3.2一元二次不等式及其解法 - 基础

3.2一元二次不等式及其解法

【学习目标】

1.掌握一元二次不等式的解法，体会数形结合的思想； 2.理解一元二次不等式、一元二次方程与二次函数之间的关系； 3.能利用一元二次不等式解决简单的实际问题. 【要点梳理】

要点一、一元二次不等式及一元二次不等式的解集

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.比如：x2?5x?0.一元二次不等式的一般形式：ax2?bx?c?0(a?0)或ax2?bx?c?0(a?0).

设一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的两根为xx21、2且x1?x2，则不等式ax?bx?c?0的解集为

?xx?x21或x?x2?，不等式ax?bx?c?0的解集为?xx1?x?x2?

要点诠释：讨论一元二次不等式或其解法时要保证(a?0)成立. 要点二、一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系

对于一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的两根为x21、x2且x1?x2，设??b?4ac，它的解按照

??0，??0，??0可分三种情况，相应地，二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的图像与x轴的位置关系也

分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式ax2?bx?c?0(a?0)或ax2?bx?c?0(a?0)的解集.

??b2?4ac ??0 ??0 ??0 二次函数 y?ax2?bx?c（a?0）的图象 ax2?bx?c?0有两相异实根 有两相等实根 (a?0)的根x1,x2(x1?x2)x1?x2??b2a无实根 ax2?bx?c?0(a?0)的解集?xx?x1或x?x2????xx??b?2a?? R

ax2?bx?c?0(a?0)的解集?xx1?x?x2?? ? 要点诠释：

（1）一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的两根x1、x2是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线

y?ax2?bx?c与x轴的交点的横坐标；

（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；

（3）解集分??0,??0,??0三种情况，得到一元二次不等式ax2?bx?c?0与ax2?bx?c?0的解集.

要点三、解一元二次不等式的步骤

（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；

（2）写出相应的方程ax2?bx?c?0(a?0)，计算判别式?：

①??0时，求出两根x1、x2，且x1?x2（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②??0时，求根xb1?x2??2a； ③??0时，方程无解 （3）根据不等式，写出解集.

用程序框图表示求解一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的过程 开始

将原不等式化成一般形式 ax2+bx+c>0(a>0)

Δ=b2-4ac

Δ≥0? 否

是 要点诠释： 求方程ax2+bx+c=0方程ax2+bx+c=01．解一元二次不等式首先要看二次项系数的两个根ax是否为正；若为负，则将其变为正数；1、x2 没有实数根 2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法； 是 x1=x2? 原不等式解集为R 原不等式解集为否 {x|x??b} 原不等式解集为3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；

4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系；

5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数. 【典型例题】

类型一：一元二次不等式的解法 例1. 解下列一元二次不等式

（1）x2?5x?0； （2）x2?4x?4?0； （3）?x2?4x?5?0 【思路点拨】转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答.

【解析】 （1）方法一：

因为??(?5)2?4?1?0?25?0

所以方程x2?5x?0的两个实数根为：x1?0，x2?5 函数y?x2?5x的简图为：

因而不等式x2?5x?0的解集是{x|0?x?5}. 方法二：x2?5x?0?x(x?5)?0???x?0?x?5?0 或??x?0?x?5?0

解得??x?0??x?0，即0?x?5或x??. ?x?5 或

?x?5因而不等式x2?5x?0的解集是{x|0?x?5}. （2）方法一： 因为??0，

方程x2?4x?4?0的解为x1?x2?2. 函数y?x2?4x?4的简图为：

所以，原不等式的解集是{x|x?2}

方法二：x2?4x?4?(x?2)2?0（当x?2时，(x?2)2?0）

所以原不等式的解集是{x|x?2} （3）方法一：

原不等式整理得x2?4x?5?0.

因为??0，方程x2?4x?5?0无实数解，

函数y?x2?4x?5的简图为：

所以不等式x2?4x?5?0的解集是?.

所以原不等式的解集是?.

方法二：∵?x2?4x?5??(x?2)2?1??1?0 ∴原不等式的解集是?. 【总结升华】

1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力；

2. 当??0时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第2、3小题）；当??0且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，（如第1小题）.

3. 当二次项的系数小于0时，一般都转化为大于0后，再解答. 举一反三：

【变式1】已知函数f(x)????x2?2x,x?0,???x2?2x,x?0 解不等式f(x)＞3.

【答案】由题意知??x?0,??x?2x?3?x?0,2或??x2?2x?3,

解得：x＞1.

故原不等式的解集为{x|x＞1}．

【变式2】（2015 重庆）函数f(x)?log22(x?2x?3)的定义域是（ ） A.[-3,1] B.(-3,1) C.(-∞，-3]∪[1.+ ∞) D. (-∞，-3)∪(1.+ ∞)

【答案】由题意得：x2?2x?3?0，即(x?1)(x?3)?0 解得x>1或x<-3,

所以定义域为(-∞，-3)∪(1.+ ∞)， 故选D。

类型二：含字母系数的一元二次不等式的解法 例2．解下列关于x的不等式 （1）x2-2ax≤-a2+1； （2）x2-ax+1>0； （3）x2-(a+1)x+a<0；

解不等式时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论； 【解析】

(1) x2?2ax?a2?1?0?[(x?a)?1][(x?a)?1]?0?a?1?x?a?1 ∴原不等式的解集为{x|a?1?x?a?1}. (2) Δ=a2-4

a>2或a<-2时，原不等式的解集为{x|x?a?a2?4a?a2当Δ>0，即?42或x?2}当Δ=0，即a=2或-2时，原不等式的解集为{x|x?a2}. 当Δ<0，即-2

当a>1时，原不等式的解集为{x|1【总结升华】对含字母的二元一次不等式，一般有这样几步：

①定号：对二次项系数大于零和小于零分类，确定了二次曲线的开口方向；

②求根：求相应方程的根.当无法判断判别式与0的关系时，要引入讨论，分类求解； ③定解：根据根的情况写出不等式的解集；当无法判断两根的大小时，引入讨论. 举一反三：

【变式1】解关于x的不等式：x2?(a?1a)x?1?0(a?0) 【答案】原不等式化为(x?a)(x?1a)?0

①a=1或a=-1时，解集为?；

②当0

③当a>1或 -1

1a，解集为：{x|1a?x?a}. 【变式2】解关于x的不等式：x2?(a?a2)x?a3?0（a?R） 【答案】x2?(a?a2)x?a3?0?(x?a)(x?a2)?0 当a＜0或a＞1时，解集为{x|x?a或x?a2}； 当a=0时，解集为{x|x?0}；

当0＜a＜1时，解集为{x|x?a2或x?a}； 当a=1时，解集为{x|x?1}；

3】（2015春 房山区校级期中）解关于x的不等式56x2+ax－a2＜0。

∵56x2+ax－a2＜0，∴(7x+a)(8x－a)＜0，即[x?(?a)](x?a78)?0。

①当a=0时，?a7?a8，不等式化为x2＜0，解得x∈?。 ②当a＞0时，?a7?a8，不等式解集为{x|?a7?x?a8}。

当a＜0时，?aaaa7?8，不等式解集为{x|8?a??7}

例3．解关于x的不等式：ax2－(a+1)x+1＜0. 【解析】若a=0，原不等式?－x+1＜0?x＞1；

若a＜0，原不等式?x2?(1?1)x?1aa?0?(x?1a)(x?1)?0?x?1a或x＞1；若a＞0，原不等式?x2?(1?1a)x?1a?0?(x?1a)(x?1)?0，

其解的情况应由1a与1的大小关系决定，故

（1）当a=1时，原不等式?x??；

（2）当a＞1时，原不等式?1a?x?1；

（3）当0＜a＜1时，原不等式?1?x?1a

综上所述：

当a＜0，解集为{x|x?1a或x?1}； 当a=0时，解集为{x|x＞1}；

当0＜a＜1时，解集为{x|1?x?1a}； 当a=1时，解集为?；

【思路点拨】【变式【答案】

当a＞1时，解集为{x|1a?x?1}. 【总结升华】熟练掌握一元二次不等式的解法是解不等式的基础，对最高项含有字母系数的不等式，要注意按字母的取值情况进行分类讨论，分类时要“不重不漏”.

举一反三：

【变式1】解关于x的不等式：(ax-1)(x-2)≥0； 【答案】当a=0时，x∈(-?,2].

当a≠0时，方程(ax-1)(x-2)=0两根为x11?a,x2?2

①当a>0时，

若a?0，1?2， 即0?a?1a2时，x?(??,2]?[1a,??)；

若a?0，1a＝2， 即a?12时，x∈R；

若a?0，11a?2， 即a?2时，x?(??,1a]?[2,??).

②当a<0时，则有：1a?2， ∴ x?[1a，2]. 【变式2】解关于x的不等式：ax2＋2x-1<0； 【答案】当a=0时，x?(??,12). 当a≠0时，Δ=4+4a=4(a+1)， ①a>0时，则Δ>0，x?(?1?1?a?1?1?aa,a).

②a<0时，

若a<0，△<0， 即a<-1时，x∈R； 若a<0，△=0， 即a=-1时，x∈R且x≠1； 若a<0，△>0， 即 -1

当a＞0时，不等式的解集为{x|x?-a或x?a43}； 当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}； 当a＜0时，不等式的解集为{x|x?a或x?-a34}. 类型三：一元二次不等式的逆向运用

例4. 不等式x2?mx?n?0的解集为x?(4,5)，求关于x的不等式nx2?mx?1?0的解集. 【思路点拨】

由二次不等式的解集为(4,5)可知：4、5是方程x2?mx?n?0的二根，故由韦达定理可求出m、n的值，从而解得.

【解析】由题意可知方程x2?mx?n?0的两根为x?4和x?5 由韦达定理有4?5??m，4?5??n ∴m??9，n??20

∴nx2?mx?1?0化为?20x2?9x?1?0，即20x2?9x?1?0

(4x?1)(5x?1)?0，解得?114?x??5，

故不等式nx2?mx?1?0的解集为(?114,?5).

【总结升华】二次方程的根是二次函数的零点，也是相应的不等式的解集的端点.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系，这一点是解此类题的关键.

举一反三：

【变式1（】2015 浙江校级模拟）设关于x的不等式(ax-1)(x+1)<0(a∈R)的解集为{x|-1

【答案】∵关于x的不等式(ax-1)(x+1)<0(a∈R)的解集为{x|-1

∴x?1a?1或x=-1, 即a的值是1，故选D。

【变式2】已知ax2?2x?c?0的解为?13?x?12,试求a、c,并解不等式?cx2?2x?a?0. 【答案】由韦达定理有：?13?12??2a，?13?12?ca，∴a??12,c?2.

∴代入不等式?cx2?2x?a?0得?2x2?2x?12?0，

即x2?x?6?0，(x?3)(x?2)?0，解得?2?x?3，

故不等式?cx2?2x?a?0的解集为：(?2,3).

【变式3】已知关于x的不等式x2?ax?b?0的解集为(1,2)，求关于x的不等式bx2?ax?1?0的解集.

【答案】由韦达定理有：???a?1?2，解得??b?1?2?a??3?b?2, 代入不等式bx2?ax?1?0得

2x2?3x?1?0，即(2x?1)(x?1)?0，解得x?12或x?1. ∴bx2?ax?1?0的解集为：(??,12)?(1,??).

类型四：不等式的恒成立问题

例5.已知不等式ax2

＋4x＋a＞1－2x2

对一切实数x恒成立， 求实数a的取值范围． 【思路点拨】

不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数。 【解析】原不等式等价于(a＋2)x2＋4x＋a－1＞0对一切实数恒成立， 显然a＝－2时，解集不是R，因此a≠－2，

从而有??a?2?0,???42?4(a?2)(a?1)?0. 整理，得??a??2,???(a?2)(a?3)?0.

解得a＞2.

故a的取值范围是(2，＋∞)．

【总结升华】当我们遇到二次项系数含有字母时，一般需讨论. 举一反三：

【变式1】已知关于x的不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3>0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】

(1)当m2+4m-5=0时，m=1或m=-5

若m=1，则不等式化为3>0, 对一切实数x成立，符合题意.

若m=-5，则不等式为24x+3>0，不满足对一切实数x均成立，所以m=-5舍去. (2)当m2+4m-5≠0即 m≠1且m≠-5时，

由此一元二次不等式的解集为R知，抛物线y=(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3开口向上，且与x轴无交点，

?2所以??m?4m?5?0，

????16(m?1)2?12(m2?4m?5)?0 即??m?1或m??51?m?19， ∴ 1

? 综上所述，实数m的取值范围是{m|1≤m<19}.

【巩固练习】 一、选择题

1．（2016 榆林一模）集合A={x｜x2－2x≤0}，B={x｜y=lg(1－x)}，则A∩B等于（ ） A．{x｜0＜x≤1} B．{x｜0≤x＜1} C．{x｜1＜x≤2} D．{x｜1≤x＜2} 2．下列不等式中，解集是R的是( ) A．x2

＋4x＋4>0 B.x2?0 C.??1?x?2???1?0 D．－x2＋2x－1>0

3.(2015 上海) 下列不等式中，与不等式x?8x2?2x?3?2解集相同的是（ ）

A.?x?8??x2?2x?3??2 B. x?8?2?x2?2x?3?

C. 12 D. x2?2x?31x2?2x?3?x?8 x?8?2

4．若0＜t＜1，则不等式(x?t)(x?1t)?0的解集为( ) A.??x|1?x?t???t? B.??x|x?1?t或x?t??? C.??x|x?1或x?t??

??t?D.?x|t?x?1???t?

5．不等式x2－ax－b＜0的解集是{x|2＜x＜3}，则bx2－ax－1＞0的解集是（ ） A．{x|2?x?3} B．{x|13?x?12} C．{x|?12?x??13} D．{x|?3?x??2} 6.（2015 海南模拟）“已知关于x的不等式ax2?bx?c?0解集为（1,2），解关于x的不等式

cx2?bx?a?0。”给出如下的一种解法：

2解：由ax2?bx?c?0解集为（1,2），得，a??1??x???b?1x?c?0的解集为(12,1)，

即关于x的不等式cx2?bx?a?0的解集为(12,1)。

参考上述解法：若关于x的不等式

bx?b1x?a?x?c?0的解集为(?1,?3)?(12,1)，则关于x的不等式bx?a?x?bx?c?0的解集为（ ） A.（-1,1） B. ???1,?1?2??????1??3,1?? C. ????,?1?????1,1???1???2??3? D. ????,?2????1?3,????? 二、填空题

7．（2015 江苏）不等式2x2?x?4的解集为________.

8．如果关于x的方程x2－(m－1)x+2－m=0的两根为正实数，则m的取值范围是________. 9. 函数f(x)?1R，则实数a的取值范围为________．

ax2的定义域是?3ax?110.若关于x的不等式ax2?6x?a2?0的解集为(1,m)，则实数m等于 . 三、解答题

11.解下列不等式

(1)2x2＋7x＋3＞0； (2)－x2＋8x－3＞0；

12. （2015秋 吉林校级期中）若不等式(1―a)x2―4x+6＞0的解集是{x｜－3＜x＜1}。 （1）解不等式2x2+(2―a)x―a＞0

（2）b为何值时，ax2+bx+3≥0的解集为R。

13. 解关于x的不等式m2x2＋2mx－3＜0(其中m∈R)． 14．已知f(x)?x2?2(a?2)x?4，

(1)如果对一切x∈R，f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围； (2)如果对x∈[-3，1]，f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围. 15.解下列关于x的不等式 (ax?1)(x?1)?0；

【答案与解析】

1．【答案】 D

【解析】 9x2＋6x＋1＝(3x＋1)2≤0 ∴x??13，故选D.

2．【答案】 C

【解析】 ∵x2

＋4x＋4＝(x＋2)2

≥0， ∴A不正确；

∵x2?|x|?0，∴B不正确；

xx∵??1??2???0，∴??1??2???1?1?0(x∈R)，故C正确；

∵－x2＋2x－1>0 ∴x2－2x＋1＝(x－1)2<0， ∴D不正确．

3.【答案】B

【解析】因为x2?2x?3??x?1?2?2?2?0恒成立， 所以由不等式的性质可得x?8?2?x2?2x?3?。 故选:B.

4．【答案】 D

【解析】 ∵0＜t＜1，∴1t?1，∴t?1t

∴(x?t)(x?11t)?0?t?x?t.

5.【答案】C

【解析】由题意得，方程x2－ax－b=0的两根为x=2,x=3,由韦达定理得2?3?a，2?3??b，求得 a?5 ，b=-6，从而解得bx2－ax－1＞0的解集为{x|?12?x??13}

6. 【答案】B 【解析】根据题意，由bx?a?x?bx?c?0的解集为(?1,?13)?(12,1)， 得

b?x?a??x?b?x?c?0的解集为??1??1???1,?2?????3,1??，

即

bx?a?x?bx?c?0的解集为????1,?1?2?????1?3,1???。 故选B。

7.【答案】(?1,2).

x2?x?2??1?x?2，解集为(?1,2). 8．【答案】{m|?1?22?m?2} 【解析】由题意得：

????0?x1?x2?0，解得?1?22?m?2 ??x1x2?0

9. 【答案】 ??0,4??9??

【解析】 由已知f(x)的定义域是R. 所以不等式ax2＋3ax＋1＞0恒成立．

(1)当a＝0时，不等式等价于1＞0，显然恒成立； (2)当a≠0时，则有??a?0?a?0?a?0???0???(3a)2?4a?0???a(9a?4)?0????0?a?49. 由(1)(2)知，0?a?49. 即所求a的取值范围是??0,4???9?.

10.【答案】2

?6【解析】由题意，得1，m是关于x的方程ax2?6x?a2?0的两根，则??1?m??a解得 ?21?m?a??a【解析】由题意得： m?2或m??3（舍去）

11．【解析】

(1)因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，

所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x11＝－3，x2??2. 又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，

所以原不等式的解集为???x|x??12或x??3???.

(2)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52＞0， 所以方程－x2＋8x－3＝0有两个不等实根

x1?4?13，x2?4?13. 又二次函数y＝－x2＋8x－3的图象开口向下， 所以原不等式的解集为?x|4?13?x?4?13?．

12.【解析】

（1）由题意知，1－a＜0，且―3和1是方程(1―a)2x―4x+6=0的两根，

???1?a?0∴??4?a??2，解得a=3。 ?1??6?1?a??3∴不等式2x2+(2―a)x―a＞0即为2x2―x―3＞0，解得x＜－1或x?32。 ∴所求不等式的解集为{x｜x＜－1或x?32}； （2）ax2+bx+3≥0即为3x2+bx+3≥0，

若此不等式的解集为R，则b2－4×3×3≤0，∴－6≤b≤6。

13.【解析】 当m＝0时，原不等式可化为－3＜0，其对一切x∈R都成立，所以原不等式的解集为R. 当m≠0时，m2＞0，

由m2x2

＋2mx－3＜0，得(mx－1)(mx＋3)＜0，

即???x?1??3?m????x?m???0，

若m＞0，则1m??3m，

所以原不等式的解集为??31???m,m??；

若m＜0，则

1m??3m， 所以原不等式的解集为??13??m,?m??. 综上所述，当m＝0时，原不等式的解集为R； 当m＞0时，原不等式的解集为????3m,1?m??； 当m＜0时，原不等式的解集为??1?m,?3?m??.

14．【解析】

(1)由题意得：△=[2(a?2)]2?16?0，即0

(2)由x∈[－3，1]，f(x)>0得，有如下两种情况：

??2?a?[?3,1]?f(?3)?0 或?2?a?[?3,1] ???f(1)?0?f(2?a)?0综上所述：a????1,4???2?.

15.【解析】

当a=0时，原不等式即为-(x+1)>0，解得x<-1； 当a≠0时，原不等式为关于x的一元二次不等式，

方程(ax-1)(x+1)=0有两个实数根x11?a和x2??1. (Ⅰ)当x11?x2，即

a??1，?1?a?0时， 函数f(x)?(ax?1)(x?1)的图象开口向下，与x轴有两个交点，其简图如下：

故不等式(ax?1)(x?1)?0的解集为??1,?1???a?； (Ⅱ)当x1?x12，即

a??1,a??1时， 函数f(x)?(ax?1)(x?1)的图象开口向下，与x轴有一个交点，其简图如下：

故不等式(ax?1)(x?1)?0的解集为空集； (Ⅲ)当x1?x2，即

1??1，a??1或a?0， a①若a??1，函数f(x)?(ax?1)(x?1)的图象开口向下，与x轴有两个交点，其简图如下：

故不等式(ax?1)(x?1)?0的解集为??1,?；

②若a>0，数f(x)?(ax?1)(x?1)的图象开口向上，与x轴有两个交点，其简图如下：

??1?a?

故不等(ax?1)(x?1)?0的解集为(??,?1)??综上所述，

当a<-1时，不等式的解集为??1,?； 当a=-1时，不等式的解集为空集； 当-1

当a>0时，不等式的解集为(??,?1)??,???.

?1?a??

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/mzg6.html