数学物理方程复习(1)

数学物理方程复习

一．三类方程及定解问题

（一） 方程

1. 波动方程（双曲型）

Utt = a2Uxx +f; 00 U(0,t)= Φ1（t）; U(L,t)= Φ2（t）; U(x,0)= Ψ1（x）; Ut(x,0)=Ψ2（x）。

2. 热传导方程（抛物型）

Ut=a2Uxx+f; 00 U(0,t)=Φ1（t）; U(L,t)=Φ2（t）; U(x,0)=Ψ1（x）.

3. 稳态方程（椭圆型）

Uxx +Uyy =f; 0

（二） 解题的步骤

1. 建立数学模型，写出方程及定解条件 2. 解方程

3. 解的实定性问题（检验） （三） 写方程的定解条件 1. 微元法：物理定理

2. 定解条件：初始条件及边界条件 （四） 解方程的方法

1. 分离变量法（有界区域内）

2. 行波法（针对波动方程，无界区域内） 3. 积分变换法（Fourier变换Laplace变换）

Fourier变换:针对整个空间 奇：正弦变换 偶：余弦变换 Laplace变换：针对半空间 4. Green函数及基本解法 5. Bessel函数及Legendre函数法

例一：在弦的横震动问题中，若弦受到一与速度成正比的阻尼，试导出弦阻尼振动方程。

解：建立如图所示的直角坐标系，设位移函数为U（x,t）,取任意一小段△x进行受力分析，由题设，单位弦所受阻力为b Ut（b为常数），在振动过程中有△x所受纵向力为：（T2COSa2-T1COSa1）横向力为：（T2SINa2-T1SINa1-b Ut(x+n△x））(0

T2COSa2-T1COSa1=0，T2SINa2-T1SINa1-b(x+n△x)Ut=p Utt(x+n△x)△x 在小的振动下SINa1≈TANa1=Ux(x,t), SINa2≈TANa2=Ux(x+△x,t), COSa2≈COSa1≈1,T=T1=T2.(ρ是密度)

即(T/ρ)[ Ux(x+△x,t)- Ux(x,t)]/ △x-(b/ρ) Ut(x+n△x，t) 即令△x?0时有：Utt+ aUt=a2Uxx

例二：设扩散物质的源强（即单位时间内单位体积所产生的扩散物质）为F（x,y,z,t），试导出扩散方程。

解：设U（x,y,z,t）为粒子的浓度（单位体积内的粒子数），在空间内画出一个立方体，体积△V=△X△Y△Z,考虑在△t内△V内的粒子流动情况。 由扩散定律知：

流入X方向的流粒子数为：[qx(x,t)- qx(x+△x,t)] △t△y△z, 流入Y方向的流粒子数为: [qY(y,t)- qY(y+△y,t)] △t△x△z, 流入Z方向的流粒子数为: [qz(z,t)- qz(z+△z,t)] △t△x△y. 而源强产生的粒子数为：F（x,y,z,t）△t△x△y△z. 由质量守恒定律为：

[qx(x,t)- qx(x+△x,t)] △t△y△z+[qY(y,t)- qY(y+△y,t)] △t△x△z+[qz(z,t)- qz(z+△z,t)] △t△x△y+ F(x,y,z,t）△t△x△y△z= [U（x,y,z,t+△t）- U（x,y,z,t）] △t△x△y△z. 令△t△x△y△z?0时有：（＠是求偏导） -＠qx/＠x-＠qy/＠y-＠qz/＠z+ F（x,y,z,t）= Ut 由自由扩展定律得：

＠(D＠u/＠x）/＠x+＠（D＠u/＠y）/＠y+＠（D＠u/＠z）/＠z+F= Ut 若扩散粒子是均匀的： Ut= a2△U.

二．线性偏微分方程

（一）二阶线性偏微分方程 LU=a11Uxx+2a12Uxy+a22Uyy+b1Ux+b2Uy+c+f 1.主要部分：a11Uxx+2a12Uxy+a22Uyy 2.判别式△= a212- a11a22 △>0 双曲线方程 △=0 抛物型方程 △<0 椭圆方程 3.特征方程

a11（-dy/dx）2-2a12（-dy/dx）+a22=0 特征根：dy/dx=（a12±△1/2）/ a11 特征曲线：y=[（a12+△1/2）/ a11]x+C1

y=[（a12-△1/2）/ a11]x+C2

新旧变量关系：ζ=y+λ1x，η= y+λ2x 令Q=省略

例一：把方程x2Uxx+2xyUxy-3y2Uyy-2xUx+4yUy+16x4U=0改成标准形式，并判断类型。 例二：x2Uxx+2xyUxy+y2Uyy=0

例三：化简2aUxx+2aUxy+aUyy+2bUx+2cUy+U=0,并判断类型。a≠0

（二）线性偏微分方程的基本性质 1.线性迭加原理

设L为线性偏微分算子，即LU=f

若u1 u2 u3 ……un 是LU=fi 的解，则u=∑CiUi是LU=∑Cifi的解。 若u1是LU=0的通解，u2是LU=f的特解，则u= u1+u2是LU=f的一般解。

2.齐次化原理（冲量原理）

原理1：设W是方程Wtt= a2 Wxx W|t=η=0 W t|t=η=f（x,t;η）的解，则u=∫0tW（x,t;η）dη是方程Utt= a2 Uxx+ f（x,t） U|t=0=0 U t |t=0 =0的解。

原理2：W是方程Wt= a2 Wxx W|t=η=0 W t|t=η=f（x,t;η）的解，则u=∫0tW（x,t;η）dη是Ut= a2 Uxx+ f（x,t） U|t=0=0 的解。

3.特征值函数δ

δ（x-x0）={0 x≠0∫δ（x-x0）dx=1

∞ x=x0

性质：Φ（x）是连续函数，则∫δ（x-x0）Φ（x）=Φ（x0）

三．分离变量法

（一） 齐次的泛定方程和齐次的边界条件

Utt = a2Uxx ; 00 U(0,t)=U(l,t)=0; U(x,0)= Φ（x）; Ut(x,0)=Ψ（x）。

第二类齐次边界条件：Ux(0,t)=Ux(l,t)=0;

第一类与第二类的齐次边界条件：U(0,t)=Ux(l,t)=0或Ux(0,t)=U(l,t)=0。

（二） 非齐次的泛函方程的齐次边界条件

Utt = a2Uxx +f(x,t); 00 U(0,t)=U(l,t)=0; U(x,0)= Φ（x）; Ut(x,0)=Ψ（x）。

令U(x,t)=W(x,t)+V(x,t)且W满足

Wtt = a2Wxx ; 00 W(0,t)=W(l,t)=0; W(x,0)= Φ（x）;

Wt (x,0)=Ψ（x）.则V满足 Vtt = a2Vxx +f(x,t); 00

V(0,t)=V(l,t)=0;V(x,0)= 0;Vt (x,0)=0.

解W用分离变量法，解V用冲量原理。

（三） 齐次的泛定方程，非齐次边界条件

Utt = a2Uxx ; 00 U(0,t)=U1 (t); U(l,t)= U2 (t); U(x,0)= Φ（x）; Ut (x,0)=Ψ（x）.

设U(x,t)=W(x,t)+V(x,t)使得：V(0,t)= V(l,t)=0,则 W(0,t)= U1 (t),W(l,t)= U2 (t),设W(x,t)=Ax+B,则 W(0,t)=B= U1 (t), W(l,t)=Al+B= U2 (t),则（省略） （四） 非齐次的泛定方程，非齐次边界条件

Utt = a2Uxx +f(x,t); 00 U(0,t)=U1 (t); U(l,t)= U2 (t); U(x,0)= Φ（x）; Ut (x,0)=Ψ（x）.

第一步：把非齐次边界条件化成齐次的边界条件 第二步：同(三)

例一：Utt = a2Uxx ； U(0,t)=0=U(l,t);

U(x,0)=3sinx; Ut (x,0)=0. 00

例二：在矩形区域内0Uxx +Uyy =0; 0

解：设U(x,t)=W(x,t)+V(x,t)使得Vxx+ Vyy=0, V(0,y)= V(a,y)=0, V(x,0)= Bsin(πx/a),V(x,b)=0;

同时Wxx+ Wyy=0, W(0,y)= Ay(b-y), W(a,y)=0, W(0,x)= W(b,x)=0. 答案省略~

例三：求解方程

Utt = a2Uxx +bshx; U(0,t)= U(l,t)=0; U(0,x)= U t(0,x)=0。 例四：长为l,两端固定的弦线在单位长度的横向力

f(x,t)=g(x)sinwt的作用下做摆动，已知弦的初始位移和速度分别为Φ(x),Ψ(x)求其振动规律。 解：设位移分布函数为U(x,t)且满足： Utt = a2Uxx +g(x)sinwt; 00 U(0,t)= U(l,t)=0; U(0,x)= Φ(x); U t(0,x)= Ψ(x).

解方程，设U(x,t)=W(x,t)+V(x,t)且 Vtt = a2Vxx ;V(0,t)= V(l,t)=0; V(0,x)= Φ(x);V t(0,x)= Ψ(x).

W满足：Wtt = a2Wxx +g(x)sinwt; 00

W(0,t)= W(l,t)=0; W(0,x)= 0;W t(0,x)=0. 由冲量原理有： Ztt = a2Zxx; 00 Z(0,t;τ)= Z(l,t;τ)=0;

Z(0,t;τ)= 0; Z(l,t;τ)= g(x)sinwt. W(x,t)=∫t0 Z(x,t;τ)dτ 答案省略~

例五：求解矩形域上的第二类边界值问题。

Uxx +Uyy =0； 0

四．行波法（无界区域内）

（一）公式 1.一维波动方程

Utt = a2Uxx； -∞< x<+∞;t>0. U(0,x) =Φ（x）； Ut(0,x)= Ψ（x）.

公式：U(t,x)=1/2(Φ(x+at)+Φ(x-at))+1/2a∫

x+at

x-atΨ(ξ)dξ

2.三维波动方程

Utt = a2△U； -∞< x<+∞;t>0. U(0,M) =Φ（M）； Ut(0,M)= Ψ（M）.

公式：U=1/4πa2[﹫[∫∫Φ（M’）/t]/﹫tds+∫∫Ψ（M’）/tds] 3.二维波动方程

Utt = a2△U； -∞< x<+∞;t>0. U(0,M) =Φ（M）； Ut(0,M)= Ψ（M）。 U=(省略) （二）基本类型

1.使用奇延拓将问题转化到整个空间内 Utt = a2Uxx； 0< x<+∞;t>0. U(0,t)=0;(端点固定) U(0,x) =Φ（x）； Ut(0,x)= Ψ（x）

延拓：x≥0时，Φ(x)=Φ(x),x<0时，Φ(x)=-Φ(-x)； x≥0时，Ψ(x)= Ψ(x),x<0时，Ψ(x)=-Ψ(-x)。 2.使用偶延拓将问题转化到整个空间内 Utt = a2Uxx； 0< x<+∞;t>0. Ux(0,t)=0;(端点自由) U(0,x) =Φ（x）； Ut(0,x)= Ψ（x）

I=1/2π∮|z|=11/(bz2-2az-b)dz =(1/a2+b2) 1/2

例三． 证明（1）J2(x)= J’’0(x)-1/x J’0(x) (2) J3(x)+3 J’0(x)+4J(3)0(x)=0

证明：（1）因为J’0(x)=- J1(x)且有2 J’n(x)= Jn-1(x)- Jn+1(x) 则J’1(x)=1/2[J0(x)- J2(x)] (2n/x)Jn(x)= Jn-1(x)+Jn+1(x)

-(1/x) J’0(x)= (1/x)Jn(x)=1/2[J0(x)+ J2(x)]则

J’’0(x)-1/x J’0(x)= -（1/2）[J0(x)- J2(x)]+ 1/2[J0(x)+ J2(x)] = J2(x)

（2）J(3)0(x)= -（1/2）[J0(x)- J’2(x)]

=-（1/2）[-J1(x)-（1/2）[J0(x)- J2(x)]] =(3/4) J1(x)-(1/4)J2(x) 则J3(x)+3 J’0(x)+4J(3)0(x)

= J3(x)-3J1(x)+4[(3/4) J1(x)-(1/4)J2(x)]=0.

八．Legendre函数及表现形式

（一）Legendre方程及方程的解 （二）Legendre函数及性质 1. Legendre函数及表现形式 2. Legendre函数的母函数 3. Legendre函数的递推关系

（三）Legendre函数的正交性及广义的傅氏级数

1. Legendre函数的正交性 2. Legendre函数的模 3. Legendre函数的傅氏级数 例一．计算积分∫-1x2Pl(x)Pl+2(x)dx 解：由递推关系式：

xPl(x)=(1/2l+1)[(l+1)Pl+1(x)+lPl-1(x)] xPl+2(x)=(1/2(l+1)+1)[(l+3)Pl+3(x)+(l+2)Pl+1(x)] 则I=(1/(2l+1)(2l+5))∫-1[(l+1)Pl+1(x)+lPl(x)]dx =2(l+1)(l+2)/(2l+1)(2l+5)2 例二．I=∫-1Pl(x)dx.

法一.由（2l+1）Pl(x)= P’l+1(x)- P’l-1(x) I=∫-1{1/(2l+1）-[ P’l+1(x)- P’l-1(x)])dx =1/(2l+1）[Pl+1(1)- Pl+1(-1)- Pl-1(1)+ Pl-1(-1)] 而Pl(1)=1，Pl(-1)=（-1）Pl(1)则： I=0 l≠0;I=2,l=0.

法二. I=∫-1Pl(x)dx=∫-1P0(x)Pl(x)dx 则I=0 l≠0;I=2,l=0.

例三.证明(x-1)P’l(x)=lx Pl(x)-l Pl-1(x)(积分) 证明：因为d[(x-1)P’l(x)]/dx+l(l+1)Pl(x)=0 则(x-1)P’l(x)|x1= l(l+1) ∫1 Pl(x)dx,

又（2l+1）Pl(x)= P’l+1(x)- P’l-1(x)，且Pl(1)=1代入有： (x-1)P’l(x)=lx Pl(x)-l Pl-1(x)即证。

2

2

x

2

2

1

1n

1

1

1

1

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/mxna.html