的伸长量；点3的位移等于AC段的伸长量，但是BC段没有内力，不产生变形，固点3的位移等于AB段的伸长量。 点1、点2两处横截面的内力大小为P，横截面面积为A，固此二处应力大小为P/A；点3所在的横截面的内力为0，固应力为0。1、2两点处存在正应力，产生轴向线应变，大小＝ζ/E＝P/EA；点3所在的截面没有应力存在，不产生轴向线应变。 AB段存在轴力，产生变形；BC段的轴力为零，不产生变形。

4、两根承受轴向拉伸的杆件均在弹性范围内，一为钢杆E1＝210GPａ，另一为铸铁E2＝100GPａ。若两杆的正应力相等，则两杆的纵向线应变的比值为： ；若两杆的纵向应变相同，则两杆的正应力的比值为： 。

答案 100/210 、 210/100

答疑 纵向线应变ε=ζ/E。在正应力相等的条件下，纵向线应变的比与材料的弹性模量成反比；在纵向线应变相同的条件下，正应力的比与材料的弹性模量成正比。

5、平板拉伸试件受载荷P的作用，试件上相互垂直地粘贴两枚应变片R1和R2，R1和R2的读数分别为ε1和ε2。由R1和R2组成图示半桥测量电路，R0为应变仪的内电阻，此时应变仪的读数ε＝ 。 A：(1+u)ε1 (1-u)ε2

B: (1+u)ε2 C: (1-u)ε1 D:

答案 －2PL/EA 0 答疑 BC段的轴力为0，固BC段的变形为零。AB段与CD段的轴力均为－P， 杆长及横截面面积相等，此二段的变形相同，均为－PL/EA。杆件的总变形＝AB段变形＋BC段变形＋CD段变形＝－2PL/EA。 3、图示中的拉杆承受载荷P，横截面面积为A，弹性模量为E。AB=BC=L，

答案 正确选择：A

1点 2点 3点 位移 应力 纵向线应变 纵向变形 AB段 BC段 答疑图示采用半桥接线，应变仪的读数为ε＝ε1－ε2，而ε1

沿外载的方向，为纵向线应变；ε2与ε1的方向垂直，为外载的横向线应变，满足关系ε2＝－uε1。代入后得到ε＝ε1－ε2＝(1+u)ε1。 6、对某低碳钢材料进行拉伸试验时，测得其弹性模量E＝200GPa。若在超过屈服极限后继续拉伸，当试件横截面上的正应力ζ＝300MPa

－3

时，测得轴向线应变ε＝3.5×10，然后立即卸载至ζ＝0，则试件的轴向塑性（残余）应变为ε＝ 。 答案 2.0×10

答疑 当试件横截面上的正应力ζ＝300MPa时，杆件的弹性应变

－3－3

为ζ/E=1.5×10,此时总的线应变为3.5×10，固试件产生的塑性

－3－3－3

应变为3.5×10－1.5×10＝2.0×10。由于塑性变形不可恢复，即使外载卸掉，横截面上的应力ζ＝0，塑性变形仍然保留下来，固

－3

试件的塑性应变为2.0×10。

简述 虎克定律

－3

求出表格中的各值。 答案 1点 2点 3点 位移 0 应力 P/A P/A 0 纵向线应变 P/EA P/EA PL/EA PL/EA 0 0 纵向变形 AB段 BC段 1:Hooke定律ζ=Eε的适用范围是什么？

答案 线弹性范围内（应力不超过材料的比例极限）

答疑 在线弹性范围内，应力－应变之间呈线性关系；当应力超过比例极限后，应力－应变之间呈非线性关系。

2、桁架中各杆件的抗垃压刚度EA相等，画出变形后节点A的位置。

3PL/4EA

答疑 在尺寸突变处，应力急剧增加。

3、下图中为外形尺寸均相同的脆性材料，承受均匀拉伸， 最容易破坏的是

答案 1-1截面上正应力的分布规律为：

拉杆的极限载荷qjx≤ζs

答疑 图中的1－1截面上存在尺寸突变，有应力集中现象，在尺寸突变处有较大的应力，在较远处，应力又趋于均匀；对于圆孔极其微小的理想弹塑性材料，可以忽略圆孔的存在，由强度条件得到：qjxA/A≤ζs，所以有：qjx≤ζs

2、定性地画出下列各图中1－1截面上的应力分布规律。

答案 C图中的杆件最容易发生破坏

答疑 C属于扩张型裂纹，在拉力的作用下，裂纹尖端的应力集中程度最严重，最容易发生破坏。

4、拉伸板仅发生弹性变形，a，b两点中正应力最大的是 。

答案 a点的正应力大

答疑 a点处于尺寸突变处，有较大的应力集中。 5、图示有缺陷的脆性材料中，应力集中最严重的是：

答疑 左图中的1－1截面上存在尺寸突变，有应力集中现象，在尺寸突变处有较大的应力，在较远处，应力又趋于均匀；在右图中的1－1截面上，外力的合力作用线与1－1截面的轴线重合，1－1面产生轴向拉伸变形，应力在横截面上均匀分布。 3、解释下列名词：①圣维南原理；②应力集中

答案 D图中杆件的应力集中最严重 答疑 D图中的裂纹属于张开型裂纹

6、静荷作用下的塑性材料和内部组织均匀的脆性材料中， 对应力集中更为敏感。

答案 内部组织均匀的脆性材料

答案 破裂会从横向间隙处开始，此处比圆形孔处有较强的应力

7、对于脆性材料而言，静荷作用下，应力集中对其强度 影响。集中。 （有、无）

5、售货员卖布时，总是先在布边上剪一小孔，然后将布撕开，这有什么道理？如果不开小孔，又会怎样？ 答案 有影响

答疑 脆性材料的抗拉强度低、塑性性能差，抗压强度高，静荷作

用下应力集中对于脆性材料的强度有影响。尤其是对内部组织均匀的脆性材料的影响更大。

简述 应力集中

1、定性画出1－1截面上的正应力应力分布规律。若拉杆的材料为理想弹塑性，屈服极限为ζs，杆中圆孔及其微小，求拉杆的极限载荷qjx

答案 售货员卖布时，先在布边上剪一小孔，是为了使得布的边缘有尺寸突变，以便受力时在此处发生应力集中，此时在用力不大的情况下，就将会将布撕开。如果不开口，没有尺寸突变，也就不会产生应力集中，那么将布撕开就不会那么省力了。

6、工人师傅切割玻璃时，先在玻璃表面用金刚石刀划痕，然后轻敲刻痕的两边，玻璃就会依刻痕断开。为什么？

答案 玻璃属于内部组织均匀的脆性材料，对应力集中比较敏感。先在玻璃表面用金刚石刀划痕，使得玻璃的尺寸突变；轻敲刻痕的两边，玻璃就会依刻痕断开。

剪切与挤压的实用计算

答案圣维南原理：作用在杆端的力的作用方式不同，除作用区域有明显的差别外，还会影响到与杆端距离不大于横向尺寸的范围内的应力分布。在距离杆端较远处，横截面上的应力是均匀的。 应力集中：杆件的外形突然变化，引起局部应力急剧增加。 4、取一张长为240毫秒，宽约60毫秒的纸条，在其中剪一个直径为10毫米的圆孔和长为10毫米的横向间隙，当用手拉纸条的两端时，问破裂会从哪里开始？为什么？ 请作试验 答案

重点 1、剪切变形的受力特点和变形特点；2、正确判断剪切面和挤压面；3、综合运用拉压、剪切和挤压强度条件对连接件进行强度计算； 1、注意区分挤压变形和压缩变形的不同；压缩变形是杆件的均匀受压；挤压变形是在连接件的局部接触区域的挤压现象，当挤压力过大时，会在接触面产生塑性变形或压碎现象。2、当挤压面为圆柱侧面时，挤压面面积的计算； 3、连接件接头的强度计算 1、 掌握剪切和挤压的概念；2、 连接件的受力分析；3、 剪切面和挤压面的判断和剪切面和挤压面的面积计算；4、 剪切与挤压的实用计算及联接件的设计；5、 纯剪切的概念；6、 学会工程实际中联接件的剪切与挤压强度实用计算与剪切破坏计算； C：[ζbs2]>[ζbs1]>[ζbs3] D：[ζbs1]=[ζbs2]=[ζbs3]

难点

答案 正确选择：D

答疑 只有当三者许用挤压应力相等的情况下轴、键、轮传动机构才有足够的强度。否则，总在许用压应力较小的构件上发生挤压破坏。 2、 在平板与螺栓之间加一垫片，可以提高 的强度。 A：螺栓拉伸； 的剪切；

B：螺栓挤压；

D：平板的挤压；

C：螺栓

基本知识点 判断 剪切与挤压 1、“挤压发生在局部表面，是连接件在接触面上的相互压紧；而压缩是发生在杆件的内部“ 答案 此说法正确 答疑 构件在相互接触才发生挤压变形；而外力的合力作用下位于构件的轴线上时，构件发生压缩变形。

答案 正确选择：D

答疑 加一垫片增大了平板的挤压面的面积，固可以提高平板的

2、“两块钢板用两个铆钉连接形成接头，虽然两个铆钉的直径不同，挤压强度。螺栓的拉伸强度、剪切强度、挤压强度均没有发生变化。 但因塑性材料具有屈服阶段的特点，最终使两个铆钉趋于均衡。因此，在计算铆接强度时，两个铆钉的受力仍可按平均分配“ 3、在冲床上将钢板冲出直径为d的圆孔，冲力F与 。

A：与直径d成正比； C：与直径d成正比；

3

B：与直径d成正比； D：与直径d的平方根成正比

2

答案 此说法错误 答疑 只有当铆钉的直径相同，且外力的作用线通过铆钉群的形心，铆钉的受力才可以按平均分配。 3、“剪断钢板时，所用外力使钢板产生的应力大于材料的屈服极限。” 答案 此说法错误 答疑 钢板内产生的应力应大于材料的剪切强度极限才能将钢板剪断。 4、“对于圆柱形连接件的挤压强度问题，应该直接用受挤压的半圆柱面来计算挤压应力。” 答案 此说法错误 答疑 计算圆柱连接件的挤压强度时，采用直径平面代替圆柱侧面。 选择 剪切与挤压 答案正确选择：A 答疑将钢板冲出直径为d的圆孔时钢板的剪切面的面积为πdｔ，固冲力F与直径d成正比

、方形销将两块等厚度的板连接在一起，上面的板中同时存在拉应力ζ、剪应力η、挤压应力ζbs，比较其数值大小可得： A：拉应力ζ最大； B：剪应力η最大； C：挤压应力ζbs最大； D：ζ=η=ζbs；

答案 正确选择：D

答疑 钢板的拉伸应力为ζ＝P/A=P/(2a-a)t=P/at ，剪应力为η=Q/A=P/2/(at/2)=P/at ， 挤压应力为：ζbs=F/Abs=P/at（图示中：红线代表剪切面、蓝线代表挤压面。）

1、 在轴、键、轮传动机构中，键埋入轴、轮的深度相等，若轮、键、 选择 剪切与挤压

轴三种材料的许用挤压应力分别为：[ζbs1]，[ζbs2]，[ζbs3]，三者之间的合理关系是 。 5、图示中接头，水平杆采用a×b的矩形截面，斜杆与水平杆的夹角为α，其挤压面的面积为：

A：[ζbs1]>[ζbs2]>[ζbs3] B：[ζbs1]<[ζbs2]<[ζbs3] A：bh; B：bhtanα C：bh/cosα D：bh/(sinα·cosα)

填空 剪切与挤压

1、判断剪切面和挤压面时应注意：剪切面是杆件的两部分有发生 趋势的平面，挤压面是构件 的表面。 答案 相互错动、 相互压紧

2、在图示的单元体中，长度保持不变的线段是 ，长度伸长的线段是 ，缩短的线段是 。

答案 正确选择：C

答疑接触面为平面时，挤压面取接触面的面积。接触面由图中的红线部分代表，接触的深度为b，高度为h/cosα。

答案 长度保持不变的线段是 AB、BC、CD、DA ；长度伸长的线段是 AC ；缩短的线段是BD

6、厚度均为ｈ的两块钢板用圆锥销连接，圆锥销在上端的直径为D，下端直径为d，则圆锥销受剪面积为 ；挤压面积为 。 答疑 在剪应力的作用下，AB、CD、DA、BC只是发生相对错动，

没有长度的变化；在左右一对剪应力的作用下，AB段向上错动、CD

22

段向下错动，使得AC伸长、BD缩短，在上下一对剪应力的作用下，A：πD/4； B：πd/4； C：

2AD向左错动、BC向右错动，也使得AC伸长、BD缩短。 π[(D+d)/2]/4； D：h(3d+D)/4；

3、螺钉受力如图，其剪切面面积为 ，挤压面的面积为 。

答案 正确选择：受剪面积C、挤压面积D

答疑 剪切面为两组力的作用线相互交错的截面面积，此时两组力

的作用线的交错面发生在圆锥销的中间截面处，且是圆截面。交错面

处的直径为上、下端直径的平均值；钢板与圆锥销相互接触的部分为

22

圆柱侧面，固挤压面取直径平面。考虑到上半部分的直径平面要大于 答案剪切面面积πdh ，挤压面面积 π(D-d)/4 下半部分的直径平面，固挤压面的面积取下半部分的直径平面、且直

径平面的形状为梯形。Abs=((D+d)/2+d)h/2=h(D+3d)/2/2=h(3d+D)/4 答疑 剪切面为有发生相互错动趋势的平面，此时在螺钉头以直径

为d的圆柱侧面有发生相互错动的趋势，固剪切面取圆柱侧面；挤压

7、一联轴器，由分别分布在半径为R1和R2圆周上的8只直径相同的面是构件相互压紧的表面，此时在螺钉头与构件之间相互压紧，且接

取接触面的面积作为挤压面的面积。接触面是内径为d、螺栓相连接，则内圈（R1）螺栓横截面上的剪应力η1和外圈（R2）螺触面为平面，

外径为D的圆环面积。 栓横截面上的剪应力η2的比值为 。 A：η1/η2=1/1

B: η1/η2=R2/R1

2

2

4、钢板、铆钉的连接接头中，有 种可能的破坏形式。

C: η1/η2=R1/R2 D：η1/η2=R1/R2

答案 此接头可能有5种破坏形式

答案 正确选择：C

答疑 两圈上的螺栓传递扭矩，螺栓采用相同的直径，螺栓受力与

其所在的半径成正比，固螺栓的剪应力与其所在的半径成正比。

答疑 接头的破坏形式分别为： 钢板的拉伸、钢板的剪切、钢板的挤压；铆钉的剪切、铆钉的挤压。

5、剪应力互等定理指出：在 两个平面内，剪应力成对出现，数值相等，方向是 。

答案 相互垂直的、同时指向公共棱边或同时远离公共棱边。 6、接头如图所示，由受力分析知剪切面面积为 ，挤压面的面积为 。

答案 剪切面的面积ｂｃ、挤压面的面积为ｂｃ

答疑 剪切面为两组力的作用线相互交错的截面，剪切面如图红线所示。挤压面为两物体相互压紧的表面，如图中绿线表示

答疑 剪切面是有发生相对错动趋势的平面，此时在螺钉头以直径为d的圆柱侧面有发生相对错动的趋势，固剪切面取圆柱侧面πdh；挤压面是构件相互压紧的表面，此时在螺钉头与构件之间相互压紧，且接触面为平面，取接触面的面积作为挤压面的面积。接触面为内径为d、外径为D的圆环面积。 简述 剪切与挤压 1、木栓阻止上下两块木板相对滑移，因而在交错的截面上直接受到剪力的作用。但当P力逐渐增加时，木栓最后却沿纹理的方向（如图中的方向）破裂。解释此现象。 答案木栓在中间的截面（图示中的红线）受到相互交错的外力的作用，固此截面为木栓的剪切面。此时剪力的方向与木栓的纹理方向

相垂直，根据剪应力互等定理，在木栓的纹理方向有大小相同的剪应7、螺栓在拉力P的作用下，已知材料的许用剪应力是许用拉应力的力存在。由于木栓的材料不是各向同性的，在与木栓的纹理相垂直的0.6倍。那么螺栓的直径ｄ和螺栓头高度ｈ的合理比值是： 。 方向上木栓有较大的抗剪能力；木栓在顺纹理的方向抗剪能力差，当外载P逐渐增加时，最后沿纹理的方向发生破裂，而不是在剪切面上发生破坏。。 第三章 扭转

答案 ｄ/ｈ＝2.4

答疑 拉力P在螺栓杆横截面上产生的拉伸正应力为

2

ζ=P/A=4P/πd ≤[ζ]，螺栓头的剪切面上产生的剪应力η＝Q/A＝P/πdh≤[η]。代入条件[η] =0.6[ζ]。得到ｄ/ｈ＝2.4。 8、图示中的结构由3部分组成,已知:[ζbs]钢>[ζbs]铜>[ζbs]铝,请问应对哪一部分进行挤压强度计算?

难点 重点 1、圆轴扭转的受力特点及变形特点； 2、学会计算外力偶矩和扭矩、会画扭矩图； 3、圆轴扭转时横截面上的应力分布规律和计算公式，扭转变形强度条件； 4、扭转剪应力计算公式的适用条件； 5、纯剪切的概念； 6、圆轴扭转变形的变形量和扭转刚度条件； 7、低碳钢和铸铁在扭转破坏时的力学性质； 8、矩形截面杆扭转的特点； 1、杆件扭转时各横截面上的剪应力分析； 2、剪应力互等定理的应用； 3、杆件在扭转变形时的强度计算和刚度计算； 4、杆件扭转时周边处各点的剪应力一定与边界相切； 1、杆件扭转时的内力计算，外力偶与功率、转速的关系、扭矩图； 2、圆轴扭转横截面上的应力分布规律、计算公式、剪切胡克定律和剪应力互等定理； 3、按强度条件进行圆轴的设计和校核的方法； 4、理解和剪应变 基本知识点 并掌握圆轴扭转时的相对扭转角 的概念及其计算方法，掌握圆轴扭转时的刚度条件； 5、学会利用强度条件和刚度条件对工程问题进行计算和设计。 6、了解自由扭转与约束扭转的概念，了解矩形截面杆自由扭转时横截面上的剪应力分布规律 7、会求解扭转超静定问题。 9、图示中的剪切面面积 ，挤压面面积 。

判断 扭转剪应力 1、“对平衡构件，无论应力是否超过弹性极限，剪应力互等定理均成立。” 答案 此说法正确

答案 剪切面面积πdh 挤压面面积π(D-d)/4

2、“直杆扭转变形时，横截面的最大剪应力在距截面形心最远处。” 2

2

答案 应对铝进行挤压强度计算

答疑 铝材的许用挤压应力小，容易发生挤压破坏

答疑 剪应力互等定理由平衡条件导出，适用范围与应力的大小无关。 答案 此说法错误

答疑 当截面为圆形时，横截面上的最大剪应力发生在距截面形心最远处。矩形截面在距离截面形心最远处的四个角点处的剪应力为零。

答疑 圆轴扭转时，横截面的剪应力线性分布，根据剪应力互等定理，在与横截面垂直的纵向截面上，剪应力也呈现线性分布规律。如图所示。

3、“塑性材料圆轴扭转时的失效形式为沿横截面断裂” 答案 此说法错误

答疑 塑性材料圆轴扭转时的失效形式为塑性破坏，破坏的断面位于横截面，不是发生脆断

4、“对于受扭的圆轴，最大剪应力只出现在横截面上” 答案 此说法错误

答疑 圆轴扭转时，横截面的剪应力线性分布，最大剪应力发生在横截面上离形心最远处；根据剪应力互等定理，在与横截面垂直的纵截面上，剪应力也呈现线性分布的规律，在距离轴线最远处的纵向线上也存在最大剪应力。

10、“剪应力互等定理只适用于纯剪状态” 答案 此说法错误

答疑 剪应力互等定理是通过剪应力产生的内力之间的平衡条件导出的，没有任何限制，固适用于任何的应力状态。 11、“传动轴的转速越高，则其横截面的直径应越大” 答案 此说法错误

答疑 根据轴传递的外力偶矩与转速之间的关系M=9.549P/n可知，转速越高，传递的外力偶矩越小，外力偶矩在横截面上产生的扭矩就小。由于横截面上的内力减小，横截面的直径也就可以相应减小。所以高速轴的直径小、低速轴的直径要大。 12、“受扭杆件的扭矩仅与杆件所受的外力偶矩有关，而与杆件的材料、横截面的大小以及横截面的形状无关”

5、”圆轴受扭时，横截面的最大剪应力发生在距截面形心最远处。” 答案 此说法正确 答案 此说法正确

答疑 圆轴受扭时，横截面上任意一点的剪应力与其所在的半径成正比，距离圆心越远处剪应力越大。

6、“圆轴受扭时，轴内各点均处于纯剪切状态“ 答案 此说法正确

答疑 圆轴受扭时，横截面上只有剪应力，没有正应力，由剪应力互等定理得到各点均处于纯剪切状态。

7、”薄壁圆管与空心圆管的扭转剪应力计算公式完全一样。” 答案 此说法错误

答疑 横截面的内力只与外载有关，与材料、横截面大小、截面的形状无关。

13、“普通碳钢扭转屈服极限ηs=120MPa，剪变模量G=80GPa，则由

-3

剪切虎克定律η=Gγ得到剪应变为γ=1.5×10rad” 答案 此说法错误

答疑 剪切虎克定律η=Gγ的适用范围为线弹性、小变形。此时构件的应力已经超过材料的弹性极限，固虎克定律不再适用。

14、“一等直圆杆，当受到扭转时，杆内沿轴线方向会产生拉应变。” 答案 此说法错误

答疑 等直圆杆受扭时，沿杆件的轴线方向没有长度的变化，杆

答疑 薄壁圆管的壁厚较小，认为剪应力沿壁厚均匀分布，所以薄件的变形量是任意两横截面绕轴线发生相对转动。 壁圆管的整个横截面上的剪应力均匀分布；圆管的剪应力不是均匀分布，而是与半径成正比的线性分布规律。固二者的计算公式不相同。 0

15、“低碳钢圆柱试件受扭时，沿45螺旋面断裂。” 8、”圆轴的扭转变形实际上是剪切变形。” 答案此说法正确

答疑 圆轴扭转变形在横截面上产生剪应力，没有正应力。对于任意一点的应力状态也是纯剪切状态。固扭转变形实际上就是剪切变形。

9、”圆轴扭转时，根据剪应力互等定理，其纵截面上也存在剪应力。” 答案 此说法正确

答案 此说法错误

答疑 低碳钢圆柱试件受扭时，断面位于横截面。 16、“铸铁圆柱试件受扭时，沿横截面断裂” 答案 此说法错误

答疑 铸铁圆柱试件受扭时，断面与轴线大约成45度角的螺

旋线。

选择 扭转剪应力

1、阶梯圆轴的最大剪应力发生在：

A：扭矩最大的截面； B：直径最小的截面； C：单位长度扭转角最大的截面； D：不能确定 答案 正确选择：D

答疑 因为最大剪应力一定发生在危险面的危险点处，不仅与横截面的大小、形状有关，还与外载有关，此题没有办法确定危险面，固不能确定最大剪应力发生的具体位置。

2、扭转剪应力计算公式η=Mρ/IP适用于 ：

答疑 低碳钢扭转破坏的断面位于横截面，在横截面上有较大的剪应力，固低碳钢破坏是剪坏，而不是拉坏。 7、铸铁扭转破坏的断面是： 。

A：横截面拉伸； B：45度螺旋面拉断； C：横截面剪断； D：45度斜面剪断； 答案 正确选择：B

答疑 铸铁扭转时，横截面上有最大的剪应力，但在与轴线成45度角的螺旋面上有最大的拉应力，铸铁材料的抗剪能力高于抗拉伸能力，固沿45度角的螺旋面拉断。

8、对于受扭圆轴，有如下结论，正确的是 。

A：任意截面； B：任意实心截面； C：任意材料的圆截面； D：线弹性材料的圆截面。

A：最大剪应力只出现在横截面上；

答案 正确选择：D

B：在横截面上和包含杆件轴线的纵向截面上均无正应力；

答疑 此公式推导中应用了虎克定律，固适用于线弹性范围内。且公式中的极惯性矩也是圆截面所特有。 3、剪应力互等定理是由 导出的。

C：圆轴内最大拉应力的值和最大剪应力的值相等。 答案 正确选择：B、C

A：单元体的静力平衡； B：几何关系； C：物理关系； D： 答疑 圆轴扭转时，横截面的最大剪应力发生在截面的边缘处，根强度条件； 据剪应力互等定理，在与横截面垂直的纵向截面上有剪应力，且在距

离轴线最远的纵向线上也有最大剪应力。如图所示。 答案 正确选择：A

答疑 剪应力互等定理的推导，只是对所取的单元体应用了静力平衡，左右两侧截面的剪应力形成的内力矩与上下两截面上的剪应力形成的内力矩平衡，没有用到任何的物理、几何、强度关系。 4、当η≥ηp时，剪切虎克定律及剪应力互等定理 。

A：虎克定律成立，互等定理不成立； B：虎克定律不成立，互等定理成立；

C：二者均成立； D：均不成立；

A：η B：ａη C：零 D：（1－ａ）η

答案 正确选择：B

答案 正确选择：B

答疑 虎克定律的适用范围是线弹性，当η≥ηp时已经超过材料的线弹性范围，所以虎克定律不能成立。但剪应力互等定理是由平衡条件导出的，适用于变形过程中的任何阶段，所以剪应力互等定理依然适用。

5、有一圆轴受扭后，出现沿轴线方向的裂纹，该轴为 材料。 A：钢； B：铸铁； C：木材； 答案 正确选择：C

答疑 圆轴受扭后，出现沿轴线方向的裂纹说明该材料沿轴线方向的抗剪能力差。钢材为塑性材料，断面位于横截面上，铸铁材料扭转破坏的断面位于与轴线大约成45度角的螺旋线。 6、低碳钢的扭转破坏的断面是： 。

答案 正确选择：C

A：横截面拉伸； B：45度螺旋面拉断； C：横截面剪断； D：45度斜面剪断； 答疑 ①式描述的是闭口薄壁杆件在扭转变形时的剪应力的均匀

分布规律，推导公式时仅利用了平衡条件；②式描述的是圆截面杆件

答案 正确选择：C

A：①只适用于各种空心圆轴，②既适用于各种空心圆轴，也适用于实心圆轴；

B：对于空心薄壁圆管①、②虽然形式不同，但描述的剪应力的分布规律是完全相同的；

C：①式仅利用平衡条件导出，②式曾利用平面假设和平衡条件； D：①、②两式均根据平面假设导出。

答疑 剪应力的大小与该点到圆心的距离成正比。 10、对于下列的两个剪应力计算公式：①η=T/2πRt 和 ②η=Tρ/IP，下列结论中是正确的是 。

2

4

9、空心圆轴，其内外径之比为ａ，扭转时轴内的最大剪应力为η,这时横截面内边缘处的剪应力为 。

在扭转变形时的横截面上的剪应力沿半径线性分布规律，在公式的推导中，利用了平面假设、变形几何、物理关系和平衡关系。 11、低碳钢圆轴扭转试验时表面上出现的滑移线与轴线的夹角为 。

A：45度； B：0度和90度； C：小于45度； D：大于45度；

答案 正确选择：B

答疑 低碳钢试件扭转变形时的最大剪应力发生在横截面上，且位于横截面的最外缘处；由剪应力互等定理得到在与轴线平行的方位上也有最大的剪应力，固滑移线分别出现在与轴线成0度和90度角的方位上。

12、图示中的圆轴，在极限扭矩的作用下破坏开裂，试判断当轴的材料分别为低碳钢、铸铁、顺纹木时，圆轴的破坏面（裂纹）的方向及原因。

裂纹方向： A：纵向 B：横向 C：+45度角 D：－45度角。

破坏原因： A：纵截面上的最大剪应力； B：横截面上最大剪应力 C：ζ+45 D:ζ-45

A：强度足够、刚度不够； C：强度、刚度均足够； 答案 正确选择：A

B：强度不够、刚度足够；

D：强度、刚度均不够

答疑 屈服极限提高了，在安全系数不变的条件下，材料的许用应力提高，而构件的最大工作应力没有改变，固强度得到了提高；由于杆件的受力不变，横截面的尺寸不变，而材料的剪变模量也几乎没有变化，固刚度没有提高。

15、圆轴扭转的变形为 。

A：横截面沿半径方向伸长； B：横截面绕轴线偏转； C：横截面绕中性轴旋转； D：横截面沿半径方向缩短。 答案 正确选择：B

答疑 圆轴在外力偶的作用下，任意两横截面象刚性圆盘一样绕轴线发生相对转动，横截面的大小、形状、间距均不发生变化。 16、在______受力情况下，圆轴发生扭转变形。

A：外力合力沿圆轴轴线方向； B：外力偶作用在垂直轴线的平面内；

C：外力偶作用在纵向对称面内；D：外力合力作用在纵向对称面内。

答案 正确选择：B

答疑 圆轴扭转变形的受力特点是：外力偶的作用面与杆件的轴线垂直。

17、在同一减速箱中，设高速轴的直径为d1、低速轴的直径为d2，材料相同，两轴的直径之间的关系应当是： 。

D：无所谓

答案 正确选择： 低碳钢：裂纹的方向B、破坏的原因B

铸铁：裂纹方向D、破坏原因D 顺纹木：裂纹方向A、破坏原因A。

答疑 低碳钢横截面上有最大的剪应力，其抗剪强度低于抗拉强度，在横截面上由最大剪应力引起破坏；铸铁在－45度角的方向上有最大拉应力，抗拉强度低于抗剪强度，在－45度角由最大拉应力A：d1>d2 B：d1＝d2 C：d1

但其材料为各向异性，顺纹方向抗剪能力差，在顺纹方向由最大剪应 答案正确选择：C 力引起破坏。

13、下列各图中的剪应力的分布正确的是 。（扭矩的方向如图）

答疑 由轴传递的功率与外力偶之间的关系M=9.549P/n可知，轴的转速越高传递的外力偶矩越小，此时圆轴横截面的内力小，圆轴所需的直径小。

18、等截面的实心圆轴，当两端作用有Mｅ的扭转力偶矩时开始屈服。若将横截面的面积增大一倍（仍为圆形），该圆轴屈服时的扭转力偶矩是： 。

答案 正确选择：图1、图5

答疑 对于实心圆截面，某点扭转剪应力的大小与其所在的半径成正比，方向与扭矩的方向同向。图2、图3中圆心左侧部分的扭转剪应力的方向没有与扭矩同向。图4、5为空心圆截面，最小剪应力发生在内径上，剪应力的大小也与该点到圆心的距离成正比，但图4中内径的剪应力为零是错误的。

14、对钢制圆轴作扭转校核时发现强度和刚度均比规定的降低了20％，若安全系数不变，改用屈服极限提高了30％的钢材，则圆轴的 。

A：1.414Mｅ B：2×1.414 Mｅ C：2Mｅ D：4Mｅ 答案正确选择：B

答疑 等截面的实心圆轴当两端作用有Mｅ的扭转力偶矩时开始屈

3

服有：η＝Mｅ/Wt=ηs , Mｅ＝ηs Wt＝ηsπd/16。若将横截面的面积

22

增大一倍,设增大后横截面的直径为D，有πD/4=2×πd/4 那么直

’3

径之间的关系D=1.414d。此时Mｅ＝ηs Wt’＝ ηsπD/16=ηsπ

3

(1.414d)/16=2×1.414 Mｅ

19、圆轴扭转时横截面上的任意一点的剪应力的大小与该点到圆心的距离成正比，方向与该点的半径垂直，此结论是根据 推知的。

A：变形几何关系、物理关系、平衡关系； 物理关系； C：物理关系；

D：变形几何关系

B：变形几何关系、

答案 受力如图

答案 正确选择：B 答疑

通过变形几何关系得到：γ＝ρdθ/dx，通过物理关系得到η＝Gγ＝Gρdθ/dx。其中材料的剪变模量G、单位长度的转角dθ/dx为常量

20、下列论述中正确的是 。 A：剪应力互等定理仅适应于纯剪切情况；

B：已知A3钢的ηs=120MPa，G＝80 Gpa，则由剪切虎克定律γs=η

-3

s/G=1.5×10rad；

C：传动轴的转速越高，对其横截面的扭矩越大；

D：受扭杆件的扭矩，仅与杆件所受的外力偶有关，而与杆件的材料及横截面的形状、大小无关； 答案 正确选择：D

答疑剪应力互等定理是由平衡条件导出的，适用于任何情况；当应力达到ηs时剪切虎克定律γ=η/G不再成立；传动轴的转速越高，横截面的扭矩越小；受扭杆件的扭矩仅与外载有关。

填空 扭转剪应力

1、空心圆轴的外径为D，内径为d，其抗扭截面系数为： 答案 πD(1-(d/D))/16

答疑 抗扭截面系数Wt=IP/R=πD(1-(d/D))/32/D/2=π34

D(1-(d/D))/16

2、一根等直的传动轴，主动轮在B、D，从动轮在A、C、E。设主动轮B、D的输入功率相等，从动轮A、C、E的输出功率也相等，只考虑扭转而不考虑弯曲变形的条件下，危险面位于： 。

4

4

3

4

答疑 裂纹位于＋45度角的方位上，构件的受力使得裂纹张开。 4、铸铁试件扭转时，沿与轴线成45度角的螺旋面破坏，这是由该面上的 引起的。而木材试件扭转时，沿轴截面（顺纹）破坏，这时由该截面的 引起的 。

答案 最大拉应力、最大剪应力

答疑 铸铁试件扭转时，在45度角的方位上有最大拉应力，且铸铁抗拉强度低于抗剪强度，所以在45度角的螺旋面上由最大拉应力拉断；木材属于各向异性材料，顺纹方向抗剪能力差，最后沿纹理的方向由最大剪应力引起破坏。

5、铸铁圆轴受扭时，在 面发生断裂，其破坏原因是由 应力引起的。在图上画出破坏的截面。

答案 与轴线大约成45度角的螺旋面、最大拉应力，破坏方位如图中红线所示。

答疑在外力偶的作用下构件内与轴线大约成＋45度角的方位上有最大拉应力，铸铁材料的抗拉能力差，最后在此方位上由最大拉应力拉断。

6、阶梯轴承受的外力偶矩如图，圆轴的最大剪应力为 。

答案 危险面位于AB段和 DE段

答疑 设输入的外力偶矩为M，输出的外力偶矩为M，考虑平衡有

’’

2M＝3M，所以：M＝2M/3，轴的扭矩图如下，在其中的AB段、DE段有较大的扭矩。

’

答案 η＝T/Wt=16T/πd

答疑 圆轴各段上的扭矩分别为T（直径为d）、－T（直径为2d），圆轴各段上的内力大小相等，但直径不同，所以最大剪应力发生在直

3

径为d的一段轴内。η＝T/Wt=16T/πd

7、两实心圆轴分别受到1KNm和3KNm的外力偶矩的作用时，它们横截面上的最大剪应力相同，则两轴径之比为________________。

3

3、铸铁圆截面构件在外力偶的作用下发生破坏，破坏之前的受力为 。

答案 d2/d1=3

答疑 η1＝T1/Wt=16T/πd1=1000×16/πd1, η2＝T2/Wt=16T/π333333

d2=3000×16/πd3, η1=η2, 所以：有d2=3d1 整理得：d2/d1=3

3

3

33

8、圆轴扭转时，任意两横截面间发生________________。 答案 绕轴线发生相对转动。

答疑 圆轴扭转时，任意横截面像刚性平面一样，绕轴线旋转一个角度，不同的两个截面绕轴线旋转的角度不同。

9、已知圆轴所受外力偶矩M，分别画出图示实心圆轴、空心圆轴二种截面上剪应力沿半径各点处的分布规律：

答疑 最大剪应力ηmax=M/Wt与扭矩成正比，与抗扭截面系数成反比，在扭矩相同、直径相等的条件下，不同材料的两根实心圆轴的最大剪应力相等；扭转变形的扭转角θ＝ML/GIP不仅与扭矩、杆长、截面尺寸有关，还与材料有关，在扭矩相同、直径相同、杆长相等、材

4

料不同的条件下，两轴的扭转角不同；截面的极惯性矩IP＝πd/32只与横截面的尺寸有关，与材料无关，固在直径相等的条件下，不同材料的圆轴的极惯性矩相同。

3、在减速箱中,常见到高速轴的直径较小,而低速轴的直径较大。为什么?

答案 根据轴传递的外力偶矩与转速之间的关系M=9.549P/n可知，转速越高，传递的外力偶矩越小，在横截面上产生的扭矩就小。由于内力减小，横截面的直径也就可以相应减小。所以高速轴的直径小、低速轴的直径要大。

4、画出下列低碳钢、铸铁、圆木在扭转变形下的破坏面方位，并阐述破坏由何种应力引起的,为什么会沿此方位破坏。

答案 应力分布规律如图

答疑 无论是实心圆轴还是空心圆轴，横截面上的剪应力的分布规律：大小均与半径成正比，方向与该点处的半径垂直，且与横截面上的扭矩的方向同向。实心圆轴的最小剪应力发生在圆心处，为零；空心圆轴的最小剪应力发生在内径处。。

10、圆轴受到____________作用时，发生扭转变形。 答案 作用面与杆件的轴线垂直的外力偶

答案 各破坏面方位见图中红线所示

答疑 普通碳钢扭转破坏的断面位于横截面，在横截面上有最大剪

11、低碳钢扭转破坏的断口表明，塑性材料的 能力低于 应力，碳钢的抗剪能力低于抗拉能力，是被剪断的； 能力。

铸铁扭转破坏的断面位于＋45度角的螺旋面，在此方位上有最大拉应力，铸铁的抗拉能力低于抗剪能力，是被拉断的； 答案 抗剪、抗拉

答疑 低碳钢扭转破坏时横截面有最大的剪应力，在与轴线成45

度角的螺旋面上有最大拉应力，但低碳钢扭转破坏的断面位于横截面，低碳钢试件是被剪断的，而不是被拉断的，说明低碳钢的抗剪能力低于抗拉伸能力。

12、长为L，直径为D的圆轴受扭，在两端截面的扭转角为Φ，材料的剪变模量为G，则圆轴的最大剪应力为 。

答案ΦGD/2L

答案 a图为低碳钢的拉伸破坏、b图为低碳钢的扭转破坏

答疑 由圆轴扭转变形的虎克定律Φ=ML/GIP,整理得到圆轴的横截面上的扭矩为M=ΦGIP/L ，代入圆轴扭转的最大剪应力计算公式ηmax=M/Wt得到ηmax=ΦGIP/(LWt) 考虑到IP/Wt=D/2 固圆轴的最大剪应力ηmax=ΦGD/2L。

简述 扭转剪应力

6、分别画出圆截面铸铁杆件在拉伸、压缩、扭转破坏时的断面方位。

1、解释下列名词：剪应力互等定理；

答案 在单元体相互垂直的两平面上，剪应力必然成对存在，

且数值相等，方向同时指向公共棱边或同时远离公共棱边。 2、直径相同、材料不同的两根等长的实心圆轴，在相同的扭矩作用下，其最大剪应力、扭转角、极惯性矩是否相同？

答案 最大剪应力相等、扭转角不同、极惯性矩相同。

答疑 铸铁试件在拉伸破坏时是由于横截面上的最大拉应力引起破坏；压缩破坏是由与在轴线大约成45度角的斜面上存在最大剪应力，由最大剪应力引起破坏；扭转变形时，在与轴线大约成45度角的螺旋面上存在最大拉拉应力，由最大拉应力引起的破坏。 答案 拉伸 压缩 扭转

答疑 图示中的两种破坏形式的断面均位于横截面，但a图中断面处的横截面尺寸变小了，明显的出现了颈缩现象；图b中断面处的尺寸没有变化，只是沿横截面发生破坏，是由剪应力引起的破坏，即扭转破坏。

圆木破坏的断面位于纵向面内、顺纹理的方位，圆木的材料属于各向异性，在纹理的方位抗剪能力差，被剪断的。

5、判断下列低碳钢的二种破坏形式，分别为什么变形下的破坏？

7、若轴传递的功率和轴的材料不变，而转速增加，则轴的直径应如何改变？

答案 应减小轴的直径。

答疑 根据传递的外力偶矩与转速之间的关系M=9.549P/n可知，转速越高，传递的外力偶矩越小，在横截面上产生的扭矩就小。由于内力减小，横截面的直径也就可以相应减小。

8、圆截面试件受扭如图，说明a、b、c、d四种破坏形式各发生在什么材料制成的试件上，并说明破坏的原因。

θ=T/GIP×180/π=32T/GπD(1-α)×180/π,固扭转刚度与1-α

’

成反比。θ/θ=1.47。

444

12、用某种塑性很好的材料制成的扭转圆试件，在扭转后，试件表面的母线变成了螺旋线。问母线有没有伸长？试件的长度和直径有无变化？

答案 母线伸长、试件的长度和直径没有变化。

答疑 取长为dx微段为研究对象，受力之前，微段的母线长为dx，受力后，母线发生倾斜（图示中的红线所示），长度有所增大，固圆轴的母线伸长。

答案 a木材、b低碳钢、c铸铁、d铸铁

答疑 裂纹a的方向与轴线平行，说明此方位的抗剪能力差，固顺a方向破坏的材料是木材、且是木材的顺纹方向；

裂纹b位于横截面上，在横截面上有最大的剪应力，是典型的低碳钢扭转破坏的断面； 裂纹c、d与轴线大约成45度角，是典型的铸铁扭转破坏的方位，但在图示中力偶的作用下，铸铁破坏的方位应该是裂纹c方位，如果外力偶与图示中的外力偶反向时，铸铁破坏的方位是裂纹d的方位。

9、低碳钢圆试件在受扭时，在纵、横截面上的剪应力大小相等，为什么试件总是在横截面被剪断？

答案 低碳钢试件在受扭时横截面上有最大的剪应力，低碳钢材料的抗剪能力低于抗拉能力，固断口位于横截面上，被剪断。

在扭转试验中观察到的现象是：任意两横向线的大小不变、间距不变；由任意两横向线的大小不变，说明试件的横截面的尺寸没有发生变化，直径无变化；由间距不变，说明在两横截面之间没有发生拉伸或压缩现象，固试件的总长度没有变化。

13、两种材料在交界面牢固结合而形成的组合圆轴的横截面。已知：两部分的截面惯性矩分别为IP1和IP2，剪切弹性模量G1＝2G2，承受的扭矩为M。问应如何推导此组合横截面上的剪应力计算公式？横截面上的剪应力如何分布？

在试件的纵、横截面上有大小相等的剪应力，但试件却在横截面

上被剪断，因为圆轴的纵向长度总比横向尺寸大的多。圆轴扭转时， 答疑 此问题为静不定，采用三关系法。设两部分各自承担的扭矩在圆轴的表面存在最大剪应力，由于材料的抗剪能力差，即在表面有分别为M1和M2，两部分共同承担扭矩M，则得到静力学方程为M＝M1弱点（缺陷或横截面较小）处开始有裂痕。由于材料的各向同性以及＋M2；二部分各自的扭转角为Φ1＝M1L/G1IP1,Φ2=M2L/G2IP2；变形协调在纵、横面上有最大的剪应力，裂纹可以向纵、横方向发展。如在纵关系为：扭转角相等Φ1＝Φ2。由物理关系和变形协调关系联合得到向发展，使较长的纵剖面削弱较小，应力的改变甚微。如果裂纹向横M1L/G1IP1＝M2L/G2IP2 ，将G1＝2G2代入后得到补充方程为： M1/2IP1＝向发展，却意味着削弱了轴的抗扭刚度，同时增加横截面上剪应力的M2/IP2；将补充方程与静力学关系联立求解得到：M1=2IP1M/(2Ip1+IP2)、数值，增大的剪应力又进一步扩展裂纹，直至破坏。固圆轴的裂纹容M2= IP2M/(2Ip1+IP2)，在各自的内力的作用下，横截面上的剪应力各自易使横截面削弱，促使横截面上的应力急剧增加，最终在横截面裂开。 按线性分布，与半径成正比、与半径垂直，方向顺扭矩的方向。 10、如果钢轴材料经过锻制或抽拉，有沿轴向的纤维夹杂物，扭转时裂纹会在什么方向上？

答案 如果钢轴材料经过锻制或抽拉，有沿轴向的纤维夹杂物，此时钢轴具有方向性，破坏时可能与竹、木材一样，在纵截面上出现剪切裂纹。

11、内外径之比为4：5的空心圆轴，若外径D不变，壁厚增加1倍，则该轴的抗扭强度和抗扭刚度分别提高多少？ 答案 抗扭强度和抗扭刚度分别提高不到1倍。

答疑 α=d/D=0.8 、D－d=2t ，D-0.8D=2t 壁厚为 t=0.1D 。当

’’’

外径D不变，当壁厚增加1倍时有 t=2t=0.2D。α=d

’

/D=(D-2t)/D=(D-0.4D)/D=0.6 。根据最大剪应力的计算公式：η

3434’

max=M/Wt=16M/πD(1-α)＝16M/πD(1-0.8) ηmax=M/Wt＝16M/π3’434’D(1-α)= 16M/πD(1-0.6) ηmax/ηmax

44

=(1-0.6)/(1-0.8)=0.8704/0.5904=1.47。

14、为什么实心扭转的剪应力计算公式η=Tρ/IP只能在线弹性范围内适应，而薄壁圆筒扭转的剪应力计算公式却在线弹性、非线性弹性、弹塑性情况下都能适应？ 答疑 因为在推导实心圆轴的扭转剪应力计算公式η=Tρ/IP时，应用了剪切虎克定律，而虎克定律的适用范围是线弹性范围；薄壁圆筒扭转的剪应力计算公式的推导过程中只利用了静力平衡，适用于变形过程中的任何阶段。

1部分的最大剪应力为η1max=M1d/2/Ip1=Md/(2Ip1+IP2)；2部分的最小剪应力为η2min=M2d/2/IP2 =Md/2(2Ip1+IP2)，比1部分的最大剪应力要小；2部分的最大剪应力为η2max=M2D/2/IP2=MD/2(2Ip1+IP2)。固横截面上剪应力的分布规律如下：

15、从弹性范围应力分布的角度，说明扭转时为什么空心圆轴比实心圆轴能充分发挥材料的作用。如果圆轴由理想弹塑性材料制成，当扭转到整个截面均屈服时，空心圆轴是否仍然比实心圆轴能较充分发挥材料的作用？

18、铸铁试件在纯扭转时，沿与轴线大约成45度角的螺旋线方向断裂；轴向压缩时，沿与轴线大约成45度角方向断裂。请说明两者破坏的原因，并比较此材料抗拉、抗剪、抗压能力之间的关系。 答疑

答疑 从圆轴扭转的剪应力的分布规律看：实心圆轴在距离圆心较

近处，剪应力数值很小，这一区域内的材料没有充分发挥作用；空心19、请改正图中的错误。 圆轴的最小剪应力在内径上，整个横截面上没有很小的剪应力存在，所以在线弹性范围内，空心圆轴比实心圆轴能够充分发挥材料的作用。

如果圆轴由理想弹塑性材料制成，圆轴最先由外径开始屈服，屈服的区域逐渐向圆心靠近，当扭转到整个截面均屈服时，剪应力在横截面上均匀分布，各处剪应力的大小均等于材料的屈服极限ηS。此时实心圆轴比空心圆轴承担的扭矩要大，实心圆轴的材料能够充分发挥作用。

答案

16、说明：承受扭矩的两根圆轴，一根为封闭的薄壁圆环型截面、另 答疑 低碳钢试件破坏的断面位于横截面，邻近破坏时，横截面上一根为开口薄壁圆环截面上的应力种类，并画出应力的分布规律。 的剪应力几乎均匀分布，大小为材料的强度极限；铸铁试件破坏的断

面位于与轴线大约成＋45度角的方位，邻近破坏时的剪应力仍然线性分布，但最外圈的剪应力首先达到材料的强度极限。

20、实心轴和空心轴的横截面面积相等，受相同的扭矩作用，比较两个轴上的最大剪应力。

答案 实心轴的最大剪应力大于空心轴的最大剪应力。 答疑 由实心轴与空心轴的横截面面积相等有，πd1/4=π2222222

(D-d2)/4, 整理得到：d1=D-d2=D(1-α)，实心轴的抗扭截面系数

334

为：Wt1 =πd1/16 空心轴的抗扭截面系数为： Wt2=πD(1-α)/16=

22222

πD(1-α)D(1+α)/16=πd1 D(1+α)/16> Wt1 固空心轴的抗扭截面系数大，所以实心轴的最大剪应力大于空心轴的最大剪应力。 21、轴线与木纹平行的木制圆杆受扭，当扭矩达到某一极限时，杆表

面将沿什么方向出现裂纹，为什么？ 答案 沿轴线方向出现裂纹

答疑 因为木材沿纤维方向抗剪能力差。

22、分别画出图示中三种截面剪应力沿半径各点处的分布规律。

答案 断口方位如图中红线所示

2

答疑 封闭的薄壁圆环型的横截面上剪应力均匀分布；开口薄壁圆环在每一个与中线垂直的横截面上剪应力按到中线的距离线性分布。

17、铸铁材料的圆轴受扭，画出A点破坏时断口的方位。

答疑 圆轴在扭转变形时，在横截面上有最大剪应力，在与轴线成45度角的方位上存在最大拉应力，由于铸铁材料的抗拉能力低于抗剪能力，所以在A点沿与轴线成45度角的方位上出现裂纹。

答案

答疑 实心圆截面的剪应力与半径成正比，最大剪应力发生在最外圈；空心圆截面各点的剪应力也与该点的半径成正比，最小剪应力发生在内径上，最大剪应力发生在外径上。薄壁截面的剪应力沿壁厚均匀分布。

选择 扭转变形

1、碳钢制成圆截面轴，如果θ≥[θ]，为保证此轴的扭转刚度，采用措施 最有效。

答疑 实心圆轴的单位长度扭转角θ＝M/GIP×180/π＝32M/Gπd

’’4

×180/π，若将直径增大一倍，θ＝ M/GIP×180/π=32M/Gπ(2d)×180/π＝θ/16

4

2、图示圆截面轴的直径为d，C截面相对于A截面的扭转角

A：改用合金钢； B：增加表面光洁度； C：增加直径； D：为： ，整个圆轴的最大扭转剪应力为： 。 减少轴长； 答案正确选择：C

答疑 单位长度扭转角θ＝M/GIP×180/π可知：采用优质钢、增

大直径均可以改变θ的大小，但是：由于碳钢与合金钢的剪变模量的变化不大，固材料的改变对θ的影响不大；单位长度扭转角θ与轴长、

答案 C截面相对于A截面的扭转角为0；整个轴内的最大剪应

表面光洁度无关；固提高扭转刚度的有效措施是：增大圆轴的直径。 3

力为ηmax= 16M/πd. 2、轴的半径为R，长为L，剪变模量G，受扭后圆轴表面的纵向线倾

答疑由于AB、BC段的内力大小相等、符号相反，杆长相同，固C

角为α,则在线弹性小变形范围内ηmax和单位长度扭转角θ分别为： 截面相对于A截面的扭转角为θ=∑ML/GIP=Ma/GIP-Ma/GIP=0；轴内的

3

最大剪应力ηmax=M/Wt=16M/πd。

A：ηmax=Gα θ=α/L B: ηmax=Gα θ=α/R C：η

max

=GαL/R θ=α/L D：η

max

3、直径为25毫米的圆钢杆，受轴向拉力60KN的作用，在标距为20

=GαL/R θ=α/R 厘米的长度内伸长了0.122毫米；受扭矩200Nm的作用，相距15厘

米的两横截面相对扭转了0.55度，则此钢材的弹性模量E＝ ，剪变模量G＝ ,泊松比为ｕ＝ 。

答案 E=200.48GPa；G=81.57GPa；ｕ=0.2288

答疑 在标距为20厘米的长度内伸长了0.122毫米,根据拉伸变形

2

的虎克定律ΔL=NL/EA有0.122=60×1000×20×10/(E×πd/4),得到：E=200.48GPa；相距15厘米的两横截面相对扭转了0.55度, 根

答疑 受扭后圆轴表面的纵向线倾角α即为圆轴在边缘上点的角据扭转变形的两截面间的相对转角θ=ML/GIP有：0.55=200×0.15/GIP应变，所以圆轴的最大剪应力为ηmax=Gα；而圆轴的右侧截面相对于×180/π，得到：G=81.57GPa；各向同向材料之间满足G=E/2(1+ｕ)，左侧截面的相对转角为θ=αL/R, 单位长度扭转角θ=θ/L=α/R。 固泊松比ｕ=0.2288 答案正确选择：B

3、单位长度扭转角与 无关。

A：杆的长度； B：扭矩 C：材料性质； D：截面几何性质

答案 正确选择：A

答疑 单位长度扭转角θ＝M/GIP×180/π，与杆的长度无关。

4、图示中的轴1与套筒2牢固第结合在一起，两者的剪变模量为G1、G2，两端承受扭转力偶矩M，为使轴与套筒承受的扭矩相同，则必须满足的条件是 。

4、材料不同的两根受扭圆轴，其直径和长度均相同，在相同扭矩的 答案 抗扭刚度相等即G1IP1= G2IP2 作用下，它们的最大剪应力之间和扭转角之间的关系是 。 A：最大剪应力相等，扭转角相等； B：最大剪应力相等，扭转角不等；

C：最大剪应力不等，扭转角相等； D：最大剪应力不等，扭转角不等。

答案 正确选择：B

答案 哪一个也不能用。

答疑 剪应力只与内力和横截面的尺寸有关，与材料无关，固二者的最大剪应力相等；扭转角与材料有关，固在相同扭矩的作用下、尺寸相同但材料不同的构件的扭转角不同。 填空 扭转变形

1、若将受扭实心圆轴的直径增加一倍，则其刚度是原来的 倍。 答案 刚度是原来的16倍

答案 轴向拉伸的杆件内会产生剪应变、受扭的杆件内会产生拉

应变

答疑 在推导公式时应用了剪切虎克定律，二者的适用范围均是线弹性范围。

2、一等直杆，当受到轴向拉伸时，杆内会产生剪应变吗？，当受到扭转时，杆内会产生拉应变吗？

答疑 轴与套筒的扭转角相同θ1=θ2 而θ1=M1L/G1IP1、θ

2=M2L/G2IP2,所以有：M1L/G1IP1 ＝M2L/G2IP2。固保证承担的扭矩相同必须有相同的抗扭刚度即 G1IP1= G2IP2 简述 扭转变形

1、当η≥ηp时η=Tρ/IP, θ=TL/GIP哪一个仍适用？

答疑一等直杆，当受到轴向拉伸时，杆内存在剪应力且在与轴线成45度角的方位上有最大剪应力，根据剪切虎克定律会产生剪应变；受到扭转变形时，最大剪应力发生在横截面上，在任意的斜截面上存在正应力，所以杆内会产生线应变。

判断 非圆截面杆的扭转

答疑 非圆截面杆在约束扭转时，各个横截面翘曲的程度不同，引起相邻两截面间的纵向纤维的长度改变，横截面上不仅有剪应力还有较大的正应力。像工字钢、槽钢等薄壁杆件，约束扭转时横截面上的正应力往往是相当大的；但对于像矩形、椭圆形等实心杆件，因约束扭转引起的正应力相当小，与自由扭转无太大的差别。 填空 非圆截面杆扭转

1、“矩形截面杆自由扭转时，横截面的剪应力呈线性分布。”

1、扭转变形下的非圆截面杆， 点的剪应力为零。

答案 此说法错误

答疑 在矩形截面杆自由扭转的 横截面上剪应力均不呈线性分布。边缘各点的剪应力形成与边界相切的顺流，四各角点处的剪应力为零，最大剪应力发生在长边中点。

答案 2点的剪应力为零

答疑 非圆截面杆在扭转时，外棱角可尖，内棱角须圆。因为在外棱角处剪应力必定为零，而内棱角处的剪应力不为零。 2、矩形截面杆受扭时，截面凸角处剪应力为 ，最大剪应力发生在 处

答案 截面凸角处剪应力为 0；最大剪应力发生在长边中点处。 3、矩形截面杆自由扭转时，横截面周边处的剪应力方向必与周边 ，且四个角点处的剪应力为 。 答案 相切、零

答疑 因为矩形截面杆受扭时，截面周边各点处的剪应力一定与边界相切，横截面的四个角点处的剪应力均为零。

简述 非圆截面杆的扭转

1、矩形截面杆受扭，问横截面角点A处有无剪应力？为什么？

答案 正确选择：C

答疑 杆件在自由扭转与约束扭转时，横截面均有翘曲，只是在自由扭转时各个横截面翘曲的程度相同，而在非自由扭转时，各横截面翘曲的程度不同。

2、非圆截面杆自由扭转时，横截面上 。

A：只有剪应力，没有正应力 B：只有正应力，没有剪应力； C：既有正应力又有剪应力； D：正应力、剪应力均为零； 答案 正确选择：A

答疑 非圆截面杆在自由扭转时，横截面有翘曲，但各个横截面翘曲的程度相同，纵向纤维的长度没有变化，所以横截面上只有剪应力没有正应力。

3、非圆截面杆约束扭转时，横截面上 。

A：只有剪应力，没有正应力 B：只有正应力，没有剪应力； C：既有正应力又有剪应力； D：正应力、剪应力均为零； 答案 正确选择：C

答疑 因为矩形截面杆受扭时，截面周边各点处的剪应力一定与边界相切，横截面的四个角点处的剪应力均为零。

2、在纯扭转时，开口和闭口薄壁管中剪应力的分布情况有何不同？图示中的二种截面的薄壁管的材料、长度、壁厚、管壁中线的长度均相同。问哪一个管子的抗扭能力强？

答案 角点处没有剪应力；

2、“非圆截面杆扭转时不能应用圆杆扭转的

剪应力公式，因为非圆截面杆扭转’平面假设’不能成立” 答案 此说法正确

答疑 非圆截面杆在扭转时，横截面不再是平面，而是变成了空间曲面，固平面假设不能成立。

选择 非圆截面杆的扭转

1、非圆截面杆的横截面上 ： 。

A：自由扭转时翘曲，约束扭转时不翘曲； B：自由扭转时不翘曲，约束扭转时不翘曲；

C：自由扭转时翘曲，约束扭转时翘曲； D：自由扭转时不翘曲，约束扭转时不翘曲；

答疑 封闭的薄壁圆环型的横截面上剪应力均匀分布；开口薄壁圆环在每一个与中线垂直的横截面上剪应力按到中线的距离线性分布。

2、梁在集中力偶作用的截面处，它的内力图 。

A：Q图突变、M图无变化； B：Q图突变、M图转折； C：M图突变、Q图无变化； D：M图突变、Q图转折

闭口的薄壁圆环型的横截面上剪应力η1＝T/2πrt ； 开口薄壁圆22环型的横截面上剪应力η2＝T/ht/3=3T/2πrt，η1/η2=t/3r，而平均半径r>>t 所以η1<<η2，固闭口的抗扭强度高。 第四章 弯曲内力 2 答案 正确选择：C

答疑 在集中力偶作用处dQ/dx=0,所以剪力图没有变化；但ΔM＝M，所以弯矩图发生突变。

重点 1、梁的受力特点和变形特点；2、平面弯曲的概念；3、梁的三种形式；4、剪力和弯矩的符号规定；5、内力3、梁在某一段内作用有向下的分布载荷时，在该段内它的弯矩图方程、剪力图和弯矩图。6、均布载荷、剪力、弯矩之为 。 间的微分关系；7、利用微分关系快速作内力图 A：上凸曲线； B：下凸曲线； C：带有拐点的曲线； D：斜直线 1、弯曲内力的符号规定；2、力偶对弯矩的影响；3、 答案 正确选择：A 利用微分关系快速作梁的内力图； 答疑 载荷的集度是弯矩图的二阶导数，当分布载荷向下时，集度的符号<0，弯矩图为凸弧。

4、多跨梁的两种受力如图，力F靠近铰链。正确的结论是 。 A：Q、M图完全相同 B：Q图相同、M图不同 C：Q图不同、M图相同； D：Q、M图均不同

难点 1、 平面弯曲的概念、理解将受弯杆件简化为力学模型的过程；2、 掌握剪力和弯矩的概念；3、 掌握梁的内力方程的写法；4、 掌握直梁的内力计算和内力图的绘制；5、 掌握刚架的内力方程的写法和刚架的基本知识点 内力图的绘制；6、 剪力、弯矩和分布载荷集度的微分关系及其应用；7、 作内力图的两种方法：剪力方程和弯矩方程作图法、微分关系作图法。8、了解静定多跨梁的内力图的绘制； 判断 弯曲内力图 1、 “两梁的跨度、承受的载荷及支撑相同，但材料和横截面面积不同，因而两梁的剪力图和弯矩图不一定相同。”

答案 此说法错误 答案 正确选择：A

答疑 梁的内力与材料、横截面形状无关。当两梁的跨度、载荷、 答疑 A图中活动铰链支座的约束反力为零；B图中，取L2梁为研约束完全相同时，梁的内力图相同。 究对象，对中间铰取矩，得到活动铰的约束反力也为零。固对于固定端一侧的梁相当于自由端受集中力F作用的悬臂梁，二者的内力图相

2、 “最大弯矩必发生在剪力为0的横截面上。” 同。 答案 此说法错误 答疑 在剪力为零的横截面上，弯矩取得极值，但极值弯矩不一定是最大弯矩。 3、“梁内弯矩最大的横截面上，剪力一定为零。” 答案 此说法错误 答疑 在剪力为零的截面上，弯矩取得极值，但极值弯矩不一定是最大弯矩。所以最大弯矩的截面上，剪力不一定为零。 答案 正确选择：A

选择 弯曲内力图 1、梁在集中力作用的截面处，它的内力图 。 A：Q图突变、M图光滑连续； B：Q图突变、M图转折； 6、梁的内力图如图，该图表明

C：M图突变、Q图光滑连续； D：M图突变、Q图转折； A：AB段有均布载荷、BC段无载荷；

答案 正确选择：B B：AB段无载荷、B截面处有向上的集中力、BC段有向下的均布载荷；

答疑 根据内力之间的微分关系：在集中力作用的截面处，ΔQ＝P所以剪力图突变，弯矩图发生转折。 C：AB段无载荷、B截面处有向下的集中力、BC段有向下的均布载荷 答疑 在C截面处作用有力偶，剪力图连续，弯矩图突变；在D截面处作用有集中力，剪力图突变，弯矩图转折；只有在A、B二截面处既没有力偶的作用也没有集中力的作用，内力图是连续的。

5、图示中静定多跨梁，在截面 处，剪力Q图、弯矩M图均连续。

A：A、B； B：B、C； C：C、D； D：A、D；

D：AB段无载荷、B截面处有瞬时针的集中力偶、BC段有向下的均布载荷

答案 正确选择：B

答案正确选择：C

10、m-m面上的内力为： 。

答疑 AB段的剪力图为一水平线，弯矩图为一斜直线，说明该段的剪力为常量，且没有均布载荷的作用。在B截面处剪力图突变，弯矩图发生转折，说明在B截面处作用有集中力，从AB到BC，剪力图下突，说明集中力的方向向下；BC段的剪力图为一斜直线，弯矩图为一上凸的曲线，说明该段内作用有均布载荷，且方向向下。 7、悬臂梁上作用有集中力F和集中力偶M，若M在梁上移动时 。

A：对剪力图的形状、大小均无影响； B：对弯矩图形状无影响，只对其大小有影响；

C：对剪力图、弯矩图的形状、大小均有影响； D：对剪力图、弯矩图的形状、大小均无影响。

答案 正确选择：C

答疑 取整体为研究对象，对A点取矩，得到NB＝P/2；再在水平方向、铅垂方向投影，得到A点的水平、铅垂方向的约束反力均不为零；在m-m面处将曲杆截开，取左段为研究对象，可得：m-m面的轴力大小等于A处的水平反力大小、m-m面的剪力等于A处的铅垂反力的大小、m-m面的弯矩等于A处的水平反力与铅垂反力对m-m面的矩的代数和。固m-m面的轴力、剪力、弯矩均不等于零。

11、如图所示的AC梁在C端装有一个无摩擦的半径为R的滑轮，且通过钢索吊挂一重量为P的物体，B截面的弯矩值是 。 A：M=-P(a+R) B：M=-Pa

C：M=-PR D：M=0

A：Q=0， M、N≠0； B：M、N＝0，Q≠0； C：M、N、Q均不等于0； D：M、N、Q均等于0；

答疑 未被提起的部分的曲率半径为无穷大，根据曲率半径与弯矩的之间的关系1/ρ=M(x)/EI，得到未被提起部分的弯矩为零。

答案 正确选择：A

答疑 根据微分关系，力偶对剪力无影响。固力偶在梁上移动时，对剪力图无影响，但直接影响弯矩图的大小和形状。 8、带有中间铰的连续梁，AB和BC部分的内力情况有四种答案，正确的是： 。

A：N、Q、M均为零； B：N、Q、M均不为零； C：Q为零，N、M不为零； D：Q、M为零，N不为零；

答案 正确选择：B

答疑 拆开C处铰链约束，得到C处的水平方向的反力为P，铅垂方向的反力为P，方向向下。水平反力引起拉压变形，只有铅垂反力引起弯矩，固B截面弯矩的大小为－Pa。

12、平面刚架ABC，在其平面内施加如图所示的集中力P（其作用线过e-e截面形心），则e-e截面不为零的内力分量是 。 A：M、Q、N

B：M、N

C：M、Q

D：Q、N

答案 正确选择：D

答疑 取CD段为研究对象，由于F、D处均为活动铰，可以确定C

处的水平方向的约束反力不为零；再取BC段为研究对象，对B点取矩，得到C点的铅垂方向的约束反力为零，从而得到B点的铅垂方向的约束反力也为零，B点的水平方向的约束反力等于C点的水平方向的约束反力。由此可得：AB、BC段的轴力不为零，剪力、弯矩均为零。

9、重为W的直梁放在水平的刚性平面上，若受力提起部分与平面密合的点为A，则A点处的弯矩为： 。

A：Pa B：0; C：非A非B

答案 正确选择：D

答疑 外力的作用线过e-e截面形心，外力对该截面的矩为零，固该截面上弯矩为零；将外力P向e-e截面的轴线方向和与轴线垂直的方向进行分解，得到e-e截面的轴力、剪力均不为零。

7、悬臂梁的刚度为EI，一端固定，另一端自由。刚性圆柱面的半径为R，若使梁变形后与圆柱面完全吻合而无接触压力，应如何加载？。

答案 b的弯曲正应力大

答疑 根据曲率半径与弯矩之间的关系1/ρ=M(x)/EI，考虑到ρa>

ρb ,得到Ma(x)/EI

答疑 拉压的平面假设：变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面且仍垂直于轴线；

扭转的平面假设：圆轴扭转变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面，形状和大小不变，半径仍保持为直线；且相邻两截面间的距离不变；

弯曲变形的平面假设：变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持为平面，且仍然垂直于变形后的梁轴线。

在拉压时的平面假设允许截面的大小发生变化，但横截面只是沿轴线方向有位移；

扭转时的平面假设，截面的大小、形状无变化，只是像刚性圆盘一样绕轴线产生相对转角；

弯曲变形的平面假设，横截面绕中性轴产生旋转，变形后的平面与变形前的平面有一夹角。

5、矩形截面梁的尺寸中，高h为宽度b的2倍，承受铅垂载荷的作用，如果将梁由竖放改为平放，其他条件不变，梁的强度将发生怎样的变化？

答案 施加一个瞬时针的力偶，力偶矩的大小为EI/R。 答疑 根据曲率半径为弯矩之间的关系1/ρ＝M(x)/EI，此时梁的曲率半径ρ＝R，所以有M(x)=EI/R。梁的抗弯刚度EI为常量，刚性圆柱面的半径R为常量，所以悬臂梁的横截面的弯矩M为常量，大小为EI/R。

8、用铅笔写字，笔尖折断，是什么应力导致的结果？为什么？ 答案 是拉应力导致笔尖折断

答疑 写字时，笔尖受弯，且是脆性材料，在受拉的一侧应力达到极限应力时，笔尖发生脆性断裂。

9、矩形截面梁承受纯弯曲，分别在1－1、2－2截面处有铅垂和水平方向的直径为ｄ的穿透圆孔如图。分别画出1－1、2－2截面的正应力分布图，并写出此二截面的最大正应力的计算公式。

答案 1－1截面上的正应力分布规律如下图，其最大正应力ζ=M/Wz=Mh/2/(bh3/12-dh3/12)=6M/h2(b-d)。

答案 梁的强度减低

答疑 竖放时ζ=M/Wz=M/bh/6=6M/4b，横放时ζ

23

=M/Wz=M/hb/6=6M/2b；所以由竖放改为横放梁的强度降低，最大正应力是竖放时的2倍。

简述 弯曲正应力

6、有一直径为d的钢丝绕在直径为D的圆筒上，钢丝仍然处于弹性范围。为减少弯曲应力，有人认为要加大钢丝的直径，你说行吗？说明理由。

答案 此方案不行

答疑 根据曲率半径为弯矩之间的关系1/ρ＝M(x)/EI，此时钢丝的曲率半径ρ＝(D+d)/2，整理得到钢丝承受的弯矩为

M(x)=2EI/(D+d)；根据弯曲正应力的计算公式ζ=M/Wz，得到ζ

=2EIz/(D+d)Wz=2E/(D+d)×(IZ/Wz)=2E/(D+d)×d/2=Ed/(D+d)，由此可见钢丝内的最大正应力与钢丝的直径有关，钢丝的直径增大，钢丝的横截面上的正应力也增大，固不能通过加大钢丝直径的办法来减少钢丝内的弯曲正应力。

答疑

1-1截面上的弯曲正应力线性分布，中性层处的正应力为零，正应力按上压下拉连续变化；绝对值最小的正应力的值为零，发生在中性层处；绝对值最大的正应力发生在h/2处。

2－2截面在中性层附近为空心，在d/2到h/2的范围内正应力线性分布。绝对值最小的正应力发生在d/2处，绝对值最大的正应力发生在h/2处。

10、 在推导梁的纯弯曲正应力的计算公式时，作过平面假设，问此

假设在推导过程中起到了什么作用？ 答疑 因为假设横截面保持为平面，才可以得出纵向纤维的线应变在横截面上成直线变化，从而可以建立应变与位移（转角）之间的几何关系。

2

3

2-2截面上的正应力分布规律如下图，其最大正应力ζ

3333

=M/Wz=Mh/2/(bh/12-bd/12)=6Mh/b(h-d)。

判断 弯曲剪应力

1、“横力弯曲梁某截面上的最大弯曲剪应力一定位于该截面的中性轴上。”

答案 此说法错误

答疑 宽度b没有突变的横截面上，最大剪应力总是出现在中性轴上各点处，如矩形截面、圆形截面、工字钢截面。但对于横截面宽度有变化、或横截面的宽度b在中性轴处显著增大的截面如十字型截面，或某些变宽度的截面如等腰三角形截面，最大剪应力不出现在中性轴上。

例如：图示中的横截面关于中性轴上下不对称，最大剪应力不发生在中性轴处，而是发生在图示中红线所示的位置处。

答案 正确选择：C

答疑 横力弯曲时，横截面上既有剪力又有弯矩，弯矩产生正应力，剪力产生剪应力。

填空 弯曲剪应力

1、矩形截面简支梁，不计梁的自重，A点处的最大剪应力＝ ，B点处的最大正应力＝ 。

答案 η=3F/8bh；ζ= 3Fa/bh

答疑 截面为矩形截面，A点处的最大剪应力为η=3Q/2A=3×F/4/2bh=3F/8bh；B点处的最大正应力ζ=M/Wz=Fa/2×

22

(6/bh)=3Fa/bh。

2

2、“梁在横力的作用下发生平面弯曲时，横截面上最大剪应力点的正应力不一定为零“ 答案 此说法正确

答疑 梁在发生平面弯曲时，最大剪应力不一定总是位于中性轴处，固最大剪应力的所在的点处正应力不一定为零。

例如：图示中的横截面关于中性轴上下不对称，但最大剪应力不发生在中性轴处，而是发生在图示中红线所示的位置处，此处的正应力不为零。

2、一矩形截面简支梁的跨度为L，当一载荷P从A运动到B时，梁上的最大弯曲正应力为 ，最大弯曲剪应力为 。

答案 ζ= 3PL/2bh；η=3P/2bh；

答疑 当载荷移到梁的中点时，梁承受最大正弯矩，大小为PL/4, 此时在中间截面的最上面与最下面分别产生最大正应力，大小为ζ

2

=M/Wz=PL/4Wz=3PL/2bh；当载荷移到离支座很近时，梁承受最大剪力的作用，剪力的大小为P，此时在危险截面的中性层处产生最大剪应力，大小为η=3Q/2A=3P/2bh。

3、简支梁承受集中载荷的作用，梁内A点处的剪应力等于 ，B点处的正应力等于 ，C点处的正应力等于 。

2

选择 弯曲剪应力

1、下列各梁的面积相等，其上的剪力也相等，则 截面上的最大剪应力最大。

A：矩形； B：正方形 C：圆型； D：薄壁圆环； 答案 正确选择：D

答疑 矩形截面梁的最大剪应力为3Q/2A；正方形截面梁的最大剪应力为3Q/2A；圆形截面梁的最大剪应力为4Q/3A；设薄壁圆环的平

3

均半径为R，则薄壁圆环截面的惯性矩为IZ=πRt，半截面对中性轴的面矩为S=

*

答案 0、 0、 2Pa/bh

答疑 A、B、C三点所在的截面上的剪力为Q＝P/3,弯矩为M＝＋Pa/3。A点位于截面的最下层纤维处，所以A点处的剪应力为零；B点位于横力弯曲的中性层处，B点的弯曲正应力为零；C点的正应力为该截面上的最大正应力发生处，大小为ζ

22

=M/Wz=Pa/3/bh/6=2Pa/bh。

4、跨度较短的工字型截面梁，在横力弯曲的条件下，危险点可能发生在 处、 处和 处。

答案 上下翼缘的最外侧、腹板的中点、腹板和翼缘的交接处

答疑 跨度较小的工字型截面梁，在上下翼缘的外侧存在最大正应力，在腹板的中点存在最大剪应力，在腹板与翼缘的交接处同时存在较大的正应力和较大的剪应力。

5、工字型截面梁在横力弯曲的作用下，翼缘的主要功能是 ；腹板的主要功能是 。 答案 抗弯、 抗剪

2

，固截面的最大剪应力

*23

为η＝Q S/bIz=2QRt/(2t×πRt)= Q/πRt=2Q/A。 2、横力弯曲时，横截面上 。

A：正应力不等于零，剪应力等于零； B：正应力等于零，剪应

力不等于零； C：正应力、剪应力均不等于零； D：正应力、剪应力均等

于零；

答疑 翼缘承担大部分的弯矩，腹板承担大部分的剪力； 简述 弯曲剪应力

1、横力弯曲时平面假设为何不成立？既然平面假设不成立，为何仍用纯弯的应力计算公式计算横力弯曲时的正应力？

答疑 横力弯曲时横截面上不但有正应力还有剪应力，由于剪应力的存在，必然要引起剪应变，剪应力沿高度并非均匀分布，所以剪应变沿高度也不是均匀分布，靠近顶面和底面处的单元体无剪应变，随着离中性层距离的减小，剪应变逐渐增加，在中性层上达到最大值，剪应变沿高度的这种变化，引起在横力弯曲时横截面不再保持为平面，固平面假设不能成立。

但是当梁的横截面高度h远小于梁的跨度L时，用纯弯得到的正应力的计算公式来计算横力弯曲的正应力，不会引起太大的误差，能够满足工程问题所需要的精度。而h<

答疑 A－A截面上存在剪力和正弯矩，固在截面上存在弯曲剪应力和弯曲正应力。 正应力的分布规律是上压下拉且连续变化，如图所示。

剪应力的分布规律为：距离中性轴最远的最上端剪应力为零，在靠近上端的尺寸突变处剪应力突然增大，在下端的尺寸突变处，剪应力突然减小，在距离中性轴最远的最下端剪应力也为零。最大剪应力不发生在中性轴上而是发生在靠近中性轴的尺寸突变处。分布规律如图所示。

5、应用材料力学方法计算梁弯曲问题时，试说明引进了哪些假设（包括基本假设和针对梁弯曲的假设）。并说明引入这些假设的目的。 答疑基本假设：均匀、连续、各向同性，其主要目的是便于将高度数学的微积分工具用于研究构件的受力和变形，这也是对所有变形固体的基本假设。 在分析梁的弯曲正应力时，作了两个重要假设：一是针对纯弯曲梁的变形特征所作的平面假设，目的是便于得到简单的变形几何关系；二是纵向纤维间无正应力的假设，目的是便于利用单向应力状态的简单虎克定律。 在分析梁的弯曲剪应力时，主要是针对横截面的具体形状，对横截面上各点剪应力的大小和方向作合理的假设。如对矩形截面作了两个假设①横截面上各点剪应力的方向都平行于剪力；②剪应力沿截面宽度均匀分布。

选择 提高弯曲强度

答案 正应力的分布规律如图：

剪应力的分布规律如图：

1、等强度梁各个横截面上的 。 A：最大正应力相等 B：最大正应力相等且等于许用正应力； C：最大剪应力相等 D：最大剪应力相等且等于许用剪应力

答案 正确选择：B

答疑 梁承受正弯矩，在横截面上产生上压下拉的弯曲正应力， 答疑 等强度梁的设计原则是：变截面梁的各横截面上的最大中性轴偏上，固最大拉应力大于最大压应力；横截面上的剪力不为零，正应力都相等，且等于许用压力，此梁才能充分发挥作用。 在横截面上产生弯曲剪应力，在距离中性轴最远处剪应力为零，剪应力的最大值发生在中性轴处，但在截面尺寸突变处剪应力突变。 2、厂房中的“鱼腹梁”是根据简支梁上 而设计的等强

度梁。

3、欲用厚度为ａ的板材粘合成一个箱型截面梁，从剪切强度考虑采用那种截面形式较为合理？为什么？ A：受集中力、截面宽度不变 B：受均布力、截面宽度不变；

C：受集中力、截面高度不变 D：受均布力、截面高度不变； 答案 正确选择：A

答案 采用b的形式较为合理。 答疑 图a中，粘合面处的剪应力完全由粘合物质承担，容易发生剪切破坏；图b中粘合处有完整的立板，剪应力大部分由立板承担，不易发生剪切破坏。固b的承载能力比a图的大 4、说明A－A截面上的应力种类，并画出应力的分布规律。

答疑 “鱼腹梁”在工程中简化为受集中载荷作用的简支梁，在设计时保持梁的横截面宽度不变，高度随截面的位置变化。

3、铸铁悬臂梁在自由端受集中力F的作用，其合理的截面形状为：

答案 T型截面合理

答疑 悬臂梁承受最大负弯矩，产生上拉下压的弯曲正应力。悬臂梁的材料为铸铁，抗压不抗拉，所以应选择中性轴偏上的不对称截面形式――T型截面较合理。

4、在横截面的面积不变的条件下，采用 截面才合理。

碳钢属于塑性材料，抗拉压强度相等，宜采用对称截面，选择矩形或工字型截面，但工字型截面相对于矩形截面有较大的惯性矩，所以碳钢材料时，选择工字型截面较好。

铸铁材料是脆性材料，抗拉压强度不等，宜采用不对称截面，选择T型或倒T型截面；此梁承受最大正弯矩，产生上压下拉的正应力，考虑到铸铁抗压不抗拉，中性轴应靠近受拉一侧，固选择倒T型截面较合理。

3、材料E以及横截面面积A均相同，哪一个截面承担的最大弯矩M最大？

答案 正方形C

答疑为了提高弯曲强度，在横截面面积不变的条件下，应选择惯性矩较大的截面形式。正方形截面比圆形截面有较大的惯性矩，但斜放的正方形截面虽然惯性矩的大小不变，但危险点离开中性轴的距离偏大，抗弯截面系数较小，所以应选择正方形C的截面形式。 填空 提高弯曲强度 1、重物P可在梁上自由移动：①若横梁为T字形铸铁截面梁，截面应按 方式放置？

答案 工字型截面承担的弯矩最大

答疑 在横截面面积相同的情况下，应使截面的大部分分布在远离中性轴的区域，此时截面有较大的惯性矩，承载能力也最大。工字型截面有较大的惯性矩。

答案 正T型截面

答疑 梁承受有最大正弯矩Pa和最大负弯矩－2Pa；在最大负弯矩处产生上拉下压的正应力，材料抗压不抗拉，固横截面的中性轴应偏上，选择正T型截面。

答疑 倒T型放置

2、铸铁梁受弯时，梁的横截面中性轴一般应设计成不对称的，其形心位置应偏向 一侧更为合理。 答案 受拉

答疑 铸铁材料抗压不抗拉，应该使梁的受拉一侧离中性轴近一些，这样梁的最大拉应力会降低，从而提高梁的强度。

简述 提高弯曲强度

1、T型铸铁梁，承受正弯矩的条件下，下列哪一种放置中，强度最高？

在梁承受正弯矩的情况下，产生上压下拉的正应力。铸铁材料抗压不抗拉，所以应使梁的中性轴偏下比较合理，固应采用倒T截面形式。应力分布规律为：

4、T型截面铸铁梁，受主动力偶M作用，从强度的角度考虑，应如何放置？阐述原因并画出横截面上的应力分布规律。

5、简述：应从哪些方面考虑提高梁的承载力？

答疑 降低梁的最大弯矩，采用合理截面，采用等强度梁。 简述 提高梁的弯曲强度

6、简支梁的材料为铸铁，梁的总长度为L。承受的外力偶为M，方向如图。外力偶矩的作用面到左端固定铰的距离为2L/5。欲采用下面的四种截面形式，y1/y2=2，为此梁选择最佳的截面形式为 。阐述原因。

答案 a放置方式时弯曲强度最高

答疑 铸铁梁应该采用非对称截面，T型或倒T型，考虑到承受正弯矩，产生上压下拉的正应力，铸铁材料抗压不抗拉，应使中性轴偏下，固选择倒T截面合理。

2、简支梁材料为普通碳钢，承受均布载荷，采用哪种截面形式最合理？如果材料为铸铁，哪种截面合理？为什么？

答疑 采用倒T截面

铸铁梁应该选择不对称截面。此梁承受有最大正弯矩和最大负弯矩，最大正弯矩的值为3M/5，最大负弯矩的值为－2M/5。最大正弯矩产生上压下拉的正应力，铸铁材料抗压不抗拉，固中性轴应该偏下，选择倒T截面。 倒T型放置时最大正弯矩截面的最大拉应力为ζ=3My2/5Iz；在最大负弯矩处产生的最大拉应力为ζ=2M

y1/5Iz=4My2/5Iz。如果选择T型截面，在最大正弯矩处的最大拉应力为ζ=3M y1/5Iz=6My2/5Iz；在最大负弯矩处的最大拉应力为ζ=2My2/5Iz。

答案 如果材料为普通碳钢应采用工字型截面、如果材料为铸铁应采用倒T型截面

7、板与4块不等边角钢组成复合型截面梁，请画出合理截面的组合形式。

答案 截面的组合形式如下

11、古罗马建寺院，运输石柱时用两个滚子支撑，用牛拉它前进，经验表面石柱会在图示位置破坏，解释原因。并请提出你的建议。

答疑 应使梁的横截面的大部分分布在远离中性轴的区域，以提高截面的惯性矩，从而提高梁的承载力。 8、铸铁梁从强度的角度考虑放置是否合理？

答疑 石柱仅受自重的作用，石柱的受力可看成均布在和的作用，根据石柱的受力和支撑情况画出石柱的弯矩图如图所示：

答案 1图合理；2图不合理。

答疑 图1中的梁承受最大负弯矩，产生上拉下压的正应力；梁的材料为铸铁，抗压不抗拉，应使横截面的中性轴靠近受拉的一侧，固中性轴应偏上，而图1中的截面形式中性轴是偏上的，固图1中的放置形式合理。 图2中的铸铁梁承受最大正弯矩，产生上压下拉的正应力，中性轴应偏下，但图示中的放置形式的中性轴偏上，固此放置形式不合理。

9、一T型截面铸铁梁，在下列条件下T字型是正放还是倒放？并指出危险点的可能位置。①:全梁的弯矩M>0；②全梁的弯矩M<0； 答案 ①:全梁的弯矩M>0时，应该选择倒放；危险点的可能位置发生在最大正弯矩处离中性轴最远的最上端和最下端。； ②全梁的弯矩M<0时，应该选择正放；危险点的可能位置发生在最大负弯矩处离中性轴最远的最上端和最下端。

答疑 全梁的弯矩M>0时，说明梁承受最大正弯矩，产生上压下拉的正应力，材料本身抗压不抗拉，中性轴应偏下，选择倒T型截面； 全梁的弯矩M<0时，梁承受最大负弯矩，产生上拉下压的正应力，中性轴应偏上，选择正T型截面形式。

10、在建筑工地上有时会看到将要安装的屋架梁制造成如图所示的形状，即靠近中间的在腹板上有许多圆孔，且工字截面的中间高、两边低。从材料力学的角度看是否合理？为什么？

从弯矩图可以看出，在支撑点承受的弯矩最大，且该截面上方受拉，石柱为脆性材料，抗拉能力较差，因此在支撑的上方将被拉断，使其开裂。 要使石柱的受力合理，将减少危险面上的弯矩，较好的办法是使石柱承受的最大正弯矩和最大负弯矩的绝对值相等。固将滚子移到距离端部为a的位置，由受力分析得到最大负弯矩发生在支撑处，最大正弯矩发生在中间截面处，其值分别为： Mmax=-qa/2； Mmax=qL(L/2-a)/2-q(L/2)/2。令|Mmax|=|- Mmax|有22qa/2＝qL(L/2-a)/2-q(L/2)/2，求解得到a=0.207L，即将滚子支撑在距离端面a=0.207L处时，石柱受到的弯矩最小。 第六章 弯曲变形 1、 挠曲线上任意一点的曲率与弯矩之间的关系：1/ρ=M(x)/EI以及适用条件； 2、 弯曲变形的位移； 3、 挠曲线近似微分方程； 4、 积分法求梁的变形； 5、 各种梁的边界条件和连续性条件； 6、 叠加法求梁的变形； 7、 梁的刚度条件； 1、积分法求梁的变形中积分常数的确定； 2、叠加法求梁的变形时要注意考虑其他段上的载荷、变形对本段的影响； -2+2-+ 重点 难点 1、 梁的变形的度量——挠度和转角的概念； 2、 梁的挠曲线近似微分方程； 3、 挠曲线近似微分方程的适用范围； 4、 积分法求梁的变形； 5、 叠加法求梁的基本知识点 挠度和转角； 6、 确定挠曲线的大致形状； 7、 运用刚度条件进行梁的刚度计算； 8、提高梁弯曲刚度的措施； 判断 弯曲变形 1、“平面弯曲梁的挠曲线必定是一条与外力作用面重合或平行的平面曲线” 答案 此说法正确 答疑 平面弯曲时梁的挠曲线是纵向对称面内的一条平面曲线。 2、“由于挠曲线的曲率与弯矩成正比，因此横截面的挠度与转角也与横截面的弯矩成正比”

答案 合理

答疑 屋架梁产生弯曲变形，中性层发生在截面的中间处，此处的弯曲正应力的值偏小，固在靠近中间的部分挖去许多孔，既满足了屋架的弯曲强度又节约材料、降低了屋架的自重。

屋架的受力，一部分是本身的自重，另一部分是与轴线垂直的外载，使得屋架承受的弯矩中间截面大，两端的弯矩值偏小，为了提高屋架 答案 此说法错误 的抗弯曲强度，节约材料，减轻自重，应该采用横截面随弯矩的变化

转角与弯矩之间而变化的变截面梁，在弯矩较大的中间截面处采用的工字型的高度较 答疑 根据挠曲线微分方程y’’=M(x)/EI可知，的关系为θ＝∫M(x)/EIdx，挠度与弯矩之间的关系为 v＝∫[∫大；在弯矩较小的两边，采用的工字型截面的高度较小。

M(x)/EIdx]dx，不是正比的关系。

3、“只要满足线弹性条件，就可以应用挠曲线的近似微分方程” 答案 此说法错误 答案 此说法错误

答疑 挠曲线近似微分方程的应用条件是：线弹性、小变形。 4、“两梁的抗弯刚度相同、弯矩方程相同，则两梁的挠曲线形状相同”

答案 此说法正确

答疑如果两梁的抗弯刚度相同、弯矩方程相同，根据挠曲线微分方程y’’=M(x)/EI可知挠曲线的二阶导数相同，积分的结果相同。 5、“梁的挠曲线方程随弯矩方程的分段而分段，只要梁不具有中间

铰，梁的挠曲线仍然是一条光滑、连续的曲线。” 答案 此说法正确

答疑 在分段处梁满足连续性条件。

答案正确选择：C、B、A、C

6、“最大挠度处的截面转角一定为0” 答案 此说法错误

答疑 根据挠曲线微分方程y’’=M(x)/EI，积分分别得到转角方程θ(x)＝∫M(x)/EIdx、挠曲线方程 v(x)＝∫[∫M(x)/EIdx]dx，挠曲线的一阶导数为y’(x)＝∫M(x)/EIdx＝θ(x)，由此可知：在转角为零处，挠度取得极值，但不是最值。 7、“最大弯矩处的挠度也一定是最大” 答案此说法错误

答疑 根据挠曲线微分方程y’’=M(x)/EI说明挠曲线在最大弯矩处有最大的二阶导数值，但挠度不一定是最大的；例如悬臂梁的最大弯矩发生在固定端处，在此处梁的挠度不是最大

8、“梁的最大挠度不一定是发生在梁的最大弯矩处。” 答案

9、“只要材料服从虎克定律，则构件弯曲时其弯矩、转角、挠度都可以用叠加方法来求” 答案 此说法错误

答疑 叠加法应用的前提是：小变形、材料服从虎克定律。 10、“两根几何尺寸、支撑条件完全相同的静定梁，只要所受的载荷相同，则两梁所对应的截面的挠度和转角相同，而与梁的材料是否相同无关”

答案 此说法错误

答疑 梁的变形与材料有关。

11、“一铸铁简支梁在均布载荷的作用下，当其横截面相同且分别按图示两种情况放置时，梁同一截面的应力和变形均相同”

答疑 当悬臂梁的横截面直径为d时的最大正应力为ζ=M/Wz=32M/

3334

πd，最大挠度为v=PL/3EI=64PL/3Eπd；当梁的直径减少一半其

33

他条件不变时梁的最大正应力为ζ=M/Wz=32M/π(d/2)=8×32M/πd,

3’

固最大正应力是原来的8倍；此时梁的最大挠度为v= PL/3EI

3434

=64PL/3Eπ(d/2)=16×64PL/3Eπd,最大挠度是原来的16倍。若梁的长度增大一倍，其他条件不变，此时最大弯矩为2M，抗弯截面系数不变，此时最大正应力是原来的2倍，此时梁的最大挠度为

33

v=P(2L)/3EI=8PL/3EI,固梁的最大挠度是原来的8倍。 2、y’’=M(x)/EI在 条件下成立。

A：小变形； B：材料服从虎克定律； C：挠曲线在xoy面内； D：同时满足A、B、C； 答案 正确选择：D

答疑 挠曲线的适用范围是线弹性、小变形。如果采用y’’=M(x)/EI的形式就必须设轴线方向为x轴，横截面的位移方向为y轴，固挠曲线在xoy平面内。

3、等直梁在弯曲变形时，挠曲线最大曲率发生在 处。 A：挠度最大； B：转角最大 C：剪力最大； D：弯矩最大；

答案 正确选择：D

答疑 根据挠曲线曲率与弯矩之间的关系1/ρ=M(x)/EI可得，挠曲线的曲率与弯矩成正比，在弯矩最大处曲率最大。 4、在简支梁中 ，对于减少弯曲变形效果最明显。 A：减小集中力P； B：减小梁的跨度； C：采用优质钢；

D：提高截面的惯性矩

答疑 截面正放与倒放，截面对中性轴的惯性矩没有改变，固变形相同；但应力与截面的放置方式有关，正放或倒置时截面上距离中性轴最远的点到中性轴的距离不同，固同一截面上的应力不等。 选择 弯曲变形

1、圆截面的悬臂梁在自由端受集中力的作用，当梁的直径减少一半而其他条件不变时，最大正应力是原来的 倍；最大挠度是原来的 倍。若梁的长度增大一倍，其他条件不变，最大弯曲正应力是原来的 倍，最大挠度是原来的 倍。 A：2； B：16 C：8 D：4；

A:1/2 B:1/4 C:1/6 D:1/8

答案 正确选择：B

5、板条弯成1/4圆，设梁始终处于线弹性范围内：①ζ=My/IZ ,②y’’=M(x)/EIZ哪一个会得到正确的计算结果？

A：①正确、②正确； B：①正确、②错误； C：①错误、②正确； D：①错误、②错误；

答案 正确选择： D

答疑 跨度为L的简支梁在梁的中点受集中力P作用时，梁中点的

3

挠度为PL/48EI，跨度为2L的简支梁在梁的中点受集中力P作用时，

33

梁中点的挠度为P(2L)/48EI=8PL/48EI。固二者的最大挠度之比为1：8

10、图示中的二简支梁在跨度中点截面处的 。

答案 正确选择：B

答疑 ζ=My/IZ的适用范围是线弹性，只要梁的变形在线弹性范围内，不论变形的大小该公式均适用；y’’=M(x)/EIZ的适用范围是线弹性、小变形。此时板条已经弯成1/4圆，是大变形，不在小变形的范围内，固此公式不适用。

6、应用叠加原理求横截面的挠度、转角时，需要满足的条件是 。

A：梁必须是等截面的； C：变形必须是小变形； 答案 正确选择：C

答疑 在小变形、材料服从虎克定律的前提下，挠曲线的微分方程是线性的，计算弯矩时用梁在变形前的位置，结果弯矩与载荷的关系是线性的，这样对于几种不同的载荷，弯矩可以叠加，挠曲线微分方程的解也可以叠加。

7、圆轴采用普通碳钢制成，使用中发现弯曲刚度不够，提高轴的抗弯刚度的有效措施是： 。

A：热处理； B：选用优质合金钢； C；增大直径； D：提高表面光洁度； 答案 正确选择：C

B：梁必须是静定的；

D：梁的弯曲必须是平面弯曲。

A：转角和挠度均相等； B：转角和挠度均不等； C：转角相等、挠度不等； D：转角不等、挠度相等；

答案 正确选择：D

答疑 作用有均布载荷的梁在中点处的挠度为5ql/384EI；作用有线性分布的载荷梁的中点处的挠度等于同一梁上作用有2q的均布载荷的梁的中点挠度的一半，固线性分布载荷的梁在中点挠度的大小为

44

5(2q)l/384EI×1/2=5ql/384EI, 固二者在中间截面处的挠度相等。 均匀分布载荷的梁在中间截面处的转角为0，而线性分布载荷的梁在中间截面处的转角不为零。

11、已知一梁的挠曲线方程为：EIy=-qx(l-2lx+x)/24，所取的坐标系如图，则该梁的最大弯矩是： 。 A：ql/4; B：ql/8 C：ql/16

2

2

2

3

2

34

答案 正确选择：B

答疑 增大直径相当于提高截面的惯性矩。

答疑 根据挠曲线微分方程y=M(x)/EI,整理得到M(x)=EIy’’。

28、等直梁的最大弯矩处，局部增大直径， 。 将所给定的挠曲线方程求二阶导数得到EIy’’=q(lx-x)/2，固此梁

2

的弯矩方程为M(x)= q(lx-x)/2。欲使弯矩取得极值需要满足

A：仅提高强度； B：仅提高刚度； C：强度、刚度均有提高； dM/dx=0。求解dM/dx=0得到 x=L/2，即在梁的中间截面处弯矩取得

22

极值，大小为M=q(L×L/2-(L/2))/2=qL/8。取得极值，大小为M=q(L

22

×L/2-(L/2))/2=qL/8。 答案 正确选择：A

答疑 局部增大直径，可以使该处的最大应力降低，提高梁的弯曲

强度；由于梁的挠度是在整个梁上的积分，是累积效应，固不能明显地提高梁的弯曲刚度。

9、两简支梁的材料、截面形状、梁中点承受的集中力P均相同，而两梁的跨度之比为L1/L2=1/2，则其最大挠度之比为y1max/y2max= 。

12、C截面为梁的中间截面，在图示中的力的作用下，C截面左右两侧的转角 。

A：|θ左|＝|θ右| B：|θ左|>|θ右| C：|θ左|<|θ|

右

’’

答案 正确选择：A

答疑 梁的弯矩方程是分段函数，但梁的挠曲线是一条光滑连续曲线，在分段处满足连续性条件。

答案 正确选择：B

答疑 二者的支座反力相同；简支梁的中点作用有集中力时梁的最

32

大挠度v=PL/48EI,最大转角为θ＝PL/16EI，固二梁的最大挠度、最大转角均相同；二梁的最大弯矩相同，根据弯曲正应力与弯矩之间的关系ζ＝M/W，由于抗弯刚度相同，材料不同，固截面的惯性矩不同，抗弯截面系数也不同，所以最大正应力不同。

13、已知两梁的跨度、载荷均相同。比较图示中两梁的强度和刚度。

其中：2图为两根高度为h/2，宽度为b的矩形截面梁叠加而成的，16、图示中的悬臂梁，为减少最大挠度，则下列方案中最佳方案且相互间的摩擦不计，有 。 是 。 A：强度相同、刚度不同； C：强度、刚度均相同；

B：强度不同、刚度相同； A：梁长改为L/2，惯性矩改为I/8； B：梁长改为3L/4，惯性矩改为

I/2； D：强度、刚度均不同；

C：梁长改为5L/4，惯性矩改为3I/2； 矩改为I/4；

D：梁长改为3L/2，惯性

答案 正确选择：D

答疑 图1中梁的最大应力为ζ＝M/W=6PL/bh,最大挠度为

33

v=PL/3E×(bh/12)；图2中的两梁迭放，相当于两个独立的梁共同承担弯矩PL，有M1＋M2＝PL；两梁的挠曲线有相同的曲率1/ρ1＝1/ρ2，考虑到曲率与弯矩之间的微分关系 1/ρ1=M1/EI,1/ρ2=M2/EI，有M1/EI＝M2/EI。迭放在一起的上下两梁的抗弯刚度EI相等，得到两梁承担的弯矩相等，即有M1＝M2＝PL/2。那么其中一根梁内的最大

22

正应力为ζ＝M/W=PL/2/b(h/2)/6=12PL/bh,v= 3333

PL/3EI’=PL/2/3E(b(h/2)/12)=4PL/3E×(bh/12)。固二者的强度、刚度均不同。

2

答案 正确选择：B

答疑 正常情况下的最大挠度为v=FL/3EI，A方案的最大挠度为

33

vA=F×(L/2)/3E×I/8= FL/3EI=v；B方案的最大挠度为vB=F×

33

(3L/4)/3E×I/2= 27/32×FL/3EI=27/32v；C方案的最大挠度为vC=F

33

×(5L/4)/3E×3I/2= 125/96×FL/3EI=125/96v；D方案的最大挠度

33

为vD=F×(3L/2)/3E×I/4=27/2× FL/3EI=27/2v；

另外：一般情况下通过减小梁的跨度、增大截面惯性矩等办法来提高梁的弯曲刚度，固可直接判断得C、D方案不合理。

3

14、图示中的悬臂梁采用两种截面形式，一种为相同的矩形截面叠放而成，无胶接；另一种为完整的正方形截面。在小变形的情况下迭放

的梁内最大弯曲正应力是完整截面形式的梁的最大正应力的 17、T型截面铸铁梁在铅垂面内弯曲，若将截面倒置，则梁的强度和倍。 刚度与原来的相比 。 A：2； B：4； C：8； D：16；

A：强度提高、刚度不变； C：强度、刚度均提高；

B：强度降低、刚度不变； D：强度、刚度都降低；

答案 正确选择：A

答疑 完整的正方形截面梁的最大应力为ζ＝M/W=6PL/a，迭放的

23

梁内的最大正应力为ζ＝M/W=PL/2/a(a/2)/6=12PL/a。固迭放的梁内的最大正应力是完整截面的2倍。

3

答案 正确选择：B

答疑将截面倒置后，截面对中性轴的惯性矩没有改变，固刚度不变；但强度与截面的放置方式有关；此梁承受负弯矩，产生上拉下压的正应力，正放时，中性轴距离受拉一侧较近，最大拉应力较小，倒置时，中性轴距离受拉一侧较远，最大拉应力的数值较大，强度降低。

18、正方形截面分别按图示中的两种情形放置，则两者间的抗弯刚度

15、图示中的两个简支梁跨度相同，一根为钢，一根为铜，已知它们之间的关系为 。 的抗弯刚度EI相同，在相同的力P的作用下，二者的 不同。 A：支反力； B：最大正应力； C：最大挠度； D：最大转角；

A：(a)>(b)

定

B：(a)<(b)

C：(a)=(b)

D：不一

4、悬臂梁的抗弯刚度为EI，梁长为2L。坐标轴的原点在A处。①写出挠曲线近似微分方程 EIy’’= 。 ②当M＝3PL/2时，该悬臂梁转角θ＝0的截面位于x＝ 处。

答案 正确选择：C

答疑 正方形截面对于过形心的任何轴的惯性矩相等，固两种放置方式中的抗弯刚度相同。 填空 弯曲变形

1、应用叠加原理求梁的位移，必须满足的条件有 ， 。 答案 线弹性（材料服从虎克定律）、小变形。

答疑 在线弹性、小变形的条件下，挠曲线微分方程是线性的；在小变形的前提下，计算弯矩时用梁在变形前的位置，这样弯矩与载荷之间的关系是线性的，对于几种不同的载荷弯矩可以叠加，微分方程的解也可以叠加。

2、应用梁的挠曲线近似微分方程y’’=M(x)/EI时， 其使用条件应为： 。

答案 应力小于比例极限、小变形、剪力对变形的影响可以略去不计

答案 5qL/384EI

答疑 在推导此近似微分方程的过程中，忽略了转角dv/dx，近似认为挠曲线是一条很平坦的曲线，转角dv/dx非常小，忽略不计；在推导公式的过程中没有考虑剪力对变形的影响；

3、图示中静定梁的抗弯刚度为EI。D点的挠度为fD=-Pa/(3EI)，B

2

截面的转角为θB=5Pa/(6EI)，则D截面的转角为θD= ；C点的挠度为fC= 。

3

4

答案 挠曲线方程为EIy’’=M-P(2L-x)；转角等于零的截面位于x=0、x=L/2；

答疑 横截面的弯矩方程为M(x)=M-P(2L-x)；当M＝3PL/2时,弯矩方程为M(x)=px-PL/2,代入挠曲线微分方程得到：EIy’’=Px-PL/2,

2

积分一次得到转角方程为 EIy’=Px/2-PLx/2，令转角y’＝0，得到x=0、x=L/2。

5、已知图ａ中梁在中点的挠度为5qL/384EI,那么图ｂ中点的挠度为 。

4

答疑线性分布载荷的梁在中点处的挠度的等于同一梁上作用有大小为2q的均布载荷梁的中点处挠度的一半。固ｂ中点的挠度为f=5

44

×2q×L/384EI×1/2= 5qL/384EI。

6、如图所示的外伸梁，已知B截面的转角为θ＝FL/16EI，则C截面的挠度yC= 。

2

答案 θD=－Fa/2EI、fC=-5Pa/6EI

答疑 挠曲线的大致形状为：

答疑 整个梁在变形后的挠曲线形状为：

2

3

答案 yc =aθB =FLa/16EI

2

根据几何关系得到：tgθB=yc/BC yc=BC tgθB=a tgθB≈aθB= 2

FLa/16EI。

梁在BC段不受外力的作用，通过静力平衡分析得到B、C两处7、如图所示中两梁的横截面大小形状均相同，跨度为L，则两梁的的约束反力均为零， BC段的内力为零，固在BC段上梁不发生弯曲，内力图 ，两梁的最大正应力 ，两梁的变形 。只是绕B点转动一个角度θB，通过几何关系得到tgθB=fc/BC=fc/a,（填写“相同”或“不同”） 整理得到fc=a×tgθB ，在小变形的情况下有tgθB≈θB ，得到

3

fc=aθB=-5Pa/6EI。

由于C处的约束反力为零，所以CD段的弯矩为零，CD段也不产生弯曲，只是由于AD段的弯曲变形带动CD段产生沿AD段的D截面切线方向的位移。通过图示中红线所围成的三角形的几何关系有：tg

2

θD=(∣fc∣-∣fD∣)/a 在小变形的情况下有θD≈tgθD= Fa/2EI,方向为瞬时针方向。

答案两梁的内力图相同，最大正应力相同，两梁的变形不同。

答疑 简支梁两端的支反力的大小分别为P，且左端的支反力向下，固两梁的内力图相同；两梁的最大弯矩相等均为－PL，在横截面大小形状相同的条件下，最大正应力相等。虽然两梁的弯矩方程相同，挠曲线微分方程相同，但积分后的边界条件不同，，固得到两条形状不同的曲线，所以弯曲变形不同。

8、图示中梁的抗弯刚度为EI，C处为弹性支座，弹簧刚度为K。为求弹簧所受的力，则所取变形协调条件为： 。

答案 y1max/y2max=1:16

答疑 跨度为L承受均布载荷q的简支梁在中间截面处的挠度为

44

5ql/384EI。固左图中的简支梁在中间截面处的挠度为5ql/384EI,

4

右图中的梁的最大挠度为5q(2l)/384EI。固左右两梁的最大挠度之比为1:16

12、两根梁的尺寸、受力和支撑完全相同，但材料不同，弹性摸量分别为E1和E2，且E1＝7E2，则两梁的挠度之比为： 。 答案 最大挠度之比为 1：7

答疑 由两梁的受力和支撑相同可以确定两梁的弯矩方程M(x)相同，又由两梁的尺寸相同可以确定截面的惯性矩相等。根据挠曲线微分方程EIy’’=M(x)可知：E1y1’’= E2y2’’, 将E1＝7E2代入得到7y1’’= y2’’。由于两梁的支撑情况相同，积分后得到y1/y2=1:7 13、矩形截面梁由木、钢两种材料组成。木、钢的弹性摸量分别为E1＝10GPa，E2＝210GPa。求木材、钢材所受的弯矩之比为 。

答案 fc（Nc,P）=Nc/K

答疑 协调方程为：梁在C处的挠度等于弹簧的变形。 9、用积分法求梁的变形时，边界条件为： ，连续

条件为 。

答案 M1/M2=5/21

答疑 变形后两种材料有相同的曲率半径ρ，根据曲率与弯矩之间的关系1/ρ=M(x)/EI,有1/ρ=M1(x)/E1I1=M2(x)/E2I2，各截面的惯性 答案 以A为原点，向右为x轴正方向

33

矩为I1=10th/12、I2=2th/12,从而得到M1/10E1=M2/2E2,代入弹性模量

边界条件 x=0 y1=0, y1’=0； x=3a y2=0 后得到：M1/10×10=M2/2×210,整理得到21M1=5M2，所以 M1/M2=5/21 连续性条件

x=2a y1=y2

14、图示中的梁材料、截面相同，则两梁的最大挠度之比

为： 。

答疑 A处为固定端约束处，挠度为零，转角为零； D处为活动铰支，挠度为零；C处为中间铰，左右两侧的挠度相等，但转角不等。

10、梁上作用有外力偶，M1和M2，A点位于L/3处。使A点成为挠曲线的拐点，那么M1/M2= 。

答案 1：4

答疑 跨度为L的悬臂梁在自由端承受集中力P时的最大挠度为33

PL/3EI，固上图的最大挠度为2PL/3EI，下图中的悬臂梁的最大挠

33

度为P(2L)/3EI=8PL/3EI，固二者的最大挠度之比为1：4。 15、已知简支梁在力P作用下中点C处的挠度为δ，那么当梁上的载荷如右图时，梁的中点C处的挠度为： 。

答案 M1/M2=－1/2

答疑 设左端有向上的约束反力R，根据静力平衡得到R＝（M2-M1）/L。取梁的左端为原点，向右为x轴正方向，那么任意截面处的弯矩方程为：M(x)=Rx+M1=（M2-M1）x/L+M1。由数学知识得到要使得A点成为挠曲线的拐点，在点A处有y’’=0；根挠曲线微分方程y’’=M(x)/EI可得在点A处有M(x)＝0，整理得到M1/M2＝－1/2

11、两简支梁的材料、截面形状、梁承受的载荷集度相同，而两梁的则其最大挠度之比为y1max/y2max= 。

答案 δ、向上

答疑 在简支梁上作用有集中力P时梁的中间截面处的挠度为δ。将右图中的载荷分解，相当于在梁上作用有向下的集中力P和向上的集中力2P。又由于简支梁的左右对称性可以得到：在力P的单独作用下C截面的挠度为δ、方向向下；在2P的单独作用下C截面的挠度为2δ、方向向上；叠加后得到C截面的挠度为δ、方向向上。

16、梁的跨度为L、抗弯刚度EI为常量，B支座位于梁的中点。写出在图示的坐标系下的边界条件及连续性条件 。 20、图示中两根材料相同的梁A和B，当自由端具有相同的位移时，最大应力较大的梁是 ，其最大正应力＝ 。

答案 边界条件： x1=0 y1=0； x1=L/2 y1=0； x2=L/2 y2=0；

连续性条件：x1=x2=L/2 y1=y2’；

’

答案 B梁；ζ

max

=P2L/Wz=6P2L/bh

2

答疑B梁的抗弯刚度大，在二者自由端的挠度相同时，B梁的内力大，固B梁的应力较大； 最大应力为ζ

max

答疑 在固定铰支处挠度为零；左右两段梁在活动铰支处的挠度均为零；在活动铰支处的转角相同。

17、图示中的边界条件为x=0，yA=0；x=L，yB= 。右端的弹簧刚度为K。

=M/Wz=P2L/Wz=6P2L/bh

2

21、用积分法求梁的变形时，边界条件为 ，连续条件为 。并大致画出挠曲线的形状。

答案 yB=P/2K

答疑 通过受力分析得到B处弹簧受力为P/2，弹簧的变形为P/2K。梁与弹簧接触，固梁在B处的挠度等于弹簧的变形，所以有yB= P/2K。 18、简支梁的抗弯刚度EI已知，A位于梁的中间截面处，则中性层在A处的曲率半径为ρ＝ 。

’

答案 边界条件：x=0 y=0 y =0 x=2a y =0

x=3a y

‘’

=0 连续条件 x=a y左=y右

答疑 固定端处挠度、转角均为零；中间铰处左右两侧的挠度相

‘’

等；活动铰支处挠度为零；在自由端处弯矩为零即y =0。 简述 弯曲变形

2

答案 ρ＝8EI/ qL

答疑 简支梁在中间截面处的弯矩为qL/8，根据曲率与弯矩之间

22

的关系1/ρ=M(x)/EI有1/ρ= qL/8/EI＝qL/8EI，从而得到中性层

2

处的曲率半径为ρ＝8EI/ qL。

19、用积分法求图示梁的变形时，边界条件为 ；连续条件为 。

2

1、在XY坐标系中，已知等直梁的挠曲线方程为

323

v=qx(L-3Lx+2x)/48EI。求①最大弯矩及最大剪力。②梁的两端（x=0、x=L）的约束情况。③画出此梁的受力图

答疑根据挠曲线微分方程EIy’’=M(x),将已知的挠曲线方程求

2

二阶导数得到：v’’=q(-18Lx+24x)/48EI,从而得到弯矩方程为

2

M(x)=q(-3Lx/8+x/2),将弯矩方程对x求一阶导数得到剪力方程为Q(x)=q(-3L/8+x)。剪力为零的点弯矩取得极值，所以弯矩的极值点发生在x=3L/8处，固梁的最大弯矩为：M=q(-3L/8×

23

3L/8+(3L/8)/2)=-qL/128。剪力的一阶导数为q，且一阶导数值大于零，说明剪力是递增函数，在整个梁上作用有均布载荷且均方向向上。固剪力的最大值发生在x=L处，大小为Q=5qL/8。

将x=0分别代入剪力方程、弯矩方程得到Q=-3ql/8、M=0； 将x=L分别代入剪力方程、弯矩方程得到Q=5ql/8、M=qL/8；

2

答案边界条件：x=0 y1=0 y1=0

x=3a y3=0

’

‘’

连续条件 x=a y1=y2 y1=y2

x=2a y2=y3

答疑在左端固定端处，挠度为零，转角为零；在右端活动铰支处挠度为零； 在力的作用点处挠度相等、转角相等；在中间铰处挠度相等，转角不等。

根据x=0时剪力不为零，弯矩为零可以断定左端为自由端，且受向下的集中力的作用，集中力的大小为3ql/8；在x=L剪力不为零、弯矩不为零可以断定，梁的右端为固定端。 梁的受力及约束如下：

答疑 弯曲变形时在中性层处的正应力为零；由于梁受纯弯，横截面上没有剪力的作用，固中性层处的剪应力为零。

a图中的最大弯曲正应力为ζ=M/W=12M/bh、最大挠度为f=12×23

ML/2Ebh；图ｂ中的两梁迭放，每一梁承担弯矩的一半M/2，最大弯

33

曲正应力为ζ=M/W=12M/2/b(h/2)=48M/bh、最大挠度为

2323

f=M/2L/2Eb(h/2)/12=48ML/2Ebh。

5、若只在悬臂梁的自由端作用有弯曲力偶M，使其成为纯弯曲，则由 1/ρ=M/EI知ρ为常量，挠曲线应为圆弧。若由y’’=M(x)/EI

2

积分，将得到y=Mx/2EI，它表面挠曲线是一条抛物线。为何产生这样的差别？

答疑 y’’=M(x)/EI称为挠曲线的近似微分方程，近似微分方程

答案 圆弧状

答疑 由于梁上作用有力偶，固梁的弯矩方程为常量M(x)=M。根据曲率与弯矩之间的微分关系1/ρ= M(x)/EI＝ M/EI，所以梁中性层的曲率半径为常量，挠曲线为圆弧状；

3、等截面悬臂梁EI已知，梁的下面有一刚性曲面，曲面方程为y=-ax,欲使梁在变形后与曲面重合且曲面不受压力，梁上应作用什么样的载荷？并绘制梁的载荷图及梁的内力图。

答案 左细右粗的锥状

3

3

2、钢制悬臂梁在自由端受到力偶M后发生弯曲，在小变形情况下作工程计算时，其挠曲线是圆弧状还是二次抛物线？还是二者均可？为什么？

是由挠曲线微分方程

的量y’而得到，因此会产生此差别。 6、细长工件，加工完成后会变成什么形状？

中忽略了非常小

答疑 对曲面方程y=-ax求二阶导数得到y’’=-6ax。欲使梁在变形后与曲面重合且曲面不受压力，梁的挠曲线与曲面重合。将曲面的二阶导数代入挠曲线微分方程得到：-6aEIx=M(x)，从而得到梁的弯矩方程为M(x)＝-6aEIx。将弯矩方程求一阶导数、二阶导数分别得到剪力方程为Q(x)=-6EIa、均布载荷集度为q(x)=0。由均布载荷的集度为零可以断定梁上不作用有均布载荷；由于剪力方程为常量说明在梁的自由端上作用有集中力，集中力的大小为6EIa、方向向上；根据梁的弯矩方程M(x)＝-6aEIx可知，在梁的自由端处弯矩的大小为6aEIL、方向瞬时针；梁的载荷图以及内力图如下：

3

答疑 在车刀的作用下相当于悬臂梁受集中力的作用，当车刀位于自由端时，悬臂梁有最大的向上的挠度，被车削掉的较少，加工后的横截面直径偏大；随车刀向固定端移动，悬臂梁的变形较小，被车削掉的部分较多，加工后的横截面直径偏小。最后成为固定端处截面细、自由端处截面粗的锥状。

7、使梁变形后与刚性曲面重合，但不产生压应力，应如何施加外载？

答案 自由端施加瞬时针的大小为EI/R的力偶

答疑 梁在变形后与刚性曲面重合也就是梁在变形后的挠曲线与刚性曲面重合，刚性曲面的半径就是挠曲线的曲率半径，根据挠曲线的曲率半径与弯矩之间的关系有1/R=M(x)/EI，考虑到梁的抗弯刚度EI为常量，挠曲线的曲率为常量，固梁上的弯矩M(x)也是常量，大小为M(x)＝EI/R。固应在自由端施加瞬时针的大小为EI/R的力偶。 8、写出边界条件与连续性条件、弹簧常数为K。

4、高度h、宽度b的梁受力偶M的作用，如图（ａ）所示，问中性层上的正应力、剪应力各等于多少？在该力偶的作用下是否可以认为图（ｂ）中的高度为h/2，宽度为b的两根梁的迭放在强度与刚度方面与之完全相同？为什么？

答案 中性层处的正应力为零；中性层处的剪应力为零；不同

答案 边界条件 x=0 y1=0； x=a+b y2=N/K=Pa/(a+b)K

连续性条件x=a y1=y2 y1=y2

’’

答案 此建议不合理

答疑 钢轴的弯曲刚度不够，说明钢轴的变形过大。根据弯曲变形的挠曲线近似微分方程EIy’’=M(x)/EI可以看出，梁的变形与梁的内力大小、截面惯性矩、梁的材料有关。考虑到各种钢材的弹性模量E的变化不大，尽管选择了优质钢，但对提高弯曲刚度的效果不大，且增加成本。一般情况下应考虑通过降低梁承受的弯矩、提高截面的惯性矩、等强度梁等办法来提高梁的弯曲刚度。

13、已知梁的挠曲线方程为EIy=-qx/120L。问(1)在x=0和x=L两端点处的约束如何？(2)最大弯矩和最大剪力各是多少？(3)梁上的载荷如何分布？

答疑 将梁的挠曲线方程求二阶导数得到：EIy’’=-qx/6L,从而

32

得到梁的弯矩方程为M(x)= -qx/6L。其中： M(0)＝0；M(L)＝－qL/6；说明梁的左端为自由端，右端为固定端。

3

3

5

答疑 x=0处为固定铰链支座，此处的挠度为零；在x=a+b处为弹性支撑，梁的挠度等于弹簧的变形，弹簧的受力根据静力平衡求解大小为Pa/(a+b)；在外力的作用点x=a处满足连续性条件，挠度相同，转角相同。

9、写出梁的挠曲线近似微分方程及边界条件。

答案 近似微分方程 EIy’’= qL(L-x)/6-q(L-x)/6L 边界条件x=0 y=0； x=L y=Na/EA=qla/6EA

对弯矩方程求一阶导数得到剪力方程为Q(x)=-qx/2L。由于梁的剪力始终小于零，说明梁的弯矩呈下降趋势，固梁的最大弯矩值为

2

0，弯矩的最大绝对值为qL/6。

2

答疑 对左端的固定铰支取矩求拉杆的受力为：N=qL/6。在图示坐

’’对剪力方程求一阶导数得到载荷集度为q(x)=-qx/L。由于梁的标系下梁的弯矩方程为：M(x)=N(L-x)-q(L-x)/2×(L-x)/3。其中q

’

为x处的线性分布载荷的最大挠度，通过几何关系得到q=q(L-x)/L，载荷集度始终小于零，说明剪力呈下降趋势，考虑到Q(0)=0、

3

代入弯矩方程得到：M(x)= qL(L-x)/6-q(L-x)/6L。所以挠曲线的近Q(L)=-qL/2，固最大剪力值为零；剪力的最大绝对值为qL/2。梁的

3左端无集中力的作用。 似微分方程为EIy’’= qL(L-x)/6-q(L-x)/6L。

梁的左端为固定铰支、挠度为零；在右端由拉杆连接，梁的右

端的挠度等于拉杆的伸长量。

10、图示中梁的跨度为L，B处为一刚度为K的弹簧，写出挠曲线近似微分方程，写出梁的边界条件。

由于梁的载荷集度为q(x)=-qx/L，说明梁上作用有线性分布的载荷，由q(0)=0、q(L)=-q说明分布载荷从梁的左端开始呈递增趋势，且方向向下。梁的载荷图如下：

答案 近似微分方程 EIy’’=3qL(L-x)/2-q(L-x)/2； 边界条件 x=0 y=0； y=N/K=3qL/2K

x=L

2

14、在中国古代的木结构建筑中，在上梁与柱的连接处，往往采用一种独具风格的斗拱结构。从材料力学的观点分析一下这种在世界上特有的结构方式有什么优点。

答疑 对梁的左端取矩得到弹簧的受力为N＝3qL/2，在图示坐标系下梁的弯矩方程为

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M(x)=N(L-x)-q(L-x)/2=3qL(L-x)/2-q(L-x)/2，从而得到梁的挠曲

2

线近似微分方程为EIy’’=3qL(L-x)/2-q(L-x)/2。

梁的左端为固定铰支，此处挠度为零；在梁的右端为弹性支撑， 答疑 改善梁的受力，将梁承受的集中约束反力分散，从而降梁的变形等于弹簧的变形。 低梁承受的最大弯矩，提高梁的抗弯强度。 11、从弯曲的理论解释为什么传动轴上的齿轮或带轮总是避免放置在跨中，而尽量靠近轴承处。

答疑 传动轴在工作时可以简化为简支梁，传动轴上的齿轮或带轮传递给传动轴一个集中力的作用。如果将齿轮或带轮安装在跨中，此时传动轴承受最大弯矩，大小为集中力与传动轴跨度乘积的四分之一；如果齿轮或带轮尽量靠近轴承处，此时传动轴承受的最大弯矩总小于集中力与传动轴跨度乘积的四分之一，从而提高了传动轴的弯曲强度。

12、在设计中，一受弯的碳素钢轴的刚度不够，有人建议改用优质合金钢，此项建议是否合理？

15、对于受弯曲的梁能否通过采用高强度材料提高其刚度？ （ 能、不能） 答案 不能

答疑 梁的弯曲变形y’’=M(x)/EI，不仅与材料有关，还与内力、横截面的形状有关，提高梁的弯曲刚度应该从减低梁的内力、提高截面的惯性矩着手，而不应该采用高强度钢材。各种钢材的弹性模量变化不大，不仅不能提高强度，反而增加成本。

16、建筑工地中常用的钢筋混凝土结构，在设计上布置钢筋承受拉力，混凝土承受压力，这有什么好处？今有一座钢筋混凝土结构的桥梁，

在使用中出现了险情：列车通过时跨中挠度超出了设计要求。有人建议在桥梁的中间部位再加一个桥墩。此方案可行吗？为什么？并请你提出一个可行的方案。 答疑 钢筋是塑性材料，抗拉压强度相同，一般作受拉构件；而混凝土为脆性材料，抗压不抗拉，在钢筋混凝土结构中，在布置上使钢筋承受拉力，补充了混凝土材料的不抗拉的弱点，从而提高了混凝土结构的抗拉强度。 列车通过时跨中挠度超出了设计要求，说明桥梁的变形过大，应减少桥梁的变形。在桥梁的中间部位再加一个桥墩，可以减少桥梁的变形，从理论上讲此方案可行。但从实际的工程施工情况来看，一座桥梁建好后再安置一桥墩，工程施工中很难实现。比较好的办法是通过提高截面的惯性矩来提高桥梁的抗弯刚度，为此可以在桥梁上安装斜拉索、或安装桁架结构，如图所示。 答案 此说法正确

答疑 任何的点都可以找到它的主单元体。 5、“受拉构件内B点的正应力为ζ=P/A”

答案 此说法错误

答疑 受拉构件内的B点在α＝0度的方位上的正应力为ζ=P/A。

6、受拉构件内，过C点沿与轴线成45度角的斜截面截取单元体，“此单元体的四个面上均有正应力和剪应力，此单元体处于二向应力状态“

第七章 应力状态与强度理论1 1、 一点的应力状态的概念； 2、 主应力、主平面的概念； 3、 应力状态的分类； 4、 平面应力状态分 重点 析的解析法； 5、 平面应力状态分析的应力圆法； 6、 广义虎克定律以及其应用； 难点

答案 此说法错误

1、提取一点的应力状态； 2、主平面的方位； 3、最大剪应力的数值及其所在的方位； 4、广义虎克定律的应用； 答疑 过C点沿与轴线成45度角的斜截面截取单元体的四个面上

均有正应力和剪应力存在，但此单元体是单向应力状态，不是二向应

1、 一点的应力状态的表示方法和应力状态的分类； 2、 力状态。判断单元体是几向应力状态的依据是单元体的主应力有几个

主应力、主平面、主单元体的概念； 3、 压力容器；不为零，该单元体的主应力为ζ1= P/A、ζ2=0、ζ3=0，固是单向应4、 解析法和图解法分析平面应力状态； 5、 三向力状态。

基本知识应力状态的概念； 6、 已知一个主应力求另外二个点 主应力； 7、 三向应力圆草图； 8、 复杂应力状7、“弯曲变形时梁中最大正应力所在的点处于单向应力状态。”

态下的广义胡克定律及其工程应用； 9、 复杂应力状态下应变比能的概念； 答案 此说法正确 判断 一点的应力状态 1、“包围一点一定有一个单元体，该单元体各面只有正应力而无剪应力。” 答案 此说法正确 答案 此说法正确

答疑 包围一点的单元体一定有一个主单元体。 2、“单元体最大剪应力作用面上必无正应力” 答案 此说法错误 答疑 在最大、最小正应力作用面上剪应力一定为零；在最大剪应力作用面上正应力不一定为零。拉伸变形时，最大正应力发生在横截面上，在横截面上剪应力为零；最大剪应力发生在45度角的斜截面上，在此斜截面上正应力为ζ/2。 答疑 最大正应力就是主应力，主应力所在的面剪应力一定是零。

答疑 最大正应力位于横截面的最上端和最下端，在此处剪应力为零。

8、“在受力物体中一点的应力状态，最大正应力作用面上剪应力一定是零”

9、“过一点的任意两平面上的剪应力一定数值相等，方向相反” 答案 此说法错误

答疑 过一点的两相互垂直的平面上的剪应力一定成对出现，大小相等，方向同时指向共同棱边或同时远离共同棱边

3、”单向应力状态有一个主平面，二向应力状态有两个主平面” 10、“梁产生纯弯曲时，过梁内任意一点的任意截面上的剪应力均等

于零”

答案 此说法错误 答案 此说法错误

答疑无论几向应力状态均有三个主平面，单向应力状态中有一个主平面上的正应力不为零；二向应力状态中有两个主平面上的正应力不为零。 4、“通过受力构件的任意点皆可找到三个相互垂直的主平面。” 答疑 梁产生纯弯曲时，横截面上各点在α＝0的方位上剪应力为零，过梁内任意一点的任意截面上的剪应力不一定为零。

11、“从横力弯曲的梁上任意一点取出的单元体均处于二向应力状态“

答案 此说法错误

答疑 从横力弯曲的梁的横截面上距离中性轴最远的最上边缘和最下边缘的点取出的单元体为单向应力状态。

12、“受扭圆轴除轴心外，轴内各点均处于纯剪切应力状态”

5、受内压作用的封闭薄壁圆筒，在通过其壁上任意一点的纵、横两个截面中 。

A：纵、横两截面均不是主平面； B：横截面是主平面、纵截面不是主平面；

C：纵、横二截面均是主平面； D：纵截面是主平面，横截面不是主平面；

答案正确选择：C

答案 此说法正确

答疑 在受扭圆轴内任意取出一点的单元体如图所示，均为纯剪切应力状态。

答疑 在受内压作用的封闭薄壁圆筒的壁上任意取一点的应力状态为二向不等值拉伸，其ζx=pD/4t、ζy=pD/2t。单元体上无剪应力的作用，固纵、横截面均为主平面。

6、水管结冰，管冻裂而冰不坏。是因为 。

A：冰强度高； B：冰处于三向受压； C：冰的温度高； D：冰的应力等于0； 答案 正确选择：B 答疑 水结冰后体积增大，向三个方向膨胀，而水管阻碍了冰的膨胀，使得冰处于三向压缩应力状态，固冰不易发生破坏；而水管简化为圆柱型容器，处于二向拉伸应力状态，容易发生破坏。 填空 一点的应力状态

1、钢制直角曲拐的直径为d，受力如图，用单元体表示危险点的应力状态为： 。

选择 一点的应力状态 1、在单元体中可以认为： 。

A：单元体的三维尺寸必须为无穷小； B：单元体必须是平行六面体。 C：单元体只能是正方体。 D：单元体必须有一对横截面 答案 正确选择：A

答疑 单元体代表一个点，体积为无穷小。

2、滚珠轴承中，滚珠与外圆接触点为 应力状态。 A：二向； B：单向 C：三向 答案 正确选择：C

答疑 接触点在铅垂方向受压，使单元体向周围膨胀，于是引起周围材料对接触点在前后、左右方向的约束应力。 3、厚玻璃杯因沸水倒入而发生破裂，裂纹起始于 。 A：内壁 B：外壁 C：内外壁同时 D：壁厚的中间

D：纯剪切

答案 答疑

危险点位于固定端处截面的最上端。内力的大小为：弯矩M=PL、扭矩T=Pa。在危险点的横截面上有弯矩产生的拉应力ζ=M/Wz=32PL/

3

πd3，有由扭矩产生的扭转剪应力η=T/Wt=16Pa/πd。 2、图示中的a、b两点的应力状态是否正确？

答案 正确选择：B

答疑 厚玻璃杯倒入沸水，使得内壁受热膨胀，外壁对内壁产生压应力的作用；内壁膨胀使得外壁受拉，固裂纹起始于外壁。 4、在1、2、3、4四点的应力状态中， 是错误的。

答案 错误

答疑 扭转剪应力的作用面错误。在此二点的横截面上存在由扭矩产生的剪应力，此剪应力应该位于横截面上，而图示中单元体的扭转剪应力的位置不是横截面。正确的应力状态是：

答案 正确选择：4

答疑 在点4处由弯矩产生压应力；在剪力Q的作用下产生剪应力；但点4处的剪应力的方向错误。在单元体的右侧截面上剪应力的方向向上。

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