16章 波动水力学教材 - 图文

第14章 波动水力学

波动水力学主要研究波浪的运动规律。波浪是一种常见的水流运动现象，在海洋、湖泊、水库等宽广的水面上都可能发生较大的波浪。波浪理论的研究对于航运、筑港、海洋环境保护及海洋资源开发等都具有十分重要的意义。为了正确计算海上建筑物的稳定性，合理地规划、设计和建造港口与海岸工程建筑物，合理估算港湾的冲淤或海岸的变迁，合理开发波浪能量等，都必须研究波浪的运动规律。

波浪现象的一个共同特征，就是水体的自由表面呈周期性的起伏，水质点作有规律的往复振荡运动。这种运动是由于平衡水面在受外力干扰而变成不平衡状态后，表面张力、重力或科氏力等恢复力使不平衡状态又趋向平衡而造成的。海洋中的波动可以按照干扰力、恢复力等多种方式分类，例如，按照引起波动的原因（干扰力）进行分类有：由风力引起的波浪，称为风浪（风成波）；由太阳和月球以及其他天体引起的波浪，称为潮汐波；由水底地震引起的波浪，称为海啸（津波）；由船舶航行引起的波浪，称为船行波等。

引起波动的最常见的因素是风，对风作用下的波浪，在波峰的迎风面上，水质点的运动方向与风向一致，会加速水质点的运动；在波谷的背风面上，水质点的运动方向与风向相反，会减慢水质点的运动，所以风浪的剖面往往呈前坡缓、后坡陡的不对称形状，如图14-1a所示。当风停止后，由于惯性和重力的作用，波浪仍然不断地继续向前传播着。当传播到无风的海区后，这个海区也会产生波浪。这种波浪，波峰平滑、前坡与后坡大致对称，外形较规则，人们通常称它为涌浪，也叫余波。其剖面形状如图14-1b所示。

图14-1波浪剖面示意图

对于如图14-1b所显示的规则波浪的剖面，可以定义以下一系列名词和参量。 （1）波峰：波浪在静水面以上的部分；波顶：波峰的最高点。 （2）波谷：波浪在静水面以下的部分；波底：波谷的最低点。

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（3）波高H：波顶与波底之间的垂直距离。 （4）振幅a：波高的一半。

（5）波长L：两个相邻波顶（或波底）之间的水平距离。 （6）水深d：平均水面与海底的距离。 （7）周期T：波面起伏一次的时间。 （8）波浪中线：平分波高的中线。

（9）超高hs0：波浪一般具有波峰较陡、波谷较平缓的特点，波浪中线常在静水面之上，波浪中线超出静水面的高度称为超高。

（10）波速c：波浪外形向前传播的速度，等于波长除以周期，即c?LT。 （11）波陡：波高与波长的比值HL。

波高、波长、波陡、波速和波浪周期是确定波浪形态的主要尺度，总称为波浪要素。 本章将主要介绍势波的概念、微幅波理论、斯托克斯波理论以及作用在简单结构物上波浪力的计算。

13.1 势波的概念

13.1.1 势波的描述

在观察研究海浪的过程中，人们曾经发现，海洋中的波浪可以传播到很远的地方去；在实验中也可以发现，一个孤立的波峰可以在水槽中经过长距离传播而变形很小。这就说明：液体阻尼的作用即粘滞性的影响在波浪传播过程中是比较小的。因而在研究大多数海浪问题时，将液体视为理想液体，对某些海浪问题的研究不会导致重大的错误。

现考虑质量力仅为重力的均匀不可压缩理想流体，其周围和底部均受固定硬壁的限制，但液体的表面为自由面，并设液体在最初处于静止状态。设想该液体在某一极微小的时间段内受到相当大的外力作用，这些力作用在液体自由表面的各个质点上（例如一阵强风吹过海面）。由于这些力的作用，液体的初始平衡状态将被破坏。失去平衡状态的液体质点，在重力和惯性力的作用下，有恢复初始平衡状态的趋势，于是就形成了液体质点的振动。液体各个质点振动的总和，就形成了液体的波浪运动。在上述假定下，这种液体的运动将是有势的运动，也即是无旋运动，因而这种波浪运动叫做势波。研究势波问题，关键在于寻找描述波浪运动的流速势?。

由第3章可知，流速势?是满足如下拉普拉斯（Laplace）方程的调和函数

???0 （14-1）

2对于一个具体的波动，必须结合这一问题的定解条件求解上述拉普拉方程，才可求得这一问题的?值。下面将讨论二维波浪运动的定解问题。 14.1.2 波浪运动的定解条件 1. 底部边界条件

在底部不动的固体边界上，液体只能沿着边界切线方向运动，垂直于固体边界的法向速度为零。因此

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un????n?0 （14-2）

2. 自由表面边界条件

在自由表面上，若以?代表波表面相对于静水面的高度，在波浪运动中，它显然是随时间和位置而变化的。因此，对于如图14-2所示的二维流动，可表示为z??(x,t)。 在自由表面上，任一位于(x,z)处的水质点垂直分速为

uzz???dzdt????t???dx?xdt （14-3）

x图14-2 二维波动示意图

将势函数和流速的关系

uxdx??????? ??xdt??z??dz??????? ?dt??z?z??z??uzz??代入（14-3）式后有

??????????????? （14-4） ????z?t?x?x??z????z??这就是势函数在波浪自由表面上需要满足的运动边界条件。

在自由表面上，除了需要满足运动边界条件外，还需要考虑在波面上的动力因素，称为动力边界条件。

在风直接作用下的海浪波面上，压力随着位置和时间的变化很大。在我们所讨论的规则余波的条件下，可以假定波面上的压力为常数并等于大气压力，即p?pa?0。依据伯努利（Bernoulli）方程式，在重力作用下，液体的有势不恒定运动可用如下方程描述

???t?12u?2p??gz?0 （14-5）

于是便可以得到，在自由表面上，势函数需要满足的动力条件为

1??????????????????g??0 （14-6） ????????t2?x?z??z??????????z??

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223. 自由表面边界条件的简化

在研究势波运动时，当进一步研究较复杂的波浪现象，例如，不规则海浪运动的基本规律时，我们常从分析一种最简单的波动入手。这种简单的波动假定波高和波长（或水深）相比为一无限小量，在这种微幅的波动中，水质点的运动速度缓慢，波面很平缓。因此，

ux????x和???x均为小量，而它们的乘积为高一阶的小量，可以略去。这样式（14-4）

非线性的运动边界条件，就可以化为下面简单的线性关系

uz????????? 或 ?? ??t?z?t??z??z?? （14-7）

上式的物理意义是，对于微幅波动，水面上质点的垂直速度和水面本身的升降速度近似相等。 在动力边界条件(14-6)中，由于包含了u?ux?uz222??????????????，所以也是非线??x???z?222性的。对于上述简单的微幅波动，由于质点运动速度缓慢，u动力边界条件可线性化为

???1???? ??g??z?z??2项比之其他项可以略去，

在微幅波的条件下，可以用z?0处的?????????近似地代替处的，故得 z???????t?z????t?z?0???1???? （14-8） ??g??t?z?0在已知流速势函数的情况下，上式常用来推求波面的方程式。 将式(14-8)对时间取导数，则有

1??????? （14-9） 2??tg??t?z?0??2在式(14-7)中，同样用z?0处的?????????近似代替处的，并结合上式得 z??????z?z??z????z?01?????????? （14-10） ???2??zg?t??z?0??z?02 式(14-2)、（14-8）和（14-10）构成了线性化的波浪运动边界条件。在一般情况下，波浪

运动除满足上述边界条件外，尚应满足初始条件。但是，针对这里研究的风停以后的自由海波(余波)，它是有规则的周期运动，因此可以不考虑初始条件，而从设定一个反映周期性运动的流速势着手分析。

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14.2微幅波理论

在上一节中，曾经提到过一种简化了的最简单的波动。这个简化假定为：波高和波长（或水深）相比为无限小；水质点的运动速度较缓慢，速度的平方项和其他项相比可以忽略。在这些简化下，有关的流体力学方程组都成为线性的。这种简化的波浪理论称为微幅波理论、小振幅波理论或线性波理论。

微幅波的这些基本假定，显然与工程设计所考虑的波浪情况不相符合。因为，作为设计的控制条件，总是要选择具有较大波高的波浪作为设计波浪。例如，我国一条适用于40米水深海域的钻井船的设计，就采用波高11.0米、周期11.61秒（相应的波长为180.4米）的波浪作为设计波浪，这显然已远不满足微幅波的条件。但是，对微幅波的分析能较清晰地表达出波动的特性；又是研究较复杂的有限振幅波乃至不规则波的基础；同时从微幅波理论得到的某些结果还是可以近似地应用于工程设计的。因此，从简单的微幅波入手对于解决较复杂的波浪问题乃是十分必要的。下面将较为详尽地分析微幅波理论的结果。 14.2.1 波面方程的确定

水面出现简单的波动通常有两个明显的特征。首先是波面的周期性，在某一时刻，每经过一定的距离呈现一个波峰或波谷；而对于同一个位置上，每经过一定的时间出现一个波峰或波谷。其次是波面不停滞地沿着某一方向传播出去。观测表明，这种周期性和传播现象不限于波面的起伏，液体内部的质点运动也具有这种特性，只不过随水深的增加而迅速地减少而已。

实际观测表明，具有上述特性的微幅波动，可以用余弦（或正弦）曲线来表示。 如图14-3所示的微幅波的波面方程式可以表示为

??acos?kx??t? （14-11）

式中，?为波面距离静水面的高度，a为波浪振幅。

z??acos(kx??t)c?tx图14-3 微幅波传播示意图

（14-11）式中的常数k和?可以这样来确定：

（1）当x增减一个波长时，波面高度?应该不变，这就必须使kL?2?，故

k?2?L （14-12）

称为波数。

（2）当时间每增减一个周期T时，同一点的波面高度?应该不变，即?T?2?，故

??2?T

（14-13）

称为波浪的圆频率。

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显然，波形的传播速度c和波数及圆频率间有如下的关系

c?LT??k （14-14）

公式(14-11)的右边采用正弦，也能体现上述的波动性质，只是将波形移动一个相角?2罢了。

式中?t前面采用正号或负号分别表示波浪沿正x方向或负x方向传播。例如，设图14-3中实线代表时刻t的波形，经过时段?t后，波形沿正x方向传播一距离到达图中虚线所示的位置，原t时刻的某一波面高度?1应该在右方距离为?x?c?t处出现，当?t前采用负号时，即有

?1?acos?k(x??x)??(t??t)??acos[kx??t?k?k?t???t]?acos(kx??t)

若式 (14-11) 中的?t前取正号，则相应于t时刻的一点处的波面高度?1，在时刻t??t时，应在x??x处出现，即取正号表示波面沿负x方向传播。

因此，简单波动的表达式使用正弦或余弦，使用正号或负号，所得的波形并不受到影响，

只是波动的起始位置和传播方向不同而已。 14.2.2 速度势的建立

因为所设定的波面方程??acos?kx??t?应满足自由表面的边界条件

???1???? ??g??z?z???0因而得

??ga?sin(kx??t) （14-15）

此式为z??以及波动振幅为a的特定情况下势函数?的表达式。一般情况下，波动的振幅沿着水深而衰减。因此，可以将一般情况下的?(x,z,t)的函数关系表示如下

??F(z)sin(kx??t) （14-16）

式中，F(z)为纵坐标z的函数，它应体现波动随水深变弱的关系。 将式（14-16）对x和z分别取二次导数得

???x22??kF(z)sin(kx??t)

2???z22?F??(z)sin(kx??t)

代入Laplace方程（14-1），则得

?kF(z)sin(kx??t)?F??(z)sin(kx??t)?0

2一般情况下，sin(kx??t)不为零，因此得

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F??(z)?kF(z)?0

2此常微分方程式的通解为

F(z)?C1ekz?C2e?kz

式中，C1及C2为积分常数，将上式代入式（14-16）得

??(C1ekz?C2e?kz)sin(kx??t) （14-17）

积分常数C1及C2的值，可从边界条件来确定。 据边界条件式（14-2），当z??d时，有

????uz???0 ??z??z??d 将式（14-17）对z取导数，并利用上面的边界条件，则有

?????kdkd?k?C1e?C2e?sin(kx??t)?0 ????z?z??d因为sin(kx??t)一般不为零，于是有

C1e?kd?C2ekd?0

故

C2?C1e?2kd

式（14-17）可改写为

??C1e?kd?e?k(z?d)?e?k(z?d)?sin(kx??t) ?由

coshk(z?d)?1?e2?k(z?d)?e?k(z?d)? ?同时令C??2C1e?kd，就得到

??C?coshk(z?d)sin(kx??t)

式中C?可用自由表面边界条件来定出，在自由表面上

?z?0?C?coshkdsin(kx??t)

和式（14-15）所表示的自由表面的?函数相比较，便定出

C??ga1?coshkd

这样便得到，有限水深时微幅波势函数的表达式为

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??gacoshk(z?d)?coshkdsin(kx??t) 或 ??gHcoshk(z?d)2?coshkdsin(kx??t) （14-18）

14.2.3 波的传播速度

波速等于波长除以周期，即c?LT，或按式(14-14)

c?LT??k

因此，为了求得波速c，可从分析常数k和?的关系入手。根据（14-8）式

1?????????? ???2??zg?t??z?0??z?02将式（14-18）进行微分，得

???t22???gacoshk(z?d)coshkdsin(kx??t)

???z?kgasinhk(z?d)?coshkdsin(kx??t)

在上面的式子中，令z?0，再将结果代入自由表面条件式（14-8），即

?????????g?0 ???2???z?z?0??t?z?02则得

??gacoshkdcoshkdsin(kx??t)?kgasinhkd2?coshkdsin(kx??t)?0

故

?2?kgtanhkd （14-19）

式（14-19）称为弥散关系。根据c?L/T可以得到与（14-19）等价的波速和波长表达式

gkgL2?gT2?2c?tanhkd?tanh2?dL2?dL?gT2?tanhkd （14-20）

L?tanh （14-21）

由（14-20）式可知，不同周期（波长）的波在传播过程中由于波速不同将逐渐分散开来，这种现象称为波浪的弥散现象，因此上述方程被称为波浪弥散（色散）方程。

式（14-19）~（14-21）均为超越方程，需要通过数值方法如牛顿迭代法才能获得精确解。在工程应用中，Fenton和Mckee（1990）提出了以下简化显式计算公式

3?2?d?4L?L0tanh?? （14-22）

?L0?32其中L0?gT

22?为深水波长。式（14-22）与数值计算得到的波长相比，误差在1.7%以下。

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微幅波理论的解答中涉及到不少双曲函数，在双曲函数表达式中，当kd很大或很小时，有如表14-1所示近似关系。

表14-1 双曲函数的近似 函数 sinhkd kd??1 kd kd??1 eekd/2 /2 coshkd tanhkd 1 kd kd1 由以上近似关系，根据kd或相对水深dL的值对波浪进行分类，在深水和浅水条件下，波浪的弥散关系分别可以有近似表达式，如表14-2所示。

表14-2 波浪的分类

相对水深 1/2?d/L 1/20?d/L?1/2 d/L?1/20 波浪分类 深水波 中等水深波 浅水波（长波） cs?c0?近似弥散关系 gL02??gT2?，L0?gT22? 无 gd，Ls?Tgd 由表14-2中弥散关系的深水和浅水近似可知，在深水情况下，波长和波速只与波周期有关，而与水深无关；在浅水情况下，波速变化只与水深有关，与波周期或波长无关。在深水和浅水条件下，微幅波的势函数分别可近似为

?0??s?gH2?gH2?ekzsin(kx??t) （14-23）

sin(kx??t) （14-24）

14.2.4 水质点运动的速度和加速度

根据流速势的性质，很容易求得波动水体任意空间点上的水质点速度和加速度。速度分量为

????x?coshkd? （14-25）

??gaksinhk(z?d)uz??sin(kx??t)???z?coshkd?ux??cos(kx??t)??gakcoshk(z?d) 当考虑c?LT?gT2?tanhkd时，有

???Tsinhkd?

?Hsinhk(z?d)uz?sin(kx??t)??Tsinhkd?ux?cos(kx??t)?Hcoshk(z?d) （14-26）

加速度分量可近似为：

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?sin(kx??t)?2??tTsinhkd? （14-27） 2?uz2?Hsinhk(z?d)az???cos(kx??t)?2??tTsinhkd?ax??2?Hcoshk(z?d)?ux2 对于深水波的情况（d/L?1/2），有

ux0?gakeekz

uz0??gakcos(kx??t)?sin(kx??t)??HTeekzkz?HTkz????? （14-28）

sin(kx??t)???cos(kx??t) 当水深极浅（d/L?1/20）时

uxs?uzs??2d?? （14-29）

?H?z???1???sin(kx??t)?T?d??cos(kx??t)Hc14.2.5 质点的轨迹方程

要求得质点的轨迹方程，必须对式（14-25）在时段0～t之间进行积分。但式（14-25）中x、z为时间t的函数，积分较困难，故作如下近似假定。设波动场内某水质点，静止时位于(x0,z0)，也即其平均位置为(x0,z0)。在运动的任一瞬间，此水质点位于

x?x0??, z?z0??处，?, ?就是质点离开平均位置的位移。注意运动过程中质点实际位

置在(x0??,z0??)，该点与(x0,z0)并不重合，速度因而也有差别。由于我们假设波动为微幅波，波高和质点的速度均为相当小，可令(x0??,z0??)的速度近似等于(x0,z0)点的速度，因此有

d?dtd?dt?ux????xx?x0,z?z0

?uz????zx?x0,z?z0

积分上两式得

ux(x0,z0,t)???sin(kx0??t)??0? （14-30） t?(t)??uz(x0,z0,t)??cos(kx0??t)?0??(t)??t其中

??acoshk(z0?d)sinhkd, ??asinhk(z0?d)sinhkd （14-31）

由（14-30）消去t可得水质点运动轨迹方程为

??22???22?1 （14-32）

上式表示长半轴为?、短半轴为?的椭圆。因此，水质点围绕其平衡位置作椭圆运动。从式

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（14-31）可以看到，椭圆的水平半轴?和垂直半轴?决定于质点开始运动时的纵坐标z0而与水平坐标x0无关。

对于自由表面上的质点，z0?0，因而有

??acothkd???a, 即振幅?? （14-33）

在水底处，z0??d，因此

??a/sinhkd???0?? （14-34）

因此，在自由表面上的质点，椭圆的垂直半径等于振幅（波高之半）；而在水底的质点，沿水底只作水平运动。

在深水情况下(d/L?1/2)，由（14-31）式得

??Hee2ekdkz0kd?H2ekz0?? （14-35）

式（14-35）表明水质点轨迹为圆，自由表面上轨迹圆半径为a，且圆的半径随深度向下呈指数衰减。质点运动的起始位置在水面下愈深，则其轨迹圆的半径亦愈小，在深度为一个波长的地方，质点的轨迹圆半径已减小到仅为水面质点半径的1/535。当水深为一半波长时，轨迹半径为振幅的1/23，也可以认为水质点基本上是不动了，因而常将dL?1/2作为无限水深波动和有限水深波动的分界。 在浅水情况下（dL?1/20）

????acoshk(z0?d)sinhkdasinhk(z0?d)sinhkd?akd?aT2?z0d)g??d?? （14-36） ????a(1??与位移无关，不同水深处长轴均相等。

根据以上讨论可知，相对水深对波浪运动有很大影响，图14-4分别显示了深水、中等水深和浅水情况下水质点运动轨迹。

z=L/2

(c) 浅水) b中等水深 （c(a) 深水 (b （a）深水 （）中等水深）浅水

图14-4 微幅波在深水、中等水深和浅水中的水质点运动轨迹

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14.2.6 波压力分布

波动水体内任一点所受的压力z由三部分组成。第一部分为自由表面上的压力p0，一般

为大气压力p0?pa；考虑相对压力时，则pa?0。第二部分为静水压力，它等于??gz（负号是由于纵坐标z在静水面以下为负）。第三部分为波动引起的压力变化，称为净波压力。当波浪的流速势为已知时，波浪中任一点处的压力可以通过伯努利方程求得：

p???gz?????t?12?u

2 由上式可知，净波压力包括两项，一项起因于波形通过该点，一项是由于水质点在该点

的动能所引起。可以证明，由于当地动能引起的压力与波形压力相比可以略去，于是波动压力可以近似为

p???gz?????t???gz??gHcoshk(z?d)2coshkdcos(kx??t) （14-37）

即

p??g(Kp??z) （14-38）

其中Kp?coshk(z?d)coshkd为压力响应因子。

注意式（14-38）仅适用于静水面z?0以下，静水面以上的波压力需要通过泰勒展开计算得到：

p??g(??z) (0?z??) （14-39）

由此可以得到任意水深情况下波动压力分布如图14-5a所示。 对于无限水深

Kp?e （14-40）

kz对于极浅水

Kp?1 （14-41）

图14-5b绘出了不同水深条件下的净波压力分布。

图14-5a 行进波波压力分布示意图

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cccddda) dL?120b) 120?dL?12c) dL?12图14-5b 行进波净波压力分布示意图

14.2.7 波能量

波浪中的水质点以一定的速度作振荡运动，同时，水质点的位置相对于它的轨迹中心不断地发生变化，因此，波动的能量可分为动能和势能两部分。

分析波能量，不仅是研究海浪的主要途径之一，也是解决某些工程应用问题的重要方法。例如，近岸泥沙的运动，除了通过水质点的速度和作用力分析外，将泥沙运动和波能量联系起来是有效的手段之一。此外，如何利用海浪所蕴藏的大量能量，是人类解决能源问题的重要课题之一。

1. 波浪的势能

在波动水体内取宽度为dx的水柱（y方向的厚度为1）如图14-6所示。水柱的上界为

波面，下界伸至水底或波动作用可忽略之深处（无限水深时）。水柱内所有水质点在波动过程中相对于其平衡位置不断地发生变化，从而它们的势能不断地变化。但位置在波谷以下各质点作为一个整体相对于其平衡位置没有位置变化。所以只要考虑处于z??a带形区域之间水体的势能变化就可以了。以z??a的水平线作为计算势能的参考线，则由于波动所产生的势能为

dEpaa???a????a???g(??a)dx???gadx??gdx??gdx ???2222????22上式中第一项为运动时的势能，第二项为静止时的势能。在一个波长范围内的总势能为

图14-6 波能分析示意图

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Ep??dEp??L0?g2(a?2a???)dx?22?L0?ga22dx

将波面方程式（14-11）代入上式得

Ep??L0?gacos(kx??t)dx?22?L012?gacos(kx??t)dx222 ??ga ??ga??L0L0cos(kx??t)dx?cos(kx??t)dx?1214?ga?ga??1L0L0?11??cos2(kx??t)dx?22???dx?12

22?ga2?L012cos2(kx??t)dx上式右侧第一项和第三项的积分为零，故在一个波长范围内的总势能为

Ep?14?gaL?216?gHL （14-42）

22. 波浪的动能

在图14-6水柱中某一深度z处取一高度为dz的微元体，微元体的质量为??dx?dz?1，

22其速度为ux?uz，于是此微元体的动能为

dEk?12?dxdz?ux?uz22??12??ux?uz?dxdz

22 因为所考虑的是微幅波，忽略高阶量后可以近似取上界面高度??0，下界面可取在

z??d或z???之处。因此，在一个波长之内的总动能为

Ek?12??L0?0?d?ux?uz?dxdz 或 Ek?22L00??22kz12??L0??u??02x?uz?dxdz

2 以深水波为例，将速度表示式代入上式，并引入关系式(14-28)，积分后得到

Ek?12???agkedxdz?14?gaL?2116?gHL （14-43）

2 由此可见，微幅波中，在一个波长的范围内单位宽度波动水体的势能和动能相等，总能

18量为

E?Ep?Ek??gHL （14-44）

2 一个波长范围内，单位宽度波动水体的平均总波能为

E?EL?18?gH （14-45）

22

上式表明微幅波单位宽度波动水体平均总波能与波高的平方成正比，其单位为焦/米（J/m2）。

14.3 斯托克斯（Stokes）有限振幅波理论

以上较为详细地讨论了波高和波长（或水深）相比为无限小的微幅波理论，说明了波动的一些基本概念和实际波动现象。实验资料表明：若波高微小，波陡（HL）和相对波高

１０８

（Hd）相当小时，上面的分析结果与实际情况是相近的。若波高较为显著，例如在深水中波陡较大，或在浅水中相对波高较大时，微幅波理论便不再适合描述实际波动特性。 本节将去掉波高为无限小的假定，转而讨论有限振幅的波动。有限振幅的波浪运动曾被广泛地研究过，斯托克斯（Stokes）波是最常遇到的一种有限振幅的波浪运动。斯托克斯（1847）根据势波理论在推导中考虑了波陡的影响，证明波面将不再为简单的余弦形式，而是呈波峰较窄而波谷较宽的形状（图14-7b），这和海洋中实际余波的波面颇为相近。此外，水质点不是简单地沿着封闭的轨道运动，而是在沿着波浪传播方向上有一微小纯位移的近似于圆或椭圆的轨道上的运动。波浪运动中伴随有“质量输移”的这一情况，也是符合于波浪运动的实际现象的。

斯托克斯波浪理论的适用范围，原则上从微幅波直至由于波陡过大而破碎的波浪。但是在浅水中的波浪，相对波高（Hd）可能发展成为决定波动性质的主要因素，而斯托克斯波理论不能确切地描绘浅水波浪的一些特殊现象。一种称为椭圆余弦波的波浪理论，能在较大的范围内，将波陡和相对波高的影响反映出来。图14-7c所示是椭圆余弦波所描绘的浅水中波面的一般形状。

当水深趋于很小时椭圆余弦波的一个极限状态，就是所谓的孤立波理论。孤立波的波面全部在静水面之上，波长趋于无限大（图14-7d）。此外，在斯托克斯波之前，格斯特柰尔（Gerstner）等曾根据摆线理论给出有限振幅波浪运动的解答，称为摆线波理论。摆线波理论有着很大的理论上的缺限，即这种波浪运动没有速度势，为有旋波浪运动。因此，除了利用椭圆摆线波理论得到的直立式建筑物上的波浪力公式尚有一定利用价值外，摆线波理论在其他方面已经很少采用了。

上述有限振幅波理论的推导一般都是很繁杂的，本节将介绍斯托克斯波理论梗概而略去其推导过程，关于浅水非线性波理论将在其他课程中学习。

图14-7 各种波剖面示意图

１０９

???sinhkd? （14-72）

sinhk(z0?d)??Hcoskx0cos?t??sinhkd????Hcoshk(z0?d)sinkx0cos?t由上式消去cos?t得轨迹方程为

????tanhk(z0?d)ctgkx0 （14-73）

因此，水质点在波腹处作垂直振荡，在结点处作水平振荡，在一般位置处沿倾斜直线振荡。 根据微幅立波理论，作用在直墙上的波压力分布为

p???gz??gHcoshk(z?d)coshkdcos?t （14-74）

与行进波相同，静水面以上的波压力也需要通过泰勒展开计算得到

p??g(Hcos?t?z) (0?z?Hcos?t) （14-75）

14.4.2森弗鲁(Sainflou)有限振幅立波理论

关于有限水深有限振幅立波的研究，已有相当长的历史了。但是迄今为止，还没有得出一个适用于任何情况并与实际完全符合的解析解。在筑堤工程中，森弗鲁(1928)的方法曾得到了广泛的应用。其原因是，此法从水流运动的基本方程式（采用拉格朗日研究方法）出发，推导得到了立波对于直墙作用问题的理论解答。一系列自然界中和实验室内的观察证明，按照森弗鲁理论所得出的立波波动性质和波压力计算结果和实测结果在有些范围内，如相对水深dL在0.135~0.20、波陡HL?0.035时，是非常相近的，特别是在立波波动性质方面更是如此。因此森弗鲁理论仍有介绍的必要。

1. 拉格朗日形式的液体连续性方程和理想液体的运动方程

森弗鲁立波理论采用拉格朗日方法研究波浪，下面不做推导给出二维拉格朗日形式的液体连续性方程和理想液体的运动方程。取z轴向下为正，连续性方程和运动方程分别为

???x?z?z?x?????0 （14-76）

?t??a?c?a?c??z?z???2?(g?)?2??a?t?a?t?a?? （14-77） 221?p?x?x?z?z???2?(g?)2??c?t?c?t?c??1?p?x?x22式中，(x,z)为某质点运动轨迹，(a,c)为标识该质点的拉格朗日变数。

2. 森弗鲁立波水质点运动方程式

设原始行进波为有限水深为d，有限振幅为H2的椭圆摆线波，这个波连续并正交地作

１１５

用到一直墙式建筑物上，由于波浪反射的作用，形成一列列波浪要素相同而波速方向相反的反射波，原始行进波与反射波相叠加就形成了有限振幅的立波。椭圆摆线波理论从流体运动的拉格朗日观点出发，假定水质点围绕其振动中心做椭圆运动。森弗鲁理论同样从拉格朗日观点出发，采用如图14-10所示的坐标，并规定Lagrange变数(a, c)标记质点在静止时的位置，则森弗鲁立波质点运动的方程式可表示为

图14-10 森弗鲁立波坐标示意图

x?a?2?sin?tcoska??? （14-78） 4???2z?c?sin?t?2?sin?tsinka?L?式中

??Hcoshk(d?c)???2sinhkd? （14-79）

Hsinhk(d?c)????2sinhkd? 水质点振动中心相对于其静止位置的最大超高为

hs?4???Lsin?t （14-80）

2在水面处，有???0?H2。当sin?t时，可得水质点最大超高为

hs0?4??0(H2)L??HL2cothkd （14-81）

上式即立波的超高。

下面属于原始行进波的一些关系式在此仍然适用，如

?2?gktanhkd k?2?L ??2?T

即立波的波长L与周期T均与原始行进波的相同。

在直立墙上，质点只作垂直振动，不论何时，x总是等于a，则可设直立墙位于

4??a?L4, sinka?1。于是墙上表面水质点（c?0）的位移为

z??2?0sin?t?0?0Lsin2?t （14-82）

由上式知，当t?T4时，sin?t?1，z有最大值

１１６

zmax??2?0?4??0?0L

当t?3T4时，sin?t??1，z有最小值

zmin?2?0?4??0?0L

因此，Sainflou立波最大波高=zmax?zmin ?4?0，为原始行进波的二倍。

3. 波浪曲线及质点轨迹方程式

由质点运动方程式组中消去参变数a即可得在任一深度c的立波曲线方程式为

z?c?2?sin?tsinkx?4???Lsin2?tcos2kx （14-83）

由质点运动方程式中消去参变数t，即得质点运动的轨迹方程式为

2?k?coska[z?(c?2?2ka2sinka)]?[x?(a?12k212ksin2ka)]?0 （14-84）

22令A?2?k?cos2ka，B?c??2kasinka，C?a?sin2ka，则式（14-82）变为

z??1Ax2?2CAx?AB?CA2 （14-85）

由式（14-85）可以看出，立波质点运动的轨迹线为具有垂直轴的抛物线线段，并凹向上 方。图14-11显示了立波表面在t?0、T/12、T/4、3T/4、5T/6及11T/12各时间的位置图和d、1、2、3、4、5、6共七个质点的振动轨迹（图中虚点线）。由图可见，直立墙上质点只作垂直运动，水底质点只作水平振动。图中所绘为一半波长的立波在不同时间时波浪表面的变化情形及质点运动情况，计算条件为：L=80m，原始行进波波高H=6.67m，水深d=10m。

图14-11 立波表面在不同相位时位置和水质点运动轨迹

１１７

4. 直墙前立波最大底流速的确定

根据质点运动方程式（14-78），质点水平速度分量为

ux?dxdt?2??cos?tcoska （14-86）

由上式看出，当a?0,?L2,?L,?时，即位于离直墙前

L4，

3L4? 距离的波浪节点，

coska值最大(coska?1)。则在这些节点的水底（c?d）质点的水平速度分量为

uH?2??cos?t?Hsinhkdkgtanhkdcos?t （14-87）

当cos?t?1时，uH最大，则最大底速为

uH(max)?Hsinhkdkgsinhkdcoshkd?2?H?g （14-88）

Lsinh2kd 立波最大底流速较行进波的大一倍，它决定了堤前底部会否发生冲刷，设计时应加以考

虑。堤前护底块石的重量应根据底流速的大小来选定，根据部分设计经验，各种护底及块石的允许底流速参见表14-4。

表14-4 堤前护底及块石允许底流速

护底 允许底流速（m/s） 沙质海底 1.0~1.5 抛石基础 2~4.5 400kN石块 2~2.5 700kN石块 3.0~3.5 1400kN石块 4.0~5.0

5. 波压强分布

对式（14-78）求相应的偏导数，代入运动方程式（14-77），在整理简化的过程中，略去

含有k(?22??2)与 k(??32)的各项，最后得到立波压强分布公式如下

?coshk(d?c)sinhk(d?c)?? （14-89） ??coshkdsinhkd??p?p0??c?Hsin?tsinka 工程设计中，经常要求计算的是波浪作用在直墙面上的最大和最小波压力。在直墙面上（相当于波腹处），由式（14-78）可知，在该处coska=0，sinka?1，因此得到直墙上的压强分布公式为

p?p0?coshk(d?c)sinhk(d?c)??c?H???sin?t （14-90） coshkdsinhkd??? 当墙前出现最大波峰和波谷时，即当t?T4及t?3T4时，sin?t??1，上式化为

p?p0?coshk(d?c)sinhk(d?c)??c?H??? （14-91） coshkdsinhkd???由（14-91）可以确定任一质点(c)在一周期内的最大和最小的极限压强p。

１１８

在水底处，c?d，式（14-91）成为

p?p0?d?f? f??Hcoshkd? （14-92）

可用此式确定在水底处的最大和最小的极限压强。

根据式（14-91）即可绘出墙前出现最大波峰和波谷时的波压强分布图，如图14-12所示。

P1HN波高中线0hs0AH静水压强分布p0静水面Q1c最大极限压强分布曲线P2 βcP''NMQhs2 βQ'Q''Q0f'Ef'P0最小极限压强分布曲线(立波作用于垂直岸壁上的最大和最小的极限压强分布图)图14-12 直立墙前波压强分布

4置，P点及Q点为质点Nb振动的上下限位置。PP?及QQ?系根据公式（14-91）计算所得结

在图14-12中，hs0??HL2cothkd，hs????。图中M点为任一质点Nb的静止位

果而绘出，即使

?coshk(d?c)sinhk(d?c)?P?P???Q?Q???H??? coshkdsinhkd??于是可定出P?及Q?两点，即最大及最小波压强曲线上的点。用此法可求得整个曲线P1P0和

Q1Q0。有了波压强分布图，即可对立波作用于直墙上的波压力进行计算。

14.4.3 森弗鲁立波理论的讨论

关于有限水深立波，除森弗鲁理论外，Miche（1944）、Biesel（1952）、库兹聂佐夫、Rundgren（1958）等人提出了一些二阶近似解。Penny和Price（1952）对深水有限振幅的立波进行了详尽的研究，得到了五阶近似的理论解。Tadjbakhsh和Keller（1960）计算了有限水深立波的三阶近似解，合田良实（1967）得到了有限水深立波的四阶近似解。另外，我国洪广文（1980）、邱大洪（1985，1997）等也进行了这方面的工作，蔡清标等（1992）提出了数值

１１９

d线P'd

zrθxzcη2adxO

图14-21 大直径直立圆柱波力计算坐标系

实际上，具有物理意义的速度势只是上面复数表示式的实部。但在数学上讨论物理现象 时，使用复数推导较为方便。为了使入射波的势与将在下面设定的柱面反射波的势便于叠加，引入极坐标r和?，则式（14-120）化为

?i??gHcoshk(z?d)2?coshkd?[J0(kr)??m?12imcosm? Jm(kr)]ei?t （14-121）

式中，Jm为第一类贝塞尔（Bessel）函数。每一阶的函数Jm(kr)乘上相应的方向余弦和时间因子ei?t都可以看作是一个中心向四周传播的柱面波。因此，式（14-121）坐标变换的结

果意味着将一个具有水平波阵面的简单波动，用无限多个柱面波的和来表示。

当圆柱存在于波动水体中时，由于绕射效应，入射波沿各个方向“入射”到柱面上，由于固体壁面的反射作用，将引起一个沿柱面的法向朝外成发散面反射的柱面波。这个由柱面反射的波在柱面处有一定的幅度，而在无限远处，由于波阵面的不断发散，即使总的波能维持不变，柱面波的波幅亦将趋近于零。

以圆柱为中心的朝外发散的圆柱面波的普遍形式可以表示为

??s??m?0Amcosm?[Jm(kr)?iYm(kr)]ei?t （14-122）

上式中，Ym(kr)是第二类Bessel函数，它代表和Jm(kr)有区别的另一类可能形式的波动。在二元波动问题中，特解Jm(kr)和Ym(kr)的线性组合，便构成二元波动问题解的普遍形式。

将式（14-121）与（14-122）叠加并利用柱表面条件，即

???rr?a?0，定出Am后，便

１３０

可得到受圆柱扰动后波动场的速度势为 ??gH2?ei?t?(kr)J0coshk(d?z)??2J(kr)?H(0)(kr)?0(2)?coshkdH0(ka)???m（14-123）

????????(ka)Jm2 ?2?i?Jm(kr)??Hm(kr)?cosm?(2)?m?1H0(ka)????式中H(2)m(kr)?Jm(kr)?iYm(kr)称为第二类的汉克尔(Hankel)函数，而函数组合

(1)mJm(x)?iYm(x)?H(x)称为第一类汉克尔函数。它们各乘以不同的时间因子ei?t和e?i?t均代表具有上面所述特性的波面阵。

计算作用在圆柱面上的压力可以利用理想流体无旋非恒定运动的Bernoulli方程

??????????p??????????????gz

?t2??x?z?????????122来计算。由于假定是理想液体的无旋运动，因此沿着柱的运动是对称的，上式右边括号内的速度项沿柱周长的积分为零。而右边表示静水压强的第三项同样可以略去。于是可取

p??????t （14-124）

沿z轴单位长度上波力的x分量（简称单位力）为

fx?Re2???0pacos(???)d? （14-125）

?式中符号Re表示对积分的结果取实部。将式（14-123）的速度势代入式（14-124）求得p后即可代入式（14-125）中求积分。注意，仅只含cos?的项对积分起作用，其结果取实部后可写为

fx?2?gHcoshk(z?d)A(ka)cos(?t??)kcoshkd （14-126）

其中

tan??J1?(ka)Y1?(ka) A(ka)?1J1?(ka)?Y1?(ka)22

在上式的推演中，取m?0,1而略去了m?2,3,4?的各项。

由（14-127）式再沿水深作积分，则作用在直立圆柱面上的总波力为

F??0?dfxdz?2?gHk2tanhkd?A(ka)cos(?t??) （14-127）

波力对海底的力矩可通过下式推求：

M??0?d(z?d)fxdz （14-128）

１３１

本章小结

1. 波浪的运动可以采用势流理论描述。流速势所满足的拉普拉斯方程连同底部边界条件、自由表面（运动和动力）边界条件以及周期性条件构成了描述规则波运动的定解问题。

2. 为了对自由表面边界条件的非线性和自由表面本身的不确定性进行简化，引进波高和波长相比为一无限小量的微幅假定，可以得到线性化的微幅波定解条件。

3. 求解微幅波的定解方程，就可以得到关于势函数和波面的解答，进一步得到微幅波的速度、加速度、质点运动轨迹、压力以及波浪能量的表达式。由于水深、周期和波长不是相互独立的，所以它们之间的关系应满足弥散方程。

4. 根据相对水深的不同，可以把波浪划分为深水、中等水深和浅水波，在深水和浅水情况下，波浪运动特性的系列表达式均可化简。

5. 当深水中波陡较大，或在浅水中相对波高较大时，微幅波理论的适用性受到限制，需要采用其他波浪理论来描述波浪。其中斯托克斯波浪理论适用于水深较大，波陡较大的情况。二阶斯托克斯波剖面、速度等与微幅波理论有较明显的不同，其水质点轨迹也不再封闭。

6. 海岸和近海建筑物波浪荷载的计算可以分为三种类型，其中直墙上的波浪力在一定范围内可采用森弗鲁有限振幅立波理论计算。森弗鲁有限振幅立波理论从拉格朗日观点出发描述波动而得到直墙上水质点在运动过程中的压力，需要通过转换求得欧拉方法下波峰和波谷时的压强分布。在工程应用中，进一步可采用森弗鲁方法的简化公式计算直墙上波浪力。

7. 小直径桩柱上的波浪力可采用莫里森方程进行计算，莫里森方程不考虑建筑物存在对波浪场的影响，将波浪力分为拖曳力和惯性力两部分计算，虽然在理论处理上不够十分严格，但目前仍是工程中应用最广泛的计算方法。

8. 大直径墩柱上的波浪力计算需要采用绕射理论进行，其基本思路为求得入射波势和散射波势，叠加后得到总的波浪势函数，再根据伯努利方程求得墩柱表面的压力分布和波浪力。

思考题

14.1 试说明波数k与圆频率?的物理意义。二者与波要素有什么关系？

14.2 波浪运动满足什么底部边界条件？运动和动力边界条件的物理意义是什么？如何采用数学表达式描述运动边界条件？

14.3 深水、中等水深和浅水波是如何分类的？ 14.4 试推导深水与浅水波的弥散方程。

14.5 试比较二阶斯托克斯波理论与微幅波理论的不同。

14.6 根据拉格朗日方法得到的有限振幅立波水质点的压强，为什么可以用来计算以欧拉法研究直立墙面上各点处承受的压强？

14.7 小尺度桩柱上的波浪力分为哪几部分，分别根据什么原理估算，其缺陷是什么？ 14.8 试述求解墩柱上波浪力的思路。

习 题

14.1 微幅波的势函数为

１３２

??gHcoshk(z?d)2?coshkdsin(kx??t)

试证明上式也可写为

??Hccoshk(z?d)2sinhkdsin(kx??t)

14.2 某深海海面上观察到浮标在1分钟内上下20次，求波浪周期、波长和波速。 14.3 已知波浪周期T，编制一计算任意水深d处的波长和波速的程序，并计算出周期为8s、水深为20m处的波浪波长和波速。

14.4 在某水深处的海底设置压力式波高仪，测得周期T?5s，最大压力pmax?85250Pa（包括静水压力，不包括大气压力），最小压力pmin?76250Pa，问当地水深、波高是多少？

14.5 d?10m的有限水深海域，H?2m，L?40m，试分别采用微幅波理论和二阶斯托克斯波理论求（如果存在）：（1）波浪传播速度c，周期T；（2）水面上水质点运动轨迹的椭圆长、短半轴值；（3）波浪中线超高hs0；（4）水面及海底上水质点的最大速度；（5）海底面上任意点的压强；（6）单位宽度水体在一个波长范围内的总能量

14.6 有一直立式防波堤，位于水深d?10m处，防波堤高15m，底宽b?10m。波高为3m，周期为8s的波浪向此防波堤入射。（1）试按照森弗鲁公式简化方法画出直立堤上出现波峰和波谷时的压力分布图，并计算直立堤每延米长度上的总波力和倾覆力矩。（2）如果堤高只有12m，则波浪将越过堤顶。假设有越浪时直立堤面上的波压分布与无越浪时相同，试求总波力和倾覆力矩。

14.7 一桩基平台，平台支撑结构由四根直径D?6.0m的圆桩柱组成，桩与桩间距均为30m。平台设计工作水深d?40.0m，设计波高H?10.0m，波周期T?10.4s，试确定每根桩柱所受最大水平波力和作用点位置，以及四根桩柱最大水平合波力和合波力矩。

参考文献

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