导数含参数问题讲义

导数含参数问题

类型一：没有其他未知字母情况下，求单调性，极值，最值 例1：设函数f(x)?x3?ax2?9x?1(a?0).若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行，求：（Ⅰ）a的值;（Ⅱ）函数f(x)的单调区间. 解：(Ⅰ) a??3,由题设a?0,所以a??3.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知a??3,因此f(x)?x3?3x2?9x?1, f?(x)?3x2?6x?9?3(x?3(x?1) 令f?(x)?0,解得：x1??1,x2?3.

当x?(??,?1)时，f?(x)?0,故f(x)在(??，?1）上为增函数； 当x?(?1,3)时，f?(x)?0,故f(x)在（?1， 3）上为减函数； 当x?(3,+?)时，f?(x)?0,故f(x)在（3，??）上为增函数. 由此可见，函数f(x)的单调递增区间为(??,?1）和（3，??）； 单调递减区间为（?1，3）.

变式训练1：设函数f(x)?x4?ax3?2x2?b(x?R)，其中a，b?R． 10（Ⅰ）当a??时，讨论函数f(x)的单调性； 3

（Ⅱ）若函数f(x)仅在x?0处有极值，求a的取值范围；

（Ⅰ）解：f?(x)?4x3?3ax2?4x?x(4x2?3ax?4)． 101时，f?(x)?x(4x2?10x?4)?2x(2x?1)(x?2)．令f?(x)?0，解得x1?0，x2?，32

?1??1??)是增函数，在(?∞，0)，?，2?内是减函数． x3?2．f(x)在?0?，(2，∞22???? 2（Ⅱ）解：f?(x)?x(4x2?3ax?4)，显然x?0不是方程4x?3ax?4?0的根．当a??

为使f(x)仅在x?0处有极值，必须4x?3ax?4≥0恒成立，即有??9a?64≤0．解此不等式，得?≤a≤．这时，f(0)?b是唯一极值． a的取值范围是???． 33332288?88???

类型二：结合函数的图像与性质求参数的取值范围问题 例2：设a为实数，函数f(x)?x3?x2?x?a。 （1）求f(x)的极值；

（2）当a在什么范围内取值时，曲线y?f(x)与x轴仅有一个交点。 解：（1）f?(x)?3x2?2x?1，若f?(x)?0，则x??,1 1 3

?1?5?a，极小值是f(1)?a?1。所以f(x)的极大值是f????327?? （2）函数f(x)?x3?x2?x?a?(x?1)2(x?1)?a?1。 由此可知x取足够大的正数时，有f(x)?0，x取足够小的负数时，有f(x)?0，所以曲线y?f(x)与x轴至少有一个交点.结合f(x)的单调性可知： 当f(x)的极大值 在(1,??)上；

当f(x)的极小值a?1?0时，即a?(1,??)上时，它的极大值也大于0，y?f(x)与x轴仅一个交点，它在5?5??a?0，即a????,??时，它的极小值也小于0，y?f(x)与x轴仅有一个交点，它27?27?

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