三角函数知识点复习总结

1．角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称

为始边，终止位置称为终边。

2．象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角

的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。

3．终边相同的角的表示：

（1）

终边与

终边相同(

的终边在终边所在射线上)

，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等。

如与角

的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧

度。（答：；

）

（2）终边与终边共线(的终边在终边所在直线上)

。

（3）终边与终边关于轴对称

。

（4）终边与终边关于轴对称

。

（5）终边与终边关于原点对称

。

（6）终边在轴上的角可表示为：；终边在轴上的角可表

示为：；终边在坐标轴上的角可表示为：

。

如的终边与的终边关于直线对称，则＝____________。（答：

）

4．

与

的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定。

是第二象限角，则

是第_____象限角（答：一、三）

5．弧长公式：

，扇形面积公式：(1rad)

。

，1弧度

如若

如已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。

（答：2

6．任意角的三角函数的定义：设是任意一个角，P

意一点（异于原点），它与原点的距离是

是的终边上的任

，那么

）

，，，

，。

三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关。 如（1）已知角的终边经过点P(5，－12)，则

的值为＿＿。（答：

）；（2）设是第三、四象限角，，则的取值范围是_______

（答：（－1，）；（3）若，试判断

符号（答：负）

的

7．三角函数线的特征是：正弦线MP“站在轴上(起点在轴上)”、余弦线OM“躺在轴上(起点是原点)”、正切线AT“站在点

处(起点是

)”.

三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。

如（1）若

，则

)；（2）若

（答：

为锐角，则

的大小关系为_____(答：

的大小关系为_______

的定义域是

）；（3）函数

_______（答：

8．特殊角的三角函数值：

）

9 同角三角函数的基本关系式：

（1）平方关系：

（2）倒数关系：sincsc=1,cossec=1,tancot=1,

（3）商数关系：

同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值。在运用平方关系解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值，尽可能地压缩角的范围，以便进行定号；在具体求三角函数值时，一般不需用同角三角函数的基本关系式，而是先根据角的范围确定三角函数值的符

号，再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。比如：

（1）函数

的值的符号为____（答：大于0）；

（2）若

，则使

成立的的取值范围是____（答：

）；

（3）已知

，

（4）已知

，则

＝____；

＝

，则

＝____（答：

）；

_________（答：

（5）已知

；）；

，则等于

A、 B、 C、

D、（答：B）；

（6）已知，则

的值为______（答：－1）。

10．三角函数诱导公式（）的本质是：奇变偶不变（对而言，指

取奇数或偶数），符号看象限（看原函数，同时可把看成是锐角）.诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：（1）负角变正角，再写成2k

+,

；(2)转化为锐角三角函数。比如：

（1）的值为________（答：

）；

（2）已知，则______，若为第二象限角，

则________。（答：；）

11．两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：

比如：

（1）下列各式中，值为的是

A、 B、 C、

（答：C）；

D、

（2）命题P：，命题Q：，则P是Q的

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充

分也不必要条件（答：C）；

（3）已知

，那么

的值为____（答：

）；

（4）的值是______（答：4）；

(5)已知，求的值（用a表示）甲求得的结果是，

乙求得的结果是，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______（答：

甲、乙都对）

12． 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有:

（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.。

如

，

，

，

，

等），比如：

①已知，，那么的值是_____（答：

）； ②已知

，且

，

，求

的值（答：

③已知

）；

为锐角，，，则与的函数

关系为______（答：

(2)三角函数名互化(切割化弦)，比如： ①求值 ②已知

(3)公式变形使用（

①已知A、B为锐角，且满足

，求

（答：1）；

）

的值（答：）

。比如：

，则＝_____

（答：

）；

②设中，，，则此三

角形是____三角形（答：等边）

(4)三角函数次数的降升(降幂公式：升幂公式：

，

，)。比如：

与

①若 ②函数

，化简为_____（答：）；

的单调递增区间为

___________（答：）

(5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。比如： ①

（答：

）；

②求证：

；

③化简：

(6)常值变换主要指“1”的变换（

等）。

如已知

，求

（答：）

（答：）。

(7)正余弦“三兄妹—比如：

”的内存联系――“知一求二”，

①若

特别提醒：这里

，则 __（答：)；

；

②若

，求的值。（答：）；

③已知）。

13．辅助角公式中辅助角的确定：

，试用表示的值（答：

(其中

角所在的象限由a, b的符号确定，角的值由

起着重要作用。比如：

（1）若方程

确定)在求最值、化简时

有实数解，则的取值范围是___________.（答：[－2,2]）；

（2）当函数取得最大值时，

的值是______(答：)；

（3）如果

2)；

（4）求值：

是奇函数，则= (答：－

________(答：32)

14．正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数和余弦函数图

象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0，的五点，再用光滑

的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象

15．正弦函数

、余弦函数

（1）定义域：都是R。

（2）值域：都是

，对

，当

时，取最大值的性质：

1；当

取最大值1，当

时，取最小值－1；对，当时，

时，取最小值－1。比如：

①若函数的最大值为，最小值为，则__，＿

（答：或

）；

②函数（

）的值域是____（答：[－1, 2]）；

③若，则的最大值和最小值分别是____ 、_____

（答：7；－5）；

④函数的最小值是_____，此时

＝__________（答：2；

）；

⑤己知，求

的变化范围（答：）；

⑥若，求，

）。

的最大、最小值（答：

特别提醒：在解含有正余弦函数的问题时，你深入挖掘正余弦函数的有界性

了吗？

（3）周期性：①

、

的最小正周期都是2；②

和的最小正周期都是。比如：

①若，则

＝___（答：0）；

②函数

③设函数

立，则

的最小正周期为____（答：）；

，若对任意都有成

的最小值为____（答：2）

（4）奇偶性与对称性：正弦函数是奇函数，对称中心是

，对称轴是直线；余弦函数是偶

函数，对称中心是，对称轴是直线（正(余)弦型

函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于轴的直线，对称中心为图象与轴

的交点）。比如：

①函数的奇偶性是______（答：偶函数）；

②已知函数

为常数），且

______（答：－5）；

③函数

的图象的对称中心和对称轴分别是

，则

__________、____________（答：

④已知

、）；

为偶函数，求的值。（答：

）

（5）单调性：上单调递增，在

单调递减；

减，在

在

上单调递增。

上单调递

特别提醒，别忘了

16．形如

（1）几个物理量：A―振幅；

！

的函数：

―频率（周期的倒数）；―初相；

―相位；

（2）函数表达式的确定：A由最值确定；由周期确定；

由图象上的特殊点确定，如，的图象如图

所示，则＝_____（答：

）；

（3）函数

图象的画法：①“五点法”――设

，

令＝0，求出相应的值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法。

（4）函数的图象与图象间的关系：①函数

个单

的图象纵坐标不变，横坐标向左（>0）或向右（<0）平移

位得

的图象；②函数

图象的纵坐标不变，横坐标变为

原来的，得到函数的图象；③函数图象的横坐的图象；④函数）或向下（

），得得到

标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数

图象的横坐标不变，纵坐标向上（

到

的图象。要特别注意，若由

的图象，则向左或向右平移应平移

个单位。比如：

①函数的图象经过怎样的变换才能得到的图

象？（答：向上平移1个单位得的图象，再

向左平移个单位得的图象，横坐标扩大到原来的2倍得的

图象，最后将纵坐标缩小到原来的即得

②要得到函数

的图象，只需把函数

的图象）；

的图象向___平移

____个单位（答：左；

③将函数

）；

图像，按向量平移后得到的函数图像关于原点

对称，这样的向量是否唯一？若唯一，求出；若不唯一，求出模最小的向量（答：

存在但不唯一，模最小的向量

④若函数

）；

的图象与直线有且仅有四个

）

不同的交点，则的取值范围是 （答：

（5）研究函数只需将

中的

性质的方法：类比于研究看成

中的，但在求

的性质，

的单调区间时，要特别注意A和

的符号，通过诱导公式先将化正。比如：

①函数的递减区间是______（答：

）；

②的递减区间是_______（答：

）；

③设函数

称，它的周期是，则

A、

B、

数

C、

D、

的最大值是A（答：C） 在区间

上是减函

的图象关于直线

对

④对于函数给出下列结论：①图象关于原点成中心对

称；②图象关于直线成轴对称；③图象可由函数的图像向左平

移个单位得到；④图像向左平移个单位，即得到函数的图像。

其中正确结论是_______（答：②④）；

⑤已知函数

图象与直线

的交点中，距离最近两点间

的距离为，那么此函数的周期是_______（答：）

17．正切函数

的图象和性质：

（1）定义域：。遇到有关正切函数问题时，你注意到

正切函数的定义域了吗？

（2）值域是R，在上面定义域上无最大值也无最小值；

（3）周期性：是周期函数且周期是，它与直线

的两个相邻交点之间

的距离是一个周期。绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数

又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定。

如

的周期都是, 但

的周期为

，而

，

的周期不变；

（4）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是，特别提醒：

正(余)切型函数的对称中心有两类：一类是图象与轴的交点，另一类是渐近线

与轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。

（5）单调性：正切函数在开区间内都是增函数。

但要注意在整个定义域上不具有单调性。如下图：

18．三角形中的有关公式：

(1)内角和定理：三角形三角和为，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角

和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方。

(2)正弦定理：

①正弦定理的一些变式：

；

；②已知三角形两边一对角，求

解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解。

(3)余弦定理：

鉴定三角形的形状。

等，常选用余弦定理

(R为三角形外接圆的半径).注意：

；

(4)面积公式：半径）.如

中，若

状（答：直角三角形）。

（其中为三角形内切圆

，判断

的形

特别提醒：（1）求解三角形中的问题时，一定要注意这个特殊

性：；（2）求解三角形中含有边

角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。比如：

①

中，A、B的对边分别是

件的

，且

，那么满足条

A、 有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定（答：C）；

②在

中，A＞B是

成立的_____条件（答：充要）；

③在

中，

④在

中，

分别是角A、B、C所对的边，若

，则

＝____（答：

）；

，则

＝_____（答：

）；

⑤在中，若其面积

，则=____（答：）；

⑥在中，，这个三角形的面积为，则外接圆的

直径是_______（答：

）；

⑦在△ABC中，a、b、c是角A、B、C的对边，

= ，的最大值为 （答：

）；

⑧在△ABC中AB=1，BC=2，则角C的取值范围是 （答：

⑨设O是锐角三角形ABC的外心，若

积满足关系式

19．反三角函数：（1）反三角函数的定义（以反正弦函数为例）：

，且，求

（答：

）。

）；

的面

表

示一个角，这个角的正弦值为,且这个角在

、反余弦

、反正切

内。(2)反正弦

的取值范围分别是。

在用反三角表示两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角、直线的倾斜角、到的角、与的夹角以及两向量的夹角时，你是否注

意到了它们的范围？，， 。

20．求角的方法：先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数（要注意选择，其标准有二：一是此三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条

件易求出此三角函数值）。比如：

（1）若

，且

、

是方程

的两根，则求

的值______（答：

）；

（2）中，，则＝_______（答：

）；

（3）若

且

，

，

求的值（答：

1．向量有关概念：

（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。

如已知A（1,2），B（4,2），则把向量

按向量＝（－1,3）平移后得到

的向量是_____（答：（3,0））

（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任

意的；

（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与

共线的单

位向量是)；

（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有

传递性；

（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平

行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。

提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有)；④三点

共线

共线；

（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－

。

如下列命题：（1）若

，则

。（2）两个向量相等的充要条件是它，则

，则

是平行四边形。（4）若

。（6）若

，

们的起点相同，终点相同。（3）若

是平行四边形，则

则

。（5）若

。其中正确的是_______（答：（4）（5））

2．向量的表示方法：

（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如

在后；

，注意起点在前，终点

（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；

（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为称

为向量的坐标，＝

，

叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在

原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

3.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数

（1）若

，则

______（答：

）；

、

，使a=

e1＋e2。比如：

（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是

A.

B.

C.

D.

（3）已知

分别是

的边

上的中线,且

,则

（答：B）；

可用向量表示为_____（答：

）；

（4）已知

中，点在边上，且，

则的值是___（答：0）

，

4．实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作和方向规定如下：<0时，

当>0时，

，它的长度

的方向与的方向相同，当

，注意：

≠0。

的方向与的方向相反，当＝0时，

5．平面向量的数量积：

（1）两个向量的夹角：对于非零向量，，作，

称为向量，的夹角，当＝0时，，同向，当＝时，，

反向，当＝时，，垂直。

（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量＝

叫做与的数量积（或内积或点积），记作：

，即

。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，

不再是一个向量。比如：

①△ABC中，

，

，

－9）；

，则

_________（答：

②已知，与的夹角为

（答：1）；

③已知

，则

等于____（答：

，则等于____

）；

④已知是两个非零向量，且

）

，则的夹角为____（答：

（3）在上的投影为，它是一个实数，但不一定大于0。

如已知，，且，则向量在向量上的投影为______

（答：

（4）

的几何意义：数量积

）

等于的模

与在上的投影的积。

（5）向量数量积的性质：设两个非零向量，，其夹角为，则：

①

②当，同向时，反向时，

＝－

＝

，特别地，

＞0，且＜0，且

不同向，不反向，

；当与

是

；

；当为锐角时，

为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，

是为钝角的必要非充分条件；

③非零向量，夹角的计算公式：；④。

如（1）已知，，如果与的夹角为锐角，则的取

值范围是______（答：或且）；（2）已知的面积为，

且，若，则夹角的取值范围是_________（答：

）；（3）已知

，①用表示

；②求

与之间有关系式的最小值，并求此时与

的夹角的大小（答：①；②最小值为，）

6．向量的运算：

（1）几何运算：

①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设

那么向量

叫做

与

的和，即

；

，

②向量的减法：用“三角形法则”：设

，由减向量的终点指向被减向量的终点。

注意：此处减向量与被减向量的起点相同。

如（1）化简：①

_____（答：①

的边长为1，若O是

，则

所在平面内一点，且满足

为

的边

___；②；②

____；③

；③）；（2）若正方形＝_____（答：

）；（3），则的中点，

的所

形状为____（答：直角三角形）；（4）若

在平面内有一点，满足2）；（5）若点

是

的外心，且

（答：

，设，则的值为___（答：，则

的内角为____

）；

（2）坐标运算：设

① 向量的加减法运算：

如（1）已知点

，

，若

，则：

，。

，则当＝____

时，点P在第一、三象限的角平分线上（答：）；（2）已知

，，则 （答：或

）；（3）已知作用在点的三个力，则合力

的终点坐标是 （答：（9,1））

② 实数与向量的积：

③若

，则

，即一个向量的坐标等于表。

示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。

如设

，且

，

，则C、D的坐标分别是__________

（答：

）；

④平面向量数量积：。

如已知向量＝（sinx，cosx）, ＝（sinx，sinx）, ＝（－1，0）。

（1）若x＝，求向量、的夹角；（2）若x∈，函数

的最大值为，求的值（答：

⑤向量的模： 如已知）；

⑥两点间的距离：若比如：

如图，在平面斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若向的单位向量，则P点斜坐标为

中，

或）；

。

均为单位向量，它们的夹角为，那么＝_____（答：

，则。

，平面上任一点P关于斜坐标系，其中

分别为与x轴、y轴同方

。（1）若点P的斜坐标为（2，－2），求

中的方

P到O的距离｜PO｜；（2）求以O为圆心，1为半径的圆在斜坐标系程。（答：（1）2；（2）

）；

7．向量的运算律：

（1）交换律：

，

，

；

(2)结合律：

；

（3）分配律：如下列命题中：①

；④ 若

，则

；②

或

；⑤若，

，

。

；③

则

；

⑥；⑦；⑧；⑨。其中正确的

是______（答：①⑥⑨）

提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即

么？

8．向量平行(共线)的充要条件：

＝0。

如(1)若向量2）；（2）已知（答：4）；（3）设

线（答：－2或11）

9．向量垂直的充要条件：

.

，当＝_____时与共线且方向相同（答：，

，

，且

，则x＝______，为什

，则k＝_____时，A,B,C共

特别地

。

如(1)已知，若，则 （答：）；

（2）以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，的坐标是________ （答：(1,3)或（3，－1））；（3）已知

且

，则

的坐标是________ （答：

10.线段的定比分点：

，则点B向量）

，

（1）定比分点的概念：设点P是直线PP上异于P、P的任意一点，若存在一个实数 ，使

叫做有向线段

，则叫做点P分有向线段的以定比为的定比分点；

（2）的符号与分点P的位置之间的关系：当P点在线段 PP上时当P点在线段 PP的延长线上时

；若点P分有向线段

>0；

所成的比，P点

<－1；当P点在线段PP的延长线上时所成的比为，则点P分有向线段

所

成的比为

如若点分

所成的比为，则分

（3）线段的定比分点公式：设

。

所成的比为_______（答：）

、，分有向线段

所成的比为，则，特别地，当＝1时，就得到线段PP的中点

公式。在使用定比分点的坐标公式时，应明确，、

的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵

活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比。

如（1）若M（-3，-2），N（6，-1），且

，则点P的坐标为_______

（答：）；（2）已知且

，直线与线段交于，

，则等于_______（答：２或－４）

11.平移公式：如果点

曲线

按向量

按向量平移至

平移得曲线

，则

。

；

注意：（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（2）向量平移

具有坐标不变性，可别忘了啊！

如（1）按向量把

平移到

，则按向量把点

平移到点______

（答：（－８，３））；（2）函数的图象按向量平移后，所得函数

的解析式是，则＝________（答：

12．向量中一些常用的结论：

）

（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；

（2）

，特别地，当

同向或有

；当共线

反向或有

(这些和实数比较类似).

；当不

（3）在中，①若，则其重心的坐标为

。

如若⊿ABC的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、 （-1，-1），则⊿ABC

的重心的坐标为_______（答：

②

为

为

）；

的重心，特别地的重心；

③

为的垂心；

④向量所在直线过

直线)；

⑤

（3）若P分有向线段

所成的比为

的内心(是的角平分线所在

的内心；

，点为平面内的任一点，则

，特别地为的中点

；

（4）向量中三终点

且

共线

。

存在实数使得

如平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点

,其中

、

,,若点满足

且

直线AB

,则点的轨迹是_______（答：

1、数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，?，n｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。如（1）已知

，则在数列

的最大项为__（答：

）；（2）数列

的通项为，其中均为正数，则中，

，且

与的大小关系为___（答：是递增数列，求实数的的图象在下列图中，并且满足

，

）；（3）已知数列

取值范围（答：对任意

）；（4）一给定函数

得到的数列

，由关系式

则该函数的图象是 （）（答：A）

2.等差数列的有关概念：

（1）等差数列的判断方法：定义法或。

如设是等差数列，求证：以bn=

差数列。

为通项公式的数列为等

（2）等差数列的通项：

，

，则通项

或

（答：

。如(1)等差数列中，

）；（2）首项为-24的等差数列，

从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答：

）

（3）等差数列的前和：，。如（1）数列

中，

，

，

）；（2）已知数列

，前n项和的前n项和

，则＝＿，＝＿（答：

的前

，求数列

项和（答：

。

（4）等差中项：若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且

。

提醒：（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、、、

及

，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，

便可求出其余2个，即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为?，

个数成等差，可设为?，

3.等差数列的性质：

?（公差为）；偶数,?（公差为2）

（1）当公差时，等差数列的通项公式是关于

的一次函数，且斜率为公差；前和

关于的二次函数且常数项为0.

（2）若公差

，则为递增等差数列，若公差若公差

，则为常数列。

（3）当

时,则有

则有

如（1）等差数列27）；（2）在等差数列则A、

都小于0，

中，中，

，且

都大于0 B、

都小于0，0，

，特别地，当。

是

，则为递减等差数列，

时，

，则＝____（答：，

是其前项和，

都小于0，

都小于

都大于0 C、都大于0 D、

都大于0 （答：B）

(4) 若、、若

是等差数列，则、 (、是非零常数)、成等比数列；

，?也成等差数列，而

是等比数列，且

，则

是等差数列。

如等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和

为 。（答：225）

（5）在等差数列时，

，

中，当项数为偶数

时，

即

）；

；项数为奇数

。

（这里

如（1）在等差数列中，S11＝22，则数的等差数列

＝______（答：2）；（2）项数为奇

中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项

数（答：5；31）

（6）若等差数列、的前和分别为、，且，则

.如设{}与{}是两个等差数列，它们的前

项和分别为和，若，那么___________（答：）

(7)“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组

确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前

项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性

。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一

般数列中的最大或最小项吗？

如（1）等差数列

中，

，

，问此数列前多少项和最大？并求

是等差数列，

此最大值。（答：前13项和最大，最大值为169）；（2）若

首项

，则使前n项和

，

成立的最大正整数n是 （答：

4006）

(8)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共

项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究

4.等比数列的有关概念：

。

（1）等比数列的判断方法：定义法，其中或

。

如①一个等比数列{

}共有

项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，

则为____（答：）；②数列中，=4+1 ()且=1，若

，求证：数列｛

（2）等比数列的通项：

如设等比数列

中，

，

｝是等比数列。

或。

，前项和＝126，求和公比.

（答：，

或2）

（3）等比数列的前和：当时，；当时，

。

如①等比数列中，＝2，S99=77，求（答：44）；②

的值为__________（答：2046）；

特别提醒：等比数列前项和公式有两种形式，为此在求等比数列前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比是否为1时，

要对分

和

两种情形讨论求解。

（4）等比中项：若成等比数列，那么A叫做与的等比中项。提醒：不是任

。如已知两个正数

何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个

的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为______（答：A＞B）

提醒：（1）等比数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、、、

及

，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，

便可求出其余2个，即知3求2；（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为?，

?（公比为）；但偶数个数成等

比时，不能设为?，?，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为

。

如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答：15，,9，

3,1或0,4，8,16）

5.等比数列的性质：

（1）当

时，则有

，特别地，当.

如①在等比数列

中，

，公比q是整数，则中，若

，则

=___时，则有

（答：512）；②各项均为正数的等比数列

（答：10）。

(2) 若

是等比数列，则

、

、

成等比数列；

若成等比数列，则、成等比数列；若是等比数列，且公

比，则数列数时，数列

，?也是等比数列。当，且为偶

，?是常数数列0，它不是等比数列。

如①已知且，则

，设数列满足

. （答：

，则

，且）；②的值

在等比数列中，为其前n项和，若

为______（答：40）

(3)若若

若

，则 ，则，则

为递增数列；若为递减数列；若为摆动数列；若

，则

, 则, 则

为递减数列；为递增数列；

为常数列。

(4) 当时，，这里，但，判断数列

，是否

这是等比数列前项和公式的一个特征，据此很容易根据

为等比数列。

如若

是等比数列，且

(5)

如设等比数列

的公比为，前项和为

，若

，则＝ （答：－1）

。

成等差数列，

则的值为_____（答：－2）

(6) 在等比数列

中，当项数为偶数

时，

时，。

；项数为奇数

(7)如果数列列，故常数数列

既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数

仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。

如设数列①若

的前项和为

，则，则

（）， 关于数列有下列三个命题：

既是等差数列又是等比数列；②若

，则

是等比

是等差数列；③若

数列。这些命题中，真命题的序号是 （答：②③）

6.数列的通项的求法：

⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

如已知数列

试写出其一个通项公式：__________（答：

）

⑵已知（即）求

，用作差法：。

如①已知的前项和满足，求（答：）；

②数列满足

，求（答：）

⑶已知求，用作商法：

。

如数列中，对所有的都有，则

______（答：

⑷若

求

用累加法：

）

。

如已知数列

满足

，（答：

）

，则

=________

⑸已知求，用累乘法：

。

如已知数列中，，前项和，若，求（答：

）

⑹已知递推关系求

，用构造法（构造等差、等比数列）。特别地，

（1）形如

、

（

为常数）的递推数列都可以用

。

待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求

如①已知

，求，求

（答：

）；②已知）；

（答：

（2）形如的递推数列都可以用倒数法求通项。

如①已知，求（答：）；②已知数列满足

=1，，求

（答：）

注意：（1）用件了吗？（

，当

时，

求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条

）；（2）一般地当已知条件中含有

，先将已知条件转化为只含

与或

的混合关系时，常需运用关系式

的关系式，然后再求解。

如数列

满足

，求

（答：

）

7.数列求和的常用方法：

（1）公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③常

用公式：

; ; .

如①等比数列

的前项和Sｎ＝2ｎ－１，则

＝_____

（答：）；②计算机是将信息转换成二进制数进行处理的。二进制即“逢2进1”，如

表示二进制数，将它转换成十进制形式是

，那么将二进制

（答：

）

转换成十进制数是_______

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