2010届高考数学总复习：第二章 - 函数与基本初等函数I

第二章 函数与基本初等函数I 第一节 函数的概念与性质

第一部分 五年高考荟萃

2009年高考题

1.（2009全国卷Ⅰ理）函数f(x)的定义域为R，若f(x?1则( ) )与f(x?1)都是奇函数，

A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数 C.f(x)?f(x?2) D.f(x?3)是奇函数 答案 D

解析 ?f(x?1)与f(x?1)都是奇函数，

?f(?x?1)??f(x?1),f(?x?1)??f(x?1)，

?函数f(x)关于点(1,0)，及点(?1,0)对称，函数f(x)是周期T?2[1?(?1)]?4的周

期函数.?f(?x?1?4)??f(x?1?4)，f(?x?3)??f(x?3)，即f(x?3)是奇函数。故选D

2.(2009浙江理）对于正实数?，记M?为满足下述条件的函数f(x)构成的集合：

?x1,x2?R且x2?x1，f(x)有??(x2?x1)?f(x2)?1?(?x2x?)1．下列结论中正确的

( )

是

A．若f(x)?M?1，g(x)?M?2，则f(x)?g(x)?M?1??2 B．若f(x)?M?1，g(x)?M?2，且g(x)?0，则

f(x)g(x)?M?1?2

C．若f(x)?M?1，g(x)?M?2，则f(x)?g(x)?M?1??2

D．若f(x)?M?1，g(x)?M?2，且?1??2，则f(x)?g(x)?M?1??2 答案 C

解析 对于??(x2?x1)?f(x2)?f(x1)??(x2?x1)，即有???f(x2)?f(x1)x2?x1f(x2)?f(x1)x2?x1??，

令

?k，有???k??，不妨设f(x)?M?1，g(x)?M?2，即有

??1?kf??1,??2?kg??2，因此有??1??2?kf?kg??1??2，因此有

1

f(x)?g(x)?M?1??2．

3.（2009浙江文）若函数f(x)?x2?ax(a?R)，则下列结论正确的是（ ）

A.?a?R，f(x)在(0,??)上是增函数

B.?a?R，f(x)在(0,??)上是减函数 C.?a?R，f(x)是偶函数 D.?a?R，f(x)是奇函数 答案 C

【命题意图】此题主要考查了全称量词与存在量词的概念和基础知识，通过对量词的考查结合函数的性质进行了交汇设问．

解析 对于a?0时有f?x??x是一个偶函数

24. (2009山东卷理)函数y?e?ee?exx?x?x的图像大致为 ( ).

y 1O 1 x 1yyy 1 O D

1 x

1 O1xO1 xA 答案 A

B C 解析 函数有意义,需使e?ee?ee?exx?x?xx?x?0,其定义域为?x|x?0?,排除C,D,又因为

y??ee2x2x?1?1?1?2e2x?1,所以当x?0时函数为减函数,故选A.

【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质. ?log2(1?x),x?05.(2009山东卷理)定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ?，

f(x?1)?f(x?2),x?0?则f（2009）的值为 ( )

A.-1 B. 0 C.1 D. 2

答案 C

解析 由已知得f(?1)?log22?1,f(0)?0,f(1)?f(0)?f(?1)??1,

2

f(2)?f(1)?f(0)??1,f(3)?f(2)?f(1)??1?(?1)?0,

f(4)?f(3)?f(2)?0?(?1)?1,f(5)?f(4)?f(3)?1,f(6)?f(5)?f(4)?0,

所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f（2009）= f（5）=1,故选C. 【命题立意】:本题考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算. 6.(2009山东卷文)函数y?e?ee?exx?x?x的图像大致为( ).

y 1O 1 x 1yyy 1 O1xO1 xO 1 1 x D

A

答案 A.

B C

解析 函数有意义,需使ex?e?x?0,其定义域为?x|x?0?,排除C,D,又因为

e?ee?exx?x?xy??ee2x2x?1?1?1?2e2x?1,所以当x?0时函数为减函数,故选A.

【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质. x?0?log2(4?x),7. (2009山东卷文)定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ?，

f(x?1)?f(x?2),x?0?则f（3）的值为 ( )

A.-1 B. -2 C.1 D. 2 答案 B

解析 由已知得f(?1)?log25,f(0)?log24?2,f(1)?f(0)?f(?1)?2?log25,

f(2)?f(1)?f(0)??log25,f(3)?f(2)?f(1)??log25?(2?log25)??2,故选B.

【命题立意】:本题考查对数函数的运算以及推理过程.

8.(2009山东卷文)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x?4)??f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则

( ).

3

A.f(?25)?f(11)?f(80) B. f(80)?f(11)?f(?25)

C. f(11)?f(80)?f(?25) D. f(?25)?f(80)?f(11) 答案 D

解析 因为f(x)满足f(x?4)??f(x),所以f(x?8)?f(x),所以函数是以8为周期的周期函数, 则f(?25)?f(?1),f(80)?f(0),f(11)?f(3),又因为f(x)在R上是奇函数， f(0)?0,得f(80)?f(0)?0,f(?25)?f(?1)??f(1),而由f(x?4)??f(x)得

f(11)?f(3)??f(?3)??f(1?4)?f(1),又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以f(1)?f(0)?0,所以?f(1)?0,即f(?25)?f(80)?f(11),故选D.

【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、周期性等性质,运用化归的数学思想和数形结合的思想解答问题.

9.（2009全国卷Ⅱ文）函数y=?x(x?0)的反函数是

（ ）

（A）y?x2（x?0） （B）y??x2（x?0） （B）y?x2（x?0） （D）y??x2（x?0） 答案 B

解析 本题考查反函数概念及求法，由原函数x?0可知AC错,原函数y?0可知D错. 10.（2009全国卷Ⅱ文）函数y=y?log2?x22?x的图像 （ ）

（A） 关于原点对称 （B）关于主线y??x对称 （C） 关于y轴对称 （D）关于直线y?x对称 答案 A

解析 本题考查对数函数及对称知识，由于定义域为（-2，2）关于原点对称，又f(-x)=-f(x)，故函数为奇函数，图像关于原点对称，选A。

211.（2009全国卷Ⅱ文）设a?lge,b?(lge),c?lge,则 （ ）

（A）a?b?c （B）a?c?b （C）c?a?b （D）c?b?a 答案 B

解析 本题考查对数函数的增减性，由1>lge>0,知a>b,又c=

12lge, 作商比较知c>b,选B。

4

12.（2009广东卷理）若函数y?f(x)是函数y?ax(a?0,且a?1)的反函数，其图像经过点(a,a)，则f(x)?

12x

（ ）

A. log2x B. log1x C.

2 D. x2

答案 B

解析 f(x)?logax，代入(a,a)，解得a?12，所以f(x)?log1x，选B.

213.（2009广东卷理）已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙（如图2所示）．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是

（ ）

A. 在t1时刻，甲车在乙车前面 B. t1时刻后，甲车在乙车后面 C. 在t0时刻，两车的位置相同 D. t0时刻后，乙车在甲车前面 答案 A

解析 由图像可知，曲线v甲比v乙在0～t0、0～t1与x轴所围成图形面积大，则在t0、t1时刻，甲车均在乙车前面，选A.

14.（2009安徽卷理）设a＜b,函数y?(x?a)(x?b)的图像可能是

2 （ ）

答案 C

//)(3x?2a?，由b)y?0得x?a,x?解析 y?(x?a2a?b3，∴当x?a时，y取极

大值0，当x?2a?b3时y取极小值且极小值为负。故选C。

5

或当x?b时y?0，当x?b时，y?0选C 15.（2009安徽卷文）设

，函数

的图像可能是

（ ）

答案 C

解析 可得x?a,x?b为y?(x?a)2(x?b)?0的两个零解. 当x?a时,则x?b?f(x)?0

当a?x?b时,则f(x)?0,当x?b时,则f(x)?0.选C。 16.（2009江西卷文）函数y?的定义域为 （ ）

xA．[?4,1] B．[?4,0) C．(0,1] D．[?4,0)?(0,1] 答案 D

x?0?解析 由?2得?4?x?0或0?x?1,故选D.

??x?3x?4?0?x?3x?4217.（2009江西卷文）已知函数f(x)是(??,??)上的偶函数，若对于x?0，都有

，则f(?2008)?f(2009)的f(x?2）?f(x)，且当x?[0,2)时，f(x)?log2(x?1）值为

A．?2 B．?1 C．1 D．2 答案 C

12解析 f(?2008)?f(2009)?f(0)?f(1)?log2?log2?1,故选C.

（ ）

y18.（2009江西卷文）如图所示，一质点P(x,y)在xOy平面上沿曲线运动， 速度大小不变，其在x轴上的投影点Q(x,0)的运动速度V?V(t)的图象 P(x,y)O大致为 ( )

Q(x,0)x

6

V(t)V(t) V(t)V(t)O A B C D OtOOtt答案 B

解析 由图可知，当质点P(x,y)在两个封闭曲线上运动时，投影点Q(x,0)的速度先由正到0、到负数，再到0，到正，故A错误；质点P(x,y)在终点的速度是由大到小接近0，故D错误；质点P(x,y)在开始时沿直线运动，故投影点Q(x,0)的速度为常数，因此C是错误的，故选B.

t

19.（2009江西卷理）函数y?ln(x?1)?x?3x?42的定义域为 ( )

A．(?4,?1) B．(?4,1) C．(?1,1) D．(?1,1] 答案 C

?x?1?0?x??1????1?x?1.故选C 解析 由?2??4?x?1??x?3x?4?020.（2009江西卷理）设函数f(x)?(s,f(t))(s,?t2的定义域为D，若所有点ax?bx?c(a?0)a的值为 D构成一个正方形区域，则)

( )

A．?2 B．?4 C．?8 D．不能确定答案 B

b?4aca22|解析 |x1?x2?fma(x)x，?4ac?b4a2，|a|?2?a，a??4，选B

?x2?4x?6,x?021.（2009天津卷文）设函数f(x)??则不等式f(x)?f(1)的解集是（ ）

?x?6,x?0A.(?3,1)?(3,??) C.(?1,1)?(3,??) 答案 A

B.(?3,1)?(2,??) D.(??,?3)?(1,3)

7

解析 由已知，函数先增后减再增 当x?0，f(x)?2f(1)?3令f(x)?3, 解得x?1,x?3。

当x?0，x?6?3,x??3

故f(x)?f(1)?3 ，解得?3?x?1或x?3

【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。 22.（2009天津卷文）设函数f(x)在R上的导函数为f’(x),且2f(x)+xf’(x)>x2,x下面的不等式在R内恒成立的是 A.f(x)?0 答案 A

解析 由已知，首先令x?0 ，排除B，D。然后结合已知条件排除C,得到A

【考点定位】本试题考察了导数来解决函数单调性的运用。通过分析解析式的特点，考查了分析问题和解决问题的能力。 23.(2009湖北卷理)设a为非零实数，函数y?A、y?C、y?1?ax1?ax(x?R,且x??1a1?ax1?ax(x?R,且x??1a)的反函数是( )

1a)

( )

B.f(x)?0 C.f(x)?x D.f(x)?x

) B、y?1?ax1?ax(x?R,且x??1?xa(1?x)(x?R,且x?1) D、y?1?xa(1?x)(x?R,且x??1)

答案 D

解析 由原函数是y?1?ya(1?y)1?ax1?ax(x?R,且x??1a)，从中解得

x?(y?R,且y??1)即原函数的反函数是x?1?ya(1?y)故选(y?R,且y??1)，

择D

24..(2009湖北卷理)设球的半径为时间t的函数R?t?。若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径

( )

A.成正比，比例系数为C B. 成正比，比例系数为2C C.成反比，比例系数为C D. 成反比，比例系数为2C 答案 D

解析 由题意可知球的体积为V(t)?cR(t)R(t)'43?R(t)，则c?V'(t)?4?R2(t)R'(t)，由此可

23?4?R(t)，而球的表面积为S(t)?4?R(t)，

8

所以v表＝S(t)?4?R(t)?8?R(t)R(t)， 即v表＝8?R(t)R'(t)＝2?4?R(t)R'(t)＝2cR(t)R(t)''2'R(t)＝'2cR(t)，故选

25.（2009四川卷文）已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有

xf(x?1)?(1?x)f(x)，则f()的值是

25

52( )

A. 0 B. 答案 A

12 C. 1 D.

解析 若x≠0，则有f(x?1)?1??11?xxf(x)，取x??12，则有：

11 f()?f(??1)?2212f(?1)??f(?1)??f(1)（∵f(x)是偶函数，则

12222f(?11)?f() ）由此得f()?0于是 22253f()?f(?1)?221?32f(3)?5f(3)?5f(1?1)?5[323232321?12]f(1)?5f(1)?0

1222b2a26.（2009福建卷理）函数f(x)?ax?bx?c(a?0)的图象关于直线x??2对称。据此

可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程m?f(x)??nf(x)?p?0的解集都不可能是

( )

A. ?1,2? B ?1,4? C ?1,2,3,4答案 D

? D ?1,4,16,64?

解析 本题用特例法解决简洁快速，对方程m[f(x)]?nf(x)?P?0中m,n,p分别赋值求出f(x)代入f(x)?0求出检验即得.

27.（2009辽宁卷文）已知偶函数f(x)在区间?0,??)单调增加，则满足f(2x?1)＜f()312的x 取值范围是 （A）（

13

13 ，

23

12 ，

23

12 ，

23( ) ）

，

23） B.［） C.（） D.［

答案 A

9

解析 由于f(x)是偶函数,故f(x)＝f(|x|) ∴得f(|2x－1|)＜f( 得|2x－1|＜

1313),再根据f(x)的单调性

13 解得＜x＜

23

( )

28.（2009宁夏海南卷理）用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值 设f（x）=min{, x+2,10-x} (x? 0),则f（x）的最大值为

（A）4 （B）5 （C）6 （D）7 答案 C

29.（2009陕西卷文）函数f(x)?（A）f（C）f?12x?4(x?4)的反函数为

?1

( )

(x)?(x)?1212x?4(x?0) B.f22(x)??112x?4(x?2)1222

?1x?2(x?0) (D)f学科(x)?x?2(x?2)

答案 D 解析 令原式 故f?1y?f(x)?2x?4(x?2)y2?4y2则y ?2x?4,即x???2222

(x)?12x?2(x?2) 故选D.

230.（2009陕西卷文）定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1,x2?[0,??)(x1?x2)，有

f(x2)?f(x1)x2?x1?0.则

( )

(A)f(3)?f(?2)?f(1) B.f(1)?f(?2)?f(3)

C. f(?2)?f(1)?f(3) D.f(3)?f(1)?f(?2) 答案 A

解析 由(x2?x1)(f(x2)?f(x1))?0等价，于

f(x2)?f(x1)x2?x1?0则f(x)在

x1,x2?(??,0](x1?x2)上单调递增, 又f(x)是偶函数,故f(x)在

*x1,x2?(0,??](x1?x2)单调递减.且满足n?N时, f(?2)?f(2), 3>2?1?0,得

f(3)?f(?2)?f(1),故选A.

31.(2009陕西卷理)定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意 的x1,x2?(??,0](x1?x2)，有(x2?x1)(f(x2)?f(x1))?0. 则当n?N时,有

*( )

10

(A)f(?n)?f(n?1)?f(n?1) B.f(n?1)?f(?n)?f(n?1)

C. C.f(n?1)?f(?n)?f(n?1) D.f(n?1)?f(n?1)?f(?n)

答案 C

解析：x1,x2?(??,0](x1?x2)?(x2?x1)(f(x2)?f(x1))?0?x2?x1时，f(x2)?f(x1)?f(x)在(??,0为]增函数f(x)为偶函数?f(x)在(0，??为]减函数

而n+1>n>n-1>0,?f(n?1)?f(n)?f(n?1)?f(n?1)?f(?n)?f(n?1)

32.（2009四川卷文）已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf(x?1)?(1?x)f(x)，则f()的值是

25

52

( )

A. 0 B. 答案 A

12 C. 1 D.

解析 若x≠0，则有f(x?1)?1??11?xxf(x)，取x??12，则有：

11 f()?f(??1)?2212f(?1)??f(?1)??f(1)（∵f(x)是偶函数，则

12222f(?1)?f() ） 221由此得f()?0于是，

253f()?f(?1)?221?32f(3)?5f(3)?5f(1?1)?5[323232321?2x1?2x121?12]f(1)?5f(1)?0

122233.（2009湖北卷文）函数y?A.y?C.

y?(x?R,且x??)的反函数是

12

)

( )

1?2x1?2x1?x(x?R,且x?12) B.y? D.y?1?2x1?2x1?x(x?R,且x??2(1?x)(x?R,且x?1)

2(1?x)(x?R,且x??1)

答案 D

解析 可反解得x?1?y2(1?y)故f?1(x)1?x2(1?x)且可得原函数中y∈R、y≠-1所以

11

f?1(x)1?x2(1?x)且x∈R、x≠-1选D

x1??x34.(2009湖南卷理)如图1，当参数???2时，连续函数y?(x?0) 的图像分别对应

曲线C1和C2 , 则 ( ) A 0??1?? B 0????1 C ?1??2?0 D ?2??1?0 答案 B

解析 解析由条件中的函数是分式无理型函数，先由函

数在(0,??)是连续的，可知参数?1?0,?2?0，即排除C，D项，又取x?1，知对应函数值y1?11??1,y2?11??2，由图可知y1?y2,所以?1??2，即选B项。

35.(2009湖南卷理)设函数y?f(x)在（??，+?）内有定义。对于给定的正数K，定义函数

( )

?f(x),f(x)?Kfk(x)??

?K,f(x)?K取函数f(x)=2?x?e?1。若对任意的x?(??,??)，恒有fk(x)=f(x)，则( )

A．K的最大值为2 B. K的最小值为2

C．K的最大值为1 D. K的最小值为1 答案 D

解析 由f'(x)?1?e?x?0,知x?0，所以x?(??,0)时，f'(x)?0，当x?(0,??)时，f'(x)?0，所以f(x)max?f(0)?1,即f(x)的值域是(??,1]，而要使fk(x)?f(x)在R上恒成立，结合条件分别取不同的K值，可得D符合，此时fk(x)?f(x)。故选D项。

?x2?4x,36.（2009天津卷理）已知函数f(x)??2?4x?x,x?0x?0若f(2?a)?f(a),则实数a

( )

2的取值范围是 A (??,?1)?(2,??)

B (?1,2) C (?2,1) D (??,?2)?(1,??)

12

【考点定位】本小题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。 解析：由题知f(x)在R上是增函数，由题得2?a2?a，解得?2?a?1，故选择C。 37.（2009四川卷理）已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf(x?1)?(1?x)f(x)，则f(f())的值是

25( )

A.0 B.

12 C.1 D.

52【考点定位】本小题考查求抽象函数的函数值之赋值法，综合题。（同文12） 答案 A 解析 令x??f(0)?0

12，则?1111111f()?f(?)?f()?f()?0；令x?0，则2222222由xf(x?1)?(1?x)f(x)得f(x?1)?53x?1xf(x)，所以

535352152f()?f()?f()??f()?0?f(f())?f(0)?0，故选择A。

3223231222238.（2009福建卷文）下列函数中，与函数y?1x1x 有相同定义域的是 ( )

A .f(x)?lnx B.f(x)?答案 A

解析 解析 由y?1x C. f(x)?|x| D.f(x)?e

x可得定义域是x?0.f(x)?lnx的定义域x?0；f(x)?1x的定

x义域是x≠0；f(x)?|x|的定义域是x?R;f(x)?e定义域是x?R。故选A.

39.（2009福建卷文）定义在R上的偶函数f?x?的部分图像如右图所示，则在??2,0?上，下列函数中与f?x?的单调性不同的是

2

( )

A．y?x?1 B. y?|x|?1

13

?2x?1,x?0C. y??3

x?1,x?0??ex,x?o?D．y??

?x??e,x?0答案 C

解析 解析 根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，故可知求在??2,0?上单调递减，注意到要与f?x?的单调性不同，故所求的函数在??2,0?上应单调递增。而函数

y?x?1在

2???,1?上递减；函数y?x?1在???,0?时单调递减；函数

?2x?1,x?0y??3在（??,0]上单调递减，理由如下y’=3x2>0(x<0),故函数单调递增，

x?1,x?0x??e,x?0显然符合题意；而函数y??，有y’=-e?x<0(x<0),故其在（??,0]上单调递减，

?x??e,x?0不符合题意，综上选C。

40.（2009重庆卷文）把函数f(x)?x3?3x的图像C1向右平移u个单位长度，再向下平移v个单位长度后得到图像C2．若对任意的u?0，曲线C1与C2至多只有一个交点，则v

的最小值为

（ ）

A．2 B．4

答案 B

C．6 D．8

解析 根据题意曲线C的解析式为y?(x?u)?3(x?u)?v,则方程

(x?u)?3(x?u)?v?x?3x，即3ux(u?3u?v)?0，即v??u?03332314u?3u对任意

3 恒成立，于是v??14u?3u的最大值，令g(u)??34314u?3u(u?0),则

3u?0

g((u)??34u?3??2(u?2)(u?2)由此知函数g(u)在（0，2）上为增函

数，在(2,??)上为减函数，所以当u?2时，函数g(u)取最大值，即为4，于是v?4。 41.（2009重庆卷理）若f(x)?答案

1212?1x?a是奇函数，则a? ．

12?x解析 解法1f(?x)??1?a?2xx1?2?a,f(?x)??f(x)

14

?2xx1?2?a??(12?1x?a)?2a?11?2x?2xx1?2?1故a?12

42（2009上海卷文） 函数f(x)=x3+1的反函数f-1(x)=_____________. 答案

3x?1 3

解析 由y＝x+1，得x＝3y?1，将y改成x，x改成y可得答案。

?3x,44（2009北京文）已知函数f(x)????x,wwk5x?1,x?1,若f(x)?2，则x? .

答案 log32

u5w解析 本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求x的值. 属于基础知识、基本运算的考查.

?x?1?x?1?x?log32，?由?x无解，故应填log32.

??x?2?x??2?3?2?1,x?0?1?x45.（2009北京理）若函数f(x)?? 则不等式|f(x)|?的解集为____________.

3?(1)x,x?0??3答案 ??3,1?

解析 本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法. 属于基础知识、基本运算 的考查.

?x?01? （1）由|f(x)|???11??3?x?0.

3?x?3??x?0?x?0?1?xx （2）由|f(x)|????1?1???1?1?0?x?1.

?3??3?????33????3??1 ∴不等式|f(x)|?的解集为?x|?3?x?1?，∴应填??3,1?.

346.（2009江苏卷）已知a?5?12，函数f(x)?a，若实数m、n满足f(m)?f(n)，

x则m、n的大小关系为 . 解析 考查指数函数的单调性。

15

a?5?12x?(0,1)，函数f(x)?a在R上递减。由f(m)?f(n)得：m

47.(2009山东卷理)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x?4)??f(x),且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间??8,8?上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则

x1?x2?x3?x4?_________.

答案 -8

解析 因为定义在R上的奇函数，满足f(x?4)??f(x),所以f(x?4)?f(?x),所以, 由f(x)为奇函数,所以函数图象关于直线x?2对称且f(0)?0,由f(x?4)??f(x)知

f(x?8)?f(x),所以函数是以8为周期的周期函数,又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数,

所以f(x)在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,那么方程f(x)=m(m>0)在区间??8,8?上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,不妨设x1?x2?x3?x4由对称性知x1?x2??12x3?x4?4所以x1?x2?x3?x4??12?4??8

【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性,单调性, 对称性,周期性,以及由函数图象解答方程问题, 运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题.

14.（2009四川卷文）设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射f:V?V,a?V，记a的象为f(a)。若映射f:V?V满足：对所有a、b?V及任意实数?,?都有

f(?a??b)??f(a)??f(b)，则f称为平面M上的线性变换。现有下列命题：

y f(x)=m (m>0) -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 x

①设f是平面M上的线性变换，a、b?V，则f(a?b)?f(a)?f(b)

②若e是平面M上的单位向量，对a?V,设f(a)?a?e，则f是平面M上的线性变换；

16

③对a?V,设f(a)??a，则f是平面M上的线性变换；

④设f是平面M上的线性变换，a?V，则对任意实数k均有f(ka)?kf(a)。 其中的真命题是 （写出所有真命题的编号） 答案 ①③④

解析 ①：令????1，则f(a?b)?f(a)?f(b)故①是真命题 同理，④：令??k,??0，则f(ka)?kf(a)故④是真命题 ③：∵f(a)??a，则有f(b)??b

f(?a??b)??(?a??b)???(?a)???(?b)??f(a)??f(b)是线性变换，故③是

真命题

②：由f(a)?a?e，则有f(b)?b?e

f(?a??b)?(?a??b)?e???(a?e)???(b?e)?e??f(a)??f(b)?e ∵e是单位向量，e≠0，故②是假命题

【备考提示】本小题主要考查函数，对应及高等数学线性变换的相关知识，试题立意新

颖，突出创新能力和数学阅读能力，具有选拔性质。 48.(2009年广东卷文)（本小题满分14分）

已知二次函数y?g(x)的导函数的图像与直线y?2x平行,且y?g(x)在x=－1处取得最小值m－1(m?0).设函数f(x)?g(x)x

(1)若曲线y?f(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为2,求m的值 (2) k(k?R)如何取值时,函数y?f(x)?kx存在零点,并求出零点. 解 （1）设g?x??ax?bx?c，则g??x??2ax?b；

2 又g??x?的图像与直线y?2x平行 ?2a?2 a?1 又g?x?在x??1取极小值， ??2? ?g??1??a?b?c1g?x?xmxb2??1 ， b?2

?c?m，1? c?m；

f?x???x??2， 设P?xo,yo?

17

则PQ2?x0??y0?2?222?m?m222?x0??x0???2x0?2?2?22m?2

x0x0??2 ?22m2?2? 4 m??mx22；

（2）由y?f?x??kx??1?k?x?2?2?0，

得 ?1?k?x?2x?m?0 ?*? 当k?1时，方程?*?有一解x??m2，函数y?f?x??kx有一零点x??m21m； ，

当k?1时，方程?*?有二解???4?4m?1?k??0，若m?0，k?1? 函数y?f?x??kx有两个零点x??2?4?4m?1?k?2?1?k??2?1?1?m?1?k?k?1?；若m?0，

k?1?1m，函数y?f?x??kx有两个零点x?4?4m?1?k?2?1?k??1?1?m?1?k?k?1；

?k?? 当k?1时，方程?*?有一解???4?4m?1y?f?x??x?k有一零点x1k?10, k?1?1m, 函数

49.（2009浙江理）（本题满分14分）已知函数f(x)?x3?(k2?k?1)x2?5x?2，

g(x)?kx?kx?1，

22其中k?R．

（I）设函数p(x)?f(x)?g(x)．若p(x)在区间(0,3)上不单调，求k的取值范围； ．．．

?g(x),x?0, （II）设函数q(x)?? 是否存在k，对任意给定的非零实数x1，存在惟一

f(x),x?0.?的非零实数x2（x2?x1），使得q?(x2)?q?(x1)成立？若存在，求k的值；若不存 在，请说明理由．

解 （I）因P(x)?f(x)?g(x)?x?(k?1)x?(k?5)?1，

p??x??3x?2(k?1)x?(k?5)，因p(x)在区间(0,3)上不单调，所以p??x??0在．．．．

232?0,3?上有实数解，且无重根，由p??x??0得k(2x?1)??(3x2?2x?5),

?k??(3x?2x?5)2x?12??3?910?t??1,7?，记2x?1?????，令t?2x?1,有4?2x?13?? 18

h(t)?t?9t ,则h?t?在?1,3?上单调递减，在?3,7?上单调递增，所以有h?t???6,10?，

92x?1??6,10?，得k???5,?2?，而当k??2时有p??x??0在?0,3?于是?2x?1??

上有两个相等的实根x?1，故舍去，所以k???5,?2?；

（II）当x?0时有q??x??f??x??3x?2(k?k?1)x?5；

22当x?0时有q??x??g??x??2kx?k，因为当k?0时不合题意，因此k?0，

2下面讨论k?0的情形，记A?(k,??)，B=?5,???（ⅰ）当x1?0时，q??x?在?0,???上单调递增，所以要使q??x2??q??x1?成立，只能x2?0且A?B，因此有k?5，（ⅱ）当x1?0时，q??x?在?0,???上单调递减，所以要使q??x2??q??x1?成立，只能x2?0且A?B，因此k?5，综合（ⅰ）（ⅱ）k?5；

当k?5时A=B，则?x1?0,q??x1??B?A，即?x2?0,使得q??x2??q??x1?成立，因为q??x?在?0,???上单调递增，所以x2的值是唯一的；

同理，?x1?0，即存在唯一的非零实数x2(x2?x1)，要使q??x2??q??x1?成立，所以k?5满足题意．

7.（2009江苏卷）(本小题满分16分) 设a为实数，函数f(x)?2x?(x?a)|x?a|. (1)若f(0)?1，求a的取值范围； (2)求f(x)的最小值； (3)设函数h(x)?f(x),x?(a,??)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)?1的．．．．解集. 解 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分

?a?0?a??1 （1）若f(0)?1，则?a|a|?1??2?a?122（2）当x?a时，f(x)?3x?2ax?a,f(x)min2?f(a),a?0?2a,a?0????a??2a2,a?0?f(),a?0?3??32

19

当x?a时，f(x)?x?2ax?a,f(x)min??2a2,a?0? ??2a2,a?0??3222?f(?a),a?0???2a,a?0 ????2??f(a),a?0?2a,a?0 综上f(x)min（3）x?(a,??)时，h(x)?1得3x2?2ax?a2?1?0，

??4a?12(a?1)?12?8a

222当a??6262或a?662时，??0,x?(a,??)；

3?2a32当??a??a?(x?时，△>0,得：??2?x?a?)(x?a?3?2a32)?0

讨论得：当a?(62222222,62)时，解集为(a,??);

当a?(?,?22)时，解集为(a,a?3?2a32]?[a?3?2a32,??);

当a?[?,]时，解集为[a?3?2a32,??).

50.（2009年上海卷理）已知函数y?f(x)的反函数。定义：若对给定的实数a(a?0)，函数y?f(x?a)与y?fy?f(ax)与y?f?1?1；若函数(x?a)互为反函数，则称y?f(x)满足“a和性质”

。 (ax)互为反函数，则称y?f(x)满足“a积性质”

2（1） 判断函数g(x)?x?1(x?0)是否满足“1和性质”，并说明理由； （2） 求所有满足“2和性质”的一次函数；

（3） 设函数y?f(x)(x?0)对任何a?0，满足“a积性质”。求y?f(x)的表达式。

?1解 （1）函数g(x)?x?1(x?0)的反函数是g(x)?2x?1(x?1)

?g?1(x?1)?x(x?0)

而g(x?1)?(x?1)?1(x??1),其反函数为y?故函数g(x)?x?1(x?0)不满足“1和性质”

22x?1?1(x?1)

20

（2）设函数f(x)?kx?b(x?R)满足“2和性质”，k?0.

?f?1(x)?x?bk(x?R),?f?1(x?2)?x?2?bk…….6分

………….8分

而f(x?2)?k(x?2)?b(x?R),得反函数y?由“2和性质”定义可知

x?2?bkx?b?2kk=

x?b?2kk对x?R恒成立

?k??1,b?R,即所求一次函数为f(x)??x?b(b?R)………..10分

（3）设a?0，x0?0，且点(x0,y0)在y?f(ax)图像上，则(y0,x0)在函数y?f图象上，

?1(ax)故

f(ax0)?y0，可得ay0?f(x0)?af(ax0)， ．．．．．．12分 f?1(ay0)?x0

令ax0?x，则a?xx0。?f(x0)?kxxx0f(x)，即f(x)?x0f(x0)xkax。 ．．．．．．14分

kaxn?1?bnf(x)?综上所述，1?b1q(k?0)，此时f(ax)??1，其反函数就是y?，

而f?1(ax)?kax，故y?f(ax)与y?f(ax)互为反函数 。

2005—2008年高考题

一、选择题

2? x≤1，?1?1?x，1.（2008年山东文科卷）设函数f(x)??则f?2?f(2)??x?x?2，x?1，??的值为（ ） ?A．

1516 B．?2716 C．

89 D．18

答案 A

2.（07天津）在R上定义的函数f?x?是偶函数，且f?x??f?2?x?，若f?x?在区间?1,2?

是减函数，则函数f?x?

（ ）

A.在区间??2,?1?上是增函数，区间?3,4?上是增函数 B.在区间??2,?1?上是增函数，区间?3,4?上是减函数

21

C.在区间??2,?1?上是减函数，区间?3,4?上是增函数 D.在区间??2,?1?上是减函数，区间?3,4?上是减函数 答案 B

3. (07福建)已知函数f?x?为R上的减函数，则满足f?????f?1?的实数x的取值范围 x??是

（ ）

?1?A.??1,1? C.??1,0???0,1? 答案 C

B.?0,1?

D.???,?1???1,???

4.(07重庆)已知定义域为R的函数f?x?在区间?8,???上为减函数，且函数y?f?x?8?为偶函数，则

（ ）

A.f?6??f?7? B. f?6??f?9? D. f?7??f?10?

C. f?7??f?9?

答案 D

5.（07安徽）图中的图象所表示的函数的解析式为 A.y?32|x?1| 3232?32 ( )

(0≤x≤2)

B.y?C.y?|x?1| (0≤x≤2)

?|x?1| (0≤x≤2)

D.y?1?|x?1| (0≤x≤2) 答案 B

6.（2005年上海13）若函数f(x)?12?1x，则该函数在(??,??)上是 （ ）

A．单调递减；无最小值 B．单调递减；有最小值 C．单调递增；无最大值 D．单调递增；有最大值

答案 A 二、填空题

7.（2007上海春季5）设函数y?f(x)是奇函数. 若f(?2)?f(?1)?3?f(1)?f(2)?3

则f(1)?f(2)? .

答案 ?3

8.（2007年上海）函数y?lg(4?x)x?3的定义域是 ．

答案 ?xx?4且x?3?

22

9.（2006年安徽卷）函数f?x?对于任意实数x满足条件f?x?2??1f?x?，若f?1???5, 则f?f?5???_______________。

15答案 - 解析 ff(?1?2)510.（2006年上海春）已知函数f(x)是定义在(??,??)上的偶函数. 当x?(??,0)时，

f(x)?x?x，则当x?(0,??)时，f(x)? . 4?f?5???f(?5)?f(?1)?1??1。

答案 -x-x 三、解答题

11.(2007广东) 已知a是实数，函数f?x??2ax2?2x?3?a，如果函数y?f?x?在区间

4

??1,1?上有零点，求a的取值范围.

解析 若a?0 , f(x)?2x?3 ,显然在??1,1?上没有零点, 所以 a?0.

?3?27 令 ??4?8a?3?a??8a?24a?4?0, 解得 a?2

①当 a??3?27时, y?f?x?恰有一个零点在??1,1?上;

②当f??1??f?1???a?1??a?5??0，即1?a?5时，y?f?x?在

??1,1?上也恰有一个零点.

③当y?f?x?在??1,1?上有两个零点时, 则

a?0a?0????22??8a?24a?4?0??8a?24a?4?0????11 ? 或? ?1???1?1???12a2a??f?1??0f?1??0????f??1??0f??1??0??解得a?5或a??3?25 综上所求实数a的取值范围是a?1或a??3?25.

23

第二部分 三年联考汇编

2009年联考题

一、选择题

1. (北京市东城区2009年3月高中示范校高三质量检测文理)函数y?f(x)的定义域是

???,???，若对于任意的正数a，函数g(x)?数，则函数y?f(x)的图象可能是

f(x?a)?f(x)都是其定义域上的增函

( )

答案 A

2.（2009龙岩一中）函数y?1?x?x?22的定义域是 （ ）

A.(??,?1) B.(?1,2) C.(??,?1)?(2,??) D. (2,??) 答案 B

3.（2009湘潭市一中12月考）已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)??f(x?32)，且

f(?2)?f(?1)??1，f(0)?2,f(1)?f(2)?…?f(2008)?f(2009)? （ ）

A.?2

答案 A

B.?1 C.0 D.1

4.（2009广东三校一模）定义在R上的函数f?x?是奇函数又是以2为周期的周期函数,则 f?1??f?4??f?7?等于

( )

A.-1 B.0 答案 B

C.1 D.4

2?x?0?ax?1,5.（安徽省合肥市2009届高三上学期第一次教学质量检测）函数f(x)??2ax??(a?1)e,x?0在(??,??)上单调，则的取值范围是 A．(??,?2]?(1,2] C．(1,2]

24

( )

B．[?2,?1)?[2,??) D．[2,??)

答案 A

6.（黄山市2009届高中毕业班第一次质量检测）对于函数f(x)?lgx定义域中任意

x1,x2(x1?x2)有如下结论：①f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)；

②f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)； ③

x1?x22f(x1)?f(x2)2f(x1)?f(x2)x1?x2?0；

④f()?。上述结论中正确结论的序号是 ( )

A．② B．②③ C．②③④ D．①②③④ 答案 B

7.（福州市普通高中2009年高中毕业班质量检查）已知函数

(x?1)?8x?8f(x)??2,g(x)?lnx.则f(x)与g(x)两函数的图像的交点个数

?x?6x?5(x?1)为 A．1

B．2

C．3

D．4

( ）

答案 B

8.（福州市普通高中2009年高中毕业班质量检查）已知

f(x)(x?0,x?R)是奇函数,当x?0时,f?(x)?0,且f(?2)?0，则不等式

f(x)?0的解集是

B．(2,??)

（ ）

A．（—2，0）

C．(?2,0)?(2,??) 答案 C

D．(??,?2)?(2,??)

29.（江门市2009年高考模拟考试）设函数f(x)?ln(?定义域为N，则M?N?

1x)的定义域为M，g(x)?1?x

1?x( )

的

A.?xx?0? B.?xx?0且x?1? C.?xx?0且x??1? D.?xx?0且x??1? 答案 C

10．（2009年深圳市高三年级第一次调研考试数学（文科））设f?x??f1?x??f?x?,fk?1?x??f1?x1?x，又记 ( )

1?x1?x?f?x??,k?1,2,?,则f2009?x??

k

D．

A．?1x B．x C．

x?1x?1

答案 D

11.(银川一中2009届高三年级第一次模拟考试)设函数数，若0≤?≤

?2f(x)是奇函数，并且在R上为增函

时，f（msin?）＋f（1—m）＞0恒成立，则实数m的取值范围是( )

25

A．（0，1）B．（－∞，0）C．(??,答案 D 二、填空题

12) D．（－∞，1）

12．（2009年龙岩市普通高中毕业班单科质量检查）已知函数f(x)为R上的奇函数， 当x?0时，f(x)?x(x?1).若f(a)??2，则实数a? . 答案 ?1

13.(银川一中2009届高三年级第一次模拟考试)给出定义：若m整数)，则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}?函数

f(x)?|x?{x}|的四个命题： y?f(x)m?12?x?m?12(其中m为

. 在此基础上给出下列关于

①函数②函数③函数

的定义域是R，值域是[0，的图像关于直线x?k212]； 对称；

y?f(x)y?f(x)(k?Z)是周期函数，最小正周期是1； 在????11??22?,④ 函数

y?f(x)上是增函数；

则其中真命题是__ ． 答案 ①②③

?x2,x?014.（安徽省示范高中皖北协作区2009年高三联考）已知函数f?x???，则不

?x?1,x?0等式f?x??4的解集为 答案 (??,2)?(3,??)

?x?2(x??1)?15.(北京市石景山区2009年4月高三一模理)函数f(x)??x2(?1?x?2)，则

?2x(x?2)?13，则实数a的取值范围是 f(?)?________，若f(a)?22答案

12；(??,?32)?(?22，22)

16. (北京市西城区2009年4月高三一模抽样测试文)设a为常数，f(x)=x-4x+3.

26

2

若函数f(x+a)为偶函数，则a=__________；f(f(a))=_______. 答案 2,8 17.（2009丹阳高级中学一模）若函数y?mx值范围是____________。 答案 0?m?三、解答题

18.(银川一中2009届高三年级第一次模拟考试)设函数f(x)?x?1?x?2。 （1）画出函数y=f(x)的图像；

（2）若不等式a?b?a?b?af(x)，（a?0,a、b?R）恒成立，求实数x的范围。

?2x?3 (x?2)?f(x)??1 (1?x?2)?3?2x (x?1)?2?x?5在??2,??)上是增函数，则m的取

14

解：(1)

1 y (2)由|a+b|+|a-b|≥|a|f(x) 得

|a?b|?|a?b||a|?f(x)

|a?b?a?b||a|1 ?22 x 又因为

|a?b|?|a?b||a|?

则有2≥f(x)

解不等式 2≥|x-1|+|x-2| 得

12?x?52

2007—2008年联考题

一、选择题

1.(陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考)定义在R上的偶函数f(x)满足

f(x?1)??f(x)，且在[-1，0]上单调递增，设a?f(3)， b?f(2)，c?f(2)，则a,b,c大小关系是

( )

A．a?b?c B．a?c?b C．b?c?a 答案 D

2.(陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考)函数y?A．奇函数

D．c?b?a

1?x?x?1是 ( )

B.偶函数

27

C.既是奇函数又是偶函数

D.非奇非偶函数

答案 D

3.(陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考)设f(x)是定义在R上的函数，且在 (-∞，+∞)上是增函数，又F(x)=f(x)-f(-x)，那么F(x)一定是

( )

A.奇函数，且在(-∞，+∞)上是增函数 B.奇函数，且在(-∞，+∞)上是减函数 C.偶函数，且在(-∞，+∞)上是增函数 ∞，+∞)上是减函数 答案 A

4.(广东省2008届六校第二次联考)如图所示是某池塘中浮萍的面积

y(m)与时间t(月)的关系: y?f(t)?a, 有以下叙述:

2t D.偶函数，且在(-

①这个指数函数的底数为2;

②第5个月时, 浮萍面积就会超过30m2; ③浮萍从4m2蔓延到12m2需要经过1.5个月; ④浮萍每月增加的面积都相等;

⑤若浮萍蔓延到2m2, 3m2, 6m2所经过的时间分别是t1,t2,t3, 则t1?t2?t3.其中正确的是

( )

A.①② B.①②③④ 答案 D

C.②③④⑤ D. ①②⑤

5.（2007届岳阳市一中高三数学能力题训练）.映射f：A→B，如果满足集合B中的任意一 个元素在Ａ中都有原象，则称为“满射”。已知集合A中有4个元素，集合B中有3个元素，那么从A到B的不同满射的个数为 答案 C 二、填空题

6.（2007届岳阳市一中高三数学能力题训练）若对于任意a?[-1,1], 函数f(x) = x2+ (a －4)x + 4－2a的值恒大于零, 则x的取值范围是 答案 （??,1)?(3,?)

7.(2007年江苏省南京师范大学附属中学)已知函数f(x)?|x?ax?b|(x?R,b?0)，给出以下三个条件:

(1) 存在x0?R，使得f(?x0)?f(x0)； (2) f(3)?f(0)成立；

2

（ ）

A.24 B.6 C.36 D.72

28

(3) f(x)在区间[?a,??)上是增函数.

若f(x)同时满足条件 和 （填入两个条件的编号），则f(x)的一个可能的解析式为f(x)? .

答案 满足条件(1)(2)时,y?x2?3x?1等；满足条件(1)(3)时,y?x2?2x?1等；满足条件(2)(3)时,y?x2?3x?9等. 三、解答题

8.(2007年安徽省六校)已知函数f(x),g(x)在R上有定义，对任意的x,y?R有

f(x?y)?f(x)g(y)?g(x)f(y) 且f(1)?0

（1）求证：f(x)为奇函数

（2）若f(1)?f(2)， 求g(1)?g(?1)的值

解（1）对x?R，令x=u-v则有f(-x)=f(v-u)=f(v)g(u)-g(v)f(u)=f(u-v)=-[f(u)g(v)- g(u)f(v)]=-f(x)

??????4分

（2）f(2)=f{1-(-1)}=f(1)g(-1)-g(1)f(-1)=f(1)g(-1)+g(1)f(1)=f(1){g(-1)+g(1)} ∵f(2)=f(1)≠0 ∴g(-1)+g(1)=1 ???????8分

第二节 基本初等函数I 第一部分 五年高考荟萃

2009年高考题

1.(2009年广东卷文)若函数y?f(x)是函数y?a（a?0，且a?1）的反函数，且，则f(x)? f(2)?1A．logx B．

12xx ( )

2 C．log12x D．2x?2

答案 A

x解析 函数y?a（a?0，且a?1）的反函数是f(x)?logax,又f(2)?1,即loga2?1,

所以,a?2,故f(x)?log2x,选A. 2.（2009北京文）为了得到函数y?lg

x?310的图像，只需把函数y?lgx的图像上所有

29

点

（ ）

A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

答案 C

解析 本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查.

12w3.（2009天津卷文）设a?log12,b?log310.33,c?()，则

2 ( )

A a 解析 由已知结合对数函数图像和指数函数图像得到a?0,0?c?1，而b?olg23?1，

因此选B。

【考点定位】本试题考查了对数函数和指数函数的性质运用，考查了基本的运算能 4.（2009四川卷文）函数y?2x?1(x?R)的反函数是 A. y?1?log C. y??1?log答案 C

解析 由y?2x?1?x?1?log∴其反函数是y??1?log22x(x?0) B. y?log2(x?1)(x?1) x(x?0) D. y?log2(x?1)(x??1)

2y?x??1?log2y，又因原函数的值域是y?0，

2x(x?0)

5.（2009全国卷Ⅱ理）设a?log3?,b?log2

A. a?b?c 答案 A 解析 ?log3 log23?2?3,c?log32，则

B. a?c?b C. b?a?c D. b?c?a

log?223log?b?3c 2?a?blog?22lo?g3?lo?ag?b32的值为

. ?c6.（2009湖南卷文）log2A．?2 B．答案 D

2 C．?12 D．

12

1解析 由log22?log222?12log22?12,易知D正确.

7.（2009湖南卷文）设函数y?f(x)在(??,??)内有定义，对于给定的正数K，定义函数

30

?f(x),f(x)?K, fK(x)??f(x)?K.?K,取函数f(x)?2?x。当K=

12时，函数fK(x)的单调递增区间为

( )

A ．(??,0) B．(0,??) C ．(??,?1) D ．(1,??) 答案 C

解析 函数f(x)?2?x1x1?()，作图易知f(x)?K??x?(??,?1]?[1,??)， 22故在(??,?1)上是单调递增的，选C.

8.（2009福建卷理）下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2?（0，??），当x1f(x2) 的是 A．f(x)=

1x

B. f(x)=(x?1)2 D.f(x)?ln(x?1)

C .f(x)=ex 答案 A

解析 依题意可得函数应在x?(0,??)上单调递减，故由选项可得A正确。 9. （2009辽宁卷文）已知函数f(x)满足：x≥4,则f(x)＝()；当x＜4时f(x)＝

21xf(x?1)，则f(2?log23)＝

A.

124 B.

112 C.

18

D.

38

答案 A

解析 ∵3＜2＋log23＜4,所以f(2＋log23)＝f(3＋log23)且3＋log23＞4 ∴f(2?log23)＝f(3＋log23)

11111log1213＝()23?log23??()82log23??()82x?1?18?13?124

10.（2009四川卷文）函数y?2 A. y?1?log C.y??1?log答案 C

(x?R)的反函数是

2x(x?0) B.y?log2(x?1)(x?1) x(x?0) D.y?log2(x?1)(x??1)

231

解析 由y?2x?1?x?1?log∴其反函数是y??1?log2y?x??1?log2y，又因原函数的值域是y?0，

2x(x?0)

11.（2009陕西卷文）设曲线y?xn?1(n?N*)在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,则x1?x2???xn的值为 A.

1n B.

1n?1 C.

nn?1 D.1

答案 B

解析 对y?xn?1(n?N*)求导得y'?(n?1)xn,令x?1得在点（1，1）处的切线的斜率

k?n?1,在点

（1，1）处的切线方程为y?1?k(xn?1)?(n?1)(xn?1),不妨设y?0,则x1?x2???xn?12?23?34?...?n?1n?nn?1?1n?1xn?nn?1, 故选 B.

12.（2009全国卷Ⅰ文）已知函数f(x)的反函数为g(x)＝1＋2lgx?x＞0?，则f(1)?g(1)? （A）0 （B）1 （C）2 （D）4 答案 C

解析 由题令1?2lgx?1得x?1，即f(1)?1，又g(1)?1，所以f(1)?g(1)?2，故选择C。

13.(2009湖南卷理)若log2a＜0，()＞1，则

21b ( )

A．a＞1,b＞0 B．a＞1,b＜0 C. 0＜a＜1, b＞0 D. 0＜a＜1, b＜0 答案 D

b解析 由log2a?0得0?a?,由()?1得b?0，所以选D项。

12?a?log2x(当x?2时)?14.（2009四川卷理）已知函数f(x)??x2?4在点x?2处连续，则常数a

(当x?2时）??x?2的值是

( )

Ａ.２ Ｂ.３ Ｃ.４ Ｄ.５

【考点定位】本小题考查函数的连续性，考查分段函数，基础题。 答案 B

32

解析 由题得a?log22?2?2?a?3，故选择B。

x?4x?22解析2：本题考查分段函数的连续性．由limf(x)?limx?22x?2?lim(x?2)?4，

x?2f(2)?a?log2?a?1，由函数的连续性在一点处的连续性的定义知

f(2)?limf(x)?4，可得a?3．故选B．

x?215.（2009福建卷文）若函数f?x?的零点与g?x??4?2x?2的零点之差的绝对值不超

x过0.25， 则f?x?可以是

A. f?x??4x?1 B. f?x??(x?1)

2C. f?x??e?1 D. f?x??In?x?x??1?? 2?答案 A

解析 f?x??4x?1的零点为x=

??14,f?x??(x?1)的零点为x=1, f?x??e?1的零点

2x为x=0, f?x??In?x?因 为g(0)= -1,g(

x31?xgx?4?2x?2的零点，的零点为x=.现在我们来估算???22?1212)=1,所以g(x)的零点x?(0,

),又函数f?x?的零点与

g?x??4?2x?2的零点之差的绝对值不超过0.25，只有f?x??4x?1的零点适合，

故选A。

二、填空题

16.（2009江苏卷）已知集合A??xlog2x?2?,B?(??,a)，若A?B则实数a的取值范围是(c,??)，其中c= . 解析 考查集合的子集的概念及利用对数的性质解不等式。

由log2x?2得0?x?4，A?(0,4]；由A?B知a?4，所以c?4。 17.(2009山东卷理)若函数f(x)=ax-x-a(a>0且a?1)有两个零点，则实数a的取值范围是 . 答案 {a|a?1}

x解析 设函数y?a(a?0,且a?1}和函数y?x?a,则函数f(x)=ax-x-a(a>0且a?1)

33

有两个零点, 就是函数y?ax(a?0,且a?1}与函数y?x?a有两个交点,由图象可知当

0?a?1时两函数只有一个交点,不符合,当a?1时,因为函数y?ax(a?1)的图象过点

(0,1),而直线y?x?a所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是a?1 【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象进行解答. 18.（2009重庆卷文）记f(x)?log3(x?1)的反函数为y?fx? ．

?1(x)，则方程f?1(x)?8的解

答案 2

解法1 由y?f(x)?log3(x?1)，得x?3y?1，即f解得x?2

解法2因为f?1(x)?8，所以x?f(8)?log3(8?1)?2

?1(x)?3x?1，于是由3x?1?8，

2005—2008年高考题

一、选择题

x1.（2008年山东文科卷）已知函数f(x)?loga(2?b?1)(a?0，a?1)的图象如图所示，

则a，b满足的关系是 A．0?a?1?b?1

B．0?b?a?1?1 D．0?a?1?b?1?1

（ ） y O x

?1 C．0?b?1?a??1

答案 A

解析 本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比较大小。 由图易得a?1,?0?a?1?1;取特殊点x?0??1?y?logab?0,

?1 ??1?log1aa?logab?loga1?0,?0?a?b?1.

2. (07山东)设????1,1,??1??,3?，则使函数y?x的定义域为R且为奇函数的所有?的值 2?为

（ ）

A.1,3 B.-1,1 答案 A 3.（2006年安徽卷）函数y?ex?1 C.-1,3 D.-1,1,3

(x?R)的反函数是 （ ）

A．y?1?lnx(x?0) C．y??1?lnx(x?0) 答案 D

B．y?1?lnx(x?0) D．y??1?lnx(x?0)

34

解析 由y?ex?1得：x+1=lny，即x=-1+lny,所以y??1?lnx(x?0)为所求，故选D。 4.（2006年湖北卷）设f(x)?lg2?x2?x，则f()?f()的定义域为

2xx2 ( )

A．(?4,0)?(0,4) C．(?2,?1)?(1,2) 答案 B

B．(?4,?1)?(1,4) D．(?4,?2)?(2,4)

解析 f（x）的定义域是（－2，2），故应有－2?1?x?4故选B。

5.(07天津)设a,b,c均为正数，且2?log则

ax2b?2且－2?

2x?2解得－4?x?－1或

12?1?a，???log?2?12?1?b，???log?2?c2c.

（ ）

A.a?b?c 答案 A 二、填空题

B.c?b?a C.c?a?b D.b?a?c

x6.（2008年山东文科卷）已知f(3)?4xlog23?233，则f(2)?f(4)?(8)f??(?2)f8

的值等于 ． 答案 2008

解析 本小题主要考查对数函数问题。

?f(3)?4xlog23?233?4log23?233,

8 ?f(x)?4log2x?233,?f(2)?f(4)?f(8)???f(2)?

xx 8?233?4(log22?2log22?3log22???8log22)?1864?144?2008.

7.(07山东)函数y?loga?x?3??1(a?0,a?1)的图象恒过定点A,若点A在直线

mx?ny?1?0上，其中mn?0，则

1m?2n的最小值为 . 答案 8

?ex,x?0.18.（2006年辽宁卷）设g(x)??则g(g())?__________

2?lnx,x?0.1112答案 g(g())?g(ln)?e22ln?12.

解析 本题考察了分段函数的表达式、指对数的运算.

35

9.(2006年重庆卷)设a?0,a?1，函数f(x)?algx(loga?x?5x?7??0的解集为 .

22?x2?3)有最大值，则不等式

解析 设a?0,a?1，函数f(x)?alg(x22?2x?3)有最大值，∵lg(x2?2x?3)≥lg2有最

?x2?5x?7?0小值，∴ 0

?x?5x?7?1所以不等式的解集为?2,3?.

10.（2005年上海2）方程4x?2x?2?0的解是__________. 解析 4x?2x?2?0?(2x?1)(2x?2)?0?2x?1?x?0 三、解答题

11.(07上海)已知函数f?x??x?2ax(x?0,a?R)

（1）判断函数f?x?的奇偶性；

（2）若f?x?在区间?2,???是增函数，求实数a的取值范围。

解析 （1）当a?0时，f?x??x2为偶函数；当a?0时，f?x?既不是奇函数也不是偶函数.

（2）设x2?x1?2，f?x1??f?x2??x1?2ax1?x2?2ax2?x1?x2x1x2?x1x2?x1?x2??a?，

由x2?x1?2得x1x2?x1?x2??16，x1?x2?0,x1x2?0 要使f?x?在区间?2,???是增函数只需f?x1??f?x2??0， 即x1x2?x1?x2??a?0恒成立，则a?16。 另解（导数法）：f'?x??2x?f'?x??0恒成立，即2x?ax2ax2，要使f?x?在区间?2,???是增函数，只需当x?2时，

3?0，则a?2x??16,???恒成立，

故当a?16时，f?x?在区间?2,???是增函数。

第二部分 三年联考汇编 2009年联考题

36

一、选择题

1.(2009年4月北京海淀区高三一模文)函数f(x)=2x的反函数y?f?1?x?的图象

是

（ ）

答案 A

2. (北京市朝阳区2009年4月高三一模理)下列函数中，在区间(1,??)上为增函数的

是

（ A．y??2x?1

B．y?x1?x

C．y??(x?1)2

D．y?log1(x?1)2

答案 B

3.（2009福建省）函数y?log2|x|的图象大致是 ( )

答案 C

4.（2009厦门集美中学）若y?loga(2?ax)在[0,1]上是减函数,则a的取值范围

是

( )

A.(0,1) B.(0,2) C.(1,2) D.(2,??) 答案 C

5.（2009岳阳一中第四次月考）函数y?lg|x|x的图象大致是 ( 37

）)

答案 D 二、填空题

6.（2009泉州市）已知函数f(x)=??logx2x(x?0)?2,(x?0),若f(a)=2 .

1答案 -1或2 7.（2009厦门十中）定义：若存在常数k，使得对定义域D内的任意两个x1,x2?x1?x2?， 均有f?x1??f?x2??kx1?x2成立，则称函数f?x?在定义域D上满足利普希茨条件。若函数f?x??答案

12x?x?1?满足利普希茨条件，则常数k的最小值为_____。

8.（2009中学第六次月考）定义区间[x1,x2](x1?x2)的长度为x2?x1,已知函数

f(x)?|log12x|的定义域为[a,b],值域为[0,2],则区间[a,b]的长度的最大值与最小值

的差为 . 答案 3

9.(江西南昌新民外语学校09届高三第一次月考)函数f(x)?为 ． 答案 [3,??)

三、解答题

10．(江西师大附中2009届高三数学上学期期中) 已知定义域为R的函数f(x)?（1）求a,b的值；

22（2）若对任意的t?R，不等式f(t?2t)?f(2t?k)?0恒成立，求k的取值范围.

x?2?1log2(x?1)的定义域

?2?b2x?1x?a是奇函数.

解 （1） 因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)?0,即?1?b2?a1??1x?2?1?2?1??2. 又由f(1)??f(?1)知从而有f(x)?x?1，解得a?2 4?a1?a2?a

38

?0,解得b?1

（2）解法一：由（1）知f(x)??2?1x?1x22?12?2由上式易知f(x)在R上为减函数，又因f(x)是奇函数，从而不等式

f(t?2t)?f(2t?k)?0等价于f(t?2t)??f(2t?k)?f(?2t?k).

22222??1?1x,

因f(x)是R上的减函数，由上式推得t2?2t??2t2?k. 即对一切t?R有3t2?2t?k?0,从而??4?12k?0,解得k??解法二：由（1）知f(x)?又由题设条件得即(22t213

?2?12?x?1x?222,

?1?2?0

2t?k2?222t?2t2?1?2?222t?kt?2t?12t?k?12?k?12?2)(?2?2t?kt?2t2?1)?(2t?2t?1?2)(?22?1)?0

13整理得23t?1，因底数2>1，故3t?2t?k?0

.

上式对一切t?R均成立，从而判别式??4?12k?0,解得k??14.（2009广东三校一模）设函数f?x???1?x??2ln?1?x?.

2(1)求f?x?的单调区间;

(2)若当x???1,e?1?时,(其中e?2.718?)不等式f?x??m恒成立,求实数m的

?e?取值范围;

(3)试讨论关于x的方程:f?x??x2?x?a在区间?0,2?上的根的个数. 解 （1）函数的定义域为??1,???,f??x??2??x?1????x?1??由f??x??0得x?0;

?1?2x?x?2?x?1?1?. 1分

2分

由f??x??0得?1?x?0, 3分 则增区间为?0,???,减区间为??1,0?. (2)令f??x??递增, 由f??12x?x?2?x?1 4分

?1????1,0?e?上递减,在0,e?1上

???0,得x?0,由(1)知f?x?在

6分

11?22 ?1??2?2,f?e?1??e?2,且e?2?2?2,

e?e?e 8分

39

?1?22?x???1,e?1?时,f?x? 的最大值为e?2,故m?e?2时,不等式f?x??m?e?恒成立. 9分

(3)方程f?x??x2?x?a,即x?1?2ln?1?x??a.记g?x??x?1?2ln?1?x?,则

g??x??1?21?x?x?1x?1.由g??x??0得x?1;由g??x??0得?1?x?1.

所以g(x)在[0,1]上递减，在[1，2]上递增.

而g(0)=1，g(1)=2-2ln2，g(2)=3-2ln3，∴g(0)＞g(2)＞g(1) 10分 所以，当a＞1时，方程无解； 当3-2ln3＜a≤1时，方程有一个解， 当2-2ln2＜a≤a≤3-2ln3时，方程有两个解； 当a=2-2ln2时，方程有一个解；

当a＜2-2ln2时，方程无解. 13分 字上所述，a?(1,??)?(??,2?2ln2)时，方程无解；

a?(3?2ln3,1]或a=2-2ln2时，方程有唯一解；

时，方程有两个不等的解.

14分

a?(2?2ln2,3?2ln3]2007—2008年联考题

一、选择题

1.（2008年高考数学各校月考试题）若lga+lgb=0(其中a≠1，b≠1)，则函数f（x）=ax与x

g(x)=b的图象 （ ） A．关于直线y=x对称 B．关于x轴对称 C．关于y轴对称 答案 C

D．关于原点对称

12 解析 取满足lga?lgb?1的特殊值a?2，则b?可得答案C.

2.（2007届岳阳市一中高三数学能力题训练）已知a>1，则函数f（x）= loga x的图象与其反函数y=f-1（x）的图象 （ ） A.不可能有公共点 B.不可能只有一个公共点 C. 最多只有一个公共点 D.最多只有两个公共点 答案 D

3.（2007届高三数学二轮复习新型题专题训练）一次研究性课堂上，老师给出函数

f(x)?x1?|x|(x?R)，三位同学甲、乙、丙在研究此函数时分别给出命题：

甲：函数f(x)的值域为（－1，1）；乙：若x1≠x2，则一定有f(x1)≠f(x2)； 丙：若规定

f1(x)?f(x),fn(x)?f(fn?1(x))，

fn(x)?x1?n|x|对任意n?N*恒成立.

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