技术经济学笔记

1、一次支付终值公式：F=P(1+i)n

(F/P,i,n)= (1+i)n 一次支付终值系数

例题1：某企业为开发新产品，向银行借款100万元，年利率为10%，借期5年，问5年后一次归还银行的本利和是多少？

解：F=P(1+i)n=100*(1+10%)5=100*1.611=161.1(万元)

2、一次支付现值公式：P=F*1/(1+i)n 一次支付现值系数（P/F,i,n)= 1/(1+i)n

例题2：如果银行利率为12%，假定按复利计息，

例6：如果某工程1年建成并投产，寿命10年，每

年净收益为2万元，按10%折现率计算，恰好能够在寿命期内把期初投资全部收回，问该工程期初所投入的资金为多少？ 解：

为5年后获得10000

元款项，现在应存入银行多少？ 解：P=F*1/(1+i)n=10000*(1+0.12)5=10000*0.5674=5674(元) 3、等额支付终值公式

例3：某公司为设立退休基金，F=A(1+i)n-每年年末存入银行+A(1+i)n-2万元，若存款利率为5年末基金总额是多少？=A[1+(1+10%i) +，按复利计息，第(1+i)2+.....(1解：F=A*(F/A,i.n) =2*6.105=12.21((1+i)n-1万元(1+) n4等额支付存储基金公式（等额分付偿债基金公式）=A[(1+i)-1]=A[i)i

例4：某厂欲积累一笔福利基金，用于3年后建造职工俱乐部。此项投资总额为200万元，银行利率为12%，问每年年末至少要存款多少？A=Fi=FA解：A= F(A/F,i,n)=200*0.29635=59.27((1+i) n-1万元)

例5：某大学生在大学四年学习期间，每年年初从银行借款2000元用以支付学费，若按年利率6%计复利，第四年末一次归还全部本金需要多少钱？

解：本例不能直接套用上面的公式，由于每年的借款发生在年初，故需要先将其折算成年末的等价金额。

5等额支付现值公式

6、等额支付资金回收公式

+inP=A[-i(1+i)n

例7：一套运输设备价值30000元，希望在5年内等额收回全部投资，若折现率为8%，问每年至少应回收多少？ A=P[i(1+

.....+ A(1+i)+A +7、等差支付终值公式i)n-2+(1+i)n-1 ]P=A[(1+i)n-1i(1+i)n]=2*[1]=A(F/A,i2*6.1445=12.289?n,?1n)F?G*(1A?=i)jP[?i1(1+i)n]j?1i(1+i)n-1?G[(1?i)?1i=30000*[?(1?i)20.08(1?1i?+......0.08)?(1?i)n?(1+0.08)5-1]=30000*0.2504i?G[(1?i)?(1?i)2i?......?(1?i)n?1?(n?Fin?G[1?(1?i)?(1?i)2?......?(1?i)n?1]? in

=G(F/G，i?，Gn) [(1?i)?1]?n*G8、等差支付现值公式i

ii

P=F(P/F,i,n)=F*1(1+i)nG(F/G,i,n)=G(1+i)nF=i[iP={G(1+ini[)-1i]-n*Gi}*=G(1+i)n-1i[i(1+i)n-n(1+i)n] =Gi[(P/A,i,n)-n(P/F,i,n=G(P/G,i,n)]=A(+in]ni)-1+(1+0.10.1*(1-1?1]1)]n*Gi

-1n-]1(1+i)n)]例8：某公司发行的股票目前市场价值每股120元，年股息10元，预计每股年股息每年增加2元，若希望达到16%的投资收益率，目前投资购进该公司股票是否合算？

解：股票可看做是寿命期 的永久性财产，由

(1?in)?1P?A[]i(1?i)n可得：

9、等差支付年金公式

G(1?in)?1nP??[?]nnii(1?i)(1?i)

??例10：若租用某仓库，目前年租金为23000元，预计

租金水平今后10年内每年将上涨5%。若将该仓库买

P?10(P/A,i,?)?2(P/G下来，需一次支付20万，但10年后估计仍可以20万

元的价格售出。按折现率15%计算，是租合算，还是1110*?2*?140i1买合算？ 0.160.16(A/F,i,n)?F[](P/AA,i?,?F)?ni(1?i)?解：若租用该仓库，110年内全部租金的现值为：

n1(P/FG,i?,?G)?[(1?i)?1?n]iii

G(1?i)n?1i例9：某企业第一年获利以后9?年每年递增A?100[万元，n]*[]ii(1?i)n?1 20万元，若年利率为8%，问相当每年平均获利多少？ 1n解： ?G[?]?G(A/G,i,若购买该仓库，全部费用的现值为：n)i(1?i)n?11nA?A1?G[?]i(1?i)n?1 110?100?20[ ?]10、等比序列现金流的等值计算

0.08(1?0.08)10?1?100?20*3.8713?177.4

显然租用仓库的费用更少，租合算

1?(1?0.05)(1?0.1P?23000[11、静态投资回收期 10.15?0.05?137393 i=h

例题4-1：某投资项目的投资及年净收入如表4-1所示，求静态投资回收期。 项目 0 1 2 3 4 5 500 350 150 6 500 350 150 7 500 350 150 150 8 500 350 150 9 500 350 150 P2?200000?200000(1?0.15)?10 ?150563 500 350 150 150 300 n?n?1?(1?h)(1?i)240 80 ]1、建设投资 A180 [?h i?250 2、流动资金 P?? ?180 240 330 3、总投资（1+2) ?nA1?300 4、收入 ?1?i5、成本 6、净收入（4-5） 7、净现金流量 400 250 300 50 100 -180 -240 -330 50 100 150 150 150 150 150 8、累计净现金流量 -180 -420 -750 -700 -600 -450 -300 -150 0 Tp=8-1+150/150=7(年) 12、投资收益率

K为投资总额 NB为正常年份的净收 R为投资收益率

R?例题4-2：某项目经济数据如表3-1所示，假定全部投资中没有借款，现已知基准投资收益率为15%，试以投资

K收益率指标判别项目的取舍。

解：由表3-1的数据可得：R=150/750=0.2=20% 由于R﹥ Rb，故项目可以考虑接受

13、净现值法（NPV）NPV= ∑(CIt-COt)/(1+i)-t

例题4-3:某项目的各年现金流量如表4-2所示，试用净现值指标判别项目的经济性（i=10%） 表4-2某项目的现金流量表 年份 0 项目 1、投资支出 2、成本 3、收入 20 1 500 2 100 3 300 450 150 4-10 450 700 250 4、净现金流量 -20 -500 -100 解：根据表中各年净现金流量，计算可得：

NPV=-20-500(P/F,10%,1)-100(P/F,10%,2)+150(P/F,10%,3)+250(P/A,10%,7)(P/F10%,3) =-20-500*0.9091-100*0.8264+150*0.7513+250*4.868*0.7513 =469.94(万元)

例题4-4：某技术方案计算期为12年，其逐年支出、收入见下表4-3，设基准收益率为15%，问方案是否可行？ 表4-3 某技术方案的现金流量表 年序 1 1 2500 2 1000 3 3100 600 2500 4 3750 750 3000 5-11 5160 1160 4000 12 5160 500 1160 4500 7500 投资 销售收入 残值 经营成本 净现金流量 -7500 年序投资销售收经营成本净现金流贴现系净现金流量折净现值 NPV （1） （2） 入（3） （4） 量 数(6) 现 (5)=3-2-4 (7)=(5)*(6) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7500 2500 1000 3100 3750 5160 5160 5160 5160 5160 5160 5160 600 750 1160 1160 1160 1160 1160 1160 1160 -7500 -2500 -1000 2500 3000 4000 4000 4000 4000 4000 4000 4000 1 0.8696 0.7561 0.6575 0.5718 0.4972 0.4323 0.3759 0.3269 0.2843 0.2472 0.2149 -7500 -2174 -756.1 1643.8 1715.4 1988.8 1729.2 1503.6 1307.6 1137.2 988.8 859.6 -7500 -9674 -10430.1 -8786.3 -7070.9 -5082.1 -3352.9 -1849.3 -541.7 595.5 1584.3 2443.9 -2500 -1000 12 5660 1160 4500 0.1869 841.1 3285 NPV=-7500-2500(P/F,15%,1)-1000(P/F,15%,2)+2500

(P/F,15%,3)+3000(P/F,15%,4)+4000(P/A,15%,8)(P/F,15%,4)+500(P/F,15%,12)=3285 因NPV﹥0，故方案可行。 14、净现值率法（NPVR）

Kt为第t年的投资额

15、净年值法（NAV）

NPV?n?(CIt?COt)(P/F,i,t)t??Kt(P/F,i,t)t?0n

16、内部收益率法（IRR）

NAV?NPV(A/P,i,n)例题4-5：某项目净现金流量如表4-6所示，当基准收益率为12%时，使用内部收益率指标判断该项目在经济

?t效果上是否可以接受？ NPV(IRR)?(C?IC)O(1?IRR))??t?(CItt??COt)(1?i)t(A/P,i,n表4-6 某项目的净现金流量表 t?

?n?n0年序 0 1 20 2 30 3 20 4 40 5 40 -10净现金0 流量 IRR=im+NPVimin-imNPV(im)+NPV(in)

例题4-6：计算例题4-4中方案的内部收益率。 解（1）确定i的初始值范围

先求得总投资：P=7500+2500+1000=11000（万元） 总收益：F=2500+3000+4000*8+500=38000（万元） 利用P=(F/P,i,n)公式，近似地求出i的取值范围。 11000=38000 P=(F/P,i,12)

P=(F/P,i,n)=0.2895，查一次支付现值系数： P=(F/P,10%,12)=0.3186； P=(F/P,12%,12)=0.2567

由于当i≠0时，实际投资的现值P＜11000万元，而实际终值F＞38000万元，所以求得的内部收益率必然大于10%。

（2）试算：

设i1=18%，则NPV=1213万元 设i2=21%，则NPV=-436万元

（3）用试算内插法求IRR: IRR=18%+1213/(1213+436)*(21%-18%) =20.2%.

所以方案的内部收益率为20.2% 17、外部收益率的计算公式

ERR：外部收益率 Kt：第t年的净投资 NBt：第t年的净收益 i0：基准收益率

例题4-7：某重型机械公司为一项工程提供一套大型设备，合同签订后，买方要分两年先预付一部分款项，待设备交货后再分两年支付设备价款的其余部分。重型机械公司承接该项目预计各年的净现金流量如表4-7所示，若nn基准收益率为10%，试用外部收益率指标评价该项目的可行性。表4-7 某大型设备项目的净现金流量表 NB(1?i)n?t?K(1?ERR)n?t年份 0 t?0?t1 1000 2 ?t?ot3 -5000 4 2000 5 6000 净现金流量 1900 -5000

18、动态投资回收期

例题4-8：某项目的有关数据如表4-8所示，基准收益率为10%，基准动态投资回收期为8年，试计算动态投资回收期，并判断该项目能否被接受。表4-8 动态投资回收期计算表 年份 1、投资 2、成本 3、销售收入 4、净现金流量 5、净现值 6、累计净现值 年份 1、投资 2、成本 3、销售收入 4、净现金流量 5、净现值 6、累计净现值

0 20 -20 -20 -20 6 450 700 250 141.1 22.6 1 500 -500 -454.6 -474.6 7 450 700 250 128.3 150.9 2 100 -100 -82.6 -557.2 8 450 700 250 116.6 267.5 3 300 450 150 112.7 -444.5 9 450 700 250 106.0 373.5 4 450 700 250 170.8 -273.7 10 450 700 250 96.4 469.9 5 450 700 250 155.2 -118.5

Tb*=6-1+118.5/141.1=5.84（年） Tp*≤ Tb*，则项目可以被接受。 19、表4-9 绝对效果比较原则 方法 方案取 舍标准 投资回收期 T≤Td 方案可行 净现值 NPV>0 方案可行 大者优 内部收益率 IRR>is 方案可行 大者优 方案比较标准 小者优

例题4-9：有三个方案A 、B、C,各方案寿命期均为10年，

预计各年的净现金流量如表二所示，基准收益率为15%。表4-10 各年现金流量 年序 方 案 A B C 净现值 NPV A B C 4366 9485 12119 优序 3 2 1 0 -5000 -12000 -17000 1-10 1866 4281 5802 内部收益率 IRR 36% 33% 32% 优序 1 2 3 方案 从表三可以看出，按NPV方法三个方案的优劣顺序是C、B、A，而按IRR方法三个方案的优劣次序则是A、B、C。究竟是那种方法正确？这时应用绝对效果比较原则时常常困扰人们的问题。

例题4-10：两个新建工厂的投资方案，生产规模相同，第一方案采用中等水平的工艺设备，其投资为2500万元，投产后年成本为3500万元；第二方案采用先进工艺设备，其投资为3000万元，年成本为3300万元，假定基准投资回收期Ts=5年，试问哪个方案优？ 解： 用追加投资回收期方法计算：

T=△K/△C=(3000-2500)/(3500-3300)=2.5年<5年 故投资大的第二个方案优。

追加投资效果系数△E是单位追加投资所能获得的年成本的节约额。 △E=1/ △T。追加投资效果系数的评价标准是： △E＜Es，则投资大的方案优。

例题4-11：设有三个方案，其年产值均为1580万元，其投资及年经营 成本如表所示，若Es=0.2 ，问哪个方案为优？ 方案 a b 1100 1170 C 1400 1100 1000 投资 年经营成本 1200 解：首先以投资小的a方案为比较的基础方案，计算它的的投资的效果系数 Ea=1580-1200/1000=0.38>0.2 故方案a可行

△ Eba=(1200-1170)/(1100-1000)=0.3>0.2

故方案b优于方案a，于是淘汰a，再比较b c两个方案

△ Ecb=（1170-1100）/(1400-1100)=0.23>0.2 故方案c优于方案b，而且是最优方案。

? 年计算费用Z=C+K*Es(Z=C+K*1/Ts) 例10数据 年计算费用法：

Za=1200+1000*0.2=1400万元 Zb=1170+1100*0.2=1390万元 Zc=1100+1400*0.2=1380万元 故方案c为最优方案。

20、费用现值法 计算公式：Pc= ∑Ct(P/F,is,t)

例4-12：投资、年经营成本取例4-10的数据，设投资于第一年投入，年末即有产出，寿命期为10年，基准收益率为15%，试比较各个方案的优劣。 解：

PCa=1000+1200*(P/A,15%,10)=7022.56万元 PCb=1100+1170*(P/A,15%,10)=6171.96万元 PCc=1400+1100*(P/A,15%,10)=6920.58万元 故方案b为最优，c次之，a最差。

与上例结果比较，可见引入资金的时间价值后，方案比较的结论可能会发生变化。 21、差额投资净现值法（△NPV）△NPV= ∑(Yt-Yt’)(P/F,is,t)

例题4-13：用差额投资净现值法比较下列三个方案的优劣，基准收益率为15%。各年现金流量 年序 方 案 A B C 0 -5000 -12000 -17000 1-10 1866 4281 5802 NPV 4365 9485 12119 IRR 36% 33% 32% 解：选择投资最小的a方案为比较基础，因为a方案的NPV=4365，故方案可行。 按方案投资额的递增顺序选择对比方案，计算两个方案的净现金流量之差，并且按基准收益率计算差额投资净现值：

△ NPVba=-7000+2415(P/A,15%,10)=5124.10万元>0

说明方案B比方案A多花的7000万元投资在经济上是合理的，所以B方案优于A方案。舍去A方案，以B方案为基础方案进行比较；

△ NPVcb=-5000+1521(P/A,15%,10)=2633.59万元>0 说明C方案为优方案。 例4-14：某两个能满足同样需求的互斥方案A和B的费用现金流入下表所示。试在两个方案之间做出选择（i=10%） 投资 年份 0 方案 A B 100 150 其他费用支出 1-15 11.68 6.55 -5.13 增量费用现金流50 （B-A） 解：本例可以用费用现值PC进行方案的必选。

PCA=100+11.68（P/A,10%,15）=100+11.68*7.606=188.84（万元） PCB=150+6.55（P/A,10%,15）=150+6.55*7.606=199.82（万元） 由于PCA＜PCB，则方案A优于方案B。 22、差额投资内部收益率法（△IRR） 用例4-12的数据比较三个方案的优劣。

解：选择投资最小的a方案为比较基础，因为a方案的IRR=36%，故方案可行。可作为基础方案进行比较： 使方案B和方案A的差额投资净现值等于零，以求出其差额投资内部收益率： -7000+2415（P/A,if,10)=0

解得： △IRRBA=30.2%＞15%

因此，投资大的方案B优于方案A。这样，将方案A舍去，将方案B视为基础方案，继续比较方案B和方案C

-5000+1521（P/A,if,10)=0 解得△IRRCB=25.3%＞15%

同理，方案C优于方案B，且是最终的最优方案。 23、最小公倍数

例题4-15：方案A、B有关数据如表所示，用净现值法比较两方案的优劣。 方案 A B 期初投资 10 18 年净收益 2.7 3.0 寿命（年） 5 10 解：

NPVA=-10+2.7*(P/A,10%.10)-10*(P/F,10%,5)=0.38 NPVB=-18+3*(P/A,10%.10)=0.43 NPVA

例题4-16：某厂生产某产品，有两种设备可供选用。两种设备生产的产品质量相同，A设备年产量20万件，购价23万元，年经营费用2万元，估计可用8年，8年后残值为1.5万元；B设备年产量16万件，购价18万元，年经营费用1.5万元，估计可用6年，6年后残值为1万元，基准收益率为10%，问选用何种设备？ 解：用比较费用年值的方法

ACA=2+[23-1.5(P/F,10%,8)]*(A/P,10%,8)=6.18(万元) ACB=1.5+[18-1(P/F,10%,6)]*(A/P,10%,6)=5.50(万元)

由于产品质量相同，但产量不等，所以还需计算单位产品费用 ACA/QA=6.18/20=0.309元/件 ACB/QB=5.50/16=0.344元/件 所以应该选用A设备。

例题4-18：有7个独立方案，寿命期假定只考虑1年，其期初投资与第一 年末的净现金流量如表所示，若基准收益率为10%，如果投资限制在 300元，应怎样选择？ 方案 A B C D E F G K 100 100 100 100 200 200 300 Y 120 119 116 112 236 228 354 PV 109.08 108.17 105.44 101.81 214.52 207.25 321.79 NPV 9.08 8.17 5.44 1.81 14.52 7.25 21.79

解：第一步：对于互相独立的几个方案，列出全部互相排斥的方案组合。 第二步：按初始投资从小到大的次序把第一步的方案组排列起来。 第三步：按投资约束的大小，把凡是小于投资总数的方案组合取出。 方案组合 AＢＣ ＡＢＤ ＡＣＤ ＢＣＤ ＡＥ ＢＥ ＣＥ NPV ２２.６９ １９.０６ １６.３３ １５.４２ ２３.６０ ２２.６３ １９.９６ 方案组合 ＤＥ ＡＦ ＢＦ ＣＦ ＤＦ Ｇ NPV １６.３３ １６.３３ １５.４２ １２.６９ ９.０６ ２１.７９ 可以看出，方案Ａ和Ｅ组合能使ＮＰＶ值达到最大，且投资不超过３００元，因此这时一个最有的方案组

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