高考数学总复习章节练习题及解答 (60)

第十三章 导数

考纲解读

1.了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义，掌握函数y＝c(c为常数)和y＝xn(n∈N＋)的导数公式，会求多项式函数的导数．

2．理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间，极值及闭区间上的最值，会求一些实际问题的最大值和最小值.

考点预测

''导数是研究函数的一个重要工具，在高考中可以以选择题或填空题的方式考查导数的几何意义，求曲线在某点处的切线方程、曲线的切线的斜率等，也可以在综合解答题中作为试题的一个组成部分和函数的单调性、极值等问题一起进行综合考查．导数与函数相结合的命题是近几年高考中的重点和热点，应注意.

3.1导数的概念及运算

课前预习·早知道

知识要点梳理

1.导数的概念

函数y＝f(x)，如果自变量x在x0处有增量Δx，那么函数y相应

Δy地有增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，比值Δx叫做函数y＝f(x)在x0到x0＋Δx

Δyf x0＋Δx －f x0 Δy之间的平均变化率，即Δx＝如果当Δx→0Δx有极Δx

限，我们就说函数y＝f(x)在点x＝x0处可导，并把这个极限叫做f(x)

Δy 在点x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′x＝x.即f′(x0)＝lim Δx＝ 0Δx→0

f x0＋Δx －f x0 lim . ΔxΔx→0

2．导数的几何意义

函数y＝f(x)在一点x＝x0的导数等于函数图象上对应点(x0，f(x0))的切线斜率，即tanα＝f′(x0)，其中α是过P0(x0，y0)的切线的倾斜角，过点P0(x0，y0)的切线方程：y－y0＝f′(x0)(x－x0)．

3．导数的物理意义

函数y＝f(x)在x＝x0的导数是函数在该点处平均变化率的极限，即瞬时变化率，若函数f(x)表示运动路程，则f′(x0)表示在x0时刻的瞬时速度．

4．导函数的概念

如果函数f(x)在开区间(a，b)内每一点都可导，就说f(x)在(a，b)

内可导，这时，对于开区间(a，b)内每个确定的值x0都对应一个确定的导数f′(x0)，这就在(a，b)内构成一个新的函数，此函数就称为f(x)在(a，b)内的导函数，记作f′(x)或y′(或y′x)，即f′(x)＝lim

Δx→0

f x＋Δx －f x . Δx

而当x取定某一数值x＝x0时的导数是上述导函数的一个函数值．

如果f(x)，g(x)有导数，那么

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)

(2)[cf(x)]′＝cf′(x)

强化双基·点点击破

1.f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值等于( )

1916A.3 B.31310C.3 D.3102[解析] f′(x)＝3ax＋6x，f′(－1)＝3a－6＝4，a＝3[答案] D

2．若对任意x∈R，f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则( )

A．f(x)＝x4 B．f(x)＝x4－2

C．f(x)＝4x3－5 D．f(x)＝x4＋2

[解析] 设f(x)＝x4＋b，∵f(1)＝1＋b＝－1，∴b＝－2.

∴f(x)＝x4－2.

[答案] B

3．(2010年课标全国)曲线y＝x3－2x＋1在点(1,0)处的切线方程为( )

A．y＝x－1 B．y＝－x＋1

C．y＝2x－2 D．y＝－2x＋2

[解析] k＝f′(1)＝(3x2－2)|x＝1＝1，由点斜式得直线方程为y＝x－1，故选A.

[答案] A

4．(2010年荆州六校联考)设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，

π且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[04，则点P横坐标的

取值范围为( )

1A. [－1，－2 B. [－1,0]

1C. [0,1] D. [21]

[解析] 设点P的横坐标是m，则曲线在点P处的切线的斜率等

π于y′|x＝m＝2m＋2，由于该切线的倾斜角的取值范围为[0，4，因此

1有0≤2m＋2≤1，由此解得－1≤m≤－2A.

[答案] A

5. (2010年唐山联考)已知三次函数y＝x3－x2－ax＋b在(0,1)处的切线方程为y＝2x＋1，则a＋b＝________.

[解析] y′＝3x2－2x－a，由题意可知当x＝0时，y＝1，y′＝2，故得a＝－2，b＝1，故a＋b＝－1.

[答案] －1

点击高考名题

导数的概念

例1 已知f(x)在x＝a处可导，且f′(a)＝b，求下列极限：

f a＋3h －f a－h (1)lim ； 2hh→0

f a＋h2 －f a (2) lim hh→0

[分析] 利用函数f(x)在x＝a处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形转化为导数定义的结构形式．

f a＋3h －f a－h [解] (1) lim 2hh→0

f a＋3h －f a ＋f a －f a－h ＝lim 2hh→0

f a＋3h －f a f a －f a－h ＝lim ＋lim 2h2hh→0h→0

f a＋3h －f a 1f a－h －f a 331＝2lim ＋2lim ＝2f′(a)＋2f′(a)＝3h－hh→0h→0

2b.

f a＋h2 －f a f a＋h2 －f a (2) lim ＝lim [h]＝lim hhh→0h→0h→0

f a＋h2 －f a limh＝f′(a)·0＝0. hh→0

[评析] 本题主要考查导数概念、极限的运算以及代数式的变形，其中导数概念是解题的关键．当涉及导数的概念问题时，要注意导数是函数值增量与自变量增量比值的极限(自变量增量无限趋近于零时)，解题时必须把握好增量的对应性，即函数值增量必须是相应自变量的函数值的差值．如

f x0－Δx －f x0 f′(x0)＝lim －Δx －0Δx→0

f x0 －f x0＋Δx f x0 －f x0－Δx ＝lim ＝lim . 0－Δx0－ －Δx Δx→0Δx→0

思考探究1 已知某运动物体的位移y(米)与其运动时

间t(秒)的函数关系式为y＝t3＋t.

(1)求y＝f(t)，利用导数的定义求f′(t)；

(2)求该物体在t＝2秒时的瞬时速度．

[解] (1)∵f(t＋Δt)－f(t)

＝(t＋Δt)3－t3＋(t＋Δt)－t

＝Δt(3t2＋3Δt·t＋Δt2＋1)，

f t＋Δt －f t 22∴＝3t＋3Δt·t＋Δt＋1， Δt

f t＋Δt －f t 222∴f′(t)＝lim ＝lim (3t＋3tΔt＋Δt＋1)＝3t＋1，ΔtΔt →0Δt →0

即f′(t)＝3t2＋1.

(2)∵当t＝2秒时的瞬时速度即f′(2)，

∴速度为f′(2)＝3×4＋1＝13米/秒.

求已知函数的导数

例2 求下列函数的导数．

(1)y＝(2x3－1)(3x2＋x)；

(2)y＝3(2x＋1)2－4x.

[解] (1)y＝6x5＋2x4－3x2－x，

∴y′＝(6x5＋2x4－3x2－x)′＝30x4＋8x3－6x－1.

(2)y＝3(4x2＋4x＋1)－4x＝12x2＋8x＋3，

∴y′＝(12x2＋8x＋3)′＝24x＋8.

[评析] 求多项式函数的导数时，一般只需直接利用公式(xn)′＝nxn－1(n∈N*)以及导数的运算法则即可．需要注意的是：在求导数之前必须先通过多项式的运算，把函数转化为y＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0的形式，否则就可能出现因公式使用不当而导致的错误．

思考探究2 (1)函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数

等于( )

A．1 B．2

C．3 D．4

[分析] 先把式子化简，再利用(xn)＝nxn－1等公式求导．

[解析] (1)∵y＝(x＋1)2(x－1)＝x3＋x2－x－1，

∴y′＝3x2＋2x－1，故y′|x＝1＝4.

[答案] D

(2)求函数y＝(2x2－3x)(3x＋2)的导数及y′|x＝2的值．

[解] ∵y＝(2x2－3x)(3x＋2)＝6x3－5x2－6x，

∴y′＝18x2－10x－6，

故y′|x＝2＝18×22－10×2－6＝46.

导数的几何意义

例3 已知曲线y＝x3＋3x2－5.

(1)求曲线在点(1，－1)处的切线方程；

(2)求曲线过点(1，－1)的切线方程．

[解] (1)由y＝x3＋3x2－5，知y′＝3x2＋6x，

∴y′|x＝1＝9，故所求切线方程为y＋1＝9(x－1)，

即9x－y－10＝0.

(2)由y＝x3＋3x2－5，知y′＝3x2＋6x.

设切点为P(x0，y0)，则y′|x＝x0＝3x20＋6x0，

曲线在点P处的切线方程为y－y0＝(3x20＋6x0)·(x－x0)．

又切线过点M(1，－1)，

则－1－y0＝(3x20＋6x0)(1－x0)，

整理，得y0＝3x30＋3x20－6x0－1，

而点P(x0，y0)在曲线上，则y0＝x30＋3x20－5，

∴x30＋3x20－5＝3x30＋3x20－6x0－1，

∴x30－3x0＋2＝0，即(x0－1)2(x0＋2)＝0，∴x0＝1或x0＝－2，则切点为P(1，－1)或P(－2，－1)，

故所求切线方程为9x－y－10＝0或y＝－1.

[评析] 曲线过点M的切线与曲线在点M处的切线是不同的，曲线在点M处的切线是指切点在M处的切线，曲线过点M的切线还可能存在切点不在M处的另一条切线，两者是有区别的．

思考探究3 已知函数f(x)＝x3－3x2＋ax，x∈R，且曲

线y＝f(x)的切线的斜率的最小值为－1.

(1)求a的值；

(2)求f(x)在x＝1处的切线方程；

(3)若直线l过原点，且与曲线y＝f(x)相切，求直线l的斜率k的值．

[解] (1)∵f′(x)＝3x2－6x＋a＝3(x－1)2＋a－3，

∴切线斜率的最小值为f′(1)＝a－3＝－1，∴a＝2.

(2)∵f′(x)＝3x2－6x＋2，

∴曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的斜率为

f′(1)＝－1，∴f(x)在x＝1处的切线方程为

y＝－1×(x－1)，即y＝－x＋1.

(3)∵y＝x3－3x2＋2x.∴y′＝3x2－6x＋2.

∵直线和曲线均过原点，

当原点是切点时，切线斜率k＝y′|x＝0＝2，

当原点不是切点时，设切点为P(x0，y0)，其中x0≠0，则切

y23线的斜率k＝x又k＝y′|x＝x＝3x0－6x0＋2，∴y0＝3x0－6x20＋2x0. 003 又∵切点P(x0，y0)在曲线上，∴y0＝x0－3x20＋2x0.

322∴3x0－6x0＋2x0＝x30－3x0＋2x0.

31 由于x0≠0，∴x0＝2∴k＝y′|3＝－4x=21 综上所述，k＝2或k＝－4.

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