09考研高等数学强化讲义(第七章)全

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1 新东方考研高等数学电子教材

主讲：汪诚义

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教材说明：本教案是针对新东方在线使用的内部讲义，本讲义按章节提供。根据老师的意见，

例题的解题步骤不给提供，在课件的板书上有显示，学员自己可以先做题目再听

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第七章 多元函数积分学

§7.1 二重积分

（甲）内容要点

一、在直角坐标系中化二重积分为累次积分以及交换积分顺序问题

口诀（40

）：多重积分的计算，累次积分最关键。

模型I ：设有界闭区域

()()(){}x y x b x a y x D 21,|,??≤≤≤≤=

其中()x 1?，()x 2?在[]b a ,上连续，()y x f ,在D 上连续，则

新东方在线 [7103a7f1f90f76c661371add] 网络课堂电子教材系列 09考研高等数学第七章 2 ()()()()()??????==x x

b a D D dy y x f dx dxdy y x f d y x f 21,,,??σ

模型II ：设有界闭区域

()()(){}y x y d y c y x D 21,|,??≤≤≤≤=

其中()y 1?，()y 2?在[]d c ,上连续，()y x f ,在D 上连续

则()()()()()??????==y d c D D y dx y x f dy dxdy y x f d y x f 21,,,??σ

关于二重积分的计算主要根据模型I 或模型II ，把二重积分化为累次积分从而进行计算，对于比较复杂的区域D 如果既不符合模型I 中关于D 的要求，又不符合模型II 中关于D 的要求，那么就需要把D 分解成一些小区域，使得每一个小区域能够符合模型I 或模型II 中关于区域的要求，利用二重积分性质，把大区域上二重积分等于这些小区域上二重积分之和，而每个小区域上的二重积分则可以化为累次积分进行计算。

在直角坐标系中两种不同顺序的累次积分的互相转化是一种很重要的手段，具体做法是先把给定的累次积分反过来化为二重积分，求出它的积分区域D ，然后根据D 再把二重积分化为另外一种顺序的累次积分。

口诀（41）：交换积分的顺序，先要化为重积分。

二、在极坐标系中化二重积分为累次积分

在极坐标系中一般只考虑一种顺序的累次积分，也即先固定θ对γ进行积分，然后再对θ进行积分，由于区域D 的不同类型，也有几种常用的模型。

模型I 设有界闭区域

()()(){}θ?γθ?βθαθγ21,|,≤≤≤≤=D

其中()θ?1，()θ?2在[]βα,上连续，()()θγθγsin ,cos ,f y x f =在D 上连续。

新东方在线 [7103a7f1f90f76c661371add] 网络课堂电子教材系列 09考研高等数学第七章 3 则

()()()()()

??????==θ?θ?βαγγθγθγθθγγθγθγσ21 sin ,cos sin ,cos ,d f d d d f d y x f D D

模型II 设有界闭区域

()(){}θ?γβθαθγ≤≤≤≤=0,|,D

其中()θ?在[]βα,上连续，

()()θγθγs i n ,c o s ,f y x f =在D 上连续。

则

()()()()??????==θ?βαγγθγθγθθγγθγθγσ0 sin ,cos sin ,cos ,d f d d d f d y x f D D

（乙）典型例题

一、二重积分的计算

例1．计算??-D y dxdy e

2，其中D 由x y =，1=y 和y 轴所围区域

解：如果????--=11022x y D

y dy e dx dxdy e

那么先对2y e -求原函数就不行，故考虑另一种顺序的累次积分。

????--=y y D y dx e dy dxdy e

0102

2 这时先对x 积分，2y e -当作常数处理就可以了。

新东方在线 [7103a7f1f90f76c661371add] 网络课堂电子教材系列 09考研高等数学第七章 4 原式[]???

??

-=-==--?e e dy ye y y 1121012122

10

例2．计算

??≤≤-2

1

2y x dxdy x y

解：原式???-??????-+-=11220222

x x dy x y dy y x dx

????----+---=11112

2202222

)()(x x x y d x y dx y x d y x dx

=()()dx x y y

x y dx y x y y x 21

122

1123222

32032==-+==--??--

=()23523232

112321

13π

+=-+??--dx x dx x

例3．求()σd y y x I D

??++=22

()114

:2222≥++≤+y x y x D

解一：??????-=小圆

大圆D D D

[]????++=++大圆

大圆D D d y x d y y x 02222σσ（对称性）

新东方在线 [7103a7f1f90f76c661371add] 网络课堂电子教材系列 09考研高等数学第七章 5 πθπ316

20220==??dr r d

932

0232cos 20222==++=

??????-π

πθθσdr r d d y x D D 小圆小圆

()()23916

22-=++∴??πσd y y x D

解二：由积分区域对称性和被积函数的奇偶性可知

0=??D

yd σ

σσd y x d y x D D ????+=+上

22222

原式=???

?

????+++????σσd y x d y x D D 2122222上上 =??

?

???+????-2cos 2222022

02θπππ

θθdr r d dy r d

=()23916

91634342-=???

??????

??-+πππ

二、交换积分的顺序

例1．交换()??-ax x ax a

dy y x f dx 22202,的积分顺序

解：原式=()??D

dxdy y x f ,

新东方在线 [7103a7f1f90f76c661371add] 网络课堂电子教材系列 09考研高等数学第七章 6 其中D 由22x ax y -=和ax y 2=以及a x 2=所围的区域

321UD UD D D =

由2

222222y a a x x ax y a y x ax

y -±=-===解出解出 因此按另一顺序把二重积分化为累次积分对三块小区域得

原式=()()()??????++-+--a

a y a a a y a a a y a a a y a

dx y x f dy dx y x f dy dx y x f dy 2222020222222

,,, 例2．设()y f '连续，证明

()()()()()[]000f a f dy y x x a y f dx I x a

-=--'=??π

证明：交换积分次序

()????? ??+--??? ??-'=a y a

y a x y a dx y f dy I 22022

令t y a y a x sin 22-=+-

，则tdt y a dx cos 2

-=， ()()()()[]0c o s 2c o s 20220f a f dy y f dt t y a t y a dy y f I a a -='=--'=???-ππππ

例3．计算?+∞-=

02dx e I x 解：????+∞+∞+∞+-+∞--==

000)(022222dxdy e dy e dx e I y x y x ??=??

????-==∞

+-∞+-2

000421222πππθr r e rdr e d

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=∴I

三、二重积分在几何上的应用

1．求空间物体的体积（数学一）

例1．求两个底半径为R 的正交圆柱面所围立体的体积

解：设两正交圆柱面的方程为222R y x =+和222R z x =+，它们所围立体在第一卦限中的那部分体积

??-=D dxdy x R V 221

其中D 为R x ≤≤0， 220x R y -≤≤

因此 ()3022022013

222R dx x R dy x R dx V R x R R

=-=-=???- 而整个立体体积由对称性可知

8=V 31316R V =

例2．求球面22224R z y x =++和圆柱面Rx y x 222=+ )0(>R 所围（包含原点那

一部分）的体积

解：??--=D dxdy y x R V 222144

其中D 为xy 平面上22x Rx y -=与x 轴所围平面区域用极坐标系进行计算

????-=-=θπθθcos 202220224444R D ra r R d rdrd r R V

()??? ??-=-=?322332sin 133232

03

πθπ

R R

2．求曲面的面积（数学一）

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8 §7.2 三重积分（数学一）

（甲）内容要点

一、三重积分的计算方法

1．直角坐标系中三重积分化为累次积分

（1）设Ω是空间的有界闭区域

(){}D y x y x z z y x z z y x ∈≤≤=Ω),( ),,(),(,,21

其中D 是xy 平面上的有界闭区域，),(),,(21y x z y x z 在D 上连续函数),,(z y x f 在Ω上连续，则

??????=Ω),(),(21),,(),,(y x z y x z D dz z y x f dxdy dv z y x f

（2）设{})(),(,),,(z D y x z z y x ∈≤≤=Ωβα

其中)(z D 为竖坐标为z 的平面上的有界闭区域，则

??????=Ω)(),,(),,(z D dxdy z y x f dz dv z y x f β

α

2．柱坐标系中三重积分的计算

??????Ω

Ω=dz rdrd z r r f dxdydz z y x f θθθ),sin ,cos (),,(

相当于把),(y x 化为极坐标),(θr 而z 保持不变

3．球坐标系中三重积分的计算

?????===θρ?θρ?θρcos sin sin cos sin z y x

????

? ??≤≤≤≤≥π?πθρ200 0

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9

??????Ω=?θρθρ

θρ?θρ?θρd d d f dxdydz z y x f D sin )cos ,sin sin ,cos sin (),,(2

（乙）典型例题

一、有关三重积分的计算

例1．计算

???Ω

dxdydz z xy 32，其中Ω由曲面xy z =，x y =，1=x ，0=z 所围的区域

解：??????=Ωxy x dz z xy dy dx dxdydz z xy 03201032

364128141101206510===???dx x dy y x dx x

例2．计算???Ω???? ?

?++dxdydz c z b y a x 222222，其中Ω由曲面122

2222=++c z b y a x 所围的区域

解：令?θρcos sin a x =，?θρsin sin b y =，θρcos c z =（广义球坐标）

则 abc d d d abc dxdydz c z b y a x πρρθθ?ππ54sin 010*********==???? ?

?++??????Ω 例3．计算???Ω++dxdydz z y x 222，其中Ω由曲面z z y x =++222所围的区域

解：用球坐标（Ω的球坐标方程θρρcos 2=化简为θρcos =）

??????Ω=++θππρθρθ?cos 032020222sin d d d dxdydz z y x

10025cos 2sin cos 4125204ππ

θπθθθππ=??????-=?=?d 例4．计算()

d xdydz y x

???Ω+22，其中Ω由曲面z y x 222=+，2=z 所围的区域

新东方在线 [7103a7f1f90f76c661371add] 网络课堂电子教材系列 09考研高等数学第七章 10 解： ()??????????

? ??-==+Ω20322220320222222dr r r dz dr r d dxdydz y x

r π?π 31602122264ππ=??

????-=r r

二、在物理上的应用

例1．求椭圆锥面22

2222c

z b y a x =+和平面c z =围成物体的重心（设密度均匀恒为1）

解：设重心坐标()z y x ,,物体所占空间区域为Ω

由对称性可知0=x ，0=y

??????ΩΩ

=dxdydz

zdxdydz z

由锥体体积公式可知3abc dxdydz π=

???Ω

令θcos ar x =，θsin br y =，ct z =

而 ??????=Ω1

10202r t d t

r d r d a b c z d x d y d z πθ 42)1(22

1

022abc dr r r abc ππ=-=? 因此，重心坐标0=x ，0=y ，4

3c z = 例2．设有一半径为R 的球体，0P 是球表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该

新东方在线 [7103a7f1f90f76c661371add] 网络课堂电子教材系列 09考研高等数学第七章 11 点到0P 的距离平方成正比（比例系数0>k ），求球体重心的位置

解一：设球面方程为2222R z y x =++，0P 为()0,0,R ，球体Ω的重心坐标为()z y x ,,由对称性可知0=y ，0=z

()[]()

[]??????ΩΩ++-++-?=dv z y R x k dv z y R x k x x 222222

由区域的对称性和函数的奇偶性，则有

02=-???Ωxdv R

[]02222=+++???Ωdv z y R x x 于是()

[]()?????????Ω

ΩΩ+++=++-dv R dv z y x dv z y R x 2222222 53204020 15323 4 sin R R R d d d R ππρθρθ?ππ=?+=

??? ()

[]

??????ΩΩ-=++-dv x R dv z y R x x 22222 ()

6222 15832R dv z y x R π-=++-=???Ω 因此4R x -=，重心坐标为??

? ??-0,0,4R

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12

解二：设球面坐标()2222R R z y x =-++，()0,0,00P ，重心坐标()

z y x ,, 由对称性可知0=x ，0=y

[][]??????Ω

Ω++++?=dv z y x

k dv

z y x k z z 222222 []??????=++Ωθππρθθρθ?cos 2052020222 sin cos 4R d d d dv z y x

z

62076 3

8 sin cos 364R d R πθθθππ==? ()520cos 20420222 15

32 sin 4R d d d dv z y x

R πρθρθ?πθπ==++??????Ω 于是R z 45=，重心坐标??? ?

?R 45,0,0 §7.3 曲线积分（数学一）

（甲）内容要点

一、第一类 曲线积分（对弧长的曲线积分）

参数计算公式

我们只讨论空间情形（平面情形类似）

设空间曲线L 的参数方程()t x x =，()t y y =，()t z z =，()βα≤≤t

则

()()()()[]()[]()[]()[]dt t z t y t x t z t y t x f ds z y x f L 222,,,,'+'+'=??βα

新东方在线 [7103a7f1f90f76c661371add] 网络课堂电子教材系列 09考研高等数学第七章 13 （假设()z y x f ,,和()t x '，()t y '，()t z '皆连续）这样把曲线积分化为定积分来进行计算

二、第二类 曲线积分（对坐标的曲线积分）

参数计算公式

我们只讨论空间情形（平面情形类似）

设空间有向曲线L 的参数方程()t x x =，()t y y =，()t z z =，起点A 对应参数为α，终点B 对应参数为β（注意：现在α和β的大小不一定βα<）如果()z y x P ,,，()z y x Q ,,，()z y x R ,,皆连续，又()t x '，()t y '，()t z '也都连续，则

()()()??=++AB L dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ,,,,,,

()()()[]()()()()[]()()()()[](){}?'+'+'=β

αdt t z t z t y t x R t y t z t y t x Q t x t z t y t x P ,,,,,, 这样把曲线积分化为定积分来计算。值得注意：如果曲线积分的定向相反，则第二类曲线积分的值差一个负号，而第一类曲线积分的值与定向无关，故曲线不考虑定向。

三、两类曲线积分之间的关系

空间情形：设AB L ?

=为空间一条逐段光滑有定向的曲线，()z y x P ,,，()z y x Q ,,，()z y x R ,,在L 上连续，则

()()()??++AB

dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ,,,,,, ()()()[]ds z y x R z y x Q z y x P AB

??++=γβαcos ,,cos ,,cos ,, 其中αcos ，βcos ，γcos 为曲线孤上AB 上点()z y x ,,处沿定向A 到B 方向的切线的方向余弦。

四、格林公式

关于平面区域上的二重积分和它的边界曲线上的曲线积分之间的关系有一个十分重要的定理，它的结论就是格林公式。

定理1．（单连通区域情形）

设xy 平面上有界闭区域D 由一条逐段光滑闭曲线L 所围的单连通区域，当沿L 正定向移动时区域D 在L 的左边，函数()y x P ,，()y x Q ,在D 上有连续的一阶偏导数，则有 ???+=???? ?

???-??L D Qdy Pdx dxdy y P x Q

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14

五、平面上曲线积分与路径无关的几个等价条件

设()y x P ,，()y x Q ,在单连通区域D 内有一阶连续偏导数，则下面几个条件彼此等价

1．任意曲线AB L =在D 内()()dx y x Q dx y x P L

,,+?与路径无关 2．D 内任意逐段光滑闭曲线C ，都有()()?=+C

dy y x Q dx y x p 0,, 3．()()()y x du dy y x Q dx y x P ,,,=+成立

4．D 内处处有y

P x Q ??=??

（乙）典型例题

一、用参数公式直接计算

例．计算曲线积分

?-+-+-=L

dz y x dy z x dx x z I ,)()()( 其中L 是曲线?

??=+-=+2122z y x y x ，从Z 轴正向往负向看L 的方向是顺时针方向。 解：曲线L 是圆柱面12

2=+y x 和平面2=+-z y x 的交线，是一个椭圆周，它的参数方程（不是唯一的选法）最简单可取θcos =x ，θsin =y ，θθsin cos 22+-=+-=y x z ，根据题意规定L 的定向，则θ从π2变到0，于是 ()()()()()[]?+-+-+-+--=0

2cos sin sin cos cos sin cos 22sin cos 2πθ

θθθθθθθθθd I ()[]?--+-=0

212c o s 2c o s s i n

2πθθθθd π2-=

二、用格林公式等性质来计算曲线积分

例1．求()[][]

?-++-=L x x dy ax y e dx y x b y e I cos sin ，其中a ，b 为正的常数，L

新东方在线 [7103a7f1f90f76c661371add] 网络课堂电子教材系列 09考研高等数学第七章 15 为从点()0,2a 沿曲线22x ax y -=到点()0,0的弧

解一：用格林公式，但L 不是封闭曲线，故补上一段1L ，它为从()0,0沿0=y 到()0,2a 的有向直线。这样1L L 构成封闭曲线，为逆时针方向

于是 211

1I I Q d y P d x Q d y P d x I L L L -=+-+=?? ， 令()[]

P y x b y e x =+-sin []Q ax y e x =-cos ，根据格林公式

d x d y y P x Q Q d y P d x I D L L ??????? ?

???-??=+=?11 ()()a b a d x d y a b D -=-=??22

π 这里D 为由L 和1L 围成的上半圆区域。

另外，在1L 上，0=y ，0=dy ，故

()b a dx bx Qdy Pdx I a L 220221-=-=+=??

于是3221222a b a I I I ππ-??

? ??+=-= 解二：我们把所给曲线积分拆成两项

()43c o s s i n I I a x d y dx y x b ydy e ydx e I L

L x x -=++-+=?? 在3I 中，由于[][]

y e y y e x x x sin cos ??=??，故积分与路径无关 又看出[][][]

dy y e dx y e y e d x x x cos sin sin +=

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16 因此 ()()

00,20,0s i n 3==a y e I x 而在4I 中，取L 的参数方程t a a x cos +=，t a y sin =，t 从0到π

于是 ()d t t a t a t b a t t b a t b a I ?++---=

π023322224cos cos sin cos sin sin b a a 23222??

? ??+-=ππ 因此，3243222a b a I I I ππ-??

? ??+=-= 例2．计算曲线积分

?+-L y

x ydx xdy 224，其中L 是以()0,1为圆心，()1>R 为半径的圆周，取逆时针方向。

解：令224y x y P +-=，2

24y x x Q += 当()()0,0,≠y x 时，y

P x Q ??=??成立 因此，不能在L 的内部区域用格林公式

设法用曲线C 在L 的内部又包含原点在C 的内部，这样在C 与L 围成的二连通区域内可以用格林公式

今取曲线C ：?????==θ

δθδsin cos 2y x ()1-

令C 与L 围成区域为D （二连通区域）

根据格林公式

新东方在线 [7103a7f1f90f76c661371add] 网络课堂电子教材系列 09考研高等数学第七章 17 ????+++=???? ?

???-??=C L D Qdy Pdx Qdy Pdx dxdy y P x Q 0 （逆时针） （顺时针）

于是???-+=+-=+=C

C L Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx I （顺时针） （逆时针）

用C 的参数公式代入后，得

πθδ

δπ

==?d I 202221 ［注：这里取C 为上述椭圆周，最后计算最简单，如果取C 为θδcos =x ，θδsin =y 的圆周，那么最后的积分就比较复杂[]

θθθδδπ

d I ?+=202222sin cos 4］ 例3．设函数()y ?具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上，曲线积分?++L y x xydy

dx y 4222)(?的值恒为同一常数。

（I ）证明：对右半平面0>x 内的任意分段光滑简单闭曲线C ，有

()02242=++?C y x xydy

dx y ?；

（II ）求函数()y ?的表达式。

（I ）证如图，

设C 是半平面0>x 内的任一分段光滑简单闭曲线，在C 上任意取定两点M ，N ，作围绕原点的闭曲线，同时得到另一围绕原点的闭曲线。

根据题设可知

新东方在线 [7103a7f1f90f76c661371add] 网络课堂电子教材系列 09考研高等数学第七章 18 022)(22)(4242=++-++=

??MQNRM MQNPM y x xydy dx y y x xydy dx y ??

根据第二类曲线积分得性质，利用上式可得

0=

（II ）解：设()422y x y P +=

?，4222y x xy Q +=，Q P ,在单连通区域0>x 内具有一阶连续偏导数。

由（I ）知，曲线积分()?++L y x xydy

dx 4222γ?在该区域与路径无关，故当0>x 时，总有

y

P x Q ??=??。 ()()()

2425

22424222422422y x y y x y x xy x y x y x Q ++-=+?-+=??， ① ()()()()()()()()

2423

42242342242242y x y y y y y x y x y y y x y y P +-'+'=+-+'=???????， ② 比较①、②两式的右端，得

()()()???=-'-='53424,2y

y y y y y y ??? 由③得 ()c y y +-=2?，将()y ?代入④得 535242y cy y =-，

所以0=c ，从而()2

y y -=?

三、应用

例．在变力k xy j zx i yz F ++=的作用下一质点由原点沿直线到椭球面

③ ④

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19 122

2222=++c

z b y a x 上第一卦限的点()ζηξ,,M 问ζηξ,,取何值时，F 作功W 最大，并求max W 。

解：设线段OM 的参数方程t x ξ=，t y η=，t z ζ=，()10≤≤t ，则F 在OM 上

作功

()??++=++?=OM OM xydz zxdy yzdx k dz j dy i dx F W

ξηζξηζ==?dt t 21

0 3

用拉格朗日乘子法求条件极值。构造函数

()????

??---+=2222221,,,c b a G ζηξλξηζλζηξ

022=-='ξλ

ηζξa G （1）

022=-='ηλ

ξζηb G （2）

022=-='ζλ

ξηζc G （3）

0122

2222=---='c b a G ζηξλ （4）

()()()321?+?+?ζηξ得()0123=-+λξηζ （5）

由（1）得ξληζ22a =代入（5）得322a =ξ，则a 33

=ξ，

同理得b 33

=η，c 33

=ζ，

a b c

a b c W 93333

m a x =???? ??=

故原点到???? ??c b a 33,33,33作功最大，最大功为abc 9

3

§7.4 曲面积分 （数学一）

新东方在线 [7103a7f1f90f76c661371add] 网络课堂电子教材系列 09考研高等数学第七章 20 （甲）内容要点

一、第一类曲面积分（对面积的曲面积分）

基本计算公式

设曲面S 的方程()y x z z ,=，()D y x ∈,

()y x z ,在D 上有连续偏导数，()z y x f ,,在S 上连续，则

()()[]

d x d y y z x z y x z y x f ds z y x f D S 2

21,,,,,???? ????+??? ????+=???? 这样把第一类曲面积分化为二重积分进行计算

二、第二类曲面积分（对坐标的曲面积分）

基本计算公式

??++S

dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(

如果曲面S 的方程()y x z z ,=，()xy D y x ∈,

()y x Z ,在xy D 上连续，()z y x R ,,在S 上连续，则

()()[]????±=S D dxdy y x z y x R dxdy z y x R xy

,,,,,

若曲面S 指定一侧的法向量与Z 轴正向成锐角取正号，成钝角取负号，这样把这部分曲面积分化为xy 平面上的二重积分，其它两部分类似地处理。

三、两类曲面积分之间的关系

[]????++=++S S

dS y R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz cos cos cos βα

其中γβαcos ,cos ,cos 为曲面S 在点()z y x ,,处根据定向指定一侧的法向量的三个方向余弦

令{}R Q P F ,,= ，{}γβαcos ,cos ,cos 0=n

?????=++S S

ds n F Rdxdy Qdzdx Pdydz 0

四、高斯公式

定理 设Ω是由分块光滑曲面S 围成的单连通有界闭区域，()()()z y x R z y x Q z y x P ,,,,,,,,在Ω上有连续的一阶偏导数，则

新东方在线 [7103a7f1f90f76c661371add] 网络课堂电子教材系列 09考研高等数学第七章 21 ?????++=???? ????+??+??Ω)

( 外侧S Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z R y Q x P []??++=S

dS R Q P γβαcos cos cos

其中γβαcos ,cos ,cos 为S 在点()z y x ,,处的法向量的方向余弦

五、斯托克斯公式

定理：设L 是逐段光滑有向闭曲线，S 是以L 为边界的分块光滑有向曲面，L 的正向与S 的侧（取法向量的指向）符合右手法则，函数()()()z y x R z y x Q z y x P ,,,,,,,,在包含S 的一个空间区域内有连续的一阶偏导数，则有

?++L R d z Q d y P d x ????????=S R

Q P z y x dxdy

dzdx dydz d x d y y P x Q d z d x x R z P d y d z z Q y R S ???? ????-??+??? ????-??+???? ?

???-??=?? 也可用第一类曲面积分

?????????=++S L dS R

Q P

z y x Rdz Qdy Pdx γβα

cos cos cos

六、梯度、散度和旋度 1．梯度 设()z y x u u ,,=，则???

? ????????=z u y u x u gradu ,, 称为u 的梯度，令???

?

????????=?z y x ,,是算子 则u gradu ?= 2．散度 设()()()()z y x R z y x Q z y x P F ,,,,,,,,=

则

F z

R y Q x P d i v F ??=??+??+??= 称为F 的散度

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