四年级奥数2

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高 斯 求 和

若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。例如：

（1）1，2，3，4，5，…，100 （2）1，3，5，7，9，…，99 （3）8，15，22，29，36，…，71

想一想：上面的数列是否是等差数列？你怎么知道的？

每一列的公差是几？首项和末项分别是多少？ 思考与讨论：

首项和末项之间有什么关系？每一列一共有几项？

大家来总结：末项＝首项＋公差×（项数－1）

项数＝（末项－首项）÷公差＋1

例1、求等差数列3，7，11，15，19，…的第10项和第25项。

例2、在等差数列2，5，8，11，14，…中，101是第几项？

例3、在5和61之间插入七个数后，使它成为一个等差数列，写出这个数列。

1

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思考与讨论：怎么计算比较简便？ 1＋2＋3＋4＋5＋…＋49＋50＝？

1＋2＋3＋4＋5＋…＋98＋99＝？

大家来总结：等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2 例4、1＋2＋3＋4＋…＋1999

例5、3＋7＋11＋…＋99

练习：1、计算下面各题。

（1）2＋4＋6＋…＋200 （2）17＋19＋21＋…＋39

（3）5＋8＋11＋14＋…＋50 （4）3＋10＋17＋24＋…＋101

2、求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。

3、求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。

2

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等差数列小练习

班级： 姓名： 1、已知等差数列2，5，8，11，14，… （1）这个数列的第13项是多少？

（2）47是其中的第几项？

2、已知等差数列的第1项是12，第6项是27，求公差。

3、如果一个数列的第4项为21，第6项为33，求它的第9项。

4、求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。

5、已知等差数列6，13，20，27…，问这个数列前30项的和是多少？

6、①7＋10＋13＋…＋37＋40 ②2000－3－6－9－…－51－54

7、一个剧场设置了22排座位，第一排有36个座位，往后每排都比前一排多2个座位，这个剧场共有多少个座位？

3

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平 均 数

平均数是相对于“总数”和分成的“份数”而言的。例如： 全班同学的总成绩÷全班同学人数＝平均成绩 几件货物的总重量÷货物件数＝平均重量 一辆汽车行驶的路程÷所用的时间＝平均速度 求平均数的一般公式：总数÷份数＝平均数

例1 一小组六个同学在某次数学考试中，分别为98分、87分、93分、86分、88分、94分。他们的平均成绩是多少？ 解法一：（98＋87＋93＋86＋88＋94）÷6

解法二：以90分为“基准”，这六个数与90分的差分别是： 8，－3，3，－4，－2，4

那么总和＝90×6＋（8－3＋3－4－2＋4） 平均数＝90＋（8－3＋3－4－2＋4）÷6

例2 小明家先后买了两批小猪，养到今年6月。第一批的3头每头重66千克，第二批的5头每头重42千克。小明家养的猪平均多重？

想一想：（66＋42）÷2 这样算对吗？说说你的理由。

例3 一个学生计划每天做4道数学训练题。结果星期一至三每天做3道，星期四不做，星期五、六两天共做13道。那么，星期日要做几道题才能达到自己规定的要求？

例4 小敏期末考试，数学92分，语文90分，英语成绩比这三门的平均成绩高4分。问：英语得了多少分？

4

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练习：

1、农业科研小组测定麦苗的生长情况，量出12株麦苗的高度分别为（单位：厘米） 26，25，25，23，27，28，26，24，29，27，27，25 求这批麦苗的平均高度。

2、一小组同学体检量身高发现其中2人的身高是123厘米，另外4人的身高均为132厘米。这个小组同学的平均身高是多少？

3、小妹做跳绳练习，第一次跳了67下，第二次跳了76下。她要想三次平均成绩达到80下，第三次至少要跳多少下？

4、五个同学期末考试的数学成绩平均94分，而其中有三个同学的平均成绩为92分。另两个同学的平均成绩是多少？

5、小亮学游泳，第一次游了25米，第二次游的距离比两次游的平均距离多8米。小亮第二次游了多少米？

6、篮球队中四名队员的平均身高是182厘米，另一名队员的身高比这五名队员的平均身高矮8厘米，这名队员的身高是多少？

5

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平均数小练习

班级： 姓名：

1、三年级同学测身高，第一组10名同学的身高分别为134，132，138，140，128，135，143，137，136，137厘米，平均身高是多少厘米？

2、一班有40个学生，二班有42个学生，三班有43个学生。开学后又转来了13个学生。怎样分才能使每班学生人数相等？

3、小华4次数学测验的平均成绩是90分，第5次得了95分，5次测验的平均成绩是多少分？

4、小明期中考试语文得82分，外语得88分，数学得多少分使三科平均成绩才能达到90分？

5、某班运动队中，女运动员的人数是男运动员的一半，男运动员的平均体重是41千克，女运动员的体重是35千克，全体运动员的平均体重是多少千克？

6、五个数的平均数是30，如果把这五个数从小到大排列，那么前三个数的平均数是25，后三个数的平均数是35，问中间的一个数是多少？

7、篮球队中三名队员的平均身高是180厘米，另一名队员的身高比这四名队员的平均身高矮3厘米，这名队员的身高是多少？

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和 倍 问 题

大小两数的和是265，大数是小数的4倍。大小两数各是多少？ ①我们画图来表示： ②也可以画线段图。 ③还可以这样想：

大数＋小数＝265 4个小数＋小数＝265 想一想：265 在图①和图②中分别指哪部分？

那么我们可以先求出小数，再求出大数。

例1 甲、乙两仓库共存粮264吨，甲仓库存粮是乙仓库的7倍。甲、乙两仓库各存粮多少吨？

例2 甲、乙两辆汽车在相距360千米的两地同时出发，相向而行，2时后两车相遇。已知甲车的速度是乙车速度的2倍。甲、乙两辆汽车每时各行多少千米？

例3 甲队有45人，乙队有75人。甲队要调入乙队多少人，乙队人数才是甲队的3倍？

例4 妹妹有书24本，哥哥有书53本。要使哥哥的书是妹妹的书的6倍，妹妹应给哥哥多少本书？

例5 大白兔和小灰兔共采摘了蘑菇160个。后来大白兔把它的蘑菇给了其它白兔20个，而小灰兔自己又采了10个。这时，大白兔的蘑菇是小灰兔的5倍。问：原来大白兔和小灰兔各采了多少个蘑菇？

7

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练习：

1、小敏与爸爸的年龄之和是64岁，爸爸的年龄是小敏的3倍。小敏和她爸爸的年龄各是多少岁？

2、甲、乙两桶汽油共84千克。如果把乙桶中的油倒入甲桶15千克，那么这时甲桶中的汽油等于乙桶中的汽油的3倍。甲、乙两桶原有汽油多少千克？

3、甲、乙两人共生产零件100个，其中甲有2个零件、乙有5个零件不合格。已知乙生产的合格零件是甲生产的合格零件的2倍。甲、乙各生产了多少个零件？

4、团结村原有水田290公顷，旱田170公顷。要把多少公顷旱田改为水田，才能使水田的公顷数比旱田的公顷数多2倍？

5、星星图书馆内，科技书是故事书的3倍，连环画书又是科技书的2倍。已知这三种书共有1600本，那么每种书各有多少本？

6、同学们做布花布置教室，其中红花比蓝花的4倍多3朵，这两种花共做了78朵，红花比蓝花多几朵？

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和倍问题小练习

班级： 姓名：

1、甲、乙两个车间共有职工784人，甲车间的人数是乙车间的3倍，两个车间各有职工多少人？

2、有两堆棋子，第一堆有67个，第二堆有53个。问从第二堆中拿出多少个棋子放入第一堆，就能使第一堆的棋子是第二堆的2倍？

3、光明小学买来足球和篮球共30个。已知买来足球的个数比篮球的2倍少3个，学校买来足球和篮球各多少个？

4、爷爷、爸爸和小明共106岁，爷爷比爸爸大26岁，爸爸比小明大28岁，爷爷几岁？爸爸几岁？小明几岁？

5、书架上共有180本图书，其中第二层是第一层的2倍，第三层是第二层的3倍，求三层各有书多少本？

6、书架上、下两层共有书150本。如果从下层搬20本放到上层，那么上层书的本数是下层的2倍，问书架的上、下层原各有书多少本？

7、小明、小红、小玲共有73块糖。如果小玲吃掉3块，那么小红与小玲的糖就一样多；如果小红给小明2块糖，那么小明的糖就是小红的糖的2倍，问三人原来各有糖多少块？

9

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差 倍 问 题

回忆一下，解决和倍问题的时候我们用了哪些方法来思考问题？

你来试试：大数与小数的差是152，大数是小数的5倍，大小两数各是多少？ 思考与讨论。

例1 王师傅一天生产的零件比他的徒弟一天生产的零件多128个，且是徒弟的3倍。师徒二人一天各生产多少个零件？

例2 甲、乙两个工程队，甲队有56人，乙队有34人。两队调走同样多人后，甲队人数是乙队人数的3倍。问：调动后两队各还有多少人？

例3 甲、乙两桶油重量相等。甲桶取走26千克油，乙桶加入14千克油，这时，乙桶油的重量是甲桶油的重量的3倍。两桶油原来各有多少千克？

例4 小云比小雨少20本书，后来小云丢了5本书，小雨新买了11本书，这时小雨的书比小云的书多2倍。问：原来两人各有多少本书？

例5 甲桶的油是乙桶的5倍。如果从甲桶取出30千克倒入乙桶，那么两桶油的重量相等。两桶油原来各有多少？

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练习：

1、一养鸡场，公鸡比母鸡少369只，母鸡是公鸡的4倍。公鸡、母鸡各多少只？

2、小林今年9岁，她爸爸今年35岁。小林多少岁时，他爸爸的年龄正好是他的3倍？

3、一车间男工26人，女工14人。调走男、女工同样多的人后，男工人数是女工人数的3倍。剩下的男、女工各多少人？

4、甲、乙两数相等。甲数加上50，乙数减去34后，甲数就是乙数的4倍。原来甲、乙两数等于几？

5、两根同样长的电线，第一根用去37米，第二根用去16米后，第二根的长度是第一根长度的4倍。两根电线原来有多长？

6、大、小两数之差是504。大数个位数是0，去掉这个0，正好是小数。大、小数各是多少？

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差倍问题小练习

班级： 姓名：

1、暑假里，兄弟二人去池塘边钓鱼，哥哥比弟弟多钓了20条，哥哥钓的条数又正好是弟弟的3倍。问兄弟俩各钓了多少条鱼？

2、小明有存款56元，小华有存款34元。如果两人取出同样多的钱后，小明的存款是小华的3倍。问取款后两人各有存款多少元？

3、参加数学兴趣小组的同学中，五年级比四年级的3倍少35人，两年级的人数差是41人，问两年级参加数学兴趣小组的各有多少人？

4、有两匹布，第一匹布的长度是第二匹布的3倍，第一匹布剪去850米，第二匹布剪去50米后，两匹布剩下的长度相等，这两匹布原来各有多长？

5、甲数加上152等于乙数，乙数加上480等于甲数的3倍，问甲、乙两数各是多少？

6、甲有60元，乙有28元，两人添上相等的钱后，甲的钱的3倍等于乙的钱的5倍，现两人各有多少钱？

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综合训练（一）

班级： 姓名： 1、已知等差数列2，5，8，11，14，…

（1）这个数列的第13项是多少？ （2）47是其中的第几项？

2、7＋10＋13＋…＋37＋40 3、2000－3－6－9－…－51－54

4、三年级同学测身高，第一组10名同学的身高分别为134，132，138，140，128，135，143，137，136，137厘米，平均身高是多少厘米？

5、小华4次数学测验的平均成绩是90分，第5次得了95分，5次测验的平均成绩是多少分？

6、篮球队中三名队员的平均身高是180厘米，另一名队员的身高比这四名队员的平均身高矮3厘米，这名队员的身高是多少？

13

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7、甲、乙两个车间共有职工784人，甲车间的人数是乙车间的3倍，两个车间各有职工多少人？

8、有两堆棋子，第一堆有67个，第二堆有53个。问从第二堆中拿出多少个棋子放入第一堆，就能使第一堆的棋子是第二堆的2倍？

9、光明小学买来足球和篮球共30个。已知买来足球的个数比篮球的2倍少3个，学校买来足球和篮球各多少个？

10、小明有存款56元，小华有存款34元。如果两人取出同样多的钱后，小明的存款是小华的3倍。问取款后两人各有存款多少元？

11、参加数学兴趣小组的同学中，五年级比四年级的3倍少35人，两年级的人数差是41人，问两年级参加数学兴趣小组的各有多少人？

12、有两匹布，第一匹布的长度是第二匹布的3倍，第一匹布剪去850米，第二匹布剪去50米后，两匹布剩下的长度相等，这两匹布原来各有多长？

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综合训练（二）

班级： 姓名： 1、已知等差数列3，7，11，15，19，…

（1）这个数列的第25项是多少？ （2）219是其中的第几项？

2、3＋10＋17＋24＋…＋101

3、求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。

4、一小组六个同学在某次数学考试中，分别为98分、87分、93分、86分、88分、94分。他们的平均成绩是多少？

5、五个同学期末考试的数学成绩平均94分，而其中有三个同学的平均成绩为92分。另两个同学的平均成绩是多少？

6、小敏期末考试，数学92分，语文90分，英语成绩比这三门的平均成绩高6分。问：英语得了多少分？

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7、小敏与爸爸的年龄之和是64岁，爸爸的年龄是小敏的3倍。小敏和她爸爸的年龄各是多少岁？

8、甲、乙两桶汽油共84千克。如果把乙桶中的油倒入甲桶15千克，那么这时甲桶中的汽油等于乙桶中的汽油的3倍。甲、乙两桶原有汽油多少千克？

9、同学们做布花布置教室，其中红花比蓝花的4倍多3朵，这两种花共做了78朵，红花比蓝花多几朵？

10、一养鸡场，公鸡比母鸡少369只，母鸡是公鸡的4倍。公鸡、母鸡各多少只？

11、甲、乙两桶油重量相等。甲桶取走26千克油，乙桶加入14千克油，这时，乙桶油的重量是甲桶油的重量的3倍。两桶油原来各有多少千克？

12、小云比小雨少20本书，后来小云丢了5本书，小雨新买了11本书，这时小雨的书比小云的书多2倍。问：原来两人各有多少本书？

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和 差 问 题

已知大小两数之和为324，两数之差为152，求此两数。 我们来画图：

想一想：

如果给小数添上152，使它和大数同样多，那么两数的和又是多少？这样的话，可以先求出什么数？

如果给大数减去152，使它和小数同样多，那么两数的和又是多少？这样的话，可以先求出什么数？

例1 小军和他爸爸今年的年龄之和是42岁，年龄之差是26岁。小军与他爸爸今年各多少岁？

例2 三年级一班有学生49人，其中女生比男生少5人。这个班男、女生各多少人？

例3 哥哥今年14岁，妹妹今年8岁，当兄妹俩岁数的和是42岁时，两人各应该是多少岁？

例4 芳芳和圆圆共有图书70本，如果芳芳给圆圆5本，那么圆圆就比芳芳多4本。问：芳芳和圆圆原来各有图书多少本？

例5 甲的书比乙多9本，比丙多2本，乙、丙共有书47本。问：甲、乙、丙各有多少本书？

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练习：

1、水果店一天卖出苹果和梨共386千克，梨比苹果少卖84千克。苹果和梨各卖多少？

2、弟弟今年15岁，姐姐今年20岁。当姐弟俩岁数的和是75岁时，两人各多少岁？

3、两堆石子相差16粒，如果混在一起，那么可以重新分成数量都是28粒的三堆。求原来两堆石子各有多少粒？

4、红红和蓝蓝共有61本书，红红给了蓝蓝5本书，蓝蓝自己又新买了3本书，红红现在比蓝蓝少2本书。问：两人原来各有几本书？

5、甲仓库存粮比乙仓库多300吨，比丙仓库少100吨，乙、丙仓库共存粮3000吨。三个仓库共存粮多少吨？

6、四年级有三个班，如果把乙班的1名学生调到甲班，两班人数就相等，如果再把甲班1名学生调到丙班，丙班比乙班多2人，问第二次调动前乙班和丙班哪个班人数多？多几人？

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和差问题小练习

班级： 姓名： 1、南浦大桥和杨浦大桥共长3468米，杨浦大桥比南浦大桥长14米，两座大桥各长多少米？

2、四1班和四2班平均每班植树215棵，已知四1班比四2班多种82棵，求这两个班级各植树多少棵？

3、两箱水果共100千克，如果从第一箱中取出10千克放到第二箱里，这时第一箱比第二箱重2千克。这两箱水果原来各有多少千克？

4、甲、乙两个学校共有1445人，如果从乙校调20人到甲校，那么甲校就比乙校多5人，两校原有学生各多少人？

5、甲、乙两队篮球比赛，结果两队总分和是96分。如果甲队加上8分，就比乙多2分，求两队各得多少分？

6、某工厂将875元奖金分给有创造发明的三名优秀工人，第一名比第二名多得250元，第二名比第三名多得125元，三名优秀工人各得多少元？

7、把80米长的一条绳子分成4段，要使后一段比前一段多4米，那么每段各长多少米？

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数 字 谜

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练习：

1、小朋友分糖果，每人3粒，余30粒；每人5粒，少4粒。问：有多少个小朋友？多少粒糖？

2、学校买来一批图书。若每人发9本，则少25本；若每人发6本，则少7本。问：有多少个学生？买了多少本图书？

3、参加美术活动小组的同学，分配若干支彩色笔。如果每人分4支，那么多12支；如果每人分8支，那么恰有1人没分到笔。问：有多少同学？多少支彩色笔？

4、信心小学去春游。如果每辆车坐60人，那么有15人上不了车；如果每辆车多坐5人，那么恰好多出一辆车。问：有多少辆车？多少个学生？

5、同学们为学校搬砖，每人搬18块，还余2块；每人搬20块，就有一位同学没砖可搬。问：共有砖多少块？

6、某数的8倍减去153，比其5倍多66，求这个数。

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盈 亏 问 题b

1、某班学生去划船，如果增加一条船，那么每条船正好坐6人；如果减少一条船，那么每条船就要坐9人。问：学生有多少人？

2、少先队员植树，如果每人挖5个坑，那么还有3个坑无人挖；如果其中2人各挖4个坑，其余每人挖6个坑，那么恰好将坑挖完。问：一共要挖几个坑？

3、在桥上用绳子测桥离水面的高度。若把绳子对折垂到水面，则余8米；若把绳子三折垂到水面，则余2米。问：桥有多高？绳子有多长？

4、乐乐家去学校上学，每分钟走50米，走了2分钟后，发觉按这样的速度走下去，到学校就会迟到8分钟。于是乐乐开始加快速度，每分钟比原来多走10米，结果到达学校时离上课还有5分钟。问：乐乐家离学校有多远？

5、王师傅加工一批零件，每天加工20个，可以提前1天完成。工作4天后，由于改进了技术，每天可多加工5个，结果提前3天完成。问：这批零件有多少个？

6、食堂采购员小李去买肉，如果买牛肉18千克，那么差4元；如果买猪肉20千克，那么多2元。已知牛肉、猪肉每千克差价8角，求牛肉、猪肉每千克各多少钱？

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还 原 问 题

从问题叙述的最后结果出发，一步一步倒着思考，一步一步往回算，那么问题便容易解决。这种解题方法叫做还原法或逆推法。

例1 有一个数，把它乘以4以后减去46，再把所得的差除以3，然后减去10，最后得4。问：这个数是几？

例2 小马虎在做一道加法题目时，把个位上的5看成了9，把十位上的8看成了3，结果得到的“和”是123。问：正确的结果应是多少？

例3 学校运来36棵树苗，乐乐与欢欢两人争着去栽，乐乐先拿了若干树苗，欢欢看到乐乐拿得太多，就抢了10棵，乐乐不肯，又从欢欢那里抢回来6棵，这时乐乐拿的棵数是欢欢的2倍。问：最初乐乐拿了多少棵树苗？

例4 甲、乙、丙三组共有图书90本，乙组向甲组借3本后，又送给丙组5本，结果三个组拥有相等数目的图书。问：甲、乙、丙三个组原来各有多少本图书？

例5 一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩7米，这捆电线原有多少米？

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6、有一堆棋子，把它四等分后剩下一枚，取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚，再取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚。问：原来至少有多少枚棋子？

7、袋里有若干个球，小明每次拿出其中的一半再放回一个球，这样共操作了5次，袋中还有3个球。问：袋中原有多少个球？

8、三堆苹果共48个。先从第一堆中拿出与第二堆个数相等的苹果并入第二堆；再从第二堆中拿出与第三堆个数相等的苹果并入第三堆；最后又从第三堆中拿出与这时第一堆个数相等的苹果并入第一堆。这时，三堆苹果数恰好相等。问：三堆苹果原来各有多少个？

9、有甲、乙、丙三个油桶，各盛油若干千克。先将甲桶油倒入乙、丙两桶，使它们各增加原有油的一倍；再将乙桶油倒入丙、甲两桶，使它们的油各增加一倍；最后按同样的规律将丙桶油倒入甲、乙两桶。这时，各桶油都是16千克。问：各桶原有油多少千克?

10、兄弟三人分24个橘子，每人所得个数分别等于他们三年前各自的岁数。如果老三先把所得的橘子的一半平分给老大与老二，接着老二把现有的橘子的一半平分给老三与老大，最后老大把现有的橘子的一半平分给老二与老三，这时每人的橘子数恰好相同。问：兄弟三人的年龄各多少岁？

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页 码 问 题

先来看“数”与“数码”之间的关系：

一位数共有9个，组成所有的一位数需要9个数码；

两位数共有90个，组成所有的两位数需要2×90＝180（个）数码； 三位数共有900个，组成所有的三位数需要3×900＝2700（个）数码。 完成下表： 一位数 二位数 三位数 四位数 五位数 个数 所需数码个数 不大于该位数所需数码个数 例1 一本书共204页，需多少个数码编页码？

例2 一本小说的页码，在排版时必须用2211个数码。问：这本书共有多少页？

例3 一本书的页码从1至62，即共有62页。在把这本书的各页的页码累加起来时，有一个页码被错误地多加了一次。结果，得到的和数为2000。问：这个被多加了一次的页码是几？

例4 有一本48页的书，中间缺了一张，小明将残书的页码相加，得到1131。老师说小明计算错了，你知道为什么吗？

50

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巧 数 图 形a

例1 数一数，下列图形中各有几条线段？

例2 数一数，下图中有多少个锐角？

例3 数一数，下图中有几个三角形？

例4 数一数，下列图形中各有几个长方形？

例5 数一数，下列图形中各有多少个正方形？

例6 数一数，下面的图形中含有☆的长方形一共有几个？（有一个或两个☆都可以）

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巧 数 图 形b

1 数一数，下面图形中一共有几条线段？几个三角形？

2 数一数，下面图形中一共有几个三角形？

3 数一数，下面的图形中一共有几个长方形？

4 数一数，下面的图形中一共有几个三角形？有几个正方形？

5 数一数，下面的图形中有几条线段？有几个三角形？

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巧数图形小练习

班级： 姓名： 1、下图中共有几条线段，几个三角形？

2、下图中有几个四边形？

3、下图中共有多少个三角形？

4、下图中包含“☆”的长方形共有多少个？

5、数一数，下图中共有几个正方形？

6、数一数，下图中有几个长方形？

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巧 求 周 长

例1 计算下列图形的周长（单位：厘米）

例2 求下面两个图形的周长（单位：厘米）

例3 一个正方形被分成了三个相同的长方形。如果其中一个长方形的周长是16米，那么这个正方形的周长是多少米？

例4 下图是由四个一样大的长方形和一个边长是4分米的小正方形拼成的一个边长是11分米的大正方形。每个长方形的长和宽各是多少？周长是多少？

例5 下图中共有8条边，分别用a,b,c,d,e,f,g,h表示，要计算它的周长，至少要测量哪几条线段的长度？

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孩子，热爱数学吧！

图 形 的 计 算

1、用6个边长是2厘米的小正方形拼成一个长方形，有几种不同拼法？哪种拼法拼成的长方形周长长？这个长方形的周长是多少厘米？

2、一个正方形的边长增加10厘米，面积就增加1300平方厘米，原来正方形的面积是多少平方厘米？

3、一个长方形操场长50米，扩建后长增加18米，宽增加15米，扩建后操场面积增加1740平方米。求操场原来的宽是多少米？

4、已知一个长方形的周长是24米，如果它的长和宽各增加3米，那么面积将会增加多少平方米？

5、一个正方形的纸片，在一边截去8厘米，在这边相邻边截去3厘米，这样面积就减少了196平方厘米。这个正方形纸片原边长多少厘米？

6、下面是三个完全一样的正方形，请你挖去一块（必须是正方形或长方形），使剩下图形的周长（1）比原来正方形减少（2）比原来正方形增加（3）与原来正方形相等。

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包 含 与 排 除

三甲班参加写作小组的有15人，参加奥数组的有13人。参加这两个兴趣小组的共有多少人？

想一想：有几种不同的情况，你能用图来表示吗？

1、把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条。已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长？

2、某小学三甲班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加。这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？

3、一班有45人，其中26人参加了数学竞赛，22人参加了作文比赛，12人两项比赛都参加了。一班有多少人两项比赛都没有参加？

4、一次老师给全班同学做两道动脑筋的数学题，结果全班10人全对，8人全错，第二道有15人错，已知全班共42人。问第一道对而第二道错的同学有多少人？

5、四年级课外小组分数学、语文、外语三个小组，参加数学小组的有23人，参加语文小组的有27人，参加外语小组的有18人，同时参加数学、语文小组的有4人，同时参加语文、外语小组的有5人，同时参加数学、外语小组的有7人，三个小组都参加的有2人。问这个年级参加课外小组的共有多少人？

6、五年级共有50名学生，每人至少爱好一种球类，其中爱好乒乓球的21人，爱好足球的22人，爱好排球的18人，既爱好乒乓球也爱好足球的6人，既爱好足球也爱好排球的4人，既爱好乒乓球也爱好排球的5人。问三种球都爱好的有多少人？

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植 树 问 题

植树节到了，同学们给一条90米长的小路的一旁植树，每隔3米栽一棵。（1）如果两端各栽一棵，需要多少棵树？ （2）如果只有一端栽树，需要多少棵树？ （3）如果两端都不栽树，需要多少棵树？ 让我们先来举简单的例子吧：

a、两端都要植： 棵数＝段数＋1 b、只有一端植树： 棵数＝段数 c、两端都不植： 棵数＝段数－1 d、在封闭的路线上植树：

你发现了吗？棵数＝段数

例1 在一段路边每隔50米埋设一根路灯杆，包括这段路两端埋设的路灯杆，共埋设了10根。这段路长多少米？

例2 街心公园一条道路长200米，在路的两旁从头到尾按相等的距离栽种菊花，共栽种了82棵菊花，每两棵菊花之间相距多少米？

例3 小明要到高层建筑的第11层，他走到5层用了100秒，照此速度计算，他还需走多少秒？

例4 一次检阅，接受检阅的一列彩车车队共30辆，每辆车长4米，前后每辆车相隔5米。这列车队共排列了多长？如果车队每秒行驶2米，那么这列车队要通过535米长的检阅场地，需要多少时间？

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想一想：植树问题和高斯求和有什么联系呢？ 练习：

1、学校有一条长60米的走道，计划在道路一旁栽树。每隔3米栽一棵。 （1）如果两端都各栽一棵树，那么共需多少棵树苗？ （2）如果两端都不栽树，那么共需多少棵树苗？ （3）如果只有一端栽树，那么共需多少棵树苗？

2、一根90厘米长的钢条，要锯成9厘米长的小段，一共要锯几次？

3、测量人员测量一条路的长度。先立了一个标杆，然后每隔40米立一根标杆。当立杆10根时，第1根与第10根相距多少米？

4、一个长100米，宽20米的长方形游泳池，在离池边3米的外围圈（仍为长方形）上每隔2米种一棵树。共种了多少棵树？

5、在一条长1200米的河堤边等距离植树（两端都要植树）。已挖好每隔6米植一棵树的坑，后要改成每隔4米植一棵树。还要挖多少个坑？需要填上多少个坑？

6、一个车队以每秒5米的速度缓缓地通过一座210米长的大桥，共用100秒。已知每辆车长5米，两车之间相隔10米，那么这个车队共有多少辆车？

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加 减 法 的 巧 算

1、加法交换律：a＋b＝b＋a

2、加法结合律：a＋b＋c＝（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）

3、在连减或加、减混合运算中，如果算式中没有括号，那么计算时可以带着运算符号“搬家”。如,a－b－c＝a－c－b, a－b＋c＝a＋c－b 4、有小括号的，我们一起来研究：

5＋（8－2）＝？ 5＋8－2＝？ 所以：a＋(b－c)＝a＋b－c 10－(5＋2) ＝？ 10－5＋2 ＝？，为什么得数不一样？

怎样算才相等？10－(5＋2) ＝ ，用字母表示这个规律。 10－（5－2）＝？ 10－5－2＝？，为什么得数不一样？

怎样算才相等？10－（5－2）＝ ，用字母表示这个规律。 我们来总结：

在加、减混合运算中，去括号时：如果括号前面是“＋”，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号不变；如果括号前面是“－”，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号“＋”变为“－”，“－”变为“＋”。

a＋（b－c）＝a＋b－c a－（b＋c）＝a－b－c a－（b－c）＝a－b＋c 在加、减混合运算中，添括号道理一样：

a＋b－c＝a＋（b－c） a－b＋c＝a－（b－c） a－b－c＝a－（b＋c） 例 875－364－236 1847－1928＋628－136－64

1348－234－76＋2234－48－24

例 512－382＝（500＋12）－（400－18）＝500＋12－400＋18

6854－876－97＝ 6854－（1000－124）－（100－3）＝ 6854－1000＋124－100＋3

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练习：

1、 42＋71＋24＋29＋58 2、 43＋（38＋45）＋（55＋62＋57）

3、 698＋784＋158 4、3993＋2996＋7994＋135

5、 4356＋1287－356 6、 526－73－27－26

7、 4253－（253－158） 8、 1457－（185＋457）

9、 389－497＋234 10、 698－154＋269＋787

11、 699999＋69999＋6999＋699＋69＋6

12、 200－（15－16）－（14－15）－（13－14）－（12－13）

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乘 除 法 的 巧 算

乘法交换律：a×b ＝b×a

乘法结合律：a×b×c ＝(a×b)×c ＝a×(b×c)

乘法分配律：（a ＋b）×c ＝a×c ＋b×c (a－b)×c ＝a×c－b×c 商不变性质：a÷b ＝(a×n)÷(b÷n) (n≠0) ＝(a÷m)÷(b÷m) (m≠0)

类似于乘法分配律：（a ＋b）÷c ＝a÷c ＋b÷c (a－b)÷c ＝a÷c－b÷c 类似于乘法交换律：a÷b÷c ＝a÷c÷b 乘除法混合运算与加减混合运算道理相通： （1）无括号：a×b÷c ＝a÷c×b ＝b÷c×a

（2）去括号：a×(b×c) ＝a×b×c a×(b÷c) ＝a×b÷c a÷(b×c) ＝a÷b÷c a÷(b÷c) ＝a÷b×c （3）添括号：a×b×c ＝a×(b×c) a×b÷c ＝a×(b÷c) a÷b÷c ＝a÷(b×c) a÷b×c ＝a÷(b÷c) 两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘。 （a×b）÷(c×d) ＝(a÷c)×(b÷d) ＝(a÷d)×(b÷c)

例 2004 ×25 （100－4） ×25 125 ×792 425 ÷25

（182 ＋325）÷13 （2046－1059－735）÷3 2275 ÷13 ÷5

136 ×5 ÷8 4032 ÷（8 ×9） 125 ×（16 ÷10）

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2560 ÷（10 ÷4） 2460 ÷5 ÷2 527 ×15 ÷5 练习：

180×25 1375÷25 （1040－324－528）÷4

1125÷125 4505÷17÷5 384

2352÷（7×8） 1200×（4÷12） 1250

2250÷75÷3 636×35÷7

99×45 280×36＋360×72 1999

287÷13－101÷13－82÷13

×12÷8 ÷（10÷8） （126×56）÷（7×18） ＋999×999 32

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找 规 律

一年有春夏秋冬四季，年复一年，这就是周期性变化规律。又如，数列0，1，2，0，1，2，0，1，2，0，…是按照0，1，2三个数重复出现的，这也是周期性变化规律。

例1 节日的夜景真漂亮，街上的彩灯按照5盏红灯、再接4盏蓝灯、再接3盏黄灯，然后又是5盏红灯、4盏蓝灯、3盏黄灯…这样排下去。问： （1）第100盏灯是什么颜色？ （2）前150盏彩灯中有多少盏蓝灯？

例2 有一串数，任何相邻的四个数之和都等于25。已知第1个数是3，第6个数是6，第11个数是7。问：这串数中第24个数是几？前77个数的和是多少？

例3 下面这串数的规律是：从第3个数起，每个数都是它前面两个数之和的个位数。问：这串数中第88个数是几？ 628088640448…

例4 在下面的一串数中，从第五数起，每个数都是它前面四个数之和的个位数字。那么在这串数中，能否出现相邻的四个数是“2000”？ 135761939237134…

例5 A,B,C,D四个盒子中依次放有8，6，3，1个球。第1个小朋友找到放球最少的盒子，然后从其它盒子中各取一个球放入这个盒子；第2个小朋友也找到放球最少的盒子，然后也从其它盒子中各取一个球放入这个盒子…当100位小朋友放完后，A,B,C,D四个盒子中各放有几个球？

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例1 求67

999

的个位数字。

例2 求2＋3

91291

的个位数字。

例3 求28－29的个位数字。

例4 求下列各除法运算所得的余数。 78÷5 5÷3

例5 某种细菌每时分裂一次，每次1个细菌分裂成3个细菌。20时后，将这些细菌每7个分为一组，还剩下几个细菌？

例 找规律填数。

（1）4，7，10，13，（ ），… （5）84，72，60，（ ），（ ），… （2）2，6，18，（ ），（ ），… （6）625，125，25，（ ），（ ），… （3）1，4，9，16，（ ），… （7）2，6，12，20，（ ），（ ）… （4）3，7，10，17，27，（ ） （8）11，12，14，18，26，（ ） （9）2，5，11，23，47，（ ），（ ）

（10）12，15，17，30，22，45，（ ），（ ） （11）2，8，5，6，8，4，（ ）,( )

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55

55

12829

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数 字 谜

1、将2～7这六个数字分别填入下式的 中，使得等式成立。

2、将1～9分别填入下式的九个 内，使算式取得最大值。

3、将1～8分别填入下式的八个 内，使算式取得最小值。 4、 5、 6、

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乘 法 原 理

例1 马戏团的小丑有红、黄、蓝三顶帽子和黑、白两双鞋，他每次演出都要戴一顶帽子、穿一双鞋。问：小丑的帽子和鞋共有几种不同搭配？ 先画草图，再想算式。

例2 从甲地到乙地有2条路，从乙地到丙地有3条路，从丙地到丁地也有2条路。问：从甲地经乙、丙两地到丁地，共有多少种不同的走法？ 画图、例举、想算式。

乘法原理：如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步有m1种方法，做第2步有m2种方法…做第n步有mn种方法，那么按照这样的步骤完成这件任务共有N＝m1×m2×…×mn 中不同的方法。

例3 用数字0，1，2，3，4，5可以组成多少个三位数？（各位上的数字允许重复）

例4 如下图，A,B,C,D,E五个区域分别用红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的某一种染色，要使相邻的区域染不同的颜色，共有多少种不同的染色方法？

例5 求360共有多少个不同的约数（五年级学）。

360＝2×2×2×3×3×5 360＝2×3×5

约数个数为 4×3×2＝24（个）

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3

2

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练习：

1、有五顶不同的帽子，两件不同的上衣，三条不同的裤子。从中取出一顶帽子、一件上衣、一条裤子配成一套装束。问：有多少种不同的装束？

2、“IMO”是国际数学奥林匹克的缩写，把这3个字母写成三种不同颜色。现在有五种不同颜色的笔，按上述要求能写出多少种不同颜色搭配的“IMO”？

3、在右图的方格纸中放两枚棋子，要求两枚棋子不 在同一行也不在同一列。问：共有多少种不同的放法？

4、要从四年级六个班中评选出学习和体育先进集体各一个（不能同时评一个班），共有多少种不同的评选结果？

5、甲组有6人，乙组有8人，丙组有9人。从三个组中各选一人参加会议，共有多少种不同选法？

6、用四种颜色给右图的五块区域染色，要求每块区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色。问：共有多少种不同的染色方法？

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加 法 原 理

例1 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中火车有4班，汽车有3班，轮船有2班。问：一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同走法？

例2 旗杆上最多可以挂两面信号旗，现有红色、蓝色和黄色的信号旗各一面，如果用挂信号旗表示信号，最多能表示出多少种不同的信号？

加法原理：如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有m1种不同的方法，在第二类方法中有m2种不同方法……在第n类方法中有mn中不同方法，那么完成这件任务共有N＝m1＋m2＋…＋mn中不同的方法。

例3 两次掷一枚sai子，两次出现的数字之和为偶数的情况有多少种？

例4 用五种颜色给下图的五个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色。问：共有多少种不同的染色方法？

例5 用1，2，3，4 这四种数码组成五位数，数字可以重复，至少有连续三位是1的五位数有多少个？

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练习：

1、南京去上海可以乘火车、乘飞机、乘汽车和乘轮船。如果每天有20班火车、6班飞机、8班汽车和4班轮船，那么共有多少种不同的走法？

2、光明小学四、五、六年级共订300份报纸，每个年级至少订99份报纸。问：共有多少种不同的订法？

3、将10颗相同的珠子分成3份，共有多少种不同的分法？

4、在所有的两位数种，两位数码之和是偶数的共有多少个？

5、用五种颜色给下图的五个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色。问：共有多少种不同的染色方法？

6、用1，2，3这三种数码组成四位数，在可能组成的四位数中，至少有连续两位是2的有多少个？

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简 易 方 程

含有未知数的等式叫方程。如：

χ＋5＝18 χ＋χ＋χ＋χ＝35 8－χ＝5 5χ＝30 χ÷4＝6 3χ＋6＝12 6（χ－2）＝24 （χ＋4）÷2＝3 χ＋у＝5 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 例 χ＋3＝9 3χ＝18

χ＋3－3＝9－3 3χ÷（ ）＝18÷（χ＝6 χ＝（ ）练习：

χ＋3.2＝4.6 χ－1.8＝4

1.6χ＝6.4 χ÷7＝0.3 解下列方程。

χ＋0.3＝1.8 3＋χ＝5.4 χ－1.5＝4

5χ＝1.5 0.2χ＝6 χ÷1.1＝3

稍复杂的方程。

例 2χ－20＝4 练习： 3χ＋6＝18 162χ－20＋20＝4＋20

2χ＝24

2χ÷2＝24÷2 2χ－7.5＝8.5 4χ＝12

χ－2＝15 χ÷3＝2.1 χ－6＝7.6 χ÷5＝15 ＋8χ＝40 χ－3×9＝29

40

）

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/n0ev.html