清华大学信号与系统教案第8章

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8.1

状态变量与状态方程

一、状态变量与状态方程 二、动态方程的一般形式

8.2

状态方程的建立

一、电路状态方程的列写

二、由输入-输出方程建立状态方程

8.3 8.4 8.5点击目录2012-8-19

离散系统状态方程的建立 连续系统状态方程的解 离散系统状态方程的解,进入相关章节

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前面的分析方法称为外部法，它强调用系统的输 入、输出之间的关系来描述系统的特性。其特点： (1)只适用于单输入单输出系统，对于多输入多输出 系统，将增加复杂性； (2)只研究系统输出与输入的外部特性，而对系统的 内部情况一无所知，也无法控制。 本章将介绍的内部法——状态变量法是用n个状态 变量的一阶微分或差分方程组(状态方程)来描述系 统。优点有：(1)提供系统的内部特性以便研究。 (2)便于分析多输入多输出系统； (3)一阶方程组便于计算机数值求解。并容易推广用 于时变系统和非线性系统。2012-8-19

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8.1 状态变量与状态方程 一、状态与状态变量的概念 从一个电路系统实例引入以u(t)和iC(t)为输出 若还想了解内部三个 变量uC(t), iL1(t), iL2(t) 的变化情况。 这时可列出方程C du C dt i L 2 i L1 0 d i L1 dt uC u S1 0R1 i L1 L1

a auC

i L2 L 2 iC

R2

u s1

u

u s2

R1i L 1 L1 L2 d iL 2 dt

R2iL 2 u S 2 u C 0

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iL1 iL 2 dt C C d iL1 1 R1 1 uC iL1 u S 1 dt L1 L1 L1 d iL 2 1 R2 1 uC iL 2 uS 2 dt L2 L2 L2 d uC 1 1

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R1

i L1

L1

a

i L2 L 2 iC

R2

u s1

uC

u

u s2

这是由三个内部变量uC(t)、iL1(t)和iL2(t)构成的一 阶微分方程组。 若初始值uC(t0)、iL1(t0)和iL2(t0)已知，则根据t≥t0时 的给定激励uS1(t)和uS2(t)就可惟一地确定在t≥t0时的解 uC(t)、iL1(t)和iL2(t)。 u (t ) R 2 i L 2 (t ) u S 2 (t ) 系统的输出容易地由 i C ( t ) i L1 ( t ) i L 2 ( t ) 三个内部变量和激励求 出： 一组代数方程2012-8-19

iL1 iL 2 dt C C d iL1 1 R1 1 uC iL1 u S 1 dt L1 L1 L1 d iL 2 1 R 1 uC 2 iL 2 uS 2 dt L2 L2 L2 d uC 1 1

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状态与状态变量的定义 系统在某一时刻t0的状态是指表示该系统所必需最 少的一组数值，已知这组数值和t≥t0时系统的激励， 就能完全确定t≥t0时系统的全部工作情况。状态变量是描述状态随时间t 变化的一组变量， 它们在某时刻的值就组成了系统在该时刻的状态。 在初始时刻的值称为初始状态。 对n阶动态系统需有n个独立的状态变量，通常用 x1(t)、x2(t)、…、xn(t)表示。 说明(1)系统中任何响应均可表示成状态变量及 输入的线性组合；(2)状态变量应线性独立； (3)状态变量

的选择并不是唯一的 。2012-8-19

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二、状态方程和输出方程在选定状态变量的情况下 ，用状态变量分析系统时， 一般分两步进行： (1)第一步是根据系统的初始状态求出状态变量； (2)第二步是用这些状态变量来确定初始时刻以后的 系统输出。 状态变量是通过求解由状态变量构成的一阶微分方 程组来得到，该一阶微分方程组称为状态方程。 状态方程描述了状态变量的一阶导数与状态变量和 激励之间的关系 。而描述输出与状态变量和激励之 间关系的一组代数方程称为输出方程 。

通常将状态方程和输出方程总称为动态方程或系统方程。2012-8-19

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对于一般的n阶多输入-多 输出LTI连续系统，如图 。 其状态方程和输出方程为

f 1 (t) f 2 (t) ┇ f p (t)

y 1 (t y 2 (t

{x i(t 0 )}

┇ y q (t

x1 a 11 x1 a 12 x 2 a 1n x n b11 f 1 b12 f 2 b1 p f p x 2 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b 21 f 1 b 22 f 2 b 2 p f p x n a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n b n1 f 1 b n 2 f 2 b np f p

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y 1 c11 x1 c12 x 2 c1n x n d 11 f 1 d 12 f 2 d 1 p f p y 2 c 21 x1 c 22 x 2 c 2 n x n d 21 f 1 d 22 f 2 d 2 p f p y q c q1 x1 c q 2 x 2 c qn x n d q1 f 1 d q 2 f 2 d qp f p

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写成矩阵形式： 状态方程

x (t ) Ax (t ) Bf (t )

输出方程 y ( t ) Cx ( t ) Df ( t )其中A为n×n方阵，称为系统矩阵， B为n×p矩阵，称为控制矩阵， C为q×n矩阵，称为输出矩阵，D为q×p矩阵 对离散系统，类似

状态方程 x ( k 1) Ax ( k ) Bf ( k )输出方程 y ( k ) Cx ( k ) Df ( k )状态变量分析的关键在于状态变量的选取以及状态方程的建立。2012-8-19

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8.2 连续系统状态方程的建立 一、由电路图直接建立状态方程首先选择状态变量 。 通常选电容电压和电 感电流为状态变量。 必须保证所选状态变 量为独立的电容电压 和独立的电感电流。u C1 u C1

u C2

u C3

us

u C2

(a) 任 选 两 个 电 容 电 压 独立

(b) 任 选 一 个 电 容 电 压 独立

i L1

i L3

i L2

i L1

is

i L2

四种非独立的电路结构(c) 任 选 两 个 电 感 电 流 独立2012-8-19

(d) 任 选 一 个 电 感 电 流 独立

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状态方程的建立： 根据电路列出各状态变量的一阶微分方程。

由于 i C

C

d uC dt

uL L

d iL dt

为使方程中含有状态变量uC的一阶导数 ， 可对接有该电容的独立结点列写KCL电流方程； 为使方程中含有状态变量iL的一阶导数 ， 可对含有该电感的独立回路列写KVL电压方程。

对列出的方程，只保留状态变量

和输入激励，设法消 去其它中间的变量，经整理即可给出标准的状态方程。对于输出方程，通常可用观察法由电路直接列出。2012-8-19

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由电路图直接列写状态方程和输出方程的步骤： (1)选电路中所有独立的电容电压和电感电流作为 状态变量； (2)对接有所选电容的独立结点列出KCL电流方程， 对含有所选电感的独立回路列写KVL电压方程； (3)若上一步所列的方程中含有除激励以外的非状 态变量，则利用适当的KCL、KVL方程将它们消去， 然后整理给出标准的状态方程形式； (4)用观察法由电路或前面已推导出的一些关系直 接列写输出方程，并整理成标准形式。

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流iR2为输出，列写电路的状态方程和输出方程。 i L a a R R 解 选状态变量 u x1(t) = iL(t), x2(t) = uC(t)1 L 2 R1

0 R1 0 0 u (t ) s1 u R1 (t ) x1 ( t ) 1 1 0 0 x 2 ( t ) 上的电压u 和电阻R 上的电 iR 2 (t ) 例：电路如图，以电阻R1 R 2 R1 u s 2 ( t ) 2 R2 i R2

L x 1(t)+R1x1(t)+x2(t) = uS1(t) C x 2(t) + iR2(t) = x1(t)

u S1

uC

C

u S2

消去 iR2(t),列右网孔KVL方程：R2iR2(t) + uS2(t) - x2(t) = 0

代入整理得

输出方程： uR1(t) = R1x1(t)2012-8-19

R1 x1 ( t ) L 1 x 2 (t ) C

1 1 L x1 ( t ) L 1 x (t ) 2 0 R2C

0 u s 1 (t ) 1 u (t ) s2 R2C

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二、由输入-输出方程建立状态方程 这里需要解决的问题是：已知系统的外部描述(输入-输出方程、系统函数、 模拟框图、信号流图等);如何写出其状态方程及输 出方程。

具体方法：(1)由系统的输入-输出方程或系统函数，首先画出 其信号流图或框图； (2)选一阶子系统(积分器)的输出作为状态变量； (3)根据每个一阶子系统的输入输出关系列状态方 程； (4)在系统的输出端列输出方程。2012-8-19

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例1 某系统的微分方程为 y (t) + 3 y (t) + 2y(t) = 2 f (t) +8 f (t) 试求该系统的状态方程和输出方程。解由微分方程不难写出其系统函数 H ( s ) 方法一：画出直接形式的信号流图2( s 4) s 3s 22

设状态变量x1(t)、 x2(t) 由后一个积分器，有

2 1 f(t)s 1

x1 x 2由前一个积分器，有

s

1

8

-3

x2-2

x1

y(t)

x 2 2 x1 3 x 2 f系统输出端，有2012-8-19

y(t) =8 x1+2 x2

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s 3s 2 画出串联形式的信号流图 x2

方法二： H ( s )

2( s 4)

s 41

s 1 s 24

2

设状态变量x1(t)、 x2(t)

1 1 s 1 -1

y1 1 x2

s

1

2

x1 x1

f设中间变量 y1(t)

f(t)

x1-2

x2

y(t)

y1 x1 4 x1 3 x1 f

x 2 y1 2 x 2 3 x1 2 x 2 f x1 1 x2 32012-8-19

0 x1 2 x2

系统输出端，有 1 [ f ] y(t) =2 x2 1

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s 3s 2 画出并联形式的信号流图2

方法三：H ( s )

2( s 4)

6 s 11

4 s 2 1

设状态变量x1(t)、 x2(t)

x1 s x2s

6

x1 x1 f x2 2 x2 f x1 1 x2 0 0 x1 2 x2

x1-1

f(t) 1 [ f ] 1

1

1

-4

y(t)

x2-2

系统输出端，有 y(t) = 6x1 -4 x22012-8-19

可见H(s)相同的系统， 状态变量的选择并不 唯一。

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例2 某系统框图如图，状态变量如图标示，试列出其 y (t) 状态方程和输出方程。2

解 对三个一阶系统

∑ f(t)

1 s 1

x 1 (t)

s 4 x 2 (t) s 2

x1 x1 y 2其中， y2= f - x3

y1 (t)

x 3 (t)

1 s 3

x1 x1 x3 f x 2 2 x 2 x1 4 x1 3 x1 x 3 f x2 3x1 2 x2 x3 f x3 x2 3x3 x3 3 x3 x 22012-8-19

输出方程 y1(t) = x2 y2(t) = -x3 + f

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三、由状态方程列输入-输出方程例3 已知某系统的动态 x ( t ) 4 方程如下，列出描述y(t) 3 与f(t)之间的微分方程。y ( t ) 1 1 x (t ) 0 1 [ f ( t )] 1

0 x ( t )

解法一 由输出方程得 y(t)=x1(t) y (t)=x1 (t) = – 4 x1(t) + x2(t)+ f(t) y (t)=– 4 x1 (t) + x2 (t)+ f (t) =–4[–4 x1(t) + x2(t)+ f (t)] + [–3 x1(t) + f (t)] + f (t) =13 x1(t) –4x2(t) –3 f (t) + f (t) y +a y + by=(13 –4a +b) x1+(–4+a) x2+ f (t) +(a–3) f (t) y +4 y + 3y= f (t) + f (t) a=4,b=3

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解法二 对方程取拉氏变换，x ( t ) 零状态。 4 sX ( s ) 3 1 X(s) 0 1 F (s) 1

4 3

1 x (t ) 0

1 [ f ( t )] 1

4 ( sI 3

1 1 )X(s) F (s) 0 1

4 X ( s ) ( sI 3

1 1 1 ) F (s) 0 1

Y ( s ) 1Y ( s ) 12012-8-19

0 X ( s ) 4 0 ( s I 3 1 1 1 ) F (s) 0 1

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H (s)

Y (s) F (s)

1

4 0 ( s I 3

4 ( sI 3

1 1 s 4 ) 0 3

1 s

1

1 1 1 ) 0 1 1 s 3 s 4 2 s 4s 3

H ( s ) 1

1 s 3 s 4 0 2 s 4s 3

1 s 1 1 s 1 1 2 2 1 s

4 s 3 s 4 s 3

y +4 y + 3y= f (t) + f (t)2012-8-19

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8.3

离散系统状态方程的建立

与连续系统类似，具体方法为：(1)由系统的输入-输出方程或系统函数，首先画出其 信号流图或框图；

(2)选一阶子系统(迟延器)的输出作为状态变量；(3)根据每个一阶子系统的输入输出关系列状态方程； (4)在系统的输出端列输出方程。

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/mzr4.html