祝守新 邢英杰 韩连英《机械工程控制基础》习题解答
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祝守新 邢英杰 韩连英《机械工程控制基础》习题解答
机械控制工程基础答案提示
第二章 系统的数学模型
2-1 试求如图2-35所示机械系统的作用力F(t)与位移y(t)之间微分方程和传递函数。
F(t)
图2-35 题2-1图
解:依题意:
d2y t ady t
m F t f ky t
dt2bdtd2y t dy t a
f kyt F t 故 m2
dtbdtY s 传递函数: G s 2
Fsms fs k
2-2 对于如图2-36所示系统,试求出作用力F1(t)到位移x2(t)的传递函数。其中,f为粘性阻尼系数。F2(t)到位移x1(t)的传递函数又是什么?
图2-36 题2-2图
解:依题意:
d2x1 t dx1 t dx2 t
对m1: F1 k1x1 t f m1
2 dt dt dt
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对两边拉氏变换:F1 s k1x1 f sX1 s sX2 s m1s2X1 s ①
d2x2 t dx1 t dx2 t
对m2: F2 t f k2x2 t m2dt2 dtdt
对两边拉氏变换:F2 s f sx1 s sx2 s k2x2 s m2s2X2 s ②
m1s2 fs k1x1 s fsx2 s F1 s 故: 2
fsx1 s m2s fs k2x2 s F2 S
F1 s m2s2 fs k2 fsF2 s x1 s 2 m1s2 fs k1m2s2 fs k2 fs故得: 2
fsF1 s F2 s m1s fs k2
x2 s
222 ms fs kms fs k fs1122
故求F1 t 到x2 t 的传递函数 令:F2 s 0
x2 s fs
G1 s
F1sm1s2 fs k1m2s2 fs k2 fs 2
fs
m1m2s4 fm1 m2s3 m1k2 m2k1s2 fk1 k2s k1k2
求F2 t 到x1 t 的传递函数 令:F1 s 0
x1 s fs
G1 s
F2sm1s2 fs k1m2s2 fs k2 fs 2
2-3 试求图2-37所示无源网络传递函数。
fs
m1m2s4 fm1 m2s3 m1k2 m2k1s2 fk1 k2s k1k2
o
图2-37 题2-3图
解 (a)系统微分方程为
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1
i1 t dt i2 t R1C
ui i2 t R1 i t R2 u0 i t R2
i t i1 t i2 t
拉氏变换得
1
I1 s R1I2 s Cs
Ui s I2 s R1 I1 s R2 U0 s I1 s R2I s I1 s I2 s
R2
R1Cs 1 U0 s R2 CsR1 1 R1 R2
消去中间变量I1 s ,I2 s ,I s 得:G s
R1R2UisR1 R2CsR1 1Cs 1R1 R2
(b)设各支路电流如图所示。
系统微分方程为
ui t R1i3 t u0 t R1i3 t L1
1 2 3 4
di2 t dt
u0 t
1
i4 t dtC2
di5 t dt
u0 t R2i6 t u0 t L2
5
i2 t i3 t i4 t i5 t i6 t 6
由(1)得:Ui s R1I3 s Uo s 由(2)得:R1I3 s L1sI2 s 由(3)得:Uo s
1
i4 s C2s
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由(4)得:Uo s L2sI5 s 由(5)得:Uo s R2I6 s
由(6)得:I2 s I3 s I4 s I5 s I6 s
故消去中间变量I1 s ,I2 s ,I3 s ,I4 s ,I5 s ,I6 s 得:
L2 L1UL s 1
o s 1 L2 R1 U
isL1L2 LC2L1L2R1 R2
L2s s 112L1 L2R1R2
2-4 证明L cos t
s
s2
2
证明:设f t cos t
由微分定理有L d2f t s2F s sf 0 f(1)
0 dt2
由于f 0 cos0 1,f
1
0 sin0 0,d2f t
dt
2 2cos t将式(2)各项带入式(1)中得
L 2cos t
s2
F s s 即 2
F s s2
F s s
整理得F s s
s2 2
2-5 求f(t)
12
2
t的拉氏变换。 解:F s L 12
12t
t2
e stdt 12 12
st20s
3 st ed st 令st x,得
F s 1
22s
3
xe xdx
由于伽马函数 n 1
xne xdx n!,在此n 2
所以F s
12s32! 1s
3 2-6 求下列象函数的拉氏反变换。 (1)X(s)
5s 3
(s 1)(s 2)(s 3)
1)2) ( (
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s2 2s 3
(2)X(s) 3
(s 1)
(3)X(s) 解:(1)
1
3
s(s 1)(s 2)
X(s)
AAA5s 3
1 2 3
(s 1)(s 2)(s 3)s 1s 2s 3
5 1 3
A1 X(s)(s 1) s 1 1
( 1 2)( 1 3)
同理 A2 7,A3 6
X(s)
176 s 1s 2s 3
拉式反变换得
x(t) e t 7e 2t 6e 3t
s2 2s 3 s 1 221
(2)X(s)
(s 1)3(s 1)3(s 1)3s 1
拉式反变换得
2
x(t) t2e t e t
(3)X(s)
A3A5A1A2A41
s(s 1)3(s 2)(s 1)3(s 1)2(s 1)ss 2
A1
11
1
s(s 2)s 1 1( 1 2)
2s 2 d 1
0 22
ds s(s 2)s(s 2) s 1s 1
A2
1d2
A3
2ds2
1 1d 2s 2 s2(s 2)2 (s 1)(4s3 12s2 8s)
1 2 s(s 2) 2 44
s(s 2) s 12ds s(s 2) s 1s 1
A4
11
3
(s 1)(s 2)s 021s(s 1)3
s 2
A5
1 2
所以X(s)
1111
3
(s 1)s 12s2(s 2)
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拉式反变换得
111
x(t) t2e t e t e 2t
222
2-7绘制图2-38所示机械系统的方框图。
f1
x
f2
y
图2-38 题2-7图
解
d x t y t dy t d2y t f2 m 依题意:k x t y t f1
dtdtdt2
两边拉氏变换得:k X s Y s f1s X s Y s f2sY s ms2Y s
k f1s X s Y s f2sY s ms2Y s
1
k f1s X s Y s f2Y s Y s 2
ms
故得方块图:
2-8 如图2-39所示系统,试求
(1) 以X(s)为输入,分别以Y(s)、X1(s)、B(s)、E(s)为输出的传递函数。 (2) 以N(s)为输入,分别以Y(s)、X1(s)、B(s)、E(s)为输出的传递函数。
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图2-39 题2-8图
解
(1)G1 s
G1 s G2 s Y s
Xs1 G1sG2sHsY cs E s G1 s
B s Y1 s G2 s H s
E s X s B s X s Y1 s G2 s H s
Y1 s X s Y1 s G2 s H s G1 s G2 s
Y1 s G1 s
X1s1 G1sG2sHs
故
G3 s G4 s
G1 s G2 s H s B s
Xs1 G1sG2sHs
E s 1
Xs1 G1sG2sHsG2 s Y s
Ns1 G1sG2sHsG1 s G2 s
(2)
Y1 s G1 s G2 s H s
Ns1 G1sG2sHsG2 s H s B s G3 s
Ns1 G1sG2sHsG4 s
G2 s H s E s
Ns1 G1sG2sHs
2-9 化简如图2-40所示各系统方块图,并求其传递函数。
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X(s)
Y(s)X(s)
Y(s)
X(s)
X(s)
Y(s)
Y(s)
图2-40 题2-9图
解:
(a) 第三回路传递函数:F2 s
G3
1 H3G3
第二回路传递函数:F2 s
G2 F3 s
1 G2F3sHsG2G3
G3H3G2G3
G2G3H21 G3H3 G2H2G31
1 G3H3
第一回路传递函数:故原图可化简为:
G1G2G3G1F2Y s
Xs1 G1H1F21 G2G3H2 G3H3 G1G2G3H1
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(b)
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(c)
(d)
F3 s
F2 s
G1
1 G1H1G2
1 G2H2
F3F2Y s
Xs1 H3F2F3
F s
2-10
解:
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P1 G3P2 G1L1 G1H1L2 G2H2L3 G2 G1 L4 G2G3
L1L2 G1G2H1H2
△ 1 L1 L2 L3 L4 L1L2 1 G1H1 G2H2 G1G2 G2G3 G1G2H1H2 而L2与P1P2都不接触,所以
1 1 L2 1 G2H2 2 1 L2 1 G2H2
Y s P G s
Xs故综上:
G3 1 G2H2 G1 1 G2H2
1 G1H1 G2H2 G1G2 G2G3 G1G2H1H2
G1 G3 1 G2H2
1 G1H1 G2H2 G1G2 G2G3 G1G2H1H2
k
k
k
P
第三章 时间特性分析法
3-1
解:依题意,系统的闭环传递函数为:G s
11
2
ss 1s s 1
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Wn 1Wn 112
1
2 2 3
2
2
2 Wn 1 Wd Wn 2
Wd
2
3
tr
34 s 2.42 s
932
tp
Wd
23
3.63 s 3
1 2
Mp% e
ts
100% e
3
3
100% 16.4%
3
6s 5% Wn
4
8s 2% Wn
ts
3-2
解:依题意:
Y s Xsk 1 k
2
12
1
as b 2s
k
2
s aks bk
bk 102 Wn b 10
2 Wn ak 10a Wn 5a
a2
则 Mp% e
1 100% e
a3
16% 0.16
a 1 a 1,b 10
3-3
解:依题意:
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Mp% tp
1.3 1.0 100% 30%
1.0
0.1 Wd 10 Wd
2
Wn 33.65 e 100% 30%
2 0.36 Wn 10
Wn 1132.3
WnY s 1132.3G s 2
Xss 2 Wns Wn2s2 24.1s 1132.3Gs 1
2
2
G s
1132.3
ss 24.13-4
k2
kkY s ss a 212解:依题意:
kXss as k22
1
ss ak1
由于阶跃值为2,故可知k1 2 而
k2 Wn
2
a 2 Wn
2.18 2.00 2
e 100% Wn 4.95 Mp% 2.00
2 0.61 tp 0.8 1.25 Wd Wn Wd
k2 Wn 24.46a 2 6.01
2
3-5
解:依题意:
Y s
Xsk1ss 11 1 14s
k1ss 1
k1k1
2
ss 1 k11 ktss 1 k1kts k1
故可知:
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k1 W2
n
1 k1kt 2 Wn
Mp% e1 2
100% 15%
t p
W 0.8s 1.25 Wn 2
d
Wn 4.59
0.52
k1 21.05 k kt 0.1781kt 1 4.74ttr
d 2
arctan
2
t r W
0.538
dWn 2 ttr
d 2 0.269s ts 3 W 1.265 5% n
ts 4 W 1.686 2% n
3-6
解:依题意
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dx2 t dx t m kxt f P t
dtdt2
X s 1
Psms2 fs k
300
P s
s
1300
X s
ms2 fs ks X limsX s lim
s 0
s 0
k 30000N
11
0.095
1300300
0.01m2
kms fs kk
Mp% 9.5%
ln
0.6
2
2 ln
tp
Wd
Wn
2
0.8Wn
2s
W 1.96radn
k300002
Wn 1.962 m 7809kg
mm
f
2 Wn
m
f 2 Wnm 2 0.6 1.96 7809 18366N S
第四章 频率特性分析法
4-5用分贝数(dB)表达下列量:
(1)10;(2)100; (3)0.01;(4)1;
解:(1)10; L( )=20lg10=20 dB (3)0.01; L( )=20lg0.01=-40 dB
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(2)100; L( )=20lg100=40dB (4)1; L( )=20lg1=0dB
4-6 当频率 1 2rad/s和 2 20rad/s时,试确定下列传递函数的幅值和相角。 (1)G1(s) 解 (1)
101 (2)G2(s) ss(0.1s 1)
10s1010
G j j
j 10
A G s
10
arctan arctan 900
0
1 2rad A1 s 1 90o
1rad 20 A 2 90o 222
(2)
G2 s
1
s0.1s 111 0.1 2 j 1
G j 0.1 2 j 24242
j 0.1j 1 0.1 j 0.01 0.01 1
0.1 j
0.01 3
故
A
10.01 3
0.01 2 1
1
0.01 2 1
110
0.1
1 2rads A1 0.49, 1 101.3
2 20rads A2 0.022, 2 153.4
4-7 试求下列函数的幅频特性A( ),相频特性 ( ),实频特性U( )和虚频特性V( )。 (1)G1(j ) (1)
解:
530j 1
(2)G2(j )
1
j (0.j 1)
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5
;
30j 1
5 30j 1 5
1 30 j G1 j
30j 1 30j 11 900 2
5 30
30 A , 1 w arctan
21 900 G1 j U1
5900 2 1
,V1
150
900 2 1
(2) G2 w 解:
1
;
j 0.1j 1 0.1 2 j 12
G2 j 0.1 j22242
0.01 j 0.1 j 0.1 j 0.01
11
A2
422
0.01 0.01 1
2
0.1 o0
0.1 2 90 90 arctan2
0.1 0.1 2 0.1 1
U2 ,V 2
0.01 4 20.01 2 10.01 4 20.01 3
10
4-8 设单位反馈系统的开环传递函数为G s ,当系统作用有以下输入信号:
s 1
1
(1) x t sin t 30 (2) x t 2cos 2t 45
(3) x t sin t 30 2cos 2t 45 求系统的稳态输出 。 解:
1 X t sint 30; 2 X t 2cos2t 45; 3 X t sint 30 2cos2t 45
依题意:
10
Y s G s 10
10XsGs 1s 111
s 1
1010 11 jw G jw jw 11121 w210102
A w w
121 w2 w2
w arctan
w w
arctan 11 11
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X1 t sint 300 w 1(1)当 A1 w
10
1
0.905, 1 w 5.190 5011'
11y1 t 0.905sint 300 5011' 0.905sint 24049'
(2)当
X2 t 2cos2t 450 w 2 A2 w
10
2
0.894, 2 w 10.30 10018'
11 y2 t 0.894 2cos2t 450 10018' 1.788cos2t 55018'
(3)
当
X3 t sint 300 2cos2t 450 X3 t X1 t X2 t 依据叠加原理可可知:
y3 t y1 t y2 t 0.905sint 24049' 1.788cos2t 55018'
4-9 某单位反馈的二阶Ⅰ型系统,其最大百分比超调量为Mp% 16.3%,峰值时间tp 114.6ms,试求其开环传递函数,并求出闭环谐振峰值Mr和谐振频率 r。
解:依题意:
nY s G s s 2
Xss 2 ns n2Gs 1
2
G s
由
n
ss 2 n
Mp% e
1 2
100% 16.3%
ln
2
ln
2
1Mp%
2
10.163
2
1.814.16
0.5
1 ln Mp%
由
1
ln
0.163
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tp
3.14 n 31.65 32 d n 2114.6 10 0.25tp
31.65231.65
G s
ss 31.65s0.0316s 1
11
Mr 1.1547
22
2 2 0.5 0.5
r n 2 2 31.65 2 0.52 22.38ra
4-10 画出下列传递函数的极坐标图。 (1) G(s) 解:(1) 依题意:
1 2s2
(2) G(s)
1 0.125ss(1 0.02s)
8 2 15 j
G j 8
2
64 2
8 15 8 8 2 2
V 实频特性:U 虚频特性:
64 264 2
则由
8 24 24 2
limu 1,limu lim 16 lim 16,limV 0
u w 64 2w w 0w 064 2
120 120120120
V V 7.52
64 26416 2
当且仅当
64
时取等号,此时 =8.
171 16
22
将 =8代入U中得到,U
故可得到如图所示的极坐标图。
(2)依题意
2100 50j
j 1 0.02j 2 502
100 5000
U 2,V
502 2 502
G j
随着 的增大,U( ),V( )都增大。
limU
w 0
1001
,limV ,limU limV 0
w 0w 250025w 0
故可得到其极坐标图如图所示:
4-11 试绘出具有下列传递函数的系统的波德图。
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(1) G s (2) G s
1
0.2s 1
2.5(s 10)
2
s(0.2s 1)1250(s 2)
s2(s2 6s 25)
(3) G s
解:(1)
4-12 已知各最小相位系统的对数幅频渐近特性曲线如图4-39所示。试分别写出对应的传递函数。
(1)20lgk 60 k 1000,无积分环节
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惯性环节:
1
1ss 1 12200
;
1
;一阶微分环节:
1
s 1;惯性环节:400
11
s 14000
故传递函数:
1 1000s 1
400 G s
1s1
1 s 1 s 1
2 200 4000
(2)
20lgk 12 k 3.98,惯性环节:
11
s 1100
故G s
3.98
1
s 1100
11
s 1 一阶微分环节:2
100s
(3)20lgk 40 k 100 积分环节有两个为:
1
100 s 1
1 100
惯性环节: 故G s
s 1 192 s 1 1000 1000
(4)
20lgk 20 k 10,积分环节:
11
,惯性环节:
ss
12
一阶微分环节:
11s
, 1;惯性环节: s110
1s 180200
1
100 s 1 10 故G s
s s s s 1 1 1 280200
(5)
20lgk 20 k 10 无积分环节
惯性环节:
11
s 10.05
11
, 一阶微分环节:2s+1
20s 110s 1
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