2011年高考数学试题分类汇编 解析几何1

五、解析几何

一、选择题

22x?y?2x?6y?0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别是AC1.（重庆理8）在圆

和BD，则四边形ABCD的面积为

A．52 B．102 C．152 D．202

【答案】B

x2y2y22C1:2?2?1(a＞b＞0)C1:x??1Cab42.（浙江理8）已知椭圆与双曲线有公共的焦点，1的一条渐近线与以

C1的长轴为直径的圆相交于A,B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则

2D．b?2

a2?

A．【答案】C

1312b?2 B．a2?13 C．2

2x2?2x??4y?x?ax?5(a≠0)13.（四川理10）在抛物线上取横坐标为，的两点，过225x?5y?36相切，则抛这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆

物线顶点的坐标为

A．(?2,?9) B．(0,?5) C．(2,?9) D．(1,?6)

【答案】C

1a4),a(2?,2K?1),?a【解析】由已知的割线的坐标(?4,1?,设直线方程为

36b2?y?(a?2)x?，则b51?(2?a)2

?y?x2?ax?5?b??6?a?4?(?2,?9)?y?(a?2)x?b又?

4.（陕西理2）设抛物线的顶点在原点，准线方程为x??2，则抛物线的方程是

2222y??8xy?8xy??4xy?4x A． B． C． D．

【答案】B

x2y2?2?1(a＞0，b＞0)2ab5.（山东理8）已知双曲线的两条渐近线均和圆

22x?y?6x?5?0相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为 C:

用心 爱心 专心 - 1 -

x2y2x2y2x2y2x2y2??1??1??1??14563A．5 B．4 C．3 D．6

【答案】A

6.（全国新课标理7）已知直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，C的离心率为 （A）2 （B）3 （C） 2 （D） 3 【答案】B

2y7.（全国大纲理10）已知抛物线C：?4x的焦点为F，直线y?2x?4与C交于A，B两点．则

cos?AFB=

34A．5 B．5

43?C．5 D．5

?

【答案】D

8.（江西理9）若曲线

C1：x2?y2?2x?0与曲线C2：y(y?mx?m)?0有四个不同的交

点，则实数m的取值范围是

? A．（

3333?3，3） B．（3，0）∪（0，3） 333，3]

?333）∪（3，+?）

?

C．[【答案】B

D．（??，

x2y2??1?a?0?299.（湖南理5）设双曲线a的渐近线方程为3x?2y?0，则a的值为

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】C

2y?2px(p?0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三10.（湖北理4）将两个顶点在抛物线

角形个数记为n，则

A．n=0 B．n=1 C． n=2 D．n ?3

【答案】C

11.（福建理7）设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足

PF1:F1F2:PF2=4:3:2，则曲线r的离心率等于

132123或或或22332 2A． B．或2 C．2 D．

用心 爱心 专心 - 2 -

【答案】A 12.（北京理8）设

A?0,0?B?4,0?,

，

C?t?4,4?D?t,4??t?R?,

.记

N?t?为平行四边形

ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数的值域为

A．C．

N?t??9,10,11? B．?9,10,12? ?9,11,12? D．?10,11,12?

22【答案】C

13.（安徽理2）双曲线2x?y?8的实轴长是

（A）2 （B） 22 （C） 4 （D）42

【答案】C

14.（辽宁理3）已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，则线段AB的中点到y轴的距离为

AF?BF=3，

357（A）4 （B）1 （C）4 （D）4

【答案】C

二、填空题

15.（湖北理14）如图，直角坐标系xOy所在的平面为?，直角坐标系xOy（其中y轴一与

'''y

'??xOx?45?。 轴重合）所在的平面为，

''?P（Ⅰ）已知平面内有一点(22,2)，则点P在平面?内的射影P的

坐标为 ；

''（Ⅱ）已知平面?内的曲线C的方程是(x?2)?2y?2?0，则曲线C在平面?内的

'2'2射影C的方程是 。

22(x?1)?y?1 【答案】（2，2）

x2?y2?1F,F16.（浙江理17）设12分别为椭圆3的左、右焦点，点A,B在椭圆上，若

?????????F1A?5F2B;则点A的坐标是 ．

用心 爱心 专心

- 3 -

【答案】(0,?1)

y2x2??1F(0,5)917.（上海理3）设m为常数，若点是双曲线m的一个焦点，则

m? 。

【答案】16

x2y21??12222x+y=1的切线，2xab18.（江西理14）若椭圆的焦点在轴上，过点（1，）作圆

切点分别为A,B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是

x2y2??154【答案】

19.（北京理14）曲线C是平面内与两个定点F1（-1，0）和F?2（1，0）的距离的积等于常数

a2(a?1)的点的轨迹.给出下列三个结论：

① 曲线C过坐标原点；

② 曲线C关于坐标原点对称；

12③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积大于2a。

其中，所有正确结论的序号是 。 【答案】②③

x2y2?=1上一点P到双曲线右焦点的距离是4，那么点643620.（四川理14）双曲线P到左

准线的距离是 ．

56【答案】5

【解析】a?8,b?6,c?10，点P显然在双曲线右支上，点P到左焦点的距离为14，所以

14c556???d?da45

x2y221.（全国大纲理15）已知F1、F2分别为双曲线C: 9- 27=1的左、右焦点，点A∈C，点

M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2∠的平分线．则|AF2| = ． 【答案】6

x2y2?2?1(a?0,b?0)2ab22.（辽宁理13）已知点（2，3）在双曲线C：上，C的焦距为4，则

用心 爱心 专心 - 4 -

它的离心率为 ． 【答案】2

2y?2x与直线x=3所围成的封闭区域（包含边界）内，23.（重庆理15）设圆C位于抛物线

则圆C的半径能取到的最大值为__________ 【答案】6?1

24.（全国新课标理14）（14） 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点

F1,F2在

2?ABF2的周长为16，那么CFx轴上，离心率为2．过点1的直线l交C于A，B两点，且

的方程为_________．

x2y2??1【答案】168

25.（安徽理15）在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x,y)为整点， 下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）. ①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果k与b都是无理数，则直线y?kx?b不经过任何整点 ③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点

④直线y?kx?b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线 【答案】①，③，⑤ 三、解答题

x2y2??1xOy226.（江苏18）如图，在平面直角坐标系中，M、N分别是椭圆4的顶点，过

坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连

接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k （1）当直线PA平分线段MN，求k的值； （2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d； （3）对任意k>0，求证：PA⊥PB

本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，满分16分. 解：（1）由题设知，a?2,b?2,故M(?2,0),N(0,?2),所以线段MN中点的坐标为

(?1,?2)2，由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过坐标原点，

用心 爱心 专心

- 5 -

22?2.k??12 所以

?x2y2y?2x代入椭圆方程得?（2）直线PA的方程42?1, x??2,2424解得

3因此P(3,3),A(?3,?3). 0?43?1,故直线AB的方程为C(2,0),2?2x?y?23?0.于是3直线AC的斜率为33

|2?4?2|因此,d?3332211?12?3.

（3）解法一：

x24?y22?1,解得x??22将直线PA的方程y?kx代入

1?2k2,记?1?2k2,

则P(?,?k),A(??,??k),于是C(?,0)

0??kk故直线AB的斜率为

????2, y?k2(x??),代入椭圆方程得(2?k2)x2?2?k2x??2(3k2?2)?0,其方程为

x??(3k2?2)2,解得

2?k2或x???因此B(?(3k2?2)?k32?k2?k2).

?k3k2?k2??kk3?k(2?k2)11??(3k2?2)?3k2?2?(2?k2)??k.于是直线PB的斜率

2?k2

因此k1k??1,所以PA?PB. 解法二：

设P(x1,y1),B(x2,y2),则x1?0,x2?0,x1?x2,A(?x1,?y1),C(x1,0).

用心 爱心 专心

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设直线PB，AB的斜率分别为k1,k2因为C在直线AB上，所以从而

k2?0?(y1)yk?1?.x1?(?x1)2x12

k1k?1?2k1k2?1?2?y2?y1y2?(?y1)??1x2?x1x2?(?x1)

2222y2?2y12(x2?2y2)4?4?2?1???0.22222x2?x1x2?x1x2?x1

因此k1k??1,所以PA?PB.

27.（安徽理21）设???，点A的坐标为（1,1），点B在抛物线y?x上运动，点Q满足

?BQ??QA，经过Q点与Mx轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足QM??MP,求

点P的轨迹方程。

本题考查直线和抛物线的方程，平面向量的概念，性质与运算，动点的轨迹方程等基本知识，考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学素养.

解：由QM??MP知Q，M，P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设

P(x,y),Q(x,y0),M(x,x2),则x2?y0??(y?x2),则y0?(1??)x2??y. ①

再设

B(x1,y1),由BQ??QA,即(x?x1.y0?y1)??(1?x,1?y0),

?x1?(1??)x??,?y?(1??)y0??.解得?1 ②

将①式代入②式，消去

y0，得

用心 爱心 专心

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?x1?(1??)x??,?22?y1?(1??)x??(1??)y??. ③

222y?xy?xy?x1111又点B在抛物线上，所以，再将③式代入，得

(1??)2x2??(1??)y???((1??)x??)2,(1??)2x2??(1??)y???(1??)2x2?2?(1??)x??2,2?(1??)x??(1??)y??(1??)?0.

因??0,两边同除以?(1??),得2x?y?1?0.故所求点P的轨迹方程为y?2x?1.

28.

（北京理19）

x2G:?y2?122x?y?1的切线I交椭圆G于A，B两点. 4已知椭圆.过点（m,0）作圆

（I）求椭圆G的焦点坐标和离心率； （II）将

AB表示为m的函数，并求

AB的最大值.

（19）（共14分）

解：（Ⅰ）由已知得a?2,b?1, 所以

c?a2?b2?3.

所以椭圆G的焦点坐标为(?3,0),(3,0)

e?离心率为

c3?.a2

（Ⅱ）由题意知，|m|?1.

当m?1时，切线l的方程x?1，点A、B的坐标分别为此时|AB|?(1,33),(1,?),22

3

3

当m=－1时，同理可得|AB|?当|m|?1时，设切线l的方程为y?k(x?m),

用心 爱心 专心 - 8 -

?y?k(x?m),?2得(1?4k2)x2?8k2mx?4k2m2?4?0?x2??y?1.由?4

设A、B两点的坐标分别为(x1,y1)(x2,y2)，则

4k2m2?4x1?x2?,x1x2?1?4k21?4k2

x2?y2?1相切,得又由l与圆所以

8k2m|km|k2?1

?1,即m2k2?k2?1.

|AB|?(x2?x1)2?(y2?y1)2264k4m?4(4k2m2?4)?(1?k)[?]222(1?4k)1?4k?43|m|.m2?3

由于当m??3时，|AB|?3,

|AB|?所以

43|m|,m?(??,?1]?[1,??)2m?3.

|AB|?因为

43|m|?2m?3433|m|?|m|?2,

且当m??3时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2.

29.（福建理17）已知直线l：y=x+m，m∈R。

（I）若以点M（2,0）为圆心的圆与直线l相切与点P，且点P在y轴上，求该圆的方程； （II）若直线l关于x轴对称的直线为l?，问直线l?与抛物线C：x2=4y是否相切？说明理由。 本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。满分13分。 解法一：

（I）依题意，点P的坐标为（0，m）

0?m?1??1MP?l因为，所以2?0，

解得m=2，即点P的坐标为（0，2） 从而圆的半径

用心 爱心 专心

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r?|MP|?(2?0)2?(0?2)2?22,22(x?2)?y?8. 故所求圆的方程为

（II）因为直线l的方程为

y?x?m,

所以直线l'的方程为y??x?m.

?y'??x?m,得x2?4x?4m?0?2x?4y由? ??42?4?4m?16(1?m)

（1）当m?1,即??0时，直线l'与抛物线C相切 （2）当m?1，那??0时，直线l'与抛物线C不相切。 综上，当m=1时，直线l'与抛物线C相切； 当m?1时，直线l'与抛物线C不相切。 解法二：

2?2(x?2)?y?r. （I）设所求圆的半径为r，则圆的方程可设为

依题意，所求圆与直线l:x?y?m?0相切于点P（0，m），

?4?m2?r2,??|2?0?m|?r,?2则?

??m?2,??r?22. 解得?22(x?2)?y?8. 所以所求圆的方程为

（II）同解法一。

30.（广东理19）

2222(x?5)?y?4,(x?5)?y?4中的一个内切，另一个外切。 设圆C与两圆

（1）求C的圆心轨迹L的方程;

3545,),F(5,0)MP?FP55（2）已知点M，且P为L上动点，求的最大值及此时点P

(的坐标．

用心 爱心 专心

- 10 -

（1）解：设C的圆心的坐标为(x,y)，由题设条件知

|(x?5)2?y2?(x?5)2?y2|?4,x2?y2?1.化简得L的方程为4

（2）解：过M，F的直线l方程为y??2(x?5)，将其代入L的方程得

15x2?325x?84?0.

x1?65145652514525,x2?,故l与L交点为T1(,?),T2(,).515551515

解得

因T1在线段MF外，T2在线段MF内，故

|MT1|?|FT1|?|MF|?2,

|MT2|?|FT2|?|MF|?2.|MP|?|FP|?|MF|?2.故

，若P不在直线MF上，在?MFP中有

|MP|?|FP|只在T1点取得最大值2。

31.（湖北理20）

平面内与两定点A1(?a,0)，A2(a,0)(a?0)连续的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A1、A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆成双曲线． （Ⅰ）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值得关系； （Ⅱ）当m??1时，对应的曲线为

C1；对给定的m?(?1,0)U(0,??)，对应的曲线为

C2，

F1设

FC、2是2的两个焦点。试问：在

C1撒谎个，是否存在点N，使得△

F1NF2的面积

用心 爱心 专心 - 11 -

S?|m|a。若存在，求tan2F1NF2的值；若不存在，请说明理由。

本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的能力，以及分类与整合和数形结合的思想。（满分14分） 解：（I）设动点为M，其坐标为(x,y)，

2 当x??akk?yyy时，由条件可得

MA1?MA2x?a?x?a?x2?a2?m,

即

mx2?y2?ma2(x??a)， 又

A1(?a,0),A2(A,0)的坐标满足mx2?y2?ma2,

故依题意，曲线C的方程为

mx2?y2?ma2. x2y2当m??1时,曲线C的方程为a2??ma2?1,C是焦点在y轴上的椭圆；

当m??1时，曲线C的方程为x2?y2?a2，C是圆心在原点的圆；

x21?m?0?y2?1当?时，曲线C的方程为a2?ma2，C是焦点在x轴上的椭圆；x2y2当m?0时，曲线C的方程为a2?ma2?1,C是焦点在x轴上的双曲线。

（II）由（I）知，当m=-1时，C1的方程为

x2?y2?a2; 当m?(?1,0)?(0,??)时， C2的两个焦点分别为

F1(?a1?m,0),F2(a1?m,0).

对于给定的m?(?1,0)?(0,??)，

C1上存在点N(x0,y20)(y0?0)使得S?|m|a的充要条件是 ?① ?x2y20?0?a2,y0?0,??1?2?2a1?m|y|?|m|a20.②

|y|m|a0|?由①得

0?|y0|?a,由②得

1?m.

用心 爱心 专心 - 12 -

0?|m|a1?m?a,即1?5当

2?m?0,

0?m?1?5或

2时，

存在点N，使S=|m|a2；

|m|am?a,即-1

m?1?5或

2时，

不存在满足条件的点N，

m???1?5,0???1?5?当

?2?????0,?2??时， ????????由

NF?(?a1?m?x?y?100),NF2?(a1?m?x0,?y0)， ????可得

NF1?????NF?2?x20?(1?m)a2?y220??ma, 令

|????NF?????1|?r1,|NF2|?r2,?F1NF2??， ??????????rma2NF2则由

1?NF21r2cos???ma,可得r1r2??cos?， S?1rma2sin???11r2sin???ma2tan?从而22cos?2，

于是由S?|m|a2，

?1ma2tan??|m|a2,即tan???2|m|可得2m. 综上可得：

m???1?5?当?2,0???时，在C1上，存在点N，使得S?|m|a2,且tanF1NF2?2; m???0,1?5?当??2??时，在C1上，存在点N，使得

S?|m|a2,且tanF1NF2??2;m(?1,1?5当

2)?(1?52,??)时，在C1上，不存在满足条件的点N。

用心 爱心 专心

- 13 -

32.（湖南理21）

x2y23C1:2?2?1(a?b?0)2C:y?x?b截得的ab22如图7，椭圆的离心率为，x轴被曲线

线段长等于C1的长半轴长。

（Ⅰ）求C1，C2的方程；

（Ⅱ）设C2与y轴的焦点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A,B,直线MA,MB分别与C1相交与D,E． （i）证明：MD⊥ME;

（ii）记△MAB,△MDE的面积分别是

S1,S2．问：是

S117?S32?请说明理由。

否存在直线l,使得2解

：

（

Ⅰ

）

由

题

意

知

e?c3?,从而a?2b,又2b?a,解得a?2,b?1.a2

x2?y2?1,y?x2?1.故C1，C2的方程分别为4

（Ⅱ）（i）由题意知，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y?kx.

??y?kx?y?x2?1??由得

x2?kx?1?0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个实根，于是

x1?x2?k,x1x2??1.

又点M的坐标为（0，—1），所以

2y1?1y2?1(kx1?1)(kx2?1)kx1x2?k(x1?x2)?1????x1x2x1x2x1x2

kMA?kMB??k2?k2?1?1??1.

故MA⊥MB，即MD⊥ME.

??y?k1x?1,y?k1x?1,由?2y?x?1??（ii）设直线MA的斜率为k1，则直线MA的方程为解得

用心 爱心 专心

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??x?0或??y??1?x?k,?y?k21?1

则点A的坐标为

(k1,k21?1). ?1又直线MB的斜率为

k1，

(?1同理可得点Bk,12?1).的坐标为

1k1

S112111?k211?于是

2|MA|?|MB|?21?k1?|k1|?1?k1?|?|?1k12|k1|

???y?k1x?1,由??x2?4y2?4?022得(1?4k1)x?8k1x?0.

???x?0,?x?8k12,1或?1?4k1?y????2y?4k1?1解得

??1?4k21 (8k214k1?1则点D的坐标为1?4k2,11?4k2).1

?1?8k2(14?k12,2).又直线ME的斜率为k，同理可得点E的坐标为4?k14?k1 S?132(1?k21)?|k1|2于是

2|MD|?|ME|?(1?k221)(k1?4). S11因此S?264(4k241?k2?17).1

1(4k24?17)?17,解得k211?21?4,或k21由题意知，

64k?.1324

k211??k2k1?k131?,所以k1kk??.1?12又由点A、B的坐标可知，

k1

y?32x和y??3故满足条件的直线l存在，且有两条，其方程分别为

2x.用心 爱心 专心

- 15 -

33.（辽宁理20）

如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D．

e?（I）设

12，求BC与AD的比值；

（II）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．

解：（I）因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设

x2y2b2y2x2C1:2?2?1,C2:4?2?1,(a?b?0)abaa

设直线l:x?t(|t|?a)，分别与C1，C2的方程联立，求得

A(t,a22ba?t),B(t,a2?t2).ba ………………4分

13e?时,b?a,分别用yA,yB22当表示A，B的纵坐标，可知

2|yB|b23|BC|:|AD|??2?.2|yA|a4 ………………6分

（II）t=0时的l不符合题意.t?0时，BO//AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN-相等，即

b22a22a?ta?ta?b,tt?a

ab21?e2t??2??2?a.2a?be解得

1?e22|t|?a,又0?e?1,所以2?1,解得?e?1.2e因为

0?e?所以当

22时，不存在直线l，使得BO//AN；

- 16 -

用心 爱心 专心

2?e?12当时，存在直线l使得BO//AN. ………………12分

34.（全国大纲理21）

y2C:x??12已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为-2的直????????????线l与C交于A、B两点，点P满足OA?OB?OP?0.

2（Ⅰ）证明：点P在C上；

（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上． 解：

（I）F（0，1），l的方程为y??2x?1，

y2x??12代入并化简得

24x2?22x?1?0.

设

…………2分

A(x1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3),

x1?2?62?6,x2?,44

2,y1?y2??2(x1?x2)?2?1,2 x3??(x1?x2)??2,y3??(y1?y2)??1.2

则

x1?x2?由题意得

(?所以点P的坐标为

2,?1).2 (?2,?1)2满足方程

用心 爱心 专心

- 17 -

经验证，点P的坐标为

y2x??1,2故点P在椭圆C上。

2…………6分

P(? （II）由

22Q(,1),?1)22和题设知，

PQ的垂直平分线1的方程为

ly??2x.2

①

M(设AB的中点为M，则

21,)42，AB的垂直平分线为l2的方程为

y?21x?.24

②

由①、②得

l1,l2的交点为

N(?21,)88。

…………9分

|NP|?(?2221311?)?(?1?)2?,288832,2|AB|?1?(?2)2?|x2?x1|?|AM|?32,4|MN|?(22211233?)?(?)?,48288311,8

|NA|?|AM|2?|MN|2?故|NP|=|NA|。

又|NP|=|NQ|，|NA|=|NB|， 所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|，

由此知A、P、B、Q四点在以N为圆心，NA为半径的圆上 …………12分 35.（全国新课标理20）

????????在平面直角坐标系xOy中， 已知点A（0，-1），B点在直线y??3上，M点满足MB//OA，

????????????????MA?AB?MB?BA，M点的轨迹为曲线C．

（I）求C的方程；

（II）P为C上动点，l为C在点P处的切线，求O点到l距离的最小值．

用心 爱心 专心 - 18 -

(20）解：

(Ⅰ)设M(x，y)，由已知得B(x，-3)，A(0，-1).

uuuruuuruuur所以MA=（-x，-1-y）， MB=(0，-3-y)， AB=(x，-2).

uuuruuuruuur再由题意可知（MA+MB）? AB=0， 即（-x，-4-2y）? (x，-2)=0.

12所以曲线C的方程式为y=4x-2.

1112'(Ⅱ)设P(x0，y0)为曲线C：y=4x-2上一点，因为y=2x，所以l的斜率为2x0

y?y0?1x0(x?x0)2xx?2y?2y?x200?0． ，即0y0?12x0?24，所以

因此直线l的方程为

d?则O点到l的距离

2|2y0?x0|x?420.又

12x0?41422d??(x0?4?)?2,22x0?42x0?4

2x0当=0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2.

36.（山东理22）

x2y2??1?x,y??x,y?l32已知动直线与椭圆C: 交于P11、Q22两不同点，且△OPQ的面积6S?OPQ2=,其中O为坐标原点.

2222x?xy?y2和12均为定值; （Ⅰ）证明1（Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求|OM|?|PQ|的最大值；

（Ⅲ）椭圆C上是否存在点D,E,G，使得的形状；若不存在，请说明理由.

S?ODE?S?ODG?S?OEG?62?若存在，判断△DEG

（I）解：（1）当直线l的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称， 所以

x2?x1,y2??y1.

用心 爱心 专心

- 19 -

因为

P(x1,y1)在椭圆上，

x221?y1因此32?1

①

S又因为

?OPQ?62,

|x所以

1|?|y1|?62.

②

|x6由①、②得

1|?2,|y1|?1.

此时

x21?x22?3,y221?y2?2, （2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y?kx?m,

x2?y2?1由题意知m?0，将其代入32，得

(2?3k2)x2?6kmx?3(m2?2)?0，

其中

??36k2m2?12(2?3k2)(m2?2)?0, 即3k2?2?m2

…………（*）

x?x??6km3(m2?2)又122?3k2,x1x2?2?3k2,

|?1?k2?(x2263k2?2?m2|PQ1?x2)?4x1x2?1?k2?所以2?3k2,d?|m|因为点O到直线l的距离为

1?k2, S所以

?OPQ?12|PQ|?d

?1222263k?2?m|m|21?k?2?3k2?1?k2 6|m|3k2?2?m2?2?3k2

用心 爱心 专心

- 20 -

又

S?OPQ?6,2

223k?2?2m,且符合（*）式， 整理得

6km3(m2?2)x2?x2?(x22x2此时121?x2)?1x2?(?2?3k2)?2?2?3k2?3,

y2?y22212?3(3?x222221)?3(3?x2)?4?3(x1?x2)?2.

综上所述，

x21?x22?3;y221?y2?2,结论成立。 （II）解法一：

（1）当直线l的斜率存在时，

|OM|?|x由（I）知

1|?62,|PQ|?2|y1|?2,

|OM|?|PQ|?62?2?6.因此

（2）当直线l的斜率存在时，由（I）知

x1?x232?k2m,

y1?y22?k(x1?x22)?m??3k22m?m??3k2?2m22m??m,|OM|2?(x1?x22y1?y229k216m2?2)?(2)?2114m2?m2?4m2?2(3?m2),22|PQ|2?(1?k2)24(3k?2?m)2(2m2?1)1(2?3k2)2?m2?2(2?m2),

|OM|2?|PQ|2?12?(3?11所以

m2)?2?(2?m2)

?(3?1m2)(2?1m2)3?11?(m2?2?m2)2?25.

24 |OM|?|PQ|?523?1m?1所以

2?2m2,即m??2，当且仅当时，等号成立.

用心 爱心 专心 - 21 -

5.2综合（1）（2）得|OM|·|PQ|的最大值为

解法二：

2222224|OM|?|PQ|?(x?x)?(y?y)?(x?x)?(y?y)12122121因为

22?2[(x12?x2)?(y12?y2)] ?10.

4|OM|2?|PQ|2102|OM|?|PQ|???5.25所以 |OM|?|PQ|?即

5,2当且仅当2|OM|?|PQ|?5时等号成立。

5.2因此 |OM|·|PQ|的最大值为

（III）椭圆C上不存在三点D，E，G，使得

S?ODE?S?ODG?S?OEG?6.2 62，

证明：假设存在由（I）得

D(u,v),E(x1,y1),G(x2,y2)满足S?ODE?S?ODG?S?OEG?2222u2?x12?3,u2?x2?3,x12?x2?3;v2?y12?2,v2?y2?2,y12?y2?2,322解得u2?x12?x2?;v2?y12?y2?1.25因此u,x1,x2只能从?中选取,v,y1,y2只能从?1中选取,2(?因此D，E，G只能在

6,?1)2这四点中选取三个不同点，

而这三点的两两连线中必有一条过原点，

与

S?ODE?S?ODG?S?OEG?62矛盾，

所以椭圆C上不存在满足条件的三点D，E，G. 37.（陕西理17）

22x?y?25上的动点，点D是P在x轴上的摄影，M为PD上一点，且如图，设P是圆

MD?4PD5

用心 爱心 专心

- 22 -

（Ⅰ）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；

4（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为5的直线被C所截线段的长度

解：（Ⅰ）设M的坐标为（x,y）P的坐标为（xp,yp）

?xp?x,??5yp?y,??4由已知得

22?5?xyx??y??25??14??2516∵P在圆上， ∴ ，即C的方程为

2244y??x?3?5（Ⅱ）过点（3，0）且斜率为5的直线方程为，

设直线与C的交点为

A?x1,y1?,B?x2,y2?

y?将直线方程

24?x?3?5代入C的方程，得

x2?x?3???12x2525 即?3x?8?0

x1?3?413?41,x2?22 ∴ 线段AB的长度为

22∴

AB??x1?x2???y1?y2?41412?16???1???x1?x2???41?255 ?25?注：求AB长度时，利用韦达定理或弦长公式求得正确结果，同样得分。

38.（上海理23） 已知平面上的线段l及点P，在l上任取一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的距离，记作d(P,l)。

（1）求点P(1,1)到线段l:x?y?3?0(3?x?5)的距离d(P,l)； （2）设l是长为2的线段，求点集D?{P|d(P,l)?1}所表示图形的面积；

用心 爱心 专心 - 23 -

（3）写出到两条线段

l1,l2距离相等的点的集合??{P|d(P,l1)?d(P,l2)}，其中

l1?AB,l2?CD，

A,B,C,D是下列三组点中的一组。对于下列三组点只需选做一种，满分分别是①2分，②

6分，③8分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分。 A(1,3),B(1,0),C(?1,3),D(?1,0)。 ② A(1,3),B(1,0),C(?1,3),D(?1,?2)。 ③ A(0,1),B(0,0),C(0,0),D(2,0)。

解：⑴ 设Q(x,x?3)是线段l:x?y?3?0(3?x?5)上一点，则

A-1y1B1O-1x59|PQ|?(x?1)2?(x?4)2?2(x?)2?(3?x?5)22，当

x?3时，

d(P?,l)m?i|Pn Q|。5⑵ 设线段l的端点分别为A,B，以直线AB为x轴，AB的中点为原点建立直角坐标系， 则A(?1,0),B(1,0)，点集D由如下曲线围成

l1:y?1(|x|?1),l2:y??1(|x|?1)C1:(x?1)2?y2?1(x??1),C2:(x?1)2?y2?1(x?1)

其面积为S?4??。

，

1,0)，??{(x,y)|x?0} ⑶ ① 选择A(1,3),B(1,0),C(?1,3),D(?1,?2)。 ② 选择A(1,3),B(1,0),C(?1,3),D(???{(x,y)|x?0,y?0}?{(x,y)|y2?4x,?2?y?0}?{(x,y)|x?y?1?0,x?1}

③ 选择A(0,1),B(0,0),C(0,0),D(2,0)。

??{(x,y)|x?0,y?0}?{(x,y)|y?x,0?x?1}

?{(x,y)|x2?2y?1,1?x?2}?{(x,y)|4x?2y?3?0,x?2}

yC3Ay3CA用心 爱心 专心 y2.5- 24 -

39.（四川理21）

椭圆有两顶点A（-1，0）、B（1，0），过其焦点F（0，1）的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BD交于点Q．

322（I）当|CD | = 时，求直线l的方程；

????????（II）当点P异于A、B两点时，求证：OP?OQ为定值。

y2?x2?1解：由已知可得椭圆方程为2，设l的方程为y?1?k(x?0),k为l的斜率。

2k??y?kx?1x?x????2?122?k222?(2?k)x?2kx?1?0???y2??x?1?xx??1?212?2?k2?则

224?y?y?2?1?2?k2?2?yy??2k?212?2?k2 ?8k2?88k4?8k292(x1?x2)?(y1?y2)????k?2?k??22222(2?k)(2?k)2

?l的方程为y??2x?1

F,F40.（天津理18）在平面直角坐标系xOy中，点P(a,b)(a?b?0)为动点，12分别为椭

用心 爱心 专心

- 25 -

x2y2?2?12FPFb圆a的左右焦点．已知△12为等腰三角形．

（Ⅰ）求椭圆的离心率e；

??????????PFPFA,B2与椭圆相交于2上的点，满足AM?BM??2，求（Ⅱ）设直线两点，M是直线

点M的轨迹方程．

本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面向量等基础知识，考查用代

数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力.满分13分.

（I）解：设

F1(?c,0),F2(c,0)(c?0) |PF2|?|F1F2|,

由题意，可得即(a?c)2?b2?2c.ccc2()2??1?0,得??1aa整理得a（舍）， c11?.e?.2 或a2所以

（II）解：由（I）知a?2c,b?3c, 可得椭圆方程为3x?4y?12c, 直线PF2方程为y?3(x?c).

222??3x?4y?12c,??y?3(x?c). A，B两点的坐标满足方程组?2消去y并整理，得5x?8cx?0.

2228x1?0,x2?c.5 解得

8?x?c,2?x?0,?51????y??3c,?1?y?33c.?2?5 ? 得方程组的解

833A(c,c),B(0,?3c)5不妨设5

用心 爱心 专心

- 26 -

??????833????(x,y),则AM?(x?c,y?c),BM?(x,y?3c)55设点M的坐标为， y?3(x?c),得c?x?由

3y.3

?????833833AM?(y?x,y?x),15555于是

???????????????BM?(x,3x).由AM?BM??2,

833833y?x)?x?(y?x)?3x??215555即， (218x?163xy?15?0. 化简得

18x2?15310x2?5y?代入c?x?y,得c??0.316x163x将

所以x?0.

218x?163xy?15?0(x?0). 因此，点M的轨迹方程是

41.（浙江理21）

223CCyx?(y?4)?1的圆心为点M x21已知抛物线:＝，圆:

（Ⅰ）求点M到抛物线

c1的准线的距离；

c1上一点（异于原点）cc，过点P作圆2的两条切线，交抛物线1于A，

（Ⅱ）已知点P是抛物线

B两点，若过M，P两点的直线l垂直于AB，求直线l的方程

本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线、圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。

用心 爱心 专心 - 27 -

y??1, （I）解：由题意可知，抛物线的准线方程为： 4 17.所以圆心M（0，4）到准线的距离是4

222（II）解：设

P(x0,x0),A(x1,x1),B(x2,x2)， 则题意得

x0?0,x0??1,x1?x2，

设过点P的圆C2的切线方程为y?x20?k(x?x0)， 2即

y?kx?kx0?x0 ①

|kx?x20?40|则1?k2?1,

即

(x20?1)k2?2x2220(4?x0)k?(x0?4)?1?0， 设PA，PB的斜率为

k1,k2(k1?k2)，则k1,k2是上述方程的两根，所以

k?k2x220(x0?4)x2,k(x0?4)2?112?1k2?x2.0?10?1 将①代入

y?x2得x2?kx?kx0?x20?0, 由于x0是此方程的根，

故

x1?k1?x0,x2?k2?x0，所以

2kAB?x21?x2x?x?x2x2x20(x0?4)0?412?k1?k2?2x0?2?2x0,kMP?.1?x2x0?1x0kAB?kMP?(2xx220(0?4)?2x)x0?4由MP?AB，得

x20?(??1)0?1x0，

x2230?5,解得

(?23即点P的坐标为

5,235)，

y??3115x所以直线l的方程为

115?4.

用心 爱心 专心

- 28 -

42.（重庆理20）如题（20）图，椭圆的中心为原点O，离心率

e???，一条准线的方程为

x???．

（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；

uuuruuuruuur （Ⅱ）设动点P满足：OP?OM??ON，其中M,N是椭圆上的点，直线OM与ON的

?PF??PF?F,FF,F斜率之积为?，问：是否存在两个定点??，使得为定值？若存在，求???的坐标；若不存在，说明理由．

c2a2e??,?22,a2c解：（I）由

解得a?2,c?2,b2?a2?c2?2，故椭圆的标准方程为

x2y2??1.42

（II）设

P(x,y),M(x1,y1),N(x2,y2)，则由

?????????????OP?OM?2ON得

(x,y)?(x1,y1)?2(x2,y2)?(x1?2x2,y1?2y2),即x?x1?2x2,y?y1?2y2.

用心 爱心 专心

- 29 -

22x?2y?4上，所以 因为点M，N在椭圆

22x12?2y12?4,x2?2y2?4，

222222x?2y?(x?4x?4xx)?2(y?4y?4y1y2) 121212故

22?(x12?2y12)?4(x2?2y2)?4(x1x2?2y1y2) 设

?20?4(x1x2?2y1y2).

kOM,kON分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知

kOM?kON?y1y21??,x1x22因此x1x2?2y1y2?0,

22x?2y?20. 所以

x2所以P点是椭圆(25)2?y2(10)2?1上的点，设该椭圆的左、右焦点为F1，F2，则由椭圆

，因此两焦点的坐标为

的定义|PF1|+|PF2|为定值，又因

c?(25)2?(10)2?10F1(?10,0),F2(10,0).

用心 爱心 专心 - 30 -

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