大学物理之4-2_力矩_转动定律_转动惯量
更新时间:2023-03-19 04:21:01 阅读量: 人文社科 文档下载
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09年数学建模A题参考
4-2 力矩 -
转动定律 转动惯量
一
力矩
用来描述力对刚体 的转动作用. 的转动作用. v F 对转轴 z 的力矩 v v
zv M
v F
v M = r ×F M = Fr sin θ = Fd
O
v r
*
d
P
θ
v Fi
v ∑ Fi = 0,
d : 力臂 v v F v F F v v v ∑ Mi = 0 ∑ Fi = 0, ∑ M i ≠ 0 i i i
09年数学建模A题参考
4-2 力矩 -
转动定律 转动惯量
讨论
v 不在转动平面内, (1)若力 F 不在转动平面内,把力分 )
解为平行和垂直于转轴方向的两个分量
力矩为零, 力矩为零,故 F 对转 轴的力矩
v 其中 Fz 对转轴的 v
v v v F = Fz + F⊥
z
v kO
v F
v v v M z k = r × F⊥ M z = rF⊥ sin θ
v r
v F z
θ
v F⊥
09年数学建模A题参考
4-2 力矩 -
转动定律 转动惯量
(2)合力矩等于各分力矩的矢量和 )
v v v v M = M1 + M 2 + M3 + L
作用力和 (3)刚体内作用力和反作用力的力矩 )刚体内作用力 反作用力的力矩 互相抵消. 互相抵消.v Mij
v rj
jv v Fjiij
Ov Mji
d
v iF ri
v v M ij = M ji
09年数学建模A题参考
4-2 力矩 -
转动定律 转动惯量
有一大型水坝高110 m、长1 000 m , 例1 有一大型水坝高 、 水深100m,水面与大坝表面垂直,如图所示 水面与大坝表面垂直, 水深 水面与大坝表面垂直 如图所示. 求作用在大坝上的力, 求作用在大坝上的力,以及这个力对通过大坝 基点 Q 且与 x 轴平行的力矩 .
y
y
xh x O Q OL
09年数学建模A题参考
4-2 力矩 -
转动定律 转动惯量
设水深h,坝长L, 解 设水深 ,坝长 ,在坝面上取面积 元 dA = Ldy ,作用在此面积元上的力
dF = pdA = pLdyyy
xh y O Q OL
dAdy
x
09年数学建模A题参考
4-2 力矩 -
转动定律 转动惯量
令大气压为 p0 ,则 p = p0 + ρg (h y )
dF = PdA = [ p0 + ρg(h y)]LdyF = ∫ [ p0 + ρg ( h y )] L dy 0 y 1 2 = p0 Lh + ρgLh 2代入数据, 代入数据,得h y10h
dAdy
F = 5.91×10 N
x OL
09年数学建模A题参考
4-2 力矩 -
转动定律 转动惯量
v 对通过点 的轴的力矩 dF 对通过点Q的轴的力矩 dM = ydF h M = ∫ y[ p0 + ρg (h y )]Ldy0
dF = [ p0 + ρg (h y )]Ldy
yhv dF
1 1 2 3 = p0 Lh + gρLh 2 6dy 代入数据,得: 代入数据,
y O Q
M = 2.14×10 N m12
09年数学建模A题参考
4-2 力矩 -
转动定律 转动惯量
二 转动定律(1)单个质点 m ) 与转轴刚性连接
zv MO
v Ft
v F
Ft = mat = mrαM = rF sin θ
v r
θ m v Fn
M = rFt = mr α 2 M = mr α2
09年数学建模A题参考
4-2 力矩 -
转动定律 转动惯量
(2)刚体 ) v 质量元受外 质量元受外力 Fej, v 内力 Fij2 j j
zO
M ej + M ij = m r α内力矩ej
v rj m j
v Fej
外力矩
v Fij2 j j
∑Mj
+ ∑ M ij = ∑ m r αj
Q Mij = M ji
∴∑ Mij = 0j
09年数学建模A题参考
4-2 力矩 -
转动定律 转动惯量
∑Mj
ej
= ( ∑ m j r )α2 j
zO
定义转动惯量
v rj m j
v Fej
J = ∑ m r J = r 2dm ∫2 j j j
v Fij
转动定律 M = Jα 刚体定轴转动的角加速度与它所受的合 刚体定轴转动的角加速度与它所受的合 外力矩成正比 与刚体的转动惯量成反比. 成正
比, 转动惯量成反比 外力矩成正比,与刚体的转动惯量成反比
09年数学建模A题参考
4-2 力矩 -
转动定律 转动惯量
转动定律 M = Jα
, 讨论 (1)M = 0 ω不变 )M (2)α ∝ ) J
dω (3) M = Jα = J ) dt
09年数学建模A题参考
4-2 力矩 -
转动定律 转动惯量
三 转动惯量
J = ∑ m rj
2 j j
J = ∫ r dm2
转动惯量的单位: 转动惯量的单位:kgm2 J 的意义:转动惯性的量度 . 意义:
09年数学建模A题参考
4-2 力矩 -
转动定律 转动惯量
J 的计算方法 质量离散分布
J = ∑ m r = m r + m r + L+ m r2 j j 2 11 2 2 2
2 j j
质量连续分布
J = ∑m r = ∫ r dm2 j j 2 j
d m :质量元 d V :体积元
= ∫ ρr dV2 V
09年数学建模A题参考
4-2 力矩 -
转动定律 转动惯量
说明 刚体的转动惯量与以下三个因素有关: 刚体的转动惯量与以下三个因素有关: 有关. (1)与刚体的体密度 ρ 有关. ) (2)与刚体的几何形状及体密度 ρ 的分 ) 布有关. 布有关. 有关. (3)与转轴的位置有关. )与转轴的位置有关
09年数学建模A题参考
4-2 力矩 -
转动定律 转动惯量
四 平行轴定理的刚体, 质量为m 的刚体, 如果对其质心轴的转动 惯量为 J C ,则对任一与 该轴平行, 该轴平行,相距为 d 的 转轴的转动惯量
dC
m
O
J O = J C + md
2
09年数学建模A题参考
4-2 力矩 -
转动定律 转动惯量
J = Jc + md
2
圆盘对P 圆盘对 轴的转动惯量
P
R
O
m
质量为m,长为L的细棒绕其一端的 的细棒绕其一端的J 质量为 ,长为 的细棒绕其一端的
1 2 2 J P = mR + mR 2
1 2 J c = mL 12
O1
O1’
L2 1 2 J = Jc + m( ) = mL 2 3
d=L/2O2 O2’
09年数学建模A题参考
4-2 力矩 -
转动定律 转动惯量 竿 子 长 些 还 是 短 些 较 安 全
飞轮的质量为什么 大都分布于外轮缘? 大都分布于外轮缘?
?
09年数学建模A题参考
4-2 力矩 -
转动定律 转动惯量
转动定律应用 M = Jα 说明 (1) ) 方向相同. M = Jα , α 与 M 方向相同.
(2) 为瞬时关系. ) 为瞬时关系. (3) 转动中 M = Jα与平动中F = ma ) 地位相同. 地位相同.
09年数学建模A题参考
4-2 力矩 -
转动定律 转动惯量
质量为m 的物体A 例2 质量为 A的物体 静止在光滑水 平面上,和一质量不计的绳索相连接, 平面上,和一质量不计的绳索相连接,绳 索跨过一半径为R、质量为m 索跨过一半径为 、质量为 C的圆柱形滑轮 C,并系在另一质量为 B 的物体 上,B 竖 ,并系在另一质量为m 的物体B上 直悬挂.滑轮与绳索间无滑动, 直悬挂.滑轮与绳索间无滑动, 且滑轮与 轴承间的摩擦力可略去不计. ) 轴承间的摩擦力可略去不计.(1)两物体的 线加速度为多少? 线加速度为多少? 水平和竖直两段绳索的 张力各为多少? ) 张力各为多少?(2) 物体 B 从静止落下距 其速率是多少? 离 y 时,其速率是多少?
09年数学建模A题参考
4-2 力矩 -
转动定律 转动惯量
解 (1) 用隔离法分 ) 别对各物体作受力分析, 别对各物体作
受力分析, 取如图所示坐标系. 取如图所示坐标系.A
v ′ FT1v PC
v FC
mAv FN v FT1 mA
C
v FT2
mC
v ′ FT2 mB v PB yO
v O PA
x
mB B
09年数学建模A题参考
4-2 力矩 -
转动定律 转动惯量
FT1 = mA a mB g FT2 = mB aRFT2 RFT1 = Jα a = Rαv FN v FT1 mA
v ′ FT1v PC
v FC
v FT2
v ′ FT2mB v PB yO
v O PA
x
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