高中数学第二章函数22一次函数和二次函数223待定系数法课堂新人

1 2.2.3 待定系数法

课堂导学

三点剖析

一、待定系数法求二次函数的解析式

【例1】根据下列条件求二次函数解析式.

(1)该二次函数的图象过(0,1)、(1，-3)、(-1,3)三点；

(2)该二次函数的图象过点(1,4)，且与x 轴的交点为(-1,0)和(3,0)；

(3)该二次函数的图象顶点为(1,4)，与x 轴交于(-1,0)点.

思路分析：(1)已知二次函数图象上的三点坐标，可设一般式.

(2)已知二次函数的图象与x 轴的交点，可设零点式.

(3)已知二次函数图象的顶点，可设顶点式.

解:(1)设二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c,

则??

???=+=++= 3.c b -a -3,c b a 1,c

解之,得a=-1,b=-3,c=1，即所求二次函数为y=-x 2

-3x+1.

(2)设二次函数的解析式为y=a(x+1)(x-3).

又∵图象过点(1,4),

∴4=a ?2×(-2)?a=-1,

即所求二次函数解析式为y=-x 2+2x+3.

(3)设所求二次函数为y=a(x-1)2+4.

又∵图象过(-1,0),

∴0=a(-1-1)2+4?a=-1,

即所求二次函数的解析式为y=-x 2+2x+3.

二、待定系数法求一般函数的解析式

【例2】f(x)=ax 2+a 2x+2b-a 3,当x∈(-2,6)时，f(x)>0；当x∈(-∞,-2)∪(6,+∞)时，f(x)<0.

求a 、b 及f(x).

思路分析：二次函数的零点是函数值大于0和小于0的分界点.先根据题目条件,把二次函数的零点求出来

.

解:当a=0时，显然不符合题设条件，故a≠0，于是可由题设条件画出f(x)的草图，如右图所示.

由图知x=-2和x=6是方程ax 2+a 2x+2b-a 3=0的两根，且a<0，利用一元二次方程的根与系数的关系，得??

???-=?--=+-.26)2(,6)2(3a a b a

2 解之,得???==-8.

b -4,a

∴f(x)=-4x 2+16x+48.

温馨提示

注意二次函数与二次不等式之间的关系.

三、用待定系数法解带参变量的函数问题

【例3】已知a 、b 为常数,若f(x)=x 2+4x+3,f(ax+b)=x 2+10x+24,则5a-b=_____.

思路分析：利用待定系数法及代数恒等式性质,求出f(ax+b),再根据恒等式性质建立a 、b 的方程求解.

解:∵f(x)=x 2+4x+3,

∴f(ax+b)=(ax+b)2+4(ax+b)+3=a 2x 2+(2ab+4a)x+b 2+4b+3.

又f(ax+b)=x 2+10x+24,

∴??

???=++=+=24.34b b 10,4a 2ab 1,a 22

解之,得?

??==3b 1,a 或???==-7.b -1,a ∴5a -b=2.

答案：2

各个击破

类题演练1

设二次函数f(x)满足f(x+2)=f(2-x),且f(x)=0的两实数根平方和为10,图象过点(0,3),求f(x)的解析式.

解析：设f(x)=ax 2+bx+c(a≠0),

由f(x+2)=f(2-x)知该函数的图象关于直线x=2对称. ∴a

b 2-=2,即b=-4a. ① 又图象过点(0,3),∴c=3. ② 又x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=(a b -

)2a c 2-=10. ∴b 2-2ac=10a 2. ③

解①②③,得a=1,b=-4,c=3,

故f(x)=x 2-4x+3.

变式提升1

若f{f ［f(x)］}=27x+26,求一次函数f(x)的解析式.

解析：设f(x)=ax+b,f ［f(x)］=a 2x+ab+b,

f{f ［f(x)］}=a(a 2x+ab+b)+b=a 3x+a 2b+ab+b,

∴?????=++=26.

b ab b a 27,a 23 解之,得a=3,b=2,则f(x)=3x+2.

3 类题演练2

二次不等式ax 2+bx+2>0的解集是(-21,3

1)，则a+b 的值是（ ） A.10 B.-10 C.14 D.-14

解析：令f(x)=ax 2+bx+2.

由题意-21、3

1是f(x)=0的两根, ∴???????=?--=+-.23121,3121a

a b

解之,得?

??==-2.b -12,a ∴a+b=-14.

答案：D

变式提升2

设函数f(x)=?

??>≤++,0,2,0,2x x c bx x 若f(-4)=f(0),f(-2)=2,则关于x 的方程f(x)=x 的解的个数为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

解析：由题意,得b=4,c=6.

当x<0时,有x 2+4x+6=x,方程无解;当x>0时,x=2.

答案：A

类题演练3

若函数f(x)=1

-++a x a x 的图象的对称中心为(3，1)，则实数a 的值为_______. 思路分析：反比例函数图象的对称中心是原点，可利用坐标轴或图象的平移求出f(x)的对称中心.

解：f(x)=1+11-+a x ,∴y -1=)

1(1a x --. ∴中心即为(1-a,1).∴令1-a=3?a=-2.

答案：-2

变式提升3

函数f(x)=21x

b ax ++是定义在(-1,1)上的奇函数，且f(21)=52,求函数f(x)的解析式. 解析：对任意x∈(-1,1),有f(-x)=-f(x), 即

21x b ax ++-=2

1x b ax ++-. ∴b=0.又由f(21)=52,得a=1.∴f(x)=21x x +.

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