第4章因式分解学案Microsoft Word 文档

4.1因式分解 姓名：_________

学习目标：

1、理解因式分解的意义，能区分整式的乘法与因式分解；认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系。

2、会根据因式分解的意义来判定一个等式从左到右的变形是否为因式分解 学习重点: 因式分解的概念。

学习难点: 理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的

方法。

学习过程：

知识点一、因式分解的定义

（1）计算下列各式：

①（m+4）（m－4）=__________; ②（y－3）2=__________; ③3x（x－1）=__________; ④m（a+b+c）=__________; ⑤a（a+1）（a－1）=__________. （2）根据上面的算式填空：

22

①3x－3x=（ ）（ ）; ②m－16=（ ）（ ）;

22

③ma+mb+mc=（ ）（ ）; ④y－6y+9=（ ）.

3

⑤a－a=（ ）（ ）（ ）

在（1）中我们知道从左边推右边是整式乘法；

在（2）中由多项式推出整式乘积的形式是因式分解.

概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式.

注意：（1）分解因式的对象是多项式，不是单项式，也不是分式。

（2）分解因式的结果必须是整式的乘积的形式，且每个因式的次数必须低于原来的次数。 （3）不是所有的多项式都能分解因式。 （4）分解因式要彻底，直到不能分解为止。

[针对性训练1]

1． 下列各式从左到右的变形是分解因式的是（ ）。

A．a（a－b）＝a2－ab B．a2－2a＋1＝a（a－2）＋1

C．x2－x＝x（x－1） D．x2－

2

1y y

2

＝（x＋

1y

2

）（x－

1

y

）

D. a+b=b+a E. 4xy–8xy+1=4xy(x–y)+1 F. a(a–b)=a–ab G. a–2ab+b =(a–b) H. a2－4=（a+2）（a－2） I. x2－3x+2=x（x－3）+2. J. 4a（a+2b）=4a2+8ab; K. 6ax－3ax2=3ax（2－x）

2

2

知识点二、因式分解与整式乘法的关系

如果把整式乘法看做一个变形过程，那么多项式的分解因式就是它的____变形。实质上，整式乘法和分解因式就是互逆的____________过程。

如：ma+mb+mcm（a+b+c） a

b

a b

2

22

( a-b）(a+b )

a2 2ab

b2

注意：（1）整式乘法中，变形对象是整式相乘的形式，所得结果是多项式，即单项式×多项式的

结果是多项式；多项式×多项式的结果是多项式。

（2）分解因式时，变形对象是多项式，即把一个多项式化成单项式×多项式或者多项式×

多项式的形式，所得结果是乘积的形式。

（3）整式乘法和分解因式就是互逆的恒等变形过程。

[针对性训练2] 1.连一连：

9x2－4y2 a（a＋1）2 4a2－8ab＋4 b2 －3a（a＋2） －3 a2－6a 4（a－b）2 a3＋2 a2＋a （3x＋2y）（3x－2y）

2. 32002－32001－32000能被5整除吗？为什么？ 3.

考点练习：

1、下列从左到右的变形中，______________________是分解因式？

(1) x-3x+1=x(x-3)+1 ； (2) (m＋n)(a＋b)＋(m＋n)(x＋y)＝(m＋n)(a＋b＋x＋y)；

222

(3) 2m(m-n)=2m-2mn； (4) 4x-4x+1= 2x 1 ； (5) 3a+6a=3a（a+2）；

2

2

2

11

k2 2 2 k 2

x 4 3x x 2 x 2 3xkk ； (8) 18a3bc=3a2b· （6）(7) 6ac。

（9）

x2

1 1 1

x x 222

x x （10）2ab 4ac a 2b 4c （11）4x 8x 1 4x(x 2) 1 x2

2222

（12）2ax 2ay 2a(x y) （13）a 4ab b (a 2b)（14）(x 3)(x 3) x

9

3、解方程 2

x-3x=0

4、下列说法不正确的是( )

A. a b是a b的一个因式 B. xy是2xy 3xy的一个因式 C.x2 2xy y2的因式是x y和x y D. a2 2ab b2的一个因式是a b

22

5、计算：(1) 87+87×13 (2) 101 99

2

222

2

6、若 x+mx-n能分解成(x-2)(x-5),则m= ,n=

4.2（1） 分解因式：提公因式法（1）

学习目标：

1.了解公因式的意义，并能准确的确定一个多项式各项的公因式； 2.会用提公因式法把多项式分解因式. 学习重点：用提公因式法进行因式分解. 学习难点：准确的找出一个多项式的公因式 学习过程：

知识点一、公因式的定义

多项式中，各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的__________。 练习：找出下列的公因式

（1）ma＋mb+m ( ) （2）a2b＋ab2 ( )

（3）3x2－6x3( ) （4）9abc－6a2b2＋12abc2=（ )

小结：常见的找公因式思路：

（1）各项系数的最大公约数 （2）各项相同字母（或因式）的最低次幂

知识点二、确定公因式的方法 确定公因式的一般步骤：

①如果多项式第一项是负数时，应把公因式的符号取“－‖

②系数：公因式的系数是

③字母：公因式中的字母应取

4指数：相同字母的指数应取 ○

注意：一个多项式的公因式可以是 ，还可以是 。

练习：把下列各式的公因式写在式子的后边

（1）ax+ay+a （2）3ny-6ny2 （3）4x2 –10xy+8x3y

（4）-3x2 –3 x3y+6 x4y 3 （5）9 a4x2-18 a3x 3 -36a2 x4 （6）xn+2 +xn+1–xn

知识点三、提公因式法

如果一个多项式的各项含有________，那么就可以把这个________提出来，从而将多项式化成________________的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

1.提公因式法分解因式

（1）a2b＋ab2=ab) （2）3x2－6x3=3x2) （3）9abc－6a2b2＋12abc2=3ab

2.用提公因式法分解因式：

（1）－3x+ x3 （2）7x2 －21x （3）－8 a3b2 –12ab3c +ab

(4) –24 x3+12 x2–28x (5) -4an+2 +6 an+1–14 an

总结口诀技巧：各项有“公”先提“公”，首项有负常提负，某项提出莫漏1，

括号里面分到“底”。

想一想：提公因式法分解因式与单项式乘以多项式有什么关系？

_______________________________________________

考点练习

1、多项式 3x2y3z 4x3y3z 6x4yz2各项的公因式是___________； 多项式3ab 4ab 2abx中的公因式是___________.

2、用提取公因式法分解因式：

（1）8ab2 –16a3 b3 （2）a3 b3 + a2b2– ab （3）–2 x3 +4 x2+2x

3

2

2

2

（4）–3 a3 m–6 a2 m+12am （5）–2 x2–12xy 2+8x y 3 （6）–24 x2y–12x y 2+28y 3

3、利用因式分解计算： （1）–

1313×19 – ×15 （2）530–2×529–15×528 1717

巩固练习

1、多项式9x3 y 2 +12 x2 y 2-6x y3 中，各项的公因式是______________。 2、多项式-6a b2 +18 a2 b2－12 a3 b2 c的公因式是_____________。 3、分解因式x3y 3－2x2y 2 +xy=______________________. 4、用提取公因式法分解因式：

（1）－m a2 +mab (2) －3 y3+ 6y 2 (3) －a b2－5ab

(4) － a2 b-5ab+9b (5) －4a3+ 4a2－16a (6)－12 x3 y+12 x2 y－3x y 2

5、用简便的方法计算：

①0.84×12+12×0.6－0.44×12． ② 99+99

2

4.2（2） 分解因式：提公因式法（2）

学习目标

1、能确定多项式各项的公因式（含有多项式）；

2、能用提公因式法进行因式分解，发展运算能力（学会用整体的思想进行运算）； 学习重点

用提取公因式法进行因式分解 学习难点

确定各项的公因式以及各项的符号

学习过程：

知识点一、公因式

多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的_____________。如（a+b）就是多项式(a+b)d+(a+b)c各项的公因式。(公因式是多项式中每一项都含有的公共因式，可以是数字、也可以

是字母，也可以是多项式。)

练习：请在后面括号内写出下列多项式各项的公因式.

（1）a（x－5）+2b（x－5）（ ） （2）6（m－n）3－12（n－m）2. （ ）

2

（3）9（p+q）－12（q+p） （ ） （4） 5（m－2）+9（2－m） （ ）

知识点二、（整体思想）提公因式法分解因式

1. 请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“－”号，使等式成立: （1） 2－a=___（a－2）; （2） y－x=_____（x－y）; （3） b+a=____（a+b）; （4）（b－a）2=____（a－b）2;

2222

（5） －m－n=____－（m+n） （6）－s+t=_____（s－t）. 2. 把下列各式分解因式:

（1）a（x－3）+2b（x－3） （2）a（x－y）+b（y－x）;

322

（3） —6（m－n）－12（n－m）. （4）（b－a）+a（a－b）+b（b－a）

考点针对性练习：把下列各式分解因式

（1）a y z 4b z y （2）3a（x－y）－（x－y）

（3） 2（y－x）2+3（x－y） （4）12mn(m–n）–6mn（n–m）

2

2

（5） 5（x－y）3+10（y－x）2 （6）mn（m－n）－m（n－m）2

提高练习：

1先分解因式，再求值：m（m－n）（p－q）－n（n－m）（p－q） 其中m=-1,n=2,p=

2.分解因式（a+b－c）（a－b+c）+（b－a+c）·（b－a－c）.

3. 设a b 1,ab

1

,q=-3 2

1

,求代数式a(a b)(a b) a(a b)2的值。 2

巩固练习

1、在下列各横线上填上“+”或“-”,使等式成立.

(1)y x ____(x y); (2)(x y) ____(y x); (3)(x y) _____(y x). 2、分解因式：

((1)2axx(22a(b

c) 3(b c)(1)2ax 3x;(2)2ab c) 33(;b )c

2

2

33

4.3（1） 分解因式：公式法（平方差公式）

学习目标

1、能掌握平方差公式的特点；

2、会用平方差公式法进行因式分解．

3、了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式． 学习难点

理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式分解因式． 学习过程：

知识点一、平方差公式的复习

1、填空①ab=(_______) ②64xy ＝ (_____) ③2、 (x+5)(x-5)=________ (3x+

12b4

22

2

22

2

12b4

＝ (_____)2

)(3x-

12b4

)= ________ (a+b)(a-b)= ________

知识点二、用平方差公式 因式分解】

把乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2 倒过来，就得到 ，把它作为公式，可以把某些多项式进行因式分解，这种因式分解的方法叫做 。

（

a2 b2＝（a＋b）（a—b）

这个公式左边的多项式有什么特征： _______________________________________

公式右边是______________________________________________________________

1、判断下列各式哪些可以用平方差公式分解因式，并说明理由。

①x y ②x y ③ x y ④ x y 2、你能把下列的数或式写成幂的形式吗？

22

(1)4x ( ) (2)xy ( ) (3)0.25m ( ) (4)

2

2

2

22222222

22

44

a= ( )2 9

3、你能把下列各式写成a b的形式吗？

2222

(1)a 1 (2)xy 4 (3) x 0.25y (4)16 121m

2

2

22

4、你能将下列各式因式分解吗？

12244116xy mn（2）9a2－22164（1）4x－9 （3）

22

（4）(a+b)2-1； （5）4a－(b＋c) （6） x y x y

22

知识点三、分解因式（提公因式法+平方差公式）方法的综合运用。

（1） -a+ab

3

2 （2）

2x3 8x

（3）

5752×12-4252×12

知识点四、在实数范围内因式分解：

（1）x2－5 (2)2a2－3b2

小结：实数范围内与有理数范围内分解因式的区别：___________________________

提高练习：

1、已知x+y=7，x－y=5，求代数式x2－y2－2y+2x的值

2、对于任意的自然数n， (n 7)2 (n 5)2

22

3、(a+b+c)-(a-b-c)=

巩固练习

1、(08.四川)分解因式：x 4x=____________

2、(07.广东)下列各式中，能用平方差分解因式的是( )

222222

(A)x 4y (B)x 2x 1 (C) x 4y (D) x 4y

2

能被24整除吗? 为什么?

3

3、填空（把下列各式因式分解）

24mn(1)1 p=____________ (2)49c 36 ________________ (3) __________ 9256

22

(4) 0.25a2m2 9=________（5）4

x2n=____________ (6)(a b)

2

1=____________

4、把下列各式分解因式：

2222 22

4a－(b＋c) (4x－3y)－16y －4(x＋2y)＋9(2x－y)

(3a 2b) (2a 3b) 9(m n) (m n)

2

2

22

4.3（2）分解因式：公式法（完全平方公式）

学习目标：

（1）了解运用完全平方公式法分解因式的意义； (2)了解运用完全平方公式因式分解的一般步骤； （3）会用完全平方公式进行因式分解 学习难点：

完全平方式的识别及运用完全平方公式分解因式。 学习过程：

知识点一、完全平方公示的回顾

1、(a+b)2== (a-b)2

用文字表示为： _____________________ 。口诀：首平方，尾平方 _____ 2、完全平方式有何特点？下列各式是完全平方式吗？请说明理由。

a2 4a 4

1

4a2 2ab b2x2 6x 9

4 2

22x 4x 4ya a 0.25a2 ab b2

(a+b)2＋2(a+b) ＋1

小结：能用完全平方公式进行因式分解的多项式的特点是：

（1）一个二次三项式；

（2） 这三项分别是两个式子的平方和与这两个式子的积的2倍； （3）分解为这两个式子的和或差的平方。

知识点二、公式法的概念

1、形如或关系可以看出,如果把 反过来，,那么就可以把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。 2、判断能用完全平方公式分解的多项式：下列多项式能用完全平方公式进行因式分解吗？ 1）、x2＋y2 2）. y2－x2 ＋2xy 3）. x2＋2xy＋y2 4）. a－b2 5）.2ab－a2－b2

3、在下列式子中填上适当的数，使等式成立。 （1）、x2-12x+( )=(x-6)2 （2）、x2-4x+( )=(x- )2 （3）、x2+8x+( )=(x+ )2

知识点三、完全平方公式进行因式分解

22

（1）x 14x 49 （2）—x2＋4xy—4y2 (3)3ax 6axy 3ay

2

小结：（1）先化成符合完全平方公式特点的形式

（2）如果首项带“—”时，可以先提取―－‖号，然后再用完全平方公式分解因式． （3）若有公因式应先提取公因式，再考虑用完全平方公式分解因式． 练习：

（1）4x 4x x （2） 2xy x2 y2 （3）

32

121

a ab b2 22

知识点四、完全平方公式进行因式分解 （总体思想）

（1）(x＋y)2－18(x＋y)＋81 （m n)2 2(m n)(m n) (m n)2

考点练习 1、判断正误：

（1）x2 +y2 =(x+y)2 ( ) （2）x2 –y 2= (x–y) 2 ( )

（3）x 2 –2xy­–y 2 = (x–y) 2 ( ) （4）–x 2 –2xy–y2 = –(x+y) 2 ( 2、下列多项式中，哪些是完全平方式？请把是完全平方式的多项式分解因式： （1）x2–4x+4 （2）9a2 b2 –3ab+1 （3） m 2 +3mn+9n2 （4）x 6 –10x 5+25

3、把下列各式因式分解：

（1）m2–12mn+36n2 （2）16a4+24a2b2+9b4 （3）–2xy–x2–y2

（4）(m+n)2

-6(m+n)+9 （5）4–12（x–y）+9（x–y) 2 4、若，求

的值。

5、若

是一个完全平方式，那么m的值是__________

6、若a2＋2a＋b2－6b＋10＝0，求a2－b2的值．

7、若△ABC三边a、b、c，满足a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca．判断△ABC的形状

)

4.3（3） 提公因式法与公式法综合 练习

学习目标

1、会根据多项式的特点选用合适的公式进行因式分解 2、熟练掌握因式分解的步骤及注意事项； 3、因式分解的简单应用。 学习重点

会用适当的公式进行因式分解 学习过程

知识点一、回顾

1、公式： 平方差公式：a2－b2=

完全平方公式： a2＋2ab＋b2= a2－2ab＋b2=

2、因式分解的一般步骤：一提二套三检查 一提：指先提取公因式；（有公因式的多项式一定先提取公因式） 二套：指再套公式；

三检查：指是否分解完全。

知识点二、提公因式法+平方差公式法 分解因式

（1） 2x 8 （2）-3x6+3x2 （3）—a+16 （4） a3－a

知识点三、提公因式法+完全平方公式法 分解因式

（1）2ab a b （2） —3ax2+6axy—3ay2 （3） 2x 4x 2

（4）(x y) 12(x y)z 36z （5） ax 4axy 4xy

知识点四、因式分解的应用

(1)已知x－y=1，xy=2，求x3y－2x2y2+xy3的值.

2

2

4

2

2

2

2

2

2

2

2

2

4

（2）已知x2 2x y2 6y 8 0，且x y 2，求x y的值.

考点练习

(1)(a－b)2+4ab （2）—a2－14ab—49b2 （3））-3x6+3x2

（4） 81x4－y4 （5）4－12（x－y）+9（x－y）

2

1 1 1 1 2、利用因式分解计算： 1 2 1 2 1 2 1 2

2 3 4 n

3、已知x+y=1，求

4、已知a 2b

121

x xy y2的值 22

1

,ab 2,求 a4b2 4a3b3 4a2b4的值。 2

5、求证：无论x、y为何值，4x 4x y 10y 27的值恒为正。

6、若a、b、c为三角形的三边，且满足a b c=ab+bc+ac,那么三角形是什么特殊的三角形？为什么？

2

2

2

22

4.4 因式分解（补充方法）：十字相乘法

学习目标

1.了解“二次三项式”的特征； 2.理解“十字相乘”法的理论根据；

3.会用“十字相乘”法分解某些特殊的二次三项式。

重点：用“十字相乘”法分解某些二次项系数为1的二次三项式。 难点：二次项系数不是1的二次三项式的分解问题。 学习过程：

知识点一、十字相乘的概念和二次项系数为1的二次三项式的因式分解 1、请填写下列结果

x2+3x+2的二次项系数是______,一次项系数是______，常数项是______ （x+2）（x+1）= ； （x+2）（x-1）= ； （x-2）（x+1）= ； （x-2）（x-1）= _ 。

2、把x2+3x+2 ；x2 + 6x – 7分解因式

分析∵ (+1) × (+2) ＝＋2 ---------- 常数项 (+1) ＋ (+2) ＝+3 ---------- 一次项系数

x2 + 6x – 7= （x+7）(x-1) 步骤：

①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，和相加 x 1 ③检验确定，横写因式

顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱。

2

x

x

（验）x + 1x = 3x

7

1

--------- 十字交叉线

2

x+3x+2 = (x+1) (x+2)

2

x

x+ 6x – 7= （x+7）(x-1)

（验）-x + 7x = 6x

a b p,

十字相乘法定义：对于二次三项式x2 Px q，若能找到两个数a、b，使

a b q,

则就有x2 Px q x2 (a b)x ab (x a)(x b)．（掌握这种方法的关键是确定适合 条件的两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数，通常要借助画十字交．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．叉线的办法来确定，故称十字相乘法。）

3．应用训练：

（1） x-8x+15= ；（2） x+4x+3= ；（3） x-2x-3= 。

（4）x

2

2

2

2

5x 6=_____________;（5）x2 x 6=_____________;（6）x2 x 6=_____________;

小结：对于二次项系数为1的二次三项式的方法的特征是“拆常数项，凑一次项”

Px q x2 (a b)x ab (x a)(x b)，⑴若q＞0，则a、b同号．当

p＞0时a、b同为正，当p＜0时a、b同为负．⑵若q＜0，则a、b异号．当p＞0时a、b中的正数绝对值较大，当p＜0时a、b中的负数绝对值较大．

对于二次三项式x

2

知识点二、二次项系数为 —1的二次三项式的因式分解 1.试将 -x-6x+16 分解因式

知识点三、对于二次项系数不是1的二次三项式的因式分解 分解因式：（1）2x2 7x 3；

∴2x2 7x 3= (x 3)(2x 1)

方法：⑴二次项系数为正时，只考虑分解成两个正因数之积；

⑵在二次项系数为正时，常数项的分解，符号规律同上节a、b的符号规律；

⑶分解二项项系数、常数项有多种可能，即使对于同一种分解，十字图也有不同的写法，为了避免重或漏，故二次项系数的因数一经排定就不变，而用常数项的因数作调整； ⑷用十字相乘法分解因式时，一般要经过多次尝试才能确定能否分解或怎样分解． 1.练习题

2

x2 3x 2

2

x2 7x 6

2

x2 4x 21

2x＋7x＋3= 3x－5x＋2= 2x＋5x－7=

2

x2 3xy 2y2 x4 x2 20 a3 4a2 12a

(a b)2 4(a b) 3 x

4

3x3 28x2 x2y2 5x2y 6x2

a

2x

2 7ax

8

a2 9ab 14b2 x2 11xy 18y2

4.5 因式分解（补充方法）：分组分解法

学习目标

1.会用分组分解法 分解某些特殊的多项式。 2. “十字相乘”法的巩固练习。

学习过程

分组分解法的概念：

把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行． 分组时要 用到添括号：括号前面是―+‖号，括到括号里的各项都不变符号；括号前面是―-‖号，括到括号里的各项都改变符号. 当多项式的项数较多时，可将多项式进行合理分组，达到顺利分解的目的。

知识点一、.分组后能直接提公因式

1、分解因式：am an bm bn 2、分解因式：2ax 10ay 5by bx

2

练习： （1）、a ab ac bc （2）、xy x y 1

知识点二、分组后能直接运用公式

1、分解因式：x2 y2 ax ay 2、分解因式：a 2ab b c

练习：（1）x x 9y 3y （2）x y z 2yz

综合练习：

3223222

（1）x xy xy y （2）a 2a a 9 （3）x 6xy 9y 16a 8a 1

4

3

2

2

2

2

22222

知识点三、“十字相乘”法的巩固练习 1．把下列各式分解因式：

（1）x 2x 15= (2) x 3x 10 2．若m 5m 6 (m＋a)(m＋b)，则 a和b的值分别是或 3．2x 5x 3 (x－3) (__________)。

4．如果x2 (a b) x 5b x2 x 30，则b为 ( )

A．5 B．－6 C．－5 D．6

5．多项式x 3x a可分解为(x－5)(x－b)，则a，b的值分别为 ( )

A．10和－2 B．－10和2 C．10和2 D．－10和－2 6．不能用十字相乘法分解的是 ( )

A．x x 2 B．3x 10x 3x C．4x x 2 D．5x2 6xy 8y2 7．2x 5x 3 (x－3)(__________)．

8.已知(x y)(x y 1) 12 0，求x y的值． 9 ．分解因式：

（1）2x 15x 7； (2) 3a 8a 4； (3) 5x 7x 6 (4) 6y2 11y 10

10．先阅读学习，再求解问题： 材料：解方程：x 3x 10 0。 解：原方程可化为 （x+5）（x-2）=0

∴x+5=0或 x-2=0 由x+5=0得x=-5 由x-2=0得x=2

∴x=-5或 x=2为原方程的解。

问题：解方程：

2

（3）2x 15x 7=0 （1）x-2x-3=0。 （2）x 2x=15

2

22

2

2

2

2222

2

222222

222

2

2

《因式分解》小结与复习

复习目标：

1、使学生进一步了解分解因式的意义及几种因式分解的常用方法； 2、提高学生因式分解的基本运算技能；

3、能熟练使用几种因式分解方法的综合运用． 复习过程：

一、知识点梳理

1、 多项式的因式分解，就是把一个多项式化为几个 的积．分解因式要进行到每一个因式都不能再 为止． 2、分解因式的常用方法有： (1)提公因式法：

多项式am bm cm m(a b c),其中m叫做这个多项式各项的 ， m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式． (2)运用公式法，即用

a2 b2 (a b)(a b),

a b (a b)(a b),

a2 2ab b2 (a b)2,

二、因式分解的概念

a2 2ab b2 (a b)2,

1、下列哪些式子的变形是因式分解？

（1）x–4y=（x+2y）（x–2y） （2）x（3x+2y）=3x+2xy

（3）4m–6mn+9n =2m（2m–3n）+9n （4）m+6mn+9n=（m+3n）

三、选用合适的方法因式分解

（1）、 x2－xy＋x （2）. x2(x－y)＋y2(y－x) 3）. y2－(x2－10xy＋25y2)

32（4） .(a2－9b2)＋(a－3b) （5）.2x²-8 （6）a ab （7）4x 8x 4

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

（8）x 4x 5 （9） 3x 11x 10 （10） a 2ab b c

三、因式分解的应用 1. 填空：

（1）若一个正方形的面积是9x2+12xy+4y2，则这个正方形的边长是 ； （2）当k= 时，100x2–kxy+49y2是一个完全平方式；

（3）计算：2012–2×6×2012+36= ；

2

22222

1 1 1 1 2.利用因式分解计算： 1 2 1 2 1 2 1 2 ．

2

3

4

n

测试题：

2

2．若x+mx+16是完全平方式，则m的值等于（ ） A．－8 B．8 C．4 D．8或－8 3．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）。

A、x2＋4y2 B、x2－2y＋1 C、－x2＋4y2 D、－x2－4y2

20092008

4．利用因式分解计算2－2，则结果是（ ）

2008

A．2 B．1 C．2 D．－1

22

5．已知多项式4x－（y－z）的一个因式为2x－y+z，则另一个因式是（ ） A．2x－y－z B．2x－y+z C．2x+y+z D．2x+y－z

22

6.若x-3x=1，则xy-3xy-y的值为 （ ）

A．1 B．0 C．2y D．-2y

7．多项式2ax－12axy中，应提取的公因式是_______．12．分解因式：a ab ________． 8．①a－4a+4，②a+a+

2

2

2

2

2

1122

，③4a－a+，④4a+4a+1中属于完全平方式的有_________（填序号）． 44

2

2

2

9．计算：83+83×34+17=________． 15．（4a－b）÷（b－2a）=________．

2

10．方程x=3x的解是________．

22

11.若a-6a+b+2b+10=0，则a+b的值是 。 12．若a－b=2，则

122

（a+b）－ab=_________． 2

2

22

2

13．分解因式：(1)-3xy+12x (2)9 xy﹣12 xy+4 （3）(x-1)-9

（4）（2m－3n）－2m+3n （5）a(a 3) (a 3)

2

2

14．下面是某同学对多项式（x－4x+2）（x－4x+6）+4进行因式分解的过程．

2

解：设x－4x=y 原式=（y+2）（y+6）+4 （第一步）

2

=y+8y+16 （第二步）

2

=（y+4） （第三步）

22

=（x－4x+4） （第四步） 回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_______ A．提取公因式 B．平方差公式

C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式

（2）该同学因式分解的结果是否彻底？________（填“彻底”或“不彻底”） 若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_________．

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（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x－2x）（x－2x+2）+1进行因式分解．

2

2

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