(完整word)高等代数在几何中的应用

高等代数的相关理论在几何上的应用

班级：经数1401 学号：20140236 姓名：石凯

内容摘要：本文主要研究矩阵、行列式与Cramer法则在判别直线、平面与线面位置关系时的应用以及如何用行列式表示直线或平面方程．还应用线性方程组的理论得到了解析几何中的几个简单命题，从而疏通了高等代数与解析几何的内在联系，并体现出代数学与几何学相互渗透，相互影响的本质关系,能够使学习者在具体的几何背景下直观地接受代数方法．

关键词：矩阵；行列式；Cramer法则；线性方程组；对称变换

1.导言

高等代数这门课程内容充实，逻辑严密，是现代数学、物理、工程、经济等学科的基础．而高等代数作为其它学科的基础，其内容与基本理论和方法必然有着广泛的应用．如一般性思想方法、抽象性思想方法、公理化思想方法、初等变换的思想方法、辩证思维的思想方法和关系映射反演思想方法等．

“高等代数”与“解析几何”作为高等院校数学专业的两门重要基础课程，它们既各具特点不能相互取代，又存在着天然的内在联系，主要表现在它们的内容上有许多重叠和相互依赖，相互支撑的部分．它们之间存在着密切的联系，这种关系可以归结为“代数为几何提供研究方法，几何为代数提供直观背景[2]”．目前,将这两门课程进行合并教学的探索纷纷在多所高等院校展开，并且这个思路也一直是许

多高等院校教学改革的一个热门课题．

在当今日趋激烈的课程改革进程中，有的高校主张，将高等代数与解析几何两门课程进行整合，二课合一，课程内容以代数为主线，把行列式、线性空间，欧式空间放在前几章，以使充分利用线性代数工具解决集合问题．学生刚开始接触到行列式、线性空间这些抽象内容时，感到深奥、难理解，引入解析几何的内容与相关问题时，把代数与几何充分结合起来，学生就会感到具体多了，很容易明白，便于对代数知识的理解，而对解析几何来说，由于有了充分的高等代数知识作准备，面对具体几何问题便会得心应手，迎刃而解了[3]．

总的来说，如果单单运用解析几何知识来解决几何问题，舍弃高等代数知识而作为唯一的解决方案来源，不仅运算过程中计算量比较大，且化简过程繁琐，不利于学者发挥主体性和创造性[8]．但是，有了高等代数作为解决几何问题的又一知识来源,不仅可以简化解决问题的过程，而且可以帮助学者更好地发挥创造性与能动性．

2.高等代数在解析几何中的应用

2.1 判别平面、直线位置关系[9]

直线和平面是解析几何中最基础的内容，那么，毫无疑问，它们之间位置关系的判别也是解析几何研究中的基础．但是，大多数解析几何教材给出的判别方法针对的都是直线与平面的对称式方程与点法式方程，且运用到的高等代数中的工具是行列式．本节将运用矩阵及其秩来对平面和直线的位置关系作出判断．

2.1.1 平面位置关系判别

两个平面有三种位置关系，即相交，平行，重合．以下用高等代数方法可轻松判别两平面位置关系．

定理1 设两个平面方程为

111112222200A x B y C z D A x B y C z D ∏+++=∏+++=：： 则

1 平面1∏与2∏平行 11112222

==()2,()1A B C D r A r A A B C D ?≠?==； 2 平面1∏与2∏重合 11112222

==()1,()1A B C D r A r A A B C D ?=?==； 3 平面1∏与2∏相交 111222::::()2,()2A B C A B C r A r A ?≠?==．

其中,111222A B C A A B C ??= ???,11112222A B C D A A B C D -??= ?-??

． 证明 应用代数知识，考虑由平面1∏与2∏的方程构成的线性方程组

11112222

00A x B y C z D A x B y C z D +++=??+++=? (1) 的解．由1()2r A ≤≤，而()()2r A r A ≤≤．所以有：

1 平面1∏与2∏平行?方程组(1)无解，亦即1∏与2∏无公共点?()()r A r A ≠， ()r A =2，()1r A =．由()1r A =，可设111222

==A B C k A B C =．那么0k ≠且对A 作初等行变换得

1

111121000A B C D A D D k -?? ?= ?- ??

? 又由()2r A =，有

1210D D k -≠，从而11112222==A B C D A B C D ≠． 2 当且仅当12D k D =，即11112222

==A B C D A B C D =时,()()1r A r A ==，这时方程组(1)有无

穷多解并且只有一个独立的方程．平面1∏与2∏重合，即结论2成立． 3 若111222::::A B C A B C ≠，那么A 的行向量线性无关，从而()()2r A r A ==，这时方程组(1)有无穷多解并且有两个独立的方程．平面1∏与2∏相交于一条直线． 例 1 求过点(4,1,3)及平面1:20x y z π+--=与平面2:3530x y z π+--=交线的平面π的方程．

解 由所求平面经过点(4,1,3)，可设平面方程为(4)(1)(3)0A x B y C z -+-+-=．

又因平面π与平面1π，2π相交于一条直线，则由定理1可知，线性方程组

203530(4)(1)(3)0x y z x y z A x B y C z +--=??+--=??-+-+-=?

有无穷多解，即()()2r A r A ==． 其中，1111112351,351343A A A B C A B C A B C --???? ? ?=-=- ? ? ? ?++????

． 而11121112351302234315002322A A B C A B C C B A C A B ?? ?--?? ? ?=-→- ? ? ? ?++??-+++ ???

． 所以有20153022

C B A C A B -+=???++=??，得111A B C ==-，则所求平面方程为 (4)(1)(3)0x y z -+---=20x y z ?+--=．

2.1.2 直线位置关系判别

两直线通常有4种位置关系，即相交，重合，平行与异面．以下同样是应用矩阵的秩来判别．

定理 2 判别两直线1111122220:0A x B y C z D L A x B y C z D +++=??+++=?3

33324444

0:0A x B y C z D L A x B y C z D +++=??+++=?的位置关系的充要条件为：

1 相交()()3r A r A ?==；

2 重合()()2r A r A ?==；

3 平行()3()2r A r A ?==，；

4 异面()4()3r A r A ?==，． 其中11111112

22222233333334444444,A B C A B C D A B C A B C D A A A B C A B C D A B C A B C D -???? ? ?- ? ?== ? ?- ? ?-????

． 证明 1L 与2L 的相关位置取决于线性方程组

1111222233334444000

A x

B y

C z

D A x B y C z D A x B y C z D A x B y C z D +++=??+++=??+++=??+++=? 的解的情况． 记A 的行向量为1234,,,αααα，A 的行向量记为1234,,,αααα，A ，A 分别表示这个线性方程组的系数矩阵与增广矩阵．注意到()()r A r A =或()()1r A r A =+，而2()3r A ≤≤．

当()2r A =时，有以下几种情况： ①()2r A =，此时方程组有无穷解，且1L 与2L 的方向向量共线，表明1L 与2L 重合； ②()3r A =，此时线性方程组无解，且1L 与2L 的方向向量共线，表明1L 与2L 平行． 当()3r A =时，有以下几种情况： ①()3r A =,此时线性方程组有唯一解，表明1L 与2L 相交；

②()4r A =,此时线性方程组无解且1L 与2L 的方向向量不共线，表明1L 与2L 异面．

例2 判别下面直线的位置关系．

2503510x y z x y z ++-=??++-=?与8323052750

x y z x y z +-+=??++-=? 解 由1125112502514351161007883232863527500061A ?? ???-- ? ? ? ?=→-- ? ?-- ? ? ???- ???知，()3,()4r A r A ==，根据 定理2知，两直线异面．

2.1.3 线面位置关系判别

空间直线与平面有3种位置关系：相交、平行、直线在平面上．利用高等代数来刻画这3种位置关系同样可以使解析几何的有关问题大大简化．

定理3 直线111122220:0

A x

B y

C z

D L A x B y C z D +++=??+++=?与平面:0Ax By Cz D π+++=的位置关

系：

1 相交()3,()3r A r A ?==；

2 平行()3,()2r A r A ?==；

3 直线L 在平面上()2,()2r A r A ?==． 这里，1111111222222

2,A B C A B C D A A B C A A B C D A B C A B C D -???? ? ?==- ? ? ? ?-????

．

证明 直线L 与平面π的位置关系取决于线性方程组

11112222000A x B y C z D A x B y C z D Ax By Cz D +++=??+++=??+++=?

的解的情况．

记这个线性方程组的系数矩阵与增广矩阵分别记为A 与A ，则2()3r A ≤≤，2()3r A ≤≤．

当()3r A =时，只有()3r A =一种情况，此时，线性方程组有唯一解．这表明L 与π相交．

当()2r A =时，有2种情况： ①()2r A =时，此时线性方程组有无穷多解，即直线L 与π有无穷多交点．表明L 在平面π上； ②()3r A =时，此时，线性方程组无解，即直线L 与平面π无交点，表明L 与π平行．

例3 求过直线:L 2204310

x y z x y z ---=??-+-=?且与平面:π260x y z +++=平行的平面方

程．

解 设所求平面α的方程为0Ax By Cz D +++=,因为平面π与α平行，所以有11A B =26

C D =≠，因此此处不妨假设,,2A m B m C m ===，那么平面α的方程可以写为20mx my mz D +++=(0)m ≠．又因为L 在平面α上，根据定理3，可知方程组

220431020x y z x y z mx my mz D ---=??-+-=??+++=?

有无穷多解，即()()2r A r A ==．

121212124131077720332A m m m D m m D m ----???? ? ?=-→- ? ? ? ?---????

因此有7732m D m

-=--，所以有D m =．因此平面α的方程为 210x y z +++=．

通过以上介绍的几个简单定理和几道例题，可以看出利用矩阵及其秩方法不仅大大减少了计算量，而且掌握了上述方法以后有利于原有知识和方法的迁移，活跃

了解题思维，丰富了解题经验．对于初学高等代数与解析几何的广大学生来说，有利于建立两门课程之间更广、更深的联系，有利于拓展知识，形成技能，发展能力．

2.2 Cramer 法则在解析几何中的应用

解析几何中经常会碰到这类问题，比如给定若干个点求过这些点的曲线或者曲面方程．解这类题时,有时候思路会局限于使用基本的代数方法．本节会将Cramer 法则引入这类问题的解法中，用行列式表示所求曲面或曲线的方程．这种解法思路比较清晰，只须牢固掌握Cramer 法则以及线性方程组解的理论即可轻松解决这类问题．

1 多点确定的曲线方程

平面上的二次曲线方程的一般方程为

221234560a x a xy a y a x a y a +++++= (2)

其中，1a ，2a ，3a ，4a ，5a 不全为0．要求通过五个不同的点()11,x y ，()22,x y ，

()33,x y ，()44,x y ，()55,x y 的曲线方程．将这五点代入(2)，得到五个方程并与(2)

联立得到线性方程组

221234562211

21131415162212222324252622

132333343536221424434445462215

2553545556000

000a x a xy a y a x a y a a x a x y a y a x a y a a x a x y a y a x a y a a x a x y a y a x a y a a x a x y a y a x a y a a x a x y a y a x a y a ?+++++=?+++++=??+++++=??+++++=?+++++=+++++=???? (3) 把1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，6a 看作未知量，这是关于它们的一个齐次线性方程组，由于它有非零解，其系数行列式必为0，即

22221111112222222222333333224444442

2

555

55

51

110111

x xy y x y x x y y x y x x y y x y x x y y x y x x y y x y x x y y x y = (4)

此即为所求的二次曲线方程[10]．

易知，当1230a a a ===时，方程变为平面上的直线方程4560a x a y a ++=，用

上述方法可以求出过两不同点()11,x y ，()22,x y 的直线方程为1

12

21

101

x

y

x y x y =． 例 4 平面上通过横坐标互不相同的n 个点(,)(1,2,,)i i i P x y i n =L 的曲线

210121n n y a a x a x a x --=++++L 有且仅有一条[11]．

证明 把n 个点的坐标带入曲线方程210121n n y a a x a x a x --=++++L ，得到含n 个方程n 个未知量的非齐次线性方程组及其系数行列式D ：

21101121112120122212

210121n n n n n n n n n n

y a a x a x a x y a a x a x a x y a a x a x a x ------?=++++?=++++??

?

?=++++?L L L L L 2111121

22221

111n n n n

n n x x x x x x D x x x ---=

L

L M M M

M L

将0a ，1a ，2a ，L ，1n a -看作未知量，系数行列式D 是n 阶范德蒙德行列式，由于

(1,2,,)i x i n =L 互不相同，所以0D ≠，依据Cramer 法则，上述方程组有唯一解，

故通过(,)(1,2,,)i i i P x y i n =L 的曲线210121n n y a a x a x a x --=++++L 有且仅有一条，

21312

n n D D D D y x x x D D D D

-=

++++L ，其中(1,2,)j D j n =L 是用方程组的常数项代替系数行列式中的第j 列元素后得到的n 阶行列式．

例5 过平面上不共线的三点(,)(1,2,3)i i i P x y i =的圆的方程为

2222

11112

2

222222

333

311

011

x y x y x y x y x y x y x y x y ++=++． 证明 设圆的方程为220x y Ax By C ++++=，把三个点的坐标代入圆的方程，得含3个方程3个未知量的非齐次线性方程组及其系数行列式D

221111222222223

333000

x y Ax By C x y Ax By C x y Ax By C ?++++=?

++++=??++++=?

D =112

23

3111

x y x y x y 将A ，B ，C 看作未知量，由1P ，2P ，3P 不共线以及可知0D ≠，所以上述方程组有唯一解，

221112222222333()1()

1()

1

x y y x y y x y y A D

-+-+-+=

,22111222

22223

33()1()1()1

x x y x x y x x y B D

-+-+-+=

,221111222

222223

3

33()()()x y x y x y x y x y x y C D

-+-+-+=

代入220x y Ax By C ++++=，整理得：

2222221

11111111111

222222222

222222222222222223

3333333333

3

1()1()1()()1()1()1()01

()

1

()

1

()

x y x y y x y x x y x y x y x y x x y y y x y x x y x y x y x y y x y x x y x y ++++-+++-+=+++即

2222111122222222

333

311

011

x y x y x y x y x y x y x y x y ++=++． 2 多点确定的曲面方程

设通过空间中不在同一个平面上的四个点()111,,x y z ，()222,,x y z ，()333,,x y z ， ()444,,x y z 的球面方程为

22212345()0a x y z a x a y a z a ++++++= (5)

得到关于1a ，2a ，3a ，4a ，5a 的齐次线性方程组

22212345222111121314152221222223242522213

33233343522214442434445()0()0()0()0()0

a x y z a x a y a z a a x y z a x a y a z a a x y z a x a y a z a a x y z a x a y a z a a x y z a x a y a z a ?++++++=?++++++=??++++++=??++++++=??++++++=? (6) 由(6)有非零解得到球面方程为

222

222

111111222

222222222

333333222444444110111

x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z ++++=++++++． (7) 表示曲线或曲面的方程，虽然只是给出了几个常见的曲线和曲面的求法，但是，这种方法比较系统，容易举一反三．所以，这种方法一经掌握，关于这种类型的题目便可迎刃而解了．

2.3 二次曲面和平面位置关系

判别二次曲面和平面位置关系之前，首先先给出球面与平面的位置关系判别方法，然后经过射影变换，来判别二次曲面和平面的位置关系．

2.3.1 球面与平面位置关系的判别

设有球面

222222x y z ax by cz d +++++= (8)

和平面的法式方程

cos cos cos 0x y z p αβγ++-= (9)

考虑此球面方程系数行列式的加边行列式

1

00cos 010cos 001cos cos cos cos 0

a b c a b c d p p

αβδγα

β

γ

=

--- 整理得

222

2221

0000010000010

cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos a b c d a b c p a b c p a b c δαβγα

β

γ

αβγ

αβγ

=

---------------

由于(9)式是空间平面的法式方程，而且球面(8)的球心坐标为(,,)a b c ---，所以

cos cos cos p a b c αβγ----是球心到此平面的距离．而222d a b c +++是球面(8)的半径的平方，且222cos cos cos 1αβγ++=，故

2222(cos cos cos )d a b c p a b c δαβγ=+++----- 是截线圆的半径的平方．由此可得：当0δ>时，球面与平面相交；

当0δ=时，球面与平面相切；

当0δ<时，球面与平面相离．

若平面方程是一般式0Ax By Cz D +++=，两边乘以法化因子K ，则化为法式方程(9)．所以

参考文献

[1]宋杰.《高等代数》课程中的若干数学思想方法[J]．韶关学院学报,2009,30(3)：134～136．

[2]倪淑琪,徐天长,李会葆,舒阿秀,郝庆一.《高等代数》与《解析几何》二课合一问题研究[J]．安庆师范学院学报,2007,13(4)：102～103．

[3]郁金祥.解空间结构与几何空间中线面关系的判定[J].高师理科学刊,2005,25(4)：76～79．

[4]李立,汪淑奇.弯管设计的空间解析几何方法[J].长沙电力学院学报(自然科学

版),1998,13(4)：414～416．

[5]肖生发.用空间解析几何法求解环叉式万向节的附加力矩[J].湖北汽车工业学院学

报,2001,15(1)：1～3．

[6]刘自娟,郭志民.用空间解析几何法绘制矿脉迹线[J].黄金地质,2006,6(2)：77～79．

[7]张圣云,杨仕才,王连柱.空间解析几何法天体定位精度分析[J].天津航海，2004,6(2)：10～12．

[8]吴捷云.行列式在解析几何中的应用[J].考试周刊,2013,8(46)：57～58．

[9]胡源艳,梁燕来,易亚利,凌征球.巧用代数方法解决解析几何中的某些问题[J].玉林师范学院学报,2011,32(2)：42～45．

[10]马艳琴.代数与几何结合的应用问题研究[J].山东轻工业学院学报,2012,26

(2)：85～89．

[11]杨先山.Cramer法则在解析几何中的应用研究[J].长江大学学报,2012,9(12)：6～8．

[12]张达,周琼.对称变换法在解析几何中的应用[J].宁德师专学报,2002,14(2)：119～121．

[13]程涛.利用对称变换求二次曲线的切线[J].数学通报,1994,12(6)：40～41．

[14]王微.二次曲面和平面位置关系的判式[J].大学数学,2008,2(6)：173～176．

[15]韩凌燕.二次型化简二次曲线的探究[J].山东科学,2008,21(2)：52～54．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/mxme.html