第七讲 正弦定理与余弦定理（学生）

第七讲 正弦定理与余弦定理

考点梳理 1.正弦定理

____________________，其中R是三角形外接圆的半径． 2．正弦定理的常见变形：

(1)sin A∶sin B∶sin C＝________；

a＋b＋cabc

(2)＝＝＝＝______； sin Asin Bsin Csin A＋sin B＋sin C(3)a＝________，b＝________，c＝________； (4)sin A＝______，sin B＝______，sin C＝______.

3.三角形面积公式：S＝__________＝__________＝__________. 4．余弦定理 a2＝__________________，b2＝________________，c2＝_______________. 余弦定理可以变形为： cosA＝⑧_____________________，cosB＝⑨______________，cosC＝⑩__________________. 5．解三角形的类型 在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 a＝bsinA 一解 bsinA＜a＜b 两解 a≥b 一解 a＞b 一解 考向一 利用正、余弦定理解三角形 例1 (1)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinB＝3b，则角A等于( ) A.

πππ B. C. 1264

π

D. 3

7

(2)[2013·山东高考]设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝.

9①求a，c的值； ②求sin(A－B)的值．

[学以致用]

1. [2012·天津高考]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cosC＝( )

A.

777 B. － C. ± 252525

D. 24 25

2. [2013·天津高考]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知bsinA＝3csinB，a＝3，2cosB＝.

3

(1)求b的值；

π

(2)求sin(2B－)的值．

3

考向二 利用正、余弦定理判断三角形形状

例2 (1)[2013·陕西高考]设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为( )

A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形

D. 不确定

(2)[2014·温州模拟]在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若∠B＝60°，2b＝a＋c，判断△ABC的形状．

[学以致用]

Ba＋c

3. 在△ABC中，cos2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( )

22cA．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形

acosB

4. 在△ABC中，已知a，b，c分别是角A，B，C的对边，若b＝，试确定△ABC的形状．

cosA

考向三 与三角形面积有关的问题

例3 [2013·课标全国卷Ⅱ]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcosC＋csinB. (1)求B；

(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．

[学以致用]

5. [2013·重庆高考]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＝b2＋c2＋3bc. (1)求A；

(2)设a＝3，S为△ABC的面积，求S＋3cosBcosC的最大值，并指出此时B的值．

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