高中数学人教A版必修五优化练习综合检测含解析

综合检测

时间：120分钟 满分：150分

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知{a n }是等比数列，a 3＝14

，a 6＝2，则公比q ＝( ) A ．－12

B ．－2

C ．2

D.12

解析：a 6a 3

＝q 3＝8，∴q ＝2. 答案：C

2．若a 、b 为实数，则下面一定成立的是( )

A ．若a ＞b ，则a 4＞b 4

B ．若|a |＞b ，则a 2＞b 2

C ．若a ＞|b |，则a 2＞b 2

D ．若a ≠|b |，则a 2≠b 2

解析：a ＞|b |?a 2＞b 2.

答案：C

3．下列命题中正确的是( )

A ．a >b ?ac 2>bc 2

B ．a >b ?a 2>b 2

C ．a >b ?a 3>b 3

D ．a 2>b 2?a >b 解析：选项A 中，当c ＝0时，ac 2＝bc 2，所以A 不正确；选项B 中，当a ＝0，b ＝－1时a >b ，但a 2b 2，但a

答案：C

4．已知各项均为正数的等比数列{a n }，a 1·a 9＝16，则a 2·a 5·a 8的值为( )

A ．16

B ．32

C ．48

D ．64

解析：由等比数列的性质可得，a 1·a 9＝a 25＝16.

∵a n >0，∴a 5＝4，∴a 2·a 5·a 8＝a 35＝64，故选D.

答案：D

5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2－c 2＋2ac ，则角B 的大小是( )

A ．45°

B ．60°

C ．90°

D ．135° 解析：由已知得

a 2＋c 2－

b 2＝2a

c ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22

.又0°

答案：A 6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )

A ．6

B ．7

C ．8

D ．9

解析：∵{a n }是等差数列，∴a 4＋a 6＝2a 5＝－6，即a 5＝－3，

∴d ＝a 5－a 15－1

＝－3＋114＝2，故{a n }是首项为－11的递增数列，所有的非正项之和最小． ∵a 6＝－1，a 7＝1，∴当n ＝6时，S n 取得最小值．

答案：A

7．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则AC 边上的高为( ) A.322

B.332

C.32 D ．3 3

解析：由BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ，可得13＝9＋16－2×3×4×cos A ，得cos A ＝12

.∵A 为△ABC 的内角，∴A ＝π3，∴AC 边上的高h ＝AB sin A ＝3×32＝332

. 答案：B

8．如果关于x 的不等式5x 2－a ≤0的正整数解是1,2,3,4，那么实数a 的取值范围是( )

A ．80≤a ＜125

B ．80＜a ＜125

C ．a ＜80

D ．a ＞125 解析：由5x 2－a ≤0，得－

a 5≤x ≤ a 5.而5x 2－a ≤0的正整数解是1,2,3,4，所以4≤ a 5＜5，所以80≤a ＜125.

答案：A

9．若实数x ，y 满足不等式组????? x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，

x －my ＋1≥0，

且x ＋y 的最大值为9，则实数m 等于( ) A ．－2

B ．－1

C ．1

D ．2 解析：作出可行域．如图中阴影部分所示．

由????? x －my ＋1＝0，2x －y －3＝0，

得A ? ????1＋3m

－1＋2m ，5

－1＋2m .

平移y ＝－x ，当其经过点A 时，x ＋y 取得最大值．

即1＋3m

－1＋2m ＋5

－1＋2m ＝9，解得m ＝1.

答案：C

10．在△ABC 中，如果sin A sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ＋cos A cos B ＝2，则△ABC 是(

) A ．等边三角形 B ．钝角三角形

C ．等腰直角三角形

D ．直角三角形

解析：由已知，得cos(A －B )＋sin(A ＋B )＝2，

又|cos(A －B )|≤1，|sin(A ＋B )|≤1，

故cos(A －B )＝1且sin(A ＋B )＝1，

即A ＝B 且A ＋B ＝90°，故选C.

答案：C

11．设x ，y ∈R ，a >1，b >1.若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y 的最大值为( )

A ．2 B.32

C ．1 D.12

解析：∵23＝a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤3.

由a x ＝b y ＝3得x ＝log a 3，y ＝log b 3，

∴1x ＋1y ＝1log a 3＋1log b 3

＝log 3a ＋log 3b ＝log 3ab ≤log 33＝1.故选C. 答案：C

12．数列{a n }中，a n ＞0且{a n a n ＋1}是公比为q (q ＞0)的等比数列，满足a n a n ＋1＋a n ＋1a n ＋2＞a n ＋2a n ＋3(n ∈N *)，则( )

A ．0＜q ＜1＋22

B ．0＜q ＜1＋52

C ．0＜q ＜－1＋22

D ．0＜q ＜－1＋52 解析：∵{a n a n ＋1}是公比为q 的等比数列，

∴a n a n ＋1＝(a 1a 2)·q n －

1，

∴(a 1a 2)·q n －1＋(a 1a 2)·q n ＞(a 1a 2)·q n ＋1，

∴1＋q ＞q 2，∴q 2－q －1＜0，

∴0＜q ＜1＋52

. 答案：B 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)

13．不等式1x

≤x 的解集是________． 解析：1x ≤x 等价于x －1x

≥0， 即x 2－1x

≥0，所以不等式的解集为{x |－1≤x <0或x ≥1}． 答案：{x |－1≤x <0或x ≥1}

14．等比数列{a n }中，a 2＝2，a 5＝16，那么数列{a n }的前6项和S 6＝________. 解析：设公比为q ，

由题意，得?????

a 1q ＝2，a 1q 4＝16， 解得a 1＝1，q ＝2，

所以S 6＝a 1(1－q 6)1－q ＝1－26

1－2

＝63. 答案：63

15.如图，△ ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 在BC 边上，∠

ADC ＝45°，则AD 的长度等于________．

解析：在△ABC 中，由余弦定理得：

cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22·AC ·BC ＝4＋12－42×2×23＝32

，

∴∠C ＝30°.

在△ADC 中由正弦定理，得

AD sin C ＝AC sin ∠ADC ， ∴AD 12＝222

.故AD ＝ 2. 答案： 2

16. 不等式ax 2＋4x ＋a >1－2x 2对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 解析：不等式ax 2＋4x ＋a >1－2x 2对一切x ∈R 恒成立，

即(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1>0对一切x ∈R 恒成立．

若a ＋2＝0，显然不成立；

若a ＋2≠0，则

?

???? a ＋2>016－4(a ＋2)(a －1)<0? ?

???? a >－2，16－4(a ＋2)(a －1)<0? ?????

a >－2a <－3或a >2?a >2. 答案：(2，＋∞)

三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(12分)△ABC 中，BC ＝7，AB ＝3，且sin C sin B ＝35

. (1)求AC ；

(2)求角A .

解析：(1)由正弦定理，得AC sin B ＝AB sin C

， ∴AB AC ＝sin C sin B ＝35

. ∴AC ＝5×33

＝5. (2)由余弦定理，得

cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝9＋25－492×3×5

＝－12. 又0°

∴A ＝120°.

18．(12分)已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }．

(1)求实数a ，b 的值；

(2)当c >2时，解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0. 解析：(1)因为不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2

－3x ＋2＝0的两个实数根，且b >1，a >0，由根与系数的关系，得??? 1＋b ＝3a ，1×b ＝2a

， 解得?????

a ＝1，

b ＝2. (2)不等式ax 2－(a

c ＋b )x ＋bc <0，

即x 2－(2＋c )x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0.

当c >2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |2

19．(12分)设二次方程a n x 2－a n ＋1x ＋1＝0(n ∈N *)有两个实根α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3.

(1)试用a n 表示a n ＋1；

(2)求证：????

??a n －23是等比数列； (3)当a 1＝76

时，求数列{a n }的通项公式． 解析：(1)由根与系数的关系，得α＋β＝a n ＋1a n ，αβ＝1a n

，代入6α－2αβ＋6β＝3，并化简，得a n ＋1＝12a n ＋13

. (2)证明：因为a n ＋1＝12a n ＋13

， 所以a n ＋1－23＝12?

???a n －23. 因此，数列????

??a n －23是公比为12的等比数列． (3)当a 1＝76时，a 1－23＝12，所以????

??a n －23是首项为12，公比为12的等比数列． 所以a n －23＝12·???

?12n －1＝????12n ， 故a n ＝23＋???

?12n . 20.(12分)要设计如图的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左、中、右

三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60 000 cm 2，四周空白的宽度为10

cm ，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5 cm ，怎样确定广告矩形栏目高与

宽的尺寸(单位：cm)，能使整个矩形广告面积最小．

解析：设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ，

则ab ＝20 000，所以b ＝20 000a

， 广告的高为(a ＋20)cm ，宽为(3b ＋30)cm(其中a >0，b >0)，

广告的面积S ＝(a ＋20)(3b ＋30)

＝30(a ＋2b )＋60 600＝30?

???a ＋40 000a ＋60 600 ≥30×2a ·40 000a

＋60 600 ＝12 000＋60 600＝72 600. 当且仅当a ＝40 000a

， 即a ＝200时等号成立，此时b ＝100.

故当广告矩形栏目的高为200 cm ，宽为100 cm 时，可使整个矩形广告的面积最小．

21．(13分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sin 22C ＋sin 2C ·sin C ＋cos 2C ＝1，且a ＋b ＝5，c ＝7.

(1)求角C 的大小；

(2)求△ABC 的面积．

解析：(1)∵sin 22C ＋sin 2C ·sin C ＋cos 2C ＝1，

∴4sin 2 C ·cos 2 C ＋2sin 2 C ·cos C ＋1－2sin 2 C ＝1，

即2sin 2 C (2cos 2 C ＋cos C －1)＝0.

∴2sin 2 C (2cos C －1)(cos C ＋1)＝0.

∵在△ABC 中，sin C ≠0，cos C ＞－1，

∴cos C ＝12，∴C ＝π3

. (2)∵cos C ＝b 2＋a 2－c 22ab ＝(a ＋b )2－c 2－2ab 2ab ＝12

， ∴25－72ab ＝32

，∴ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332

. 22．(13分)已知各项均为正数的数列{a n }，满足a 2n ＋1－a n ＋1a n －2a 2n ＝0(n ∈N *)，且a 1＝2.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝a n ·log 12

a n ，若

b n 的前n 项和为S n ，求S n ； (3)在(2)的条件下，求使S n ＋n ·2n ＋

1>50成立的正整数n 的最小值．

解析：(1)∵a 2n ＋1－a n ＋1a n －2a 2n ＝0， ∴(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－2a n )＝0，

∵数列{a n }的各项均为正数，∴a n ＋1＋a n >0，

∴a n ＋1－2a n ＝0，

即a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，所以数列{a n }是以2为公比的等比数列． ∵a 1＝2，

∴数列{a n }的通项公式a n ＝2n .

(2)由(1)及b n ＝a n log 12

a n 得，

b n ＝－n ·2n ， ∵S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，

∴S n ＝－2－2·22－3·23－4·24－…－n ·2n ① ∴2S n ＝－22－2·23－3·24－4·25－…－(n －1)·2n －n ·2n ＋

1② ②－①得，S n ＝2＋22＋23＋24＋25＋…＋2n －n ·2n ＋1 ＝2(1－2n )1－2

－n ·2n ＋1＝(1－n )·2n ＋1－2. (3)要使S n ＋n ·2n ＋1>50成立，只需2n ＋1－2>50成立，即2n ＋1>52， ∴使S n ＋n ·2n ＋1>50成立的正整数n 的最小值为5.