2011年高社杯大学生数学建模竞赛C题企业退休职工养老金制度的改革论文

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承诺书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：浙江树人大学参赛队员 (打印并签名) ：1. 王瑶指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：王芬

日期： 2011 年 9 月 12 日

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企业退休职工养老金制度的改革

摘要

为了适应社会主义市场经济体制改革的需要，同时也是为了应对老龄化社会的风险，我国企业职工基本养老保险实行“社会统筹”与“个人账户”相结合的模式，即“统账结合”式基本养老金制度，但是这个制度还是存在不少问题，如人口老龄化问题、隐性债务问题、个人账户空帐问题等都没用提出有效解决方案，基本养老保险的基金收支平衡仍是个难度很大的问题。本文通过反正切模型对职工未来年平均工资进行预测，并在此基础上对企业退休职工养老金的相关数据进行计算。

对于问题一，首先证明了职工年平均工资与人均GDP值成线性关系，相关系数为0.9985。所以经济的发展趋势与工资的增长趋势一致。而经济的发展将会从快速增长向缓慢增长转变，所以工资增长也会呈现这样的规律。为此，采用符合S型增长特征的反正切函数作为预测模型，利用山东省职工年平均工资的历史数据，采用最小二乘方法，拟合出模型的参数。通过这个模型预测从2011年到2036年的年平均工资。预计到2035年职工年平均工资为80063元。

对于问题二，我们利用附件中的数据，加上问题一的预测数据计算出30岁、

30岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），并从退休后一直领取养老金到65岁、70岁、74岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡，并且出现缺口。由于该职工是75岁死亡，假设他在75岁那年还能领到养老金，那么缺口就在75岁的时候最大，分别为-190965.54元、-133786.04元、-29789.18元。

对于问题四，既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡，我们提出了以下建议措施：

1、延长退休年龄

2、延长养老金缴费年限。

3、改革现有的按工资指数化的管理方法，以相应地减轻养老金支付负担和转制成本，从而缓解养老基金收支不平衡的状况。

4、建立专门部门管理职工上缴个人账户养老金，为基金做投资增加基金收益率。

关键词：S型增长模式；反正切模型；最小二乘拟合；替代率；收支平衡

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一、问题的重述

企业退休职工养老金过低的问题现已成为社会关注的焦点，现在我国养老保险改革正处于过渡期，企业职工养老保险制度改革要处理好国家利益、集体利益和个人利益，目前利益和长远利益，整体利益和局部利益的关系，主要是对现行的制度办法进行调整、完善。我国企业职工基本养老保险实行“社会统筹”与“个人账户”相结合的模式，“社会统筹”基金它采取的是“现收现付”的筹资方式，即从现有在职人员那里筹集资金，支付已退休职工的养老金，从而形成“下一代供养上一代”的社会契约；“个人账户”基金它选择“储备积累”筹资方式，通过个人账户的积累为将来退休的职工预先筹集养老保险基金。而养老金会随着社会平均工资的调整而调整。如果职工死亡，社会统筹账户中的资金不退给职工，个人账户中的余额可继承。个人账户储存额以银行当时公布的一年期存款利率计息，为简单起见，利率统一设定为3%.养老金的发放与职工在职时的工资及社会平均工资有着密切关系；工资的增长又与经济增长相关。养老保险管理的一个重要的目标是养老保险基金的收支平衡，它关系到社会稳定和老龄化社会的顺利过渡。影响养老保险基金收支平衡的一个重要因素是替代率。照国家对基本养老保险制度的总体思路，未来基本养老保险的目标替代率确定为58.5%.替代率与退休职工的生活水平恰好成正比养老保，保险基金收支平衡较难维持，可能出现缺口。为了促进企业退休职工养老金制度的改革，下列问题是值得深入研究的。（1）对未来中国经济发展和工资增长的形势做出你认为是简化、合理的假设，并参考附件1，预测从2011年至2035年的山东省职工的年平均工资。（2）根据附件2计算2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比。如果把这些比值看作职工缴费指数的参考值，考虑该企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），计算各种情况下的养老金替代率。

（3）假设该企业某职工自 2000年起从30岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），并从退休后一直领取养老金，至75岁死亡。计算养老保险基金的缺口情况，并计算该职工领取养老金到多少岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。

（4）如果既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡，你认为可以采取什么措施。请给出你的理由。

二、基本假设

1、假设国外社会稳定，政府宏观政策方面没有发生大的失误，导致金融风险、财政风险积累，甚至爆发危机等无其它特殊因素。

2、假设参保人员从开始缴纳养老保险时每月按时、按额缴纳，中间无间断和拖欠现象。

3、假设缴纳到社会统筹基金账户的资金每年以3%的存款利息利率增长。 4、假设养老金缴纳完毕后从社会统筹资金中拨出的基础养老金的余额也以每年3%的存款利息利率增长。

5、假设不考虑通货膨胀因素。

6、假设基金收入不考虑政府财政补贴，基金支出不考虑用于管理方面的费用支出及职工死亡丧葬费用等，基金收入完全用于参保退休职工养老金的发放。

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三、符号说明

为了便于描述问题，我们用一些符号来代替问题中涉及的一些基本变量，如表1所示。其他一些变量将在文中陆续说明。

四、问题分析

4.1 问题一的分析

题目中定性地告诉我们养老金的发放与职工在职时的工资及社会平均工资有着密切关系，工资的增长又与经济增长相关。为了更好地说明经济发展与工资增长之间的相关性，我们可以收集我国人均GDP的历史值（如图4.1.1所示），去计算出GDP值和职工年平均工资之间的相关系数，从而证明经济的发展趋势与工资的发展趋势一致。

根据我国对21世纪中叶达到中等发达国家水平的预期，我国未来经济增长率将会象现有的中等发达国家一样，保持较低的水平，即经济的发展将会从快速增长向缓慢增长转变，所以工资增长也会呈现这样的规律。为此，可以采用符合S型[8]增长特征的反正切函数作为预测模型[3]，利用山东省职工年平均工资的历史数据，采用最小二乘方法，拟合出模型的参数。对原有职工年平均工资数据进行处理，建立模型，进行预测拟合。

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图4.1.1我国1978年-2010年人均GDP

4.2 问题二的分析

主要是对数据进行计算以及处理，利用附件2所给的某企业分年龄职工数量及薪酬分布表，把2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比看作职工缴费指数的参考值，利用附件3提供的养老金计算办法，计算出养老金=个人账户养老金+基础养老金，计算出替代率：

替代率=

职工刚退休时的养老金

退休前工资

4.3 问题三的分析

问题三的提问方式与问题二的相似，是一道计算题，只是有给了我们一个具体的例子，只要把握好附件提供的数据资料，我们不难算出职工缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡的年龄。由于退休年龄有（55岁、60岁、65岁）3个阶段，所以要计算3次。利用：

养老保险基金=职工工资总额 20%+职工个人工资 8%

养老金=基础养老金+个人账户养老金

算出养老保险基金和养老金以及其达到收支平衡状态的年龄即可。

4.4 问题四的分析

问题四让我们提出措施，并给定理由。从两个方面出发：（1）既要达到目标替代率

（2）又要维持养老保险基金收支平衡

替代率的高低是影响养老保险基金收支平衡的一个重要因素，可见二者是有内在联系的，紧扣两个方面，从人口老龄化，职工退休时的工资，退休前的养老金等方面进行周密考虑，而且养老保险基金收支平衡其实质就是政府的财政收支平衡，是一个动态平衡的环节（见图4.4.1），我们可以针对它们的影响因素来提出相应的措施，言之成理即可。

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5.1 问题一

先将已有的我国人均GDP值[6]与职工年平均工资计算出相关系数为0.9985，进行线性拟合后如图5.1.1 所示，证明了工资的增长与经济增长有显著的相关性。

3x 10

图4.4.1 我国基本养老保险基金收入与支出示意图

五、模型的建立与求解

年平均工资与人均GDP值一次多项式拟合图

2.5

1.5

0.5

00.511.522.5

x 10

图5.1.1拟合图

这说明工资的增长趋势与经济的发展趋势一致。

而经济的发展将会从快速增

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长向缓慢增长转变，即会呈现S型增长的模式。所以工资增长也会呈现这样的规律。为此，采用符合S型增长特征的反正切函数作为预测模型。

然后将附件1中的1978-2010年山东省职工年平均工资的数据用matlab做出散点图[1]，然后建立反正切拟合模型，求出职工年平均工资y。模型为：

aarctan(bx c)

通过已有数据的散点图的走向分析，加上模型进行拟合，预测2011-2035年职工年平均工资得出2035年工资预测图，见图5.1.2，发现这个模型在前期的和原已有的实测数据拟合起来的效果成平滑的“S型”增长趋势，基本一致，由此可以证明这个模型建立的可行性，为后期预测从2011年到2035年企业在岗职工工资的数据提供了科学依据。

年均工资（元）

2035年工资预测图

1978-2035（年）

图5.1.2 2011-2035年工资预测图

为了找出增长率最大的点，要求我们通过对模型求导得出一阶导数：

a b1 (b x c)

然后再求出二阶导数并令其为0：

y''

2a b (b x c) 1 (b x c)

找出拐点应为：

用matlab计算出拐点是在2011年处，这与我国实际政策恰好相符，因为2010

年是“十一五”规划的收官之年[7]，2008年的一场美国引发的次贷危机使得世界格局发生改变，中国是社会主义国家受到危机影响较小，中国开始扩大内需，刺激消费这架马车，我国年均GDP增长指标定是7.5%，实际在“十一五”期间，中国经济年均增长11.2%。在国民经济和社会发展第十二个五年规划纲要（草案）

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提出了今后五年我国经济社会发展的主要目标：今后五年GDP年均增7%。由此可见2011年是一个增长速度最快的一年，具有事实依据。

模型的具体形式是：

29215

arctan(0.1758x 6.0483)

41086

并预测到2035年职工年平均工资为80063元。

5.2 问题二

充分利用附件3数据，由养老金=个人账户养老金+基础养老金总公式出发，个人账户养老金=个人账户储存额÷计发月数

（具体数据参考表5.2.1）即用公式可以表示为：

A diWi d2Wi Wi d1 d2

式中Wi表示第i年份在职职工的月平均缴费工资，c1和c2分别表示社会统筹账户

和缴费比例与个人账户的缴费比例。

其中职工平均工资2559.80元，各年龄段职工工资与该企业平均工资之比的平均数为1.04，根据各年龄段职工工资与该企业平均工资之比的平均数作为参考，再由“本人指数化月平均缴费工资”指标的计算公式：

x1 S

c1c1

c1c2n

c1cm

计算出各年龄段的基础养老金。计算出的职工年龄段基础养老金如表5.2.2.

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金，最后算出养老金。

最终计算出该企业职工自2000年起分别从

30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），各种情况下的养老金替代率（表5.2.4）。

5.3 问题三

通过2009年山东省某企业各年龄段工资分布表计算出从30岁开始缴纳养老保险金到退休（55岁，60岁，65岁）的社会统筹基金的总数为：

表5.3.1 各年龄段社会统筹基金总额

老金，再由：每年社会统筹基金—每年养老金=每年剩余统筹基金，最后按利率可以算出每年剩余养老金的本金和利息。三种不同情况如表5.3.2所示。

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最终得到结果发现，该职工自2000年起从30岁开始缴养老保险，一直缴费

到退休（55岁，60岁，65岁），并从退休后一直领取养老金到65岁、70岁、74岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡，并且出现缺口。由于该职工是75岁死亡，假设他在75岁那年还能领到养老金，那么缺口就在75岁的时候最大，分别为-190965.54元、-133786.04元、-29789.18元。

5.4 问题四

伴随着我国人口老龄化问题的加剧，当下我国养老保险制度主要遇到的难题集中表现在职工基本养老保险基金[4]供求严重失衡，资金缺口大，养老金支付能力差等难题。养老保险金收支缺口意味着在养老保险确保发放上财政处于赤字状态，基金支付能力不强，此问题决定着养老保险制度是否能持续、有效的运转下去。因此迫切需要提出既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡建议措施及理由： 1、延长退休年龄[5]

我国延长退休年龄的理由：

①国家对退休年龄的制定关系到养老金的收支情况、劳动者的工作年限等方面，所给合理确定退休年龄是至关重要的。当前我国的退休年龄仍然沿用上世纪50年代职工退休制度的规定，即男职工满60岁，女干部满55岁，女职工满50岁。

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我国在上世纪50年代规定的退休年龄在当时是合理的，因为当时中国人口的平均预测寿命男性为40岁，女性为42.3岁。但是，到2000年我国人口的平均预期寿命男性和女性分别增长到69.0岁和72.4岁，如今我们依旧沿用以前的退休年龄制度，明显不合适了，因此我国的退休年龄与人均预期寿命延长趋势显得不相称。

② 我们考虑到人均受教育年限和人均预期寿命都有向后延伸的趋势，并且工作生命周期比下降、退休生命周期比上升对退休工作比存在拓展效应。为了缓解个人自我养老负担加重的趋势，就要提高工作生命周期比，降低退休工作比，也就得延长退休年龄。

③ 退休年龄延长就个人而言：可以使个人有更多的工作时期的积累，以满足退休生命周期比的延长需要，也可以顺应人力资本储存期延长的要求，同时相应延长其释放期，让个人可以更多的参与社会公共事务，为国家多做贡献；就国家而言：可以充分发挥劳动力资源和结构上的优势，将有利于经济增长。

④ 减缓养老基金缺口。根据目前的人口状况，2020年将是人口老龄化的高峰期。延迟退休对于社会保险基金有很大好处：晚退5年，社保基金就可少知府年的养老金，同时又多加收5年的养老保险，一来一去就有10年养老保险基金的差距。从全国来看，我国退休年龄每延迟一年，养老统筹基金可增长40亿元，减支160亿元，减缓基金缺口200亿元。

⑤ 人均受教育年限的增加带来的实际劳动起始年龄下限上移，同时，人均预期寿命的提高引发退休生涯扩张，实际劳动起始年龄后移、退休生涯延长对工作年限存在挤压效应，这将给个人自我养老造成巨大压力。 2、延长养老金缴费年限。

理由：在新政策里，养老金的缴费年限与退休后的养老金领取额挂钩体现了激励机制的作用。按照新规定，缴费不满15年的，退休后不享受基础养老金待遇；满15年后，每超过1年，基础养老金的领取额就将增加1％。不仅如此，而且养老金调整的幅度高低也与缴费年限的长短直接挂钩，如果缴费年限只有15年，那么在调整养老金待遇时始终都要受到影响。因此，缴费年限越长，缴费额就越大，个人账户的总积累额就越多，退休后领取的基础养老金也就越多。

3、改革现有的按工资指数化的管理方法，以相应地减轻养老金支付负担和转制成本，从而缓解养老基金收支不平衡的状况。

理由：由于职工缴纳的保险费与领取的保险费均按一定的比例与工资挂钩，因此一旦工资增长后，职工所缴纳与所领取的保险费也会随着增长。所以降低工资增长率可以缓解养老金支付负担。但是工资增长率是很难降低的，因为经济学原理表明在市场经济下生产率的增长最终将导致劳动需求的增长，以及一般工资水平的提高，而工资的增长又富有刚性。所以要通过降低工资的增长率来缩减养老金负担是很难实现的。

但若我们从另外一个角度来分析的话，即养老金的发放额不与工资挂钩、不按工资进行指数化的话，我们仍能在工资增长时实现减轻养老金负担的目标。这时，养老金管理就应从与工资增长指数挂钩转向与消费者物价指数挂钩，这种转换，理论分析其实也是可行的。因为养老金管理的首要目标是使其保值，保证退休人员生活水平不下降，所以首先应与消费者物价指数挂钩。过去20年，我国工资增长一直较快，年平均5．7％，预计今后20年仍将以3％一5％的速度增长。如此高的增长速度，大大增加了与其挂钩的养老金负担和转制成本。既然理论分析表明，养老金应首先与消费者物价指数挂钩，使其保值，那么我们就应该尽快改革现有的按工资指数化的管理方法，以相应地减轻养老金支付负担和转制成本，

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从而缓解养老基金收支不平衡的状况。

4、建立专门部门管理职工上缴个人账户养老金，为基金做投资增加基金收益率。

理由：据有关统计资料显示，截至2006年底，我国养老保险基金的收益率达到了9.6％。但是在从2003年至2007年的5年问，我国养老保险基金名义投资收益率为2.18％，而同期加权通胀率为2.2％[9]。可见，养老基金的实际收益率是在贬值缩水。而低的基金收益率是目前我国部分积累基金制度下收支不平衡的重要原因。可以说，决定缴费率的最主要的因素便是养老金投资的实际收益率。因为当养老金支付水平相同时，较高的基金收益率可以要求较低的缴费率。当前，我国由于受到投资政策及风险管理水平的约束，养老基金的80％左右必须投到国有银行或购买国家债券，这样便无法保证较高的收益率，相应也就要求较高的缴费率，而高缴费率又造成低覆盖率和低收缴率，从而间接地影响了养老保费的收入总额，大大弱化了部分积累式的自我保障功能，甚至导致支付危机。再者，由于我国的经济运行存在着一定的通货膨胀率，这又使得原本不多的低收益率的养老基金积累显得更少，从而进一步加速了养老金支付的困难。因此，必须加强对基金收益与风险辩证关系的研究，在保证基金安全的前提下，采取科学有效的措施，逐步拓宽养老基金的投资渠道，提高养老基金投资的收益率。

六、模型的分析与评价[2]

我们对题目所给数据进行了充分利用，与模型进行拟合，挖掘其中隐含拐点

的各因素变化趋势，对题目要求解决的每一个问题都做了比较彻底、圆满的解答。所给的反正切模型是一个对称模型，也是一个典型的“S”型模型，与实际中国经济发展势头基本吻合，是一个较为完美、经典的模型。其模型的优点：

1、思路清晰、简明易懂、彻底全面。模型建立使得预测的中国未来几十年的经济发展趋势形象表达出来。

2、对四个问题解答环环相扣。上一问题的解答为下一问题的解答提供依据。 3、体现了中国经济发展呈S型增长的基本规律。 4、该模型对回归系数统计显著，符合问题一的要求。模型的不足之处依然存在：

1、现实存在诸多不确定的因素，例如政府对每月缴纳养老金的金额和数量或者年龄利率有所改变时，可能会影响假设的不成立或者计算结果不合理。 2、根据我们的预测模型得到的年平均工资的预测结果，在2016年以后增长率就下降到5%以下，到2025年以后甚至低于1%。这表明模型的预测结果在2016年后增长非常缓慢。这说明受到模型本身曲线形态的局限性，

参考文献

[1] 周品，赵新芬，MATLAB数学建模与仿真[M]，北京：国防工业出版社，2009. [2] 赫孝良，戴永红，周义仓，数学建模竞赛赛题简析与论文点评，西安：西安交通大学出版社，2002.

[3] 刘承平，数学建模方法，北京：高等教育出版社，2002.

[4] 穆怀中，柳清瑞等，中国养老保险制度改革关键问题研究[M]，北京：中国劳动社会保障出版，2006.

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[5] 毕小龙，中国社会养老保险制度:经济转型、人口老龄化与社会养老保险[M]，广州：暨南大学出版社，2009.

[6] 中华人民共和国国家统计局，，2011.9.11

[7] 腾讯财经聚焦十二五，十一五我国GDP年均实际增长11.4% 国力更强，/a/20101018/001246.htm，2011.9.11

[8] 姜启源，数学模型[M]，第3版，北京：高等教育出版社，2003. [9] 新浪财经，养老金空涨超9000亿元实际收益率贬值缩水,

, 2011.9.11

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附件

山东省职工历年平均工资统计表

年份 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995

平均工资

566 632 745 755 769 789 985 1110 1313 1428 1782 1920 2150 2292 2601 3149 4338 5145

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1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010

5809 6241 6854 7656 8772 10007 11374 12567 14332 16614 19228 22844 26404 29688 32074

注：1.2010年前的数据来源于《山东省统计年鉴2010》

x=1:32; x=1:32;

y=[381 419 463 492 528 583 695 858 963 1112 1366 1519 1644 1893 2311 2998 4044 ... 5046 5846 6420 6796 7159 7858 8622 9398 10542 12336 14185 16500 20169 23708 25575]; fun=inline('a(1)*atan(a(2)*x-a(3))+a(4)','a','x');[a,J]=lsqcurvefit(fun,[20000,3,30,20000],x,y); z=a(1)*atan(a(2)*x-a(3))+a(4);

x1=1:58;z=a(1)*atan(a(2)*x1-a(3))+a(4);plot(x,y,'k'),hold on,plot(x1,z,'k:')

预测2035年工资预测模型编程

x=1:33; y=[566 632 745 755 769 789 985 1110 1313 1428 1782 1920 2150 2292 2601

企业退休职工养老金制度的改革论文

3149 4338 5145 5809 6241 6854 7656 8772 10007 11374 12567 14332 16614 19228 22844 26404 29688 32074 ]';

fun=inline('a(1)*atan(a(2)*x-a(3))+a(4)','a','x');[a,J]=lsqcurvefit(fun,[20000,1,20,45500],x,y)

z=a(1)*atan(a(2)*x-a(3))+a(4);

x1=1:58;z=a(1)*atan(a(2)*x1-a(3))+a(4);plot(x,y,'k-o'),hold on,plot(x1,z,'k:')

年平均工资与GDP之间的先行关系拟合图

a =

566 632 745 755 769 789 985 1110 1313 1428 1782 1920 2150 2292 2601 3149 4338

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