2015年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之1、集合、函数和方程(共10个专题)

《高校自主招生考试》数学真题分类解析,最后一块拼图!

专题之1、集合、函数和方程

一、选择题。

1．(2010年中南财经政法大学)若函数f(x)=mx+n直线y=x对称,又f(A.(0,+∞)

)=2B.[0,1)

(x≥0)的图象与函数g(x)的图象关于

,g(1)=0,则函数f(x)的值域为

C.(0,1]

D.[0,+∞)

2．(2009年华中科技大学)已知a,b为常数,若f(x)=x2+2x+a,f(bx)=4x2 4x+1,则f(ax+b)>0的解集为

A.{x∈R|x>1}

B.{x∈R|x<1}

C.{x∈R|x≠1}

D.{x∈R| 1<x<1}

,这里,

XA

3．(2009年复旦大学)定义全集X的子集A X的特征函数为fA(x)=表示A

X,下列命题中不准确的是 在X中的补集,那么,对A,B A.A B fA(x)≤fB(x), x∈X C.fA∩B(x)=fA(x)fB(x), x∈X

B.D.

(x)=1 fA(x), x∈X (x)=fA(x)+fB(x), x∈X

4．(2010年复旦大学)设集合X是实数集R的子集,如果点x0∈R满足:对任意a>0,都存在x∈X使得0<|x x0|<a,则称x0为集合X的聚点.用Z表示整数集,则在下列集合:(1){

|n∈Z,n≥0},(2)R\{0},(3){|n∈Z,n≠0},(4)整数集Z中,以0为聚点的集合有

A.(2)(3) B.(1)(4) C.(1)(3) D.(1)(2)(4)

5．(2010年复旦大学)设集合A={(x,y)|logax+logay>0},B={(x,y)|y+x<a},如果A∩B= ,则a的取值范围是 A.

B.a>0,a≠1

C.0<a≤2,a≠1

D.1<a≤2

6．(2010年复旦大学)设集合A,B,C,D是全集X的子集,满足A∩B≠ ,A∩C≠ ,则下列选项中正确的是

A.如果D B或D C,则D∩A≠ B.如果D A,则

∩B≠ ,

∩C≠

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C.如果D A,则∩B= ,∩C=

D.上述各项都不正确

7．(2010年复旦大学)对函数f:*0,1+→*0,1+,定义f1(x)=f(x),…,fn(x)= f[fn 1(x)+,n=2,3,….满足fn(x)=x[0,1]称为f的一个n 周期点.现设f(x)=的点x∈

,则f的n 周期点的个数是

A.2n

B.2n2 C.2n D.2(2n 1)

8．(2011年复旦大学)设a,b∈( ∞,+∞),b≠0,α,β,γ是三次方程x3+ax+b=0的3个根,则总以+,

+,+为根的三次方程是

D.b2x3+2a2bx2+ax b=A.a2x3+2abx2+b2x a=0 B.b2x3+2abx2+a2x b=0 C.a 2x3+2ab2x2+bx a=0

0 9．(2011年复旦大学)设S是由任意n(n≥5)个人组成的集合,如果S中任意4个人当中都至少有1个人和其余3个人相互认识,那么,下面的判断中正确的是 A.S中没有人认识S中所有的人 C.S中至多有2人不认识S中所有的人

B.S中至少有1人认识S中所有的人 D.S中至多有2人认识S中所有的人

10．(2011年复旦大学)下列函数中,在其定义域上不是奇函数的是 A.ln(x+

)

B.x(

+)

C.ln|

|

D.ln(sec x+tan x)

11．(2011年复旦大学)设a为正数,f(x)=x3 2ax2+a2,若f(x)在区间(0,a)上大于0,则a的取值范围是 A.(0,1]

B.(0,1)

C.(1,+∞)

D.[1,+∞)

=kx2有四个不同的实数解,则k的取值

12．(2011年同济大学等九校联考)若关于x的方程

范围为 A.(0,1)

B.(,1)

C.(,+∞)

D.(1,+∞)

13．(2010年清华大学等五校联考)设 f(x)=eax(a>0),过点P(a,0)且平行于y轴的直线与曲线

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C:y=f(x)的交点为Q,曲线C过点Q的切线交x轴于点R,则△PQR的面积的最小值为 A.1

B.

C.

D.

14．(2011年清华大学等七校联考)过点(1,1)的直线l与曲线y=x3x22x+1相切,且(1,1)不是切点,则直线l的斜率是 A.2

B.1

C.

1

D.

2

15．(2011年复旦大学)设a=()x,b=()x 1,c=lo

x,若x>1,则a,b,c之间的大小关系为

A.a<b<c

B.b<c<a C.c<a<b D.c<b<a

二、填空题。

16．(2009年南京大学)已知向量a、b满足|a|=|b|=1,a与b的夹角为,则以3a b和a+b为

边的平行四边形的面积为 。

三、解答题。

17．(2010年南京大学)函数f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,满足f(xy)= f(x)+f(y). (1)证明:f()=f(x) f(y);

(2)f(4)= 4,求f(x) f()≥ 12的解集.

18．(2009年浙江大学)现有如下两个命题:

32

命题p:函数f(x)=x+ax+ax a既有极大值,又有极小值. 222

命题q:直线3x+4y 2=0与曲线x 2ax+y+a 1=0有公共点.

若命题“p或q”为真,且命题“p且q”为假,试求a的取值范围.

19．(2009年浙江大学)已知a≥,设二次函数f(x)= a2x2+ax+c,其中a,c均为实数.证明:对于任意

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x∈[0,1],均有f(x)≤1成立的充要条件是c≤.

20．(2010年浙江大学)设M={x|f(x)=x},N={x|f [f(x)]=x}. (1)求证:M N;

(2)f(x)为单调递增函数时,是否有M=N?并证明.

21．(2011年同济大学等九校联考)(1)设f(x)=xln x,求f '(x); (2)设0<a<b,求常数c,使得

取得最小值;

(3)记(2)中的最小值为mab,证明mab<ln 2.

22．(2009年清华大学)一元三次函数f(x)的三次项系数为, f'(x) 9x<0的解集为(1,2).

(1)若f'(x)+7a=0仅有一解,求的解析式;

(2)若f(x)在( ∞,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围.

23．(2010年清华大学等五校联考)设函数f(x)=

,且存在函数s=φ(t)=at+b(t>,a≠0),满足

f()=.

(Ⅰ)证明:存在函数t=ψ(s)=cs+d(s>0)满足f()=;

(Ⅱ)设x1=3,xn+1=f(xn),n=1,2,….证明:|xn 2|≤.

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24．(2012年清华大学等七校联考)记函数fn(x)=1+x+++…+,n=1,2,3,….证明:当n为偶数

时,方程fn(x)=0没有实数根,当n为奇数时,方程fn(x)=0有且仅有一个实数根xn,且xn+2<xn.

25．(2009年北京大学)某次考试共有333名学生做对了1 000道题.称做对3道及以下的人为不及格,做对6道及以上的人为优秀.问不及格和优秀的人数哪个多?

26．(2012年北京大学等十一校联考)求x的范围,使得f(x)=|x+2|+|x|+|x1|是增函数.

27．(2012年北京大学等十一校联考)已知(x22x+m)(x22x+n)=0的4个根组成首项为的等

差数列,求|mn|.

28．(2012年北京大学等十一校联考)求使得sin 4xsin 2xsin xsin 3x=a在*0,π)有唯一解的a.

29．(2010年北京大学等三校联考) 0<α<,求证:sin α<α<tan α.

30．(2011年北京大学等十三校联考)是否存在四个正实数,它们的两两乘积分别是2,3,5,6,10,16?

31．(2011年清华大学等七校联考)已知圆柱形水杯质量为a克,其重心在圆柱轴的中点处(杯底厚度及重量忽略不计,且水杯直立放置).质量为b克的水恰好装满水杯,装满水后的水杯的重心还在圆柱轴的中点处.

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(1)若b=3a,求装入半杯水后的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值; (2)水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低?为什么?

答案与解析

1.C

【解析】由题意∵当x≥0时, f(x)=

,∴

,∴f(x)= x+

=

,

f(x)的值域为(0,1],故选C. 为减函数,∴

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4.A

【解析】不等式0<|x|<a,注意左边仅仅是大于零,右边的字母a为任意正数. (1)

的取值依次为0,,,…,n→+∞时,

=

→1,不妨设a=,0<|

0|<,显然无整数解;

(2)R\{0}表示除去0外的任意实数,显然0<|x 0|<a,无论a如何小,或者如何大,总有x能使上面的不等式成立; (3)的取值依次为…,

,

,

, 1,1,,,,…,n→+∞时,→ 0,故0<|

0|<a成立;

(4)不妨设a=,0<|x 0|<,无整数解。故选A. 5.D

【解析】注意隐含条件 x,y>0,a>0且a≠1.

集合A={(x,y)|loga(xy)>0},若a>1,则y>,则集合A表示曲线y=右上方在第一象限的点的集合,如图

;

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若0<a<1,则y< ,集合A表示曲线y=左下方在第一象限的点的集合,如图.

集合B={(x,y)|y< x+a},集合B表示直线y= x+a下方的点的集合. 当1<a≤2,A∩B= ，当0<a<1,A∩B≠ 。故选D. 6.D

【解析】用韦恩图表示每个选项:

由第一个图知选项A错，由第二个图知选项B错，由第三个图知选项C错。故选D. 7.C

2

【解析】f(x)=

由图象知,此时有4个周期点

;

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由图象知,此时有8个周期点,由此可递推出选项C正确. 8.B

【解析】由已知条件得:α+β+γ=0,αβ+βγ+γα=a,αβγ= b, 又(+)+(+)+(+)=2(++)=2×

=

,

2322

根据根与系数的关系,方程bx+2abx+ax b=0符合条件,选B.

9.B

【解析】本题采用特殊值方法,分析当n=5时的情况,按特殊到一般的逻辑进行推理分析.当n=5时,假设5个人为:A,B,C,D,E.(1)若任取4个人为:A,B,C,D,其中A认识其余3个人;(2)若任取4个人为:A,B,C,E,其中A认识其余3个人,可以得到S中A认识所有的人,所以A项错误,C项错误;如果在(1)(2)中,A,B,C同时认识其余人,则得到有3人认识所有的人,所以D项错误,故选B.

10.B

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【解析】A项函数定义域为R,关于原点对称.又 f(x)= ln(x+ln(x+

) 1=ln

=ln( x+

)=

)=f( x),所以函数是奇函数.

+)=(

),f( x)=

(

)=

B项函数定义域为{x∈R|x≠0},关于原点对称.又f(x)=x((

)=f(x),所以函数为偶函数.

C项函数定义域为R,关于原点对称.又f(x)+f( x)=ln||+ln||=ln 1=0,故f(x)= f( x),

所以函数为奇函数.

D项函数定义域为{x|x≠kπ+

, f(x)= ln数,故选B. 11.A

2

【解析】由已知得f '(x)=3x 4ax,令f '(x)>0,解得x>

,k∈Z},关于原点对称.又函数f( x)=ln

,因为

=

=ln

=ln(

) 1=ln

,所以f( x)= f(x),函数为奇函

或x<0,即函数f(x)的增区间为

(,+∞),( ∞,0),减区间为(0,),所以函数f(x)在(0,a)上为减函数,要使f(x)在区间(0,a)上大于0,

23

只需要f(a)≥0,即a a≥0,解得0<a≤1,选A.

12.C

【解析】解法一 当x=0时等式成立,方程

2

当x>0时,原方程变为(x+2) 4=>0有一根;

=kx2有一个根x=0;

2

当x<0时,原方程变为 (x+2)+4=,要使原方程有四个不等实根,这时必有两个根,数形结合可

知0<<4,所以k>,故选C.

2

解法二 特殊值法,取k=1,原方程变为|x|=x(x+4),即|x|[|x|(x+4) 1]=0,所以x=0或

或,故x=0或x= 2+或x= 2±,方程有四个根,所以

k=1满足条件,排除A,B,D三个选项,故选C. 13.B

【解析】要求三角形面积的最小值,必先找到三角形面积的函数,然后利用函数求最值的方法求解.如图,

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由题知

=aeax,Q(a,

),直线QR的方程为y

)]

=

.

=a(x a),令y=0,则x=a,即R(a

,0),所以△PQR的面积为[a (a再令 g(a)=14.C

,故g'(a)=

,故当a=时△PQR的面积的最小值为 .故选B.

【解析】设曲线的切线(即直线l)的切点为P(x0,y0),则由导数的几何意义得,直线l的斜率为k=y'

=3

2x02,所以直线l的方程为y y0=(3

2x02)(2x0+1. (2)

2x0+1,即

1)=0,由题意知x0=1,k= 1,故选C. 2x02)(xx0). 1x0). (1)

因为直线l过点(1,1),所以1y0=(3又P(x0,y0)在曲线上,所以y0=(1)+(2)得,1=(3

2x0 (3

15.C

2x0 2)( 1 x0)+

2x0 2)(x0+1)=0,即(x0+1)(

xx 11 xx

【解析】解法一 a=(),b=()=(),因为x>1,所以1 x<0.根据指数函数y=()为减函数,

可以得到0<a<b.由对数函数y=lox的性质得:x>1时,c=lox<0,所以c<a<b,选C.

2

解法二 因为x>1,故可取x=2,此时a=()=,b=,c=lo

2,易知c<0及0<a<b,故选

C.

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x2 2ax+y2+a2 1=0可整理为(x a)2+y2=1,直线3x+4y 2=0与曲线(x a)2+y2=1有公共点等价于

≤1,解得 1≤a≤. 即当 1≤a≤时,命题q为真. 由题设知,若p真q假,则

,解得a>3或a< 1;

若q真p假,则,解得0≤a≤.

综上,a的取值范围为a>3或a< 1或0≤a≤.

19.由题知a≥,则二次函数f(x)的对称轴为直线x=∈(0,1],故对于任意x∈[0,1], f(x)的最大值在x=处取到,且[f(x)]max=f()=+c.

(1)充分性:当c≤时,[f(x)]max=+c≤1, 故对于任意x∈[0,1],均有f(x)≤1成立. (2)必要性:若对于任意x∈[0,1],均有f(x)≤1成立, 则[f(x)]max=+c≤1,解得c≤

.

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[0,1],均有f(x)≤1成立的充要条件是c≤. 综上,对于任意x∈

20.(1)若M= ,则显然有M N.

M,满足f(x0)=x0,从而f [f(x0)]=f(x0)=x0. 故x0∈N,所以M N. 若M≠ ,则任意x0∈

(2)当f(x)为单调递增函数时,一定有M=N,下面用反证法证明:

N,于是可设x1∈N,但x1 M,因此f[f(x1)]=x1且f(x1)≠x1. 若M≠N,由于M N,必有M

(i)若f(x1)>x1,则由f(x)为单调递增函数可得:f [f(x1)]>f (x1),即x1>f(x1),矛盾. (ii)若f(x1)<x1,则由f(x)为单调递增函数可得:f [f(x1)]<f(x1),即x1<f(x1),也矛盾. M,故M N不成立,所以M=N. 综合(i)(ii)可知:f(x1)=x1,因此,x1∈【解析】无 21.(1) f '(x)=1+ln x. (2) 当c=ln (3) 将c=ln (a+b)ln

时,

)式右边,mab=代入(※

+aln a+bln b<(b a)ln 2

取得最小值. [aln a+bln b (a+b)ln

]<ln 2

(a+b)ln(a+b)>aln a+bln b+2aln 2 aln(a+b) aln a+bln(a+b) bln b>2aln 2 aln(1+)+bln(+1)>2aln 2.

因为0<a<b,所以aln(1+)+bln(+1)>aln(1+)+aln(+1)=aln(1+)(+1)=aln(2++)>aln 4=2aln 2.

故原不等式成立.

【解析】(1)由题知,函数定义域为(0,+∞), f '(x)=1+ln x. (2)若c≤ln a,则|ln x c|=ln x c,当c=ln a时,若c≥ln b,则|ln x c|=c ln x,当c=ln b时,若ln a<c<ln b,则=

{

= +

[

取得最小值,记为A; 取得最小值,记为B; +

[(ln x+1) (c+1)]dx}

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所以aln(1+)+bln(+1)>aln(1+)+aln(+1)=aln(1+)(+1)=aln(2++)>aln 4=2aln 2. 故原不等式成立. 22.(1)(2) 27 18

=ax2+(9 3a)x+2a(a>0) ≤a≤27+18

=ax2+2a2x+a1,由于

9x<0的解集

32

【解析】由题设条件,可设f(x)=x+a2x+a1x+a0,于是

为(1,2),∴∴

=ax2+(9 3a)x+2a(a>0).

,

(1)若f'(x)+7a=0仅有一解,且a≠0,则Δ=(9 3a)2 36a2=0,∴a=1或a= 3.又a>0,∴a=1, =x2+6x+2.

(2)若f(x)在( ∞,+∞)上单调递增,则

=ax2+(9 3a)x+2a≥0(a>0)的解集是

R,

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∴27 18的解集即为所求,∴)=

,可得

≤a≤27+18.

23.解法一 (Ⅰ)由f(

a(m 4)t2+[b(m 4)+a 3]t+(b+1)=0,由于等式对所有t>成立,可知

,解得

,则f(x)=

,且s=φ(t)=3t 1.

由f()= ,t=cs+d,可得 cs+d=3s+1,

)=

.

所以存在t=ψ(s)=3s+1(s>0)使得f(

(Ⅱ)令s1=1,t1=ψ(s1)=3s1+1=4,sn+1=φ(tn)=3tn 1, tn+1= ψ(sn+1)=3sn+1+1,n=1,2,…,注意到x1=x2n 1=

,x2n=

,n=1,2,…,

,由(Ⅰ)知,

sn+1=3tn 1=9sn+2化为sn+1+=9(sn+),可知sn=(5·32n 2 1), tn=3sn+1=(5·32n 1+1),从而x2n 1=2+=2+x2n=2

=2

,统一写为xn=2+( 1)n+1

≤

.

, . ,

,n=1,2,…,

从而有|xn 2|=

)同解法一,可求出b= 1,m=4,a=3, f(x)=解法二 (Ⅰ取t=3s+1,则s=

,所以f(

)=f(

)=

=

(Ⅱ)由f(x)= ,xn+1=f(xn)得xn+1=. (1) . (2) . (3)

(1)式两边都加上2得xn+1+2=(1)式两边都减去2得xn+1 2=

N*),使xk=2,由(3)可知xk 1=xk 2=…=x1=2与x1=3矛盾, 若存在k(k∈

N*),使xk=2. 所以不存在k (k∈(2)式除以(3)式得

= 3×

,

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因为x1=3,所以所以|xn 2|=

=5,所以≤

=5·( 3)n 1,所以xn=2+

=

=

≤)=

. =

.

)由解法一得f(x)=解法三 (Ⅰf(

)=

,s=φ(t)=3t 1,由f(易看出该式中t= s,即得

,所以存在 t=3( s) 1,即t=3s+1满足题意.

(Ⅱ)用数学归纳法证明:(1)当n=1时,命题显然成立; (2)易得xn+1=f(xn)=1+f(2+)=2

>1,

<×.

,则当n=k+1时,|xk+1 2|=|2 f(xk)|=|1

|,

2 f(2+)=

假设当n=k时,命题成立,即|xk 2|≤

当xk>2时,|xk+1 2|=|2 f [2+(xk 2)]|<|xk 2|≤, 当xk≤2时,|xk+1 2|=只需证即证xk 2≥

1≤,即证

3=

1. ≤

,即证

≥<=

,即证xk≥,

1,

,即2 xk≤

而此式是假设成立的,所以(2)成立,由(1)(2)可知,原命题成立.

24.下面用数学归纳法证明函数fn(x)=1+x+++…+当n为偶数时恒大于0,当n为奇数时单调递增且与x轴有一个交点.

当n=1时,函数f1(x)=1+x单调递增,方程f1(x)=0有且仅有一个实数根; 当n=2时,函数f2(x)=1+x+恒大于0,方程f2(x)=0无实根;

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25.设有x人优秀,y人及格但不优秀,则不及格人数是333xy,由题意可知,及格但不优秀的8x+4y≤1 000+2x 2x+y≤250+. 至少答对4道,优秀的至少答对6道,则6x+4y≤1 000 x (333xy)=2x+y333≤250+又6x≤1 000,x≤166.

当x<166时,<83,即x (333xy)<0,不及格的人数多; 当x=166时,由6x+4y≤1 000得y≤1,即y=1或0.

若y=1,则166人优秀,1人及格但不优秀,166人不及格,不及格和优秀的人数一样多. 若y=0,则166人优秀,无人及格但不优秀,167人不及格,不及格的人数多. 26.x∈*0,+∞)时,函数f(x)为增函数 【解析】当x<2时, f(x)=

3x1为减函数;当2≤x≤0时, f(x)=

x+3为减函数;当0<x≤1时,

333=

83.

f(x)=x+3为增函数;当x>1时, f(x)=3x+1为增函数;可知当x∈*0,+∞)时,函数f(x)为增函数 27.|mn|=

.

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【解析】注意到四次方程的根也就是两个二次方程的根,所以4个根之和为4,可得等差数列首末两项之和为2,又因为等差数列首项为,所以末尾一项为2,这样4个根分别为,,,,这样|mn|=|×28.a=1

【解析】解法一 设f(x)=sin 4xsin 2xsin xsin 3x=

(cos 6xcos 2x)+(cos 4xcos ×|=.

=,可得等差数列公差为d=

29.设 f(x)=xsin x,则f(0)=0,且当0<x<时, =1cos x>0,且f(x)在x=0处连续,于是f(x)在[0,

)上单调递增,也即在(0,)上有f(x)>f(0)=0,即x>sin x. 同理可设g(x)=tan xx,则g(0)=0,且当0<x<时,g'(x)=

1>0,且g(x)在x=0处连续,于是

g(x)在[0,)上单调递增,也即在(0,)上有g(x)>g(0)=0,即tan x>x. 综上可知,当0<x<时,恒有sin x<x<tan x,即命题得证.

【解析】用导数的方法研究函数的单调性是非常简便的,

它可以避免用定义确定单调性所带

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来的繁琐运算.求函数单调区间的基本步骤是: (1)确定函数f(x)的定义域; (2)求导数(3)由增函数;当

;

>0(或<0)解出相应的x的取值范围.当

>0时, f(x)在相应的区间内是单调递

<0时, f(x)在相应的区间内是单调递减函数.

30.不存在这样的四个正实数满足条件

【解析】方法一 设这四个正实数分别为a,b,c,d,不妨设0<a<b<c<d,则依题意有ab=2,cd=16,

333

因此必有abcd=32,且2×3×5×6×10×16=(abcd)=32,该等式的左边是10的倍数,但右边32不可

能为10的倍数,故该等式不可能成立,即不存在这样的四个正实数满足条件. 方法二 设这四个正实数分别为a,b,c,d,令a<b<c<d,依题意有:(1)

或(2)

,由(1)中的①②④,但不满足⑥,故原方程可解得a=1,b=2,c=3,代入③可得d=5,虽满足⑤

组无解;方程组(2)同理可解得a=个正实数满足条件. 31.(1)

a时,即装入

,b=,c=,d=时不满足cd=16.即不存在这样的四

(2) 当x=a克的水后使装入水后的水杯的重心最低

【解析】解法一 不妨设水杯高为1.

(1)装入半杯水后,这时,杯子质量∶3.杯子的重心位置(这里的重心位置指重心到水的质量=2∶水杯底面的距离)为,水的重心位置为,所以装入半杯水后的水杯的重心位置为

=.

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(2)当装入水后的水杯的重心最低时,重心恰好位于水面上,设装x克水,这时,杯子质量∶水的x,杯子的重心位置为,水的重心位置为质量=a∶解得x=

a.

,水面位置为,于是所求比值为

=,

解法二 不妨设水杯高为1个单位.

(1)由题意可知,当装了半杯水后,杯子质量∶水的质量=a∶,因为b=3a,所以杯子质量∶水的

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