2011高中数学常用公式和结论

第一章 集合与简易逻辑

考试内容：

集合、子集、补集、交集、并集。

逻辑联结词、四种命题、充分条件和必要条件。 考试要求：

(1)理解集合、子集、补集、交集、并集的概念，了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义，掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合。

(2)理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，理解四种命题及其相互关系，掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义。 一、集合的概念与运算 1．集合

（1）集合是不定义的概念：①任意性；②确定性；③互异性；④无序性 （2）表示法：列举法、描述法

????N?Z?Q?R?C （3）特殊符号： N*??（4）分类：有限集、无限集、空集（?） 2．子集、真子集

（1）A?B?对于任意x?A?x?B

A?B?A?B?且存在b?B，b?A

（2）??A，A?A（子集包含空集与本身）

1nnn???Cn?2，有2?1个真子集，有（3）?a1,a2,?,an?子集个数是Cn0?Cn2?1个非空子集，有2?2个非真空子集。

nn（4）A?B?A?B且B?A

1

3．交集、并集、补集

（1）A?B??xx?A且x?B? （2）A?B??xx?A或x?B? （3）CuA??xx?u且x?A? （4）A?B?A?B?A?A?B?B

（5）容斥原理card（A?B）=card（A）+card（B）—card（A?B） （6）Cu??u， Cuu??

（7）反演律 Cu(A?B)?CuA?CuB,Cu(A?B)?CuA?CuB （8）韦恩图

二、绝对值不等式、二次不等式的解法

1．f(x)?a??a?f(x)?a f(x)?a?f(x)?a或f(x)??a

a?f(x)?b?a?f(x)?b或?b?f(x)??a f(x)?g(x)??g(x)?f(x)?g(x) f(x)?g(x)?f(x)?g(x)或f(x)??g(x)

0a>0）2．二次不等式ax2?bx?c?或?（ ??0

??0

x?x0或?2

??0R

x?x2或x?x1，x1?x?x2

或?

3．有理不等式——序轴标根法

(x?x1)(x?x2)?(x?xn)?0?0(x?x1)(x?x2)?(x?xm)?0(x?xm?1)???(x?xn)?0

4．不等式恒成立

?a?0（1）ax?bx?c?0恒成立（对于x?R）?????02?a?b?0或?

c?0?（2）f(x)?ax?b?0对于x?[?,?]恒成立??（3）f(x)?m恒成立?m?f(x)?f(?)?0?f(?)?0

min f(x)?m恒成立?m?f(x)max三、逻辑联结词，四种命题，充要条件 1．命题：可以判断真假的语句 2．逻辑联结词：或，且，非

3．简单命题：不含逻辑联结词的命题

4．复合命题：由简单命题和逻辑联结词构成的命题 5．真值表：

p √ √ × ×

q √ × √ × 非p × × √ √ 3

p且q √ × × × p或q √ √ √ × 非q × √ × √ 6．正面词：?否定：??? 一定是 都是 ? 是 至多一个 至少一个

? 不是 一定不是 不都是 至少2个 一个也没有

正面词：任何 所有 至多有n个 至少n个 任意2个 p或q p且q 否定：某个 某些 至少有n+1个 至多n-1个 某2个 非p且非q 非p或非q 7．四种命题：

原命题：p?q 否命题：?p?? 逆命题：q?p

??q 逆否命题：q?p

原命题?逆否命题，逆命题?否命题

?逆命题真 原命题真???8．反证法：至多、至少问题、不可能问题 9．充要条件：A是B的 （1）充分不必要条件：A?B ???B （2）必要不充分条件：A??（3）充要条件：A?B

?B （4）既不充分也不必要条件：A???注：①倒装句：A的充分不必要条件是B?B是A的充分不必要条件

A的必要不充分条件是B?B是A的必要不充分条件

②集合观点：A??B?A是B的充分不必要条件

B??A?A是B的必要不充分条件

4

第二章 函数

考试内容：

映射、函数、函数的单调性、奇偶性。 反函数、互为反函数的函数图像间的关系。

指数概念的扩充、有理指数幂的运算性质、指数函数。 对数、对数的运算性质、对数函数。 函数的应用。 考试要求：

(1)了解映射的概念，理解函数的概念。

(2)了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法。

(3)了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数。

(4)理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质。

(5)理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图像和性质。

(6)能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题。 一、映射与函数 1．映射：f:A?B （1）f：一对一或多对一 （2）A中每个元素都有象

（3）B中的某些元素允许没有原象

2．一一映射：f一对一，B中每个元素都有原象

5

(4)an?0,?an?是等比数列??logaan?是等差数列 an是等差数列?ca??是等比数列

n12n(5)m?n?p?q?am?an?ap?aq（等差）.aman?apaq（等比）

(6)?an?是等差数列(等比).k1,k2,.?kn?.是等差数列?ak,ak,?ak?也是等差数列(等比)

(7)?an?是等差数列(等比).则sn,s2n?sn,s3n?s2n,?也是等差(等比) 4.主要题型

(1)用基本量解题,而把问题化归为a1d(q)解题 (2)在等差数列中,已知

sn?sn,求

anbn?a1?a2n?1b1?b2n?1?s2n?1?n?1s2

(3)在等差数列中求sn??a1?a2?...?an??a1?a2?......?am?am?1?...?an (4)求sn最值(等差数列中)

?an?0?an?0a1?0,d?0：?则sn(sn?1)最大，a1?0,d?0：?则sn(sn?1)最小

a?0a?0?n?1?n?1(5)奇偶项问题

1. 当n?2k时,a1?a3?...?a2k?1?s奇?a1?a2k?12a2?a2k2?k?ak?k

a2?a4?...?a2k?s偶??k?ak?1?ks偶?s奇?kds偶?s奇?snakak?1a1?a2k?12?s

s奇偶2.当n?2k?1时,a1?a3?...?a2k?1?a2k?1?s奇?(k?1)

a2?a4?...?a2k?s偶?a2?a2k2?ks奇s偶?k?1ks奇?s偶?ak?1?a中

16

七.数列求和 1.公式法

(1)12?22?32?...?n2?333n(n?1)(2n?1)62

n(n?1)422(2) 1?2???n?(1?2???n)?2.拆项法

(1)拆项后用公式：如1?2?2?3?...?n(n?1) (2)拆项消去法

1n(n?k)1n(n?1)(n?2)n?1n?122?122111?? (?)

1?2?3?...?nnn?1knn?k??1?11???2?n(n?1)(n?1)(n?2)??1?1n?1?1n?11n?1?2n?1(n?1)n?22?1n2?1(n?1)2

?1?2n?12nn?1?n3.错位相减法

sn?a1b1?a2b2?...?anbn?an?是等差数列?bn?是等比数列

4.倒写相加法

17

第四章 三角函数

考试内容：

角的概念的推广，弧度制。

任意角的三角函数，单位圆中的三角函数线，同角三角函数的基本关系式：

sin??cos??1,22sin?cos??tan?,tan?cot??1，正弦、余弦的诱导公式。

两角和与差的正弦、余弦、正切；二倍角的正弦、余弦、正切。 正弦函数、余弦函数的图像和性质，周期函数，函数y?Asin(?x??)的图像，正切函数的图像和性质，已知三角函数值求角。

正弦定理、余弦定理、斜三角形解法。 考试要求：

(1)了解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算。 (2)理解任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同角三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，了解周期函数与最小正周期的意义。

(3)掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。

(4)能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。 (5)理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y?Asin(?x??)的简图，理解A、ω、φ的物理意义。

(6)会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsin x、arccos x、arctan x表示。

(7)掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。 一、角的概念

1．推广、正负角、任意角、逆向（时针）为正

18

2．与?终边相同的角 2k???，k?Z 3．终边在y轴上的角： k???2，k?Z

终边在x轴上的角： k?，k?Z 终边在坐标轴上的角： k2?，k?Z

4．象限角

5．弧长公式l???R 6．扇形面积公式s12扇?2lR?12??R

7．弧度制??180?,1????180,1?180??57?18'二．三角函数的定义

1.sin??yr?MP2.cos??xr?OM

3.tan??yx?AT4.cot??xy?BS

19

三、符号

四、比大小

1．同角不同名——三角函数线 2．同名不同角——单调性 3．?是锐角 4．右图 五、同角公式

?sin??cos??1?平方?1?tan2??sec2?

22??1?cot??csc?22?????

sin??tan???tan?cot??1?cos???倒数?sin?csc??1 商数?

cos????cos?sec??1cot???sin??1?sin??cos?21?cos??sin?1?sin?1?sin??1?sin?cos?22

1?cos?1?cos??1?cos?sin?(sin??cos?)?1?sin2?

六、诱导公式：奇变偶不变，符号看象限

sin(???)??sin?cos???????cos?3tan（???）=tan?cos(如：

sin(???)??cos?sin(???）??cos?223?2

??)??sin?七、特殊角的三角函数值

20

sin?0 ?6 ?4 ?3 ?2 01222 2212 1 cos? 1 32 1 22 30tan? 0 33 ?八、三角公式 1、和差角公式

sin????cos??????sin???cos??cos?sin?cos?cos??sin?sin?tan??tan?1?tan?tan?tan(???)?

tan??tan??tan(???)(1?tan?tan?)asin??bcos??a?bsin?????222、倍角公式 万能公式

sin2??2sin?cos??2tan?1?tan?22

2cos2??cos??sin??2cos??1?1?2sin??221?tan?1?tan?22

tan2??2tan?1?tan?32

cos??4cos??3cos?33sin3??3sin??4sin?3、半角公式，升降幂公式

21

sin?22??1?cos?222cos2?2??1?cos?222tan?2??1?cos?1?cos??1?cos?sin??sin?1?cos?sin??1?cos2?cos??1?cos2?1?cos??2cos?21?cos??2sin?24、积化和差，和差化积公式

sin??sin??2sin???22cos???2sin??sin??2sin???2cos???2cos??cos??2cossin?cos??12???cos???2cos??cos???2sincos?cos??12???2cos???2[sin(???)?sin(???)]12[cos(???)?cos(???)][cos(???)?cos(???)]sin?sin???九、三角解题思路

1、遇平方降幂 (sinxcosx?2、遇1?cos?,1?sin?升幂 3、遇积化和差 4、遇和差化积

5、遇asin??bcos?合一a2?b2sin(???) 6、遇弦的齐次式化切 7、遇切?切，1?切切化弦 8、变角：???????9、cos360cos720?十、三角函数图象 1、图象与性质

141?tan?1?tan??tan(??12sin2x)

?4)sin(?4??)?cos(?4??)

22

y?sinx y?cosx y?tanx x?k??定义域 值域 奇偶性 周期 单调区间 R [-1，1] 奇 2?[?R [-1，1] 偶 ?2?2k?,?2，k?Z R 奇 2? 2? 22?2?2k?]??? [2k?,2k???]? (??k?,?k?) [2k???,2k?]? k?Zk?Z[?2?2k?,3?2?2k?]? k?Z 2、三角函数图象 （1）五点法作y?Asin(?x??)的简图。

x x1 x2 x3 x4 32x52? ?x?? 0 0 ?2 ? ? y A 0 -A 0 （2）图象变换

23

?①y?sinx?????y?sin(x??)??????y?sin(?x??)

左右平移?横坐标变为原1???????y?Asin(?x??)纵坐标变为原A倍②y?sinx?y?sin?x?y?sin?(x?③T?2?|?|?|?|?2?T??)?y?Asin(?x??)

2A?ymax?ymin ????x0

十一、三角函数常见题型 1、求定义域

2、求周期（最小正周期）

（1）y?Asin(?x??),y?Acos(?x??)T?2??

（2）y?Atan(?x??),y?Acot(?x??)T???（3）y?Asin(?x??),y?Acos(?x??)T???

（4）y?Atan(?x??),y?Acot(?x??)2?T???（5）y?Asin(?x??)?B,(B?0)T??

??（6）y?Atan(?x??)?B,(B?0)T?注：y?sinx2,y?sinx不是周期函数

24

3、求单调区间：①确保x系数为正；②让角进入单调区间 4、奇偶性判断：先看定义域是否对称

5、求对称轴：y?Asin(?x??), 令?x???k???2?x?x0

y?Acos(?x??) 令 ?x???k??x?x06、求对称中心 ： y?Asin(?x??)?B, 令?x???k??x?x0，

y?Atan(?x??)?B,(B?0)，令?x???k?2?x?0x，则对称中心是

。 (x0,B)7、不等式，利用三角函数图象。

8、比较三角函数值大小，同名用单调性，同角用单位圆（三角函数线） 9、值域、最值问题，解题思路，化成同名同角形式。 （1）利用有界性，sinx?1①y?asinx?b ②y?asinx?bcosx （2）换元法

③y?asin2x?bsinx?c

④关于sinx?cosx,sinxcosx的函数f(sinx?cosx,sinxcosx) 令sinx?cosx?t则sinxcosx?t?1?22cosx?1

⑤遇1?x2可令x?cos?0????则 1?x2?sin? ⑥y?atanx?btanx?cdtanx?etanx?f22 令tanx?t 用??0法

（3）不等式法

⑦ sin2?cos??sin2?sin2?cos2? （4）反求法

25

⑧ y?asinx?bcsinx?d

（5）斜率法

⑨ y?asinx?bccosx?d

（6）利用单调性

十二、已知三角函数值求角

1、步骤（1）确定角x所在的象限。（2）先找锐角?。（3）根据x所在的象限，定角。x?Ⅰ，则x??，x?Ⅱ，则x????，x?Ⅲ，则x????，x?Ⅳ，则x?2???。（4）写出通解，再找出适合条件的角。 2、反三角函数 （1） sinx?a,x?[???2,2](?1?a?1) 则x?arcsina

cosx?a,x?[0,?](?1?a?1) 则x?arccosa tanx?a,x?(???2,2) 则x?arctana

arcsin(?x)??arcsinxarccos(?x)???arccosxarctan(?x)??arctanx（2） sin(arcsinx)?xcos(arccosx)?xtan(arctanx)?xarcsin(sinx)?x(??2?x??2)

arccos(cosx)?x(0?x??)arctan(tanx)?x(??2?x??2)（3）等价关系

sin??sin??????2k?cos??cos??????2k?tan??tan???????k? 或 ????2k??? 或 ?????2k?

26

第五章 平面向量

考试内容

向量、向量的加法与减法、实数与向量的积、平面向量的坐标表示、线段的定比分点、平面向量的数量积、平面两点间的距离、平移。

考试要求

(1)理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。 (2)掌握向量的加法和减法。

(3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。

(4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。

(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。

(6)掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。 一、向量

1、即有大小又有方向的量叫向量 2、O方向是任意的

???3、单位向量a=1

????4、平行向量?共线向量 ?a//b?a,b??方向相同或相反。（注意o//a）

??5、相反向量a,?a

6、相等向量——方向相同，长度相等。

??????注：a//b,b//c??a//c????（当b?o不成立）。

二、向量的运算 1．加法

（1）平行四边形法则（共起点、对角线）

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（2）三角形法则（首尾相连，起点到终点）

??????????????????????A1A2?A2A3???An?1An?A1An

2．减法，共起点，终点指向被减数向量 3．实数与向量的积

???|?a|?|?||a|??????0时?a与a同向?（1）?a仍是一个向量?????0时?a与a反向??????0时?a与0相等?

（2）运算律 ?1(?2a)?(?1?2)a

???(?1??2)a??1a??2a??

?(a?b)??a??b

???????（3）b与非零向量a共线?有且只有一个??R，使b??a

（4）|a|?|b|?a?b?a?b 4．向量的数量积（内积）

????（1）a?b?|a|?|b|cos?????????（?是a, b夹角） 0????

??0?（2）b???2?2a?a?a?|a|

??在a上投影?|b|cos?

（3）运算律

①a?b?b?a ②(?a)?b?a?(?b)??(a?b) ③(a?b)?c?a?c?b?a

????????????但 (a?b)?c?a?(b?c) a?b?a?c??b?c?????????????????? (a?b)?0??a?o或b?o?????（可能a?b）

??a?b(4)cos?????|a|?|b|??a?b?2a?b?2 (5) |a?b|?|a|?|b|

??????三、平面向量的基本定理

e1,e2不共线，在平面内任一向量a，有且仅有唯一?1,?2?R，使

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??????????a??1e1??2e2。当e1,e2为i，j时，(?1,?2)即为直角坐标

四、平面向量的坐标运算

??????1. A(x1,y1)B(x2,y2)则AB?(x2?x1,y2?y1) 2. a?b?(x1?x2,y1?y2)

3. a?b?x1x2?y1y2 4. a?b?x1x2?y1y2?0

??5. a//b?x1y2?x2y1?0 6. cos??????x1x2?y1y2x?y2121 22x?y22xx?y1y2??7. a在b上投影12

22x2?y2五、定比分点公式

???????????AP?????AP??PB ?PB?????x1??x2?x???0P是外分点?1?? ?

?0P,A重合?y?y1??y2?1?????1P在无穷远?0P是内分点x1?x2?x3ax1?bx2?cx3x1?x2???x?x?x?GI??????3a?b?c2??1即为中点? 重心? 内心?

?y?y1?y2?y?y1?y2?y3?y?ay1?by2?cy3GI????23a?b?c??六、平移 1．点P

?x??x?h?经a?(h,k)平移得P?(x?,y?) ??y??y?k

2．f(x,y)?0经a?(h,k)平移得曲线f(x?h,y?k)?0 七、三角形的四心

????2????2????2O?OA?OB?OC 1、外心

?????2????2????2?????????????2、重心G?GA?GB?GC最小?GA?GB?GC?O

??????????3、内心I?aIA?bIB?cIC?O

????????????????????????4、垂心H?HA?HB?HB?HC?HC?HA

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????2????2????2????2????2????2HA＋BC?HB＋CA?HC＋AB

八、解斜三角形

1．?ABC中，A?B?C??

sin(A?B)?sinCcos(A?B)??cosCcosA?B2?sinC2tan(A?B)??tanCtanA?B2?cotC2（1）

sinA?B2?cosC2

sin2(A?B)??sin2Ccos2(A?B)?cos2CtanA?tanB?tanC?tanA?tanB?tanC（2）正弦定理

asinA2?bsinB2?csinC?2R(R是?ABC外接圆半径)

a?b?c2ab222（3）余弦定理 c?a?b?2abcosC cosC?2 （4）S?ABC?

12aha?12absinC?a?b?c2abc4R?pr?p(p?a)(p?b)(p?c)其中p?为半周长

（5）sinA?sinB?A?B

sin2A?sin2B?A?B或A+B?sinA?sinB?A?B?2

（6）锐角?ABC中，A?B?90??sinA?cosB,cosA?sinB,tanA?cotB 2．解题方法

（1） 边角互化 利用正余弦定理化边或化角 （2） 设角

（3） 斯特瓦尔特方法 cos??cos??0

30

第七章 直线和圆的方程

考试内容：

直线的倾斜角和斜率，直线方程的点斜式和两点式，直线方程的一般式。 两条直线平行与垂直的条件，两条直线的交角，点到直线的距离。 用二元一次不等式表示平面区域，简单的线性规划问题。 曲线与方程的概念，由已知条件列出曲线方程。 圆的标准方程和一般方程，圆的参数方程。 考试要求：

(1)理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程。

(2)掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。

(3)了解二元一次不等式表示平面区域。 (4)了解线性规划的意义，并会简单的应用。 (5)了解解析几何的基本思想，了解坐标法。

(6)掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程。

一、直线的方程 1．倾斜角 0????

????arctank???arctankk?0k?0

2．斜率k?tan??当??90?时y1?y2x1?x2??AB?f?(x0)

k不存在，但是直线是存在的

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3．直线的方程 不能表示的直线

x=m

（1）点斜式y?y0?k(x?x0)

（2）斜截式y?kx?b （3）两点式（4）截距式

y?y1y2?y1xa?yb

AB x=m x=m，y=n

x?m,y?n，过原点

?x?x1x2?x1?1

（5）一般式Ax?By?C?0

k??b??CB,a??CA

注意 截距不是距离，截距相等包含过原点的直线 4．直线系

过l1:A1x?B1y?C1?0与l2:A2x?B2y?C2?0交点的直线系方程

A1x?B1y?C1??(A2x?B2y?C2)?0(除l2外)

二、两直线的位置关系 设l1:y?k1x?b1，l2:y?k2x?b2

?k1?k2l1//l2??或b?b?12?k1,k2不存在 ??不重合l1?l2?k1k2??1或k1,k2一个为0或另一个不存在

注：一般式中l1:A1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2y?C2?0

l1//l2?A1??A2?B1B2?C1C2

l1?l2??A1??A2?????????1???B1??B2?三、距离公式

1．点P(x0,y0)到直线l:Ax?By?C?0的距离d?2．两平行直线l1:Ax?By?C1?0d?

|Ax0?By0?C|A?B22

l2:Ax?By?C2?0的距离|C1?C2|A?B22

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四．角的公式 1．到角公式：tan??k2?k11?k1k2(0????)?是l1到l2的角

2．夹角公式：tan??五、求对称点

k2?k11?k1k2 当k1k2??1夹角?=90?

P(a,b)关于直线l:Ax?By?C?0对称点是P?(x0,y0)

B?y0?b??x?aA?0 ??Ax0?a?By0?b?C?0??22六、简单的线性规划

1．二元一次不等式表示平面区域

（1）Ax?By?C?(?)0表示平面内直线Ax?By?C?0一侧的区域 （2）Ax?By?C?(?)0区域的判定

①特殊点法（取点代入的符号，就是该点所在区域的符号）

②把＞，＜看作?，正正得右（上），负负得右（上），正负（负正）得左（下）

③对于不等式组所表示的区域是各个不等式表示平面点集的交集 （4）Ax?By?C?0（<0）区域中，离直线Ax?By?C?0距离越远的点（x0,y0）

代入Ax?By?C越大（小）

2．线性规划

?A1x?B1y?C1?0??A2x?B2y?C2?0 ????Ax?By?C?0nn?n（1）求Z?Ax?By最值

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1°先判断可行域是在Ax?By?0还是Ax?By?0区域 2°大于零区域距离越远Z越大 小于零区域距离越远Z越小 （2）求x2?y2?|op|最值 （3）求

y?bx?a?k范围

（4）整点问题，先求通解，再调整 七、曲线与方程

1．方程的曲线、曲线的方程

（1）曲线上的点的坐标都是方程的解 （2）以这个方程的解为坐标的点都在曲线上 2．求轨迹方程的步骤

（1）建系（2）设点（3）列式（4）化简（5）证明（略） 3．求轨迹方程的方法 （1） 直接法 （2） 几何法 （3） 反代法 （4） 参数法 （5） 五式法

4．弦长通用公式l?|x1?x2|1?k2?5．对称性

（1）f(x,y)?f(?x,y) 则曲线关于y轴对称 （2）f(x,y)?f(x,?y) 则曲线关于x轴对称 （3）f(?x,?y)?f(x,y) 则曲线关于原点对称 （4）f(x,y)?f(y,x) 则曲线关于直线y=x对称

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?|a|1?k2?|y1?y2|1?1k2

八、圆的方程

1．圆的方程：(x?a)2?(y?b)2?r2 圆心是C(a,b)，半径是r 2．圆的一般方程：x2?y2?Dx?Ey?F?0(D2?E2?4F?0)

DE?圆心C??,???2??2r?D?E?4F222

注：Ax2?Bxy?Cy2?Dx?Ey?F?0表示圆

?B?0? ??A?C?0?22?D?E?4AF?0

3．参数方程??x?x0?Rcos??y?y0?Rsin?(?是参数)?(x?x0)?(y?y0)?k

2224．圆系：C1:x2?y2?D1x?E1y?F1?0 C2:x2?y2?D2x?E2y?F2?0 则x2?y2?D1x?E1y?F1??(x2?y2?D2x?E2y?F2)?0 表示经过两圆C1，C2交点的圆系

特别地：(D1?D2)x?(E1?E2)y?F1?F2?0表示两圆公共弦方程 5．点P(x0,y0)在圆内（外）

?(x0?a)?(y0?b)?r(?r)?x?y?Dx0?Ey0?F?0(?0)20202222

九、圆与圆的位置关系d?|C1C2| 1．相离?d?R?r?公切线有4条 2．外切?d?R?r?公切线有3条 3．相交?|R?r|?d?R?r?公切线有2条 4．内切?d?|R?r|?公切线有1条 5．内含?d?R?r?没有公切线 十、直线与圆

1．圆C：(x?a)2?(y?b)2?r2 直线l:Ax?By?C?0

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圆心C到直线l的距离d?|Aa?Bb?C|A?B22

（1） 相切?d?r???0 （2） 相交?d?r???0 （3） 相离?d?r???0 2．弦长公式l?2r2?d2 3．平面几何有关结论 （1） （2） （3）

过点P的最长弦长=2r 最短弦长?CP

|PQ|max?|CP|?r |PQ|min?r?|CP|

|PQ|max?|CP|?r |PQ|min?CP?r

4．?O:x2?y2?r2，点P(x0,y0)，直线l:x0x?y0y?r2 （1）P??O,l表示过P点的切线 （2）P在?O外，l表示切点弦 （3）P在?O内，l与?O相离

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第八章 圆锥曲线方程

考试内容：

椭圆及其标准方程，椭圆的简单几何性质，椭圆的参数方程。 双曲线及其标准方程，双曲线的简单几何性质。 抛物线及其标准方程，抛物线的简单几何性质。 考试要求：

(1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程。

(2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质。 (3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质。 (4)了解圆锥曲线的初步应用。 一、椭圆

1．定义 |PF1|?|PF2|?2a?|F1F2|

|PF1|d1?|PF2|d2?e?1

注意：当2a?|F1F2| 轨迹为线段F1F2

2a?|F1F2|轨迹为?

2．方程与性质： a?b?0,a2?b2?c2 （1）标准方程 （2）焦点 （3）准线 （4）顶点 （5）范围 （6）焦半径

xa22?yb22?1ya22?xb22?1

F(?C,0)x??a2F(0,?C) y??a2cc

(?b,0)

(?a,0)(0,?b)(0,?a)|x|?a,|y|?b|PF1|?a?ex0|x|?b,|y|?a

|PF1|?a?ey0

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|PF2|?a?ex0|PF2|?a?ey0

（7）到焦点最远距离a+c，最近距离a-c （8）点P(x0,y0)在椭圆（9）e?（10）

xa22xa22?yb22?1内?b2x0a22?y0b22?1 a2ca,通径?2

b

2

a

，焦准距?c，准线距?2c

?yb22?1上的点可设为P(acos?,bsin?)

a2注：①只有准线x?c,F(C,0)e?ca完全一致才是标准方程

②建立a,b,c的齐次方程或不等式即可求e的值或范围 ③④

x2A?y?A,B?0 ?1表示椭圆??B?A?B?d1,|PF2|e?d2

2|PF1|e二、双曲线 1．定义1

|PF1|?|PF2|??2a?2a右支?2a?|F1F2|??2a左支

2a?|F1F2|无轨迹

注意：2a?|F1F2|是两射线

|PF1|d1|PF1|e?|PF2|d2?e?1定义2

|PF2|e?d2?d12．方程与性质 c2?a2?b2 （1）方程 （2）焦点 （3）顶点

xa22?yb22?1

ya22?xb22?1

F(?C,0)A(?a,0)F(0,?C) A(0,?a)

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（4）范围 （5）渐近线 （6）焦半径

|x|?ay??bax|y|?a

y??abx 令“1”为0即可

|PF1|?|ex0?a||PF2|?|ex0?a||PF1|?|ey0?a| |PF2|?|ey0?a|

（7）e?ca，实轴长=2a，虚轴长=2b，焦准距?b2c，通径?2

b

2

a

，准线距?2a2c

（8）等轴双曲线 a=b, e?2 （9）p(x0,y0)在不含焦点的区域?x0a22?y0b22?1

注意：①Ax2?By2?c表示双曲线??②已知渐近线y??nm?AB?0?C?0

xm22x，可设双曲线方程

?yn22?k

③双曲线的切线???只有一个交点

直线与双曲线交点只有一个?切线，平行于渐近线的直线

三、抛物线 1．定义|PF|?d 2．方程y2?2px3．焦点F??p?,0??2?p2y??2px2x?2py2x??2py

2?p?F??,0??2?x?p2p2y???p?F?0,??2?p2p2?x0y?p2p??F?0,??

2??4．准线x??

p2|PF|?p2?y05．焦半径|PF|?x0?6．通径 2P

|PF|?|PF|?y0?

7．P在内部y02?2px0?0

y0?2px0?044

2x0?2py0?02x0?2py0?02

注意①与抛物线只交于一点的直线?切线，平行于对称轴的直线

②焦点弦问题 （i）y1y2??p2

（ii）|AB|?|AA1|?|BB1|?x1?x2?p （iii）?A1FB1?90?

（iv）以AB为直径的圆与A1B1相切 （v）|AB|?（vi）

1|AF|2psin?2

?2p?1|BF|

四、直线与圆锥曲线主要问题

1．弦长问题l?|x1?x2|1?k2?|y1?y2|1? 焦点弦长|AB|?|AF|?|BF|?ed1?ed2

????????OA?OB?x1x2?y1y2?0?OA?OB?0????????2．垂直问题?AMB为钝角?MA?MB?0?????????AMB为锐角?MA?MB?01k2??|a|1?k2

3．对称问题：五式法，也可用违达定理（求出中点坐标，代入区域内） 4、范围问题：先建立等式，再由等式到不等式

5、最值问题：转化为函数关系求最直或利用几何意义解题 6、定值问题：先利用特殊探求定值再证明

7、向量问题：实现向量语言的转化，充分利用向量的坐标工具 8、轨迹问题：

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第九章 直线、平面、简单几何体

（A）考试内容：

平面及其基本性质，平面图形直观图的画法。

平行直线，对应边分别平行的角，异面直线所成的角，异面直线的公垂线，异面直线的距离。

直线和平面平行的判定与性质，直线和平面垂直的判定与性质，点到平面的距离，斜线在平面上的射影，直线和平面所成的角，三垂线定理及其逆定理。

平行平面的判定与性质，平行平面间的距离，二面角及其平面角，两个平面垂直的判定与性质。

多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球。 考试要求：

(1)理解平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图，能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系。

(2)掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理，掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离。

(3)掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理，掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理，掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念，掌握三垂线定理及其逆定理。

(4)掌握两个平面平行的判定定理和性质定理，掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念，掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理。

(5)会用反证法证明简单的问题。

(6)了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念。 (7)了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图。

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(8)了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图。 (9)了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式。 一、平面的性质

1、公理1，如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有点

都在这个平面内

作用：证明直线在平面内

2、公理2，如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且这些

公共点的集合是一条过这个公共点的直线

作用：（1）证两平面相交 （2）点在直线上 （3）三点共线或三点共线 3、公理3，经过不在同一直线上的三点，有且只有（确定一个）一个平面

推论1，经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有（确定一个）一个平面

推论2，经过两条相交直线，有且只有（确定一个）一个平面 推论3，经过两条平行直线，有且只有（确定一个）一个平面 作用：（1）确定一个平面

（2）证两平面重合

二、空间两条直线

1、位置关系：（1）相交 有且只有一个公共点

（2）平行 在同一平面内，没有公共点

共面

（3）异面，不同在任何一个平面内，没有公共点

2、公理4：a//b,b//c?a//c

3、等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同那么这两个角相等

推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所

成的锐角（直角）相等

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4、异面直线所成的角（1）平移（2）相交（3）锐角（直角）0???5、异面直线间的距离、公垂线段的长度

?2

常常转化为线面距离、面面距离、再用等积法 三、直线与平面位置关系

1 相交：a???A 2 平行：a//? 3 直线在平面内：a?? 四、直线与平面平行 1． 定义：a//??a????

2．判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行

3．性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行 五、直线与平面垂直

1．定义： a???对于任意l??,a?l

2．判定定理：如果一条直线和一个平面内两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面

3．性质定理：如果两条直线同垂直一个平面，那么这两条直线平行 4．三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直

5．三垂线逆定理，在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直 6．重要结论

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（1）正方体的体对角线与异面的面对角线垂直 （2）从平面外一点引斜线

①斜线段相等?射影长相等 ②斜线段较长?射影长较长 ③斜线段>垂线段 （3）直线与平面所成的角的范围是；[0,]

2?（4）最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面经过斜足的

直线所成的一切角中最小的角

斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角。

（5）三余弦公式cos?1cos?2?cos? （6）P在平面ABC的射影是0 ①外心?PA=PB=PC

②内心?侧面与底面所成的角相等 ③垂心?PA?BC,PB?AC

或PA，PB，PC两两垂直?垂心

六、平面与平面

??????1 位置关系?//? ????a?2．平面与平面平行

（1）判定定理1：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行

判定定理2：垂直于同一直线的两个平面平行

（2）性质定理1： 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一平面

性质定理2： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

性质定理3：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也

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垂直于另一个平面

性质定理4：夹在两平行平面间的平行线段长度相等 3．平面与平面垂直

（1）????二面角平面角=90?

（2）判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直

（3）性质定理1：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线

的直线垂直于另一个平面

性质定理2 ：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直

于第二个平面的直线，必在第一个平面内

4 二面角的平面角

（1）定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角，范围是[0,?] （2）作法一，定义法（具有对称图形的条件）

作法二，三垂线定理法 作法三，垂面法

5、求空间角与距离

求角要注意作、证、算结合。 距离可用定义法，转化法，等积法。 七、棱柱

1、定义： （1）两个平面平行（2）其余各面交线平行。 2、性质

（1）侧面、对角面是平行四边形 （2）直棱柱?侧棱?底面

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