2016年全国高中数学联赛江西省预赛试题及其解答

1 D

A B 2016年全国高中数学联赛江西省预赛

试题解答

2016年6月5日上午8:3011:00--

一、填空题（每小题7分，共56分）

1、若()22016log 65y x ax =-+的值域为R +，那么a 的取值范围是 ．答案：1616a -<<．

解：由值域y R +∈，2651x ax ∴-+>，2

640x ax ?-+> 24640a ∴?=-?<，∴1616a -<<.

2、

四面体ABCD 中，ABC ?是一个正三角形，2AD BD ==，AD BD ⊥， AD CD ⊥，则D 到面ABC 的距离为

．答案：．

解：如图，据题意得，AB ==

于是BC CA AB ===

2CD =

=， 因222BC BD CD =+，得BD CD ⊥，从而以D 为顶点的三面角是三直三面角，

四面体体积1433

BCD V AD S ?=?=

，而2ABC S AB ?== 若设D 到面ABC 的距离为h ，

则13ABC V h S ?=

?=，

43=，

得到3

h =． 3、若对于所有的正数,x y ，

≤，则实数a 的最小值是

．答案：．

2

解：由22

1+=

≤， 当x y =时取等号． 4、已知P 是正方形ABCD 内切圆上的一点，记,APC BPD αβ∠=∠=，则22tan tan αβ+= ．答案：8．

解：如图建立直角坐标系，设圆方程为222x y r +=，

则正方形顶点坐标为(,),(,),(,),(,)A r r B r r C r r D r r ----若点P 的坐标为(cos ,sin )P r r θθ，于是直线 ,,,PA PB PC PD 的斜率分别为

1sin 1sin ,1cos 1cos PA PB k k θθθθ++==-+-，1sin 1sin ,1cos 1cos PC PD k k θθθθ

--==--+， 所以222tan 4(cos sin )1PC PA PA PC k k k k αθθ??-==- ?+??

，

222tan 4(cos sin )1PD PB PB PD k k k k βθθ??-==+ ?+??

，

由此立得22tan tan 8αβ+=．

解2：取特例，P 在坐标轴上，则αβ=，

这时，2tan cot 2tan 1

αγβ====，2222tan tan 228αβ∴+=+= 5、等差数列2,5,8,,2015与4,9,14,,2014的公共项（具有相同数值的项）的个数是 ．答案：134． 解：将两个数列中的各项都加1，则问题等价于求等差数列3,6,9,,2016与等差数列5,10,15,,2015的公共项个数；前者是{}1,2,3,,2016M =中的全体能被3整除的数，后者是M 中的全体能被5整除的数，故公共项

3 9

87654321是M 中的全体能被15整除的数，这种数有201613415??=????

个． 6、设x 为锐角，则函数sin sin 2y x x =的最大值是 ．

答案：9

． 解：由2

2sin cos y x x =，

得2422224sin cos 2(1cos )(1cos )2cos y x x x x x ==--? 33222(1cos )(1cos )2cos 216223327x x x ??-+-+??≤=?= ? ?????

，

所以9y ≤．当21cos 3

x =时取得等号． 7、若将前九个正整数1,2,3,4,5,6,7,8,9分别填写于一张33?方格表的九个格子中，使得每行三数的和，每列三数的和皆为质数，你的填法是 解答：（答案有多种）

8、把从1到n (1)n >这n 个连续正整数按适当顺序排成一个数列，使得数列中每相邻两项的和为平方数，则正整数n 的最小值是 ．答案：15． 例如，排出的一个数列为

(8,1,15,10,6,3,13,12,4,5,11,14,2,7,9)．

解：这是一个操作问题，若用文字表达较为繁琐，故适宜作为填空题直接操作．

记这n 个连续正整数的集合为{}1,2,,M n =，由于1n >，

则M 中必有2，而279+=，所以7n ≥，当7n =时，从1到7这7个数可以搭配成满足条件的三个数段：

(1,3,6),(2,7),(4,5)，但它们不能连接成一个7项的数列，故应增加后续的

4

数，增加8可使得第一段扩充成(8,1,3,6)，增加9可使得第二段扩充成(2,7,9)，但新的三段也不能连接，还需增加新数，即10n ≥，而之前的数若与8,9,10邻接，只有819,9716,+=+=10616+=，这三段扩充为 (8,1,3,6,10)，(2,7,9)，(4,5)，仍旧不能连接，应当借助新的平方数25，从1到10这10个数能搭配成和为25的最小数是15，则15n ≥，而当{}1,2,,15M =时，可排出上面的情形：

(8,1,15,10,6,3,13,12,4,5,11,14,2,7,9)．

二、解答题（共64分）

9、（14分）如图，CD 是椭圆22221x y a b

+=过椭圆长轴的左顶点A 作CD 另一点N ，交椭圆短轴所在直线于M ，

证明：AM AN CO CD ?=?． 证1：椭圆方程为cos ,sin x a y b θθ==， 点,A N 的坐标为(,0),(cos ,sin )A a N a b θθ-，则直线AN 方程为cos sin x a t y t θθ=-+??=?

， ……3' 代入椭圆方程得到222222

(cos sin )2cos 0b a t ab t θθθ+-=， 222222cos cos sin ab AN t b a θθθ==+，()cos 2

a AM πθθ=≠，……6' 因此22

22222cos sin a b AM AN b a θθ

?=+，……9' 又据AN ∥CD ，则点,C D 坐标为：(cos ,sin )C OD OD θθ--，

5 (cos ,sin )D OD OD θθ，……12'

因为,C D 在椭圆上，则22

2

2222cos sin a b CO b a θθ=+，而，22

2

222222cos sin a b CO CD CO b a θθ?==+， 因此AM AN CO CD ?=?．……14'

证2：

易知CD 的斜率k 存在，不妨令:CD y kx =，与椭圆方程联系， 解得

C D ???? ?、 ……3'

CO CD ∴==, ()222

22221k a b CO CD b a k +∴?=+……6'

AN 方程为： ()(),0,y k x a M ka =+∴.

将AN 方程与椭圆方程联立，得()

222232222220b a k x a k x k a a b +++-= 32232

2222222,A N N a k ab a k x x x b a k b a k

-∴+=-∴=++

……9' 2

2222,N kab y AM b a k

=∴=+

……12'

AN ==，

6 D C B A ()

22222221a b k AM AN CO CD b a k +∴?==?+ …14'

10、（15分）如图，D 是ABC ?的旁心，

点A 关于直线DC 的对称点为E ．证明：

(1)、,,B C E 三点共线；(2)、,,,A B D E 四点共圆．

证：1、延长DC 到M ，延长AC 到N ,连CE ，D 为旁心， CD ∴平分BCN ∠，……2'

又A E 、关于DC 对称，

CM ∴平分ACE ∠DCN ACM ∴∠=∠,BCD MCE ?∠=∠ BCN ACE ∴∠=∠,B ∴、C 、E 三点共线。……5'

2、过C 作//CI AE 交AD 于I ，则IC DC ⊥ ……7'

I ∴为ABC 内心。连BI ,则BI 平分ABC ∠,……10'

∴90IBD ?∠=,B ∴、D 、C 、I 四点共圆，……12'

CBD CID EAD ∴∠=∠=∠,

A ∴、

B 、D 、E 四点共圆。……15'

11、

（15分）设,,x y z 为正数，满足：1xy yz zx ++=，证明： 22()()()(1)(1)(xyz x y y z x z x y +++≥--21-z )

证：据条件，即要证 22(1)(1)(x y ≥--2xyz(x+y+z-xyz)1-z ) ① 也即22222222)()y z x y y z x z ≥+++++2xyz(x+y+z)1-(x

② ……3'

将此式各项齐次化，因为

7 22222221()2()xy yz xz x y y z x z xyz x y z =++=+++++ ……6' 222222()()x y z x y z xy yz xz ++=++++=

333()()()()x y z y x z z x y xyz x y z ++++++++代入②，

只要证()xyz x y z ++≥

2222223332()()()()()x y y z x z x y z y x z z x y xyz x y z ++-++++++++即333222222

()()()2()0x y z y x z z x y x y y z x z +++++-++≥……12' 也即222()()()0xy x y yz y z xz x z -+-+-≥。

此为显然，故命题得证．…15'

证2：由题设得： ()()()1,1,1y x z zx x y z yz z x y xy +=-+=-+=-，

三式相乘，故原不等式等价于证明：

()()()()()()222111111zx yz xy x y z ---≥---……3'

上式两边展开并化简得：

()222x y z xy yz zx ++-++≥

()222222222x y y z z x x yz xy z xyz ++-++ ……6'

配方得：

()()()

()()()222222x y y z z x xy xz yz xy yz zx -+-+-≥-+-+- ()()()222222x y z y z x z x y =-+-+- ……9'

即()()()()()()222

2221110z x y x y z y z x --+--+--≥()*……12' 2220,,1,10,10,10,x y z x y z <<∴->->->

()∴*显然成立. ……15'

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