抽象函数的对称性、奇偶性与周期性及其应用

抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论

一、周期函数的定义：

对于f(x)定义域内的每一个x，都存在非零常数T，使得f(x?T)?f(x)恒成立，则称函数f(x)具有周期性，T叫做f(x)的一个周期，则kT（k?Z,k?0）也是f(x)的周期，所有周期中的最小正数叫

f(x)的最小正周期。

函数周期性的几个重要结论

1、f(x?T)?f(x)( T?0) ?y?f(x)的周期为T，kT(k?Z)也是函数的周期 2、f(x?a)?f(x?b)?y?f(x)的周期为 3、f(x?a)??f(x)?y?f(x)的周期为 4、f(x?a)?1

f(x)?y?f(x)的周期为 5、f(x?a)??1f(x)?y?f(x)的周期为 二、奇偶函数：设y?f(x),x??a,b?或x???b,?a???a,b?

①若f(?x)??f(x),则称y?f(x)为奇函数；②若f(?x)?f(x)则称y?f(x)为偶函数 3、函数的对称性

三、函数对称性的几个重要结论

（一）函数y?f(x)图象本身的对称性（自身对称）

若f(x?a)??f(x?b)，则f(x)具有周期性；若f(a?x)?f(b?x)，则f(x)具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。

1、f(a?x)?f(b?x) ?y?f(x)图象关于直线x?(a?x)?(b?x)a?b对称 ?22推论1：f(a?x)?f(a?x)?y?f(x)的图象关于直线x?a对称 推论2、f(x)?f(2a?x)?y?f(x)的图象关于直线x?a对称 推论3、f(?x)?f(2a?x)?y?f(x)的图象关于直线x?a对称

（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、偶函数y?f(x)与y?f(?x)图象关于 对称 2、奇函数y?f(x)与y??f(?x)图象关于 对称函数 3、函数y?f(x)与y??f(x)图象关于 对称

四、函数的对称性与周期性

性质1 若函数y＝f(x)同时关于直线x＝a与x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝ 五、用函数奇偶性、周期性与对称性解题的常见类型 1.求函数值

例、设f(x)是(??,??)上的奇函数，f(2?x)??f(x),当0?x?1时，f(x)?x，则f(7.5)等于

2、比较函数值大小

例、若f(x)(x?R)是以2为周期的偶函数，当x??0,1?时，f(x)?x的大小.

3、求函数解析式

例、设f(x)是定义在(??,??)上以2为周期的周期函数，且f(x)是偶函数，在区间?2,3?上，

11998,试比较f(98101104)、f()、f()191715f(x)??2(x?3)2?4.求x??1,2?时，f(x)的解析式.

4、判断函数奇偶性

例、已知f(x)的周期为4，且等式f(2?x)?f(2?x)对任意x?R均成立，判断函数f(x)的奇偶性.

5、确定函数图象与x轴交点的个数

例、设函数f(x)对任意实数x满足f(4?x)?f(4?x)，f(5?x)?f(5?x)且f(0)?0,判断函数f(x)图象在区间??30,30?上与x轴至少有多少个交点.

例、设函数f(x)?x2?1，对任意x??,???，f??2?3???x?2??4mf(x)?f(x?1)?4f(m)恒成立，则实数?m?m的取值范围是 .

例、若函数

f(x)=x3+bx+c有极值点x1,x2,且f(x1)=x1,则关于x的方3(f(x1))2+2f(x)+b=0的不同实根

个数是

(A)3 (B)4 (C) 5 (D)6

例、将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记

2(梯形的周长）S=,则S的最小值是__

梯形的面积

xy1、已知实数x,y满足a?a（0?a?1），则下列关系式恒成立的是

（A）

112233?（B） （C）（D） sinx?sinyln(x?1)?ln(y?1)x?y22x?1y?1

2、函数f(x)?|x?2|?1，g(x)?kx，若f(x)?g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是

11（B）(,1)（C）(1,2) （D）(2,??)

2 2

3、R上的奇函数f(x)满足f(x?3)?f(x)，当0?x?1时，f(x)?2x，则f(2012)?

（A）(0,)4、已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的（ ）

A既不充分也不必要的条件 B充分而不必要的条件 C必要而不充分的条件 D充要条件

5、给定函数①y?x，②

12y?log1(x?1)2x?1y?|x?1|y?2，③，④，期中在区间（0，1）上单调递减

的函数序号是（ ）

（A）①② （B）②③ （C）③④ （D）①④

2??x＋1，x>0，

7、已知函数f(x)＝?则下列结论正确的是( )

?cos x， x≤0，?

A．f(x)是偶函数 B．f(x)是增函数 C．f(x)是周期函数 D．f(x)的值域为[－1，＋∞)

8、在R上定义的函数f(x)是偶函数，且f(x)?f(2?x)，若f(x)在区间[1则f(x)（ ） ，2]上是减函数，Ａ．在区间[?2，?1]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数 Ｂ．在区间[?2，?1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数 Ｃ．在区间[?2，?1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数

Ｄ．在区间[?2，?1]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数

9、已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝( ) A．－3 B．－1 C．1 D．3 10、函数y?1的图像与函数y?2sin?x(?2?x?4)的图像所有交点的横坐标之和等于D x?1（A）2 (B) 4 (C) 6 (D)8

11、已知偶函数f?x?在?0,???单调递减，f?2??0.若f?x?1??0，则x的取值范围是__________. 12、已知函数f?x?的定义域为??1,0?,则函数f?2x?1?的定义域 14、函数f(x)=log1x2-4的单调递增区间是 2()15、要制作一个容器为4m，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元）

16、定义在R上的偶函数，f(x)满足?x?R，都有f(x?2)?f(x)?f(1)，且当x?[2,3]时，

3

f(x)?2x2?12x?18.若函数y?f(x)?loga(x?1)在(0,??)上有三个零点，则a的取值范围是

a2?7,若f(x)?a?1对一18、设a为实常数,y?f(x)是定义在R上的奇函数,当x?0时,f(x)?9x?x切x?0成立,则a的取值范围为________

19已知定义在R上的函数f(x)满足f(2?x)为奇函数，函数f(x?3)关于直线x?1对称，则下列式子一定成立的是（ ）

A.f(x?2)?f(x) B. f(x?2)?f(x?6) C. f(x?2)?f(x?2)?1 D.f(?x)?f(x?1)?0 20、已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x?4)??f(x),且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间??8,8?上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1?x2?x3?x4?_________.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/mxt2.html