拉普拉斯变换是由复变函数积分引出的一个重要的积分变换，在应用

摘要 拉普拉斯变换是由复变函数积分引出的一个重要的积分变换，在应用数学特别是线性系统的分析和研究中占有重要的地位。其在工程数学中也是一个常用的积分变换，又名拉氏变换。一个有引数为实数 的函数可通过拉氏变换这个积分变换转换为一个有引数为复数 的函数。在某些情形中，实变量函数在实数域中作运算并不容易，但实变量函数经拉氏变换之后在复数域中进行一些运算，然后把运算结果做拉氏逆变换，其所得的结果即为实数域中的运算结果，这样的计算过程却比直接计算容易的多。 本文就拉普拉斯变换、逆变换的定义，相关性质和定理进行综合分析，并就拉普拉斯变换及逆变换的计算，求解微分方程、积分方程的定解，求解常系数线性微分方程（组）化简分段函数，广义积分计算，概率密度等几个方面的应用展开详述，领会拉普拉斯变换思想应用于解决工程数学的真正要义，为以后进一步研究拉普拉斯变换的应用前景打好铺垫。 Laplace transform is an important arise out of the complex function integral of integral transform, the analysis and research of the applied mathematics, especially in the system of linear occupies an important position. 前 言 拉普拉斯变换在工程数学中是一个重要且常用的积分变换，其简称拉氏变换，它的理论是在19世纪末首次成形的。开始是英国工程师赫维赛德（O.Heaviside）应用运算解决当时电工计算中的难题，但此时未经严密数学论证。后来法国数学家拉普拉斯P.S.Laplace）经论证得出严密的结论即为拉普拉斯变换。这一理论一经提出对于求解工程数学中的难题提供了非常大的便利，并且广泛应用到物理工程和科学领域。 当前，也有很多学者对其进行了相关研究，得出了诸多研究成果。王高雄、周之铭的《常微分方程》中拉普拉斯变换可以用于解常系数高阶线性微分方程，也可求出常系数线性微分方程组的解。李刚、周继东的《数学物理方程》中应用拉普拉斯变换定义及性质求解 阶线性微分方程（组）的初值。盖云英、包革军的《复变函数与积分变换》中阐述了拉普拉斯变换在线性系统的分析和研究中起着的重要作用，一个线性系统的数学模型可以用一个线性微分方程来描述，而拉普拉斯变换在计算线性微分方程方面具有更为重要的理论意义。魏明彬发表的文章《拉普拉斯变换的作用及意义》中，阐明了拉普拉斯变换在求解 阶常系数微分方程中的作用、意义及初值问题的优越之处。张明会、高婷婷发表的《拉普拉斯变换方法在高等数学中的应用》中分析了拉普拉斯变换的理论思想的基础上，通过几种典型例题，详述了拉普拉斯变换在高等数学领域尤其在函数运算过程所发挥的作用。李高翔在《求解拉普拉斯逆变换的一般方法及其应用》一文说明了应用留数定理到解拉普拉斯变换的方程和解线性常微分方程（组）中从而优化过程，得出结果。陈智豪拉普拉斯变换在《工程数学》中属较难理解的情况，在《高职高专院校（工程数学）拉普拉斯逆变换的几种解法》中，讲述拉普拉斯逆变换几种易于理解和运用的解法。 拉普拉斯变换对于求解微分方程问题、积分方程问题和拉普拉斯变换的解法、拉普拉斯逆变换问题有很大帮助，因为有些题目直接解起来很困难，即使应用傅里叶变换在应用范围也受到了限制。但是，拉普拉斯变换对函数的要求，比傅立叶变换的要求要弱。数学变换方法是一种重要的数学方法，它是指把待解决或未解决的问题通过某种转化过程，归到一类已解决或者较易解决的问题中去，最终获得原问题的解答的一种手段和方法，拉普拉斯变换在高等数学领域尤其函数运算、方程求解中的作用不言而喻。因此，研究拉普拉斯变换就显得非常重要，对我们研究工程数学有很大的必要，并且运用拉普拉斯变换法于许多工程技术和科学研究领域的发展也具有非常大的推动作用。 数学是一种工具，将数学理论应用于工程实践以解决实际问题显然是研究数学理论的重要目的之一。本文不仅着重讲述拉普拉斯变换定义、基本性质运用于高等数学难题的计算，为研究数学理论做好扎实的基础，而且从拉普拉斯变换思想的角度，介绍拉普拉斯变换和逆变换计算、概率密度、广义积分、变换思想在求解常微分方程与积分方程、初值问题及化简分段函数的应用，并结合应用实例加以讲解和阐述，希望能从中更深刻的领会拉普拉斯变换简化解决工程数学中难题的真正要义，掌握运用积分变换的求解方法和适用范围，为今后进一步拓展拉普拉斯变换的应用前景奠定基础。 1 拉普拉斯变

换 拉普拉斯变换是由复变函数积分引出的一个重要的积分变换，在应用数学特别是线性系统的分析和研究中占有重要的地位。本文首先介绍拉普拉斯变换（逆变换）的定义、相关性质和定理，其次再详细介绍拉普拉斯变换在高等数学中求解微分方程（组）等方面的应用。拉普拉斯变换简化了高等数学难题的求解，所以掌握此法便显得特别重要。下面，我们来更深层次了解拉普拉斯变换。 1.1 拉普拉斯变换的概念 所谓的拉普拉斯变换，简称拉氏变换。其优点是对像原函数的要求比傅里叶变换要低，并且适用于自变量的变化范围为 的情况。此外，它虽与傅里叶变换的性质类似但相比却更好用。 在傅里叶变曾引用过两个具有特性的函数，一个是 ，一个是 ，前者被称为单位跃迁函数，后者被称为指数衰减函数。由于 有“截断”的特点，在 上定义的函数 乘以 后就使它在 时成为零。而 随 ，迅速趋向于零，于是 在 至 上积分收敛的可能性大大提高，对于相当一类函数 ， 是收敛的。如果 满足了傅里叶积分定理的条件，则它在傅里叶变换 下的像为 ，且对 ，在 的连续点处，有 . 令 ，则 ，记 ，则 ， 上述 是指沿平行于虚轴的直线 的积分。于是类似于傅里叶变换对，就产生了一对函数 与 ，它们即为下面要介绍的拉普拉斯变换对。下面来看一下拉普拉斯变换的定义及其相关的性质。 定义 设函数 在 时有定义， 为复参变量，若在 在 的某区域 内收敛，则称函数 为 的拉氏变换式，记作 ，也称 的像函数为 ，或按照习惯称 为 的拉普拉斯变换。若 为 的拉普拉斯变换，则称 为 的像原函数，或者按照习惯称 为 的拉普拉斯逆变换，记为 。 为简便计，今后简称拉普拉斯变换为拉氏变换，简写拉普拉斯 变换为 ，当 定义在整个数轴上时，如果说到它的拉氏变换，仍由上述积分定义，其结果只与它在 上的值有关。 1.2 拉普拉斯变换的存在定理 定理 若 在 上至多有有限个第一类间断点，同样， 在 的至多有有限个第一类间断点，且有常数 和常数 存在，使 则在半平面 上，函数 存在拉氏变换 ，并且 是 上的解析函数，且有 称满足式 的 为 时增长是指数级的函数，称 为增长指数。 这个定理的条件并非是必要的。 1.3拉普拉斯变换的性质 拉氏变换的一些基本性质在有关的计算和查表中都有重要的作用。在介绍拉普拉斯变换基本性质的过程中，假定： 凡进行拉氏变换的函数（像原函数 ）都满足拉氏变换存在定理中的条件。 像函数的自变量 的实部 大于其像原函数的增长指数 .（即， ） 性质1 （线性性质） 设 ， 为常数，则 即线性组合的拉氏变换等于其拉氏变换的线性变换。 性质2 （微分性质） 若 ，则 ，特别地，当 时， . 此性质阐明了经过拉氏变换可把求导化为代数来作运算. （推论）上述该性质可推广到 阶导数的情形。当 时， 此表明常微分方程有可能经拉氏变换化为代数方程，给出求解常微分方程相关问题的一个途径。 性质3 像原函数的积分性质 若 且 连续，则 . 此性质表明经拉氏变换后，可将积分运算化为代数运算。 像函数的积分性质 若 ，积分 收敛，则 的拉普拉斯变换存在，且 这里的积分路径位于半平面 内， 是 的增长函数。 令积分下限 ，即得 .此式子常用来计算某些广义实积分。例如当 时，实积分 的值可由上述的式子得出结果为 。 性质4 (位移性质) 若 ，则 . 此性质表明像原函数与指数函数 之积的像等于其像函数作位移 。 性质5 (延迟性质) 若 ，且当 时 ，则对于任意一个非负实数 ，有 . 此性质表明，时间延迟 后的函数的拉氏像函数等于原来的函数的拉氏像函数与 的乘积。 性质6 在实际应用中，有时已知 的像函数 ，不需要求出 的具体表达式，而只关注 在 和 时的性态。此时以下两个定理很有用处。 初值定理 若 ，且 存在，则 . 终值定理 若 ，且 的所有奇点全在 平面的左半平面，则 . 2 拉普拉斯逆变换 2.1拉普拉斯逆变换的概念 若 是 的拉氏变换，则称 为 的拉普拉斯逆变换，其可简称为拉氏逆变换，也可简写为 ，或称作像原函数，记作 。 2.2拉普拉斯逆变换存在定理 定理 设 在 的任何有限区间上满足拉氏条件，且当 时 的增长速度是指数级的，即满足式子 ，则在 的连续点处， 由下式给出 . 称该式为 的反演积分公式（或反演公式）。 证明 根据题目给出的条件， 满足拉氏积分存在定理的条件，故拉氏积分 存在，并且此时 满足傅氏积分定理的条件，因而上述的反演积分公式成立。 2.3拉普拉斯逆变换的性质 拉氏逆变换有以下一些性质（假定所遇到

的函数都满足上述拉普拉斯变换的定理） 性质1 性质2 由式子（8.2），若 ，则 . 进一步有 . 性质3若 ，则 或 3 拉普拉斯变换的应用 3.1 拉普拉斯变换的计算 所谓拉普拉斯变换的计算，是应用拉普拉斯变换的定义求解函数的拉氏变换。 例1. 求 的拉氏变换. 解： ，当 时， . 故 的拉氏变换为 . 由拉氏变换的定义，单位跃迁函数 的拉氏变换的像与 的拉氏变换下的像是相同的. 例2. 设 为实常数，求指数函数 的拉氏变换. 解： 由拉氏变换的定义 ，当 时，上述积收敛到 ，故 . 例3. 求正弦函数 的拉氏变换. 解： 由拉氏变换的定义 .由分部积分法，当 时，可求出 . 故所求为 . 由以上的例子可以看出， ， ， 在古典意义下的傅里叶变换是不存在的，但是它们的拉普拉斯变换却是存在的。在求一个函数的拉普拉斯变换或者论证拉普拉斯变换的某些性质，可以把 看作实参数，由此得出的结论对 是复参数时也是成立的。 3.2 拉普拉斯逆变换的计算 在前面已经讨论由已知函数 求它的像函数 的主要公式，同时也得到了相应的由已知像函数 获得像原函数的方法，但这些公式在实际应用中仍是远远不够的。下面将再介绍几种由已知像函数 求它的像原函数 的方法。 3.2.1 留数法 直接计算式 右边的复变函数积分通常是比较困难的，留数定理可以提供一个很好的方法。 留数定理 设 为一实数， 有有限个极点 ， ， ， ，它们都位于直线 的左边，另外， 时， . 则有 ，即 . 证明 联结 和 两点，以它为直径 ，向其左方作一半径为 的圆弧 ，记半圆弧和直径 ，构成的闭路为 .由于 仅有 个极点，当 充分大时，它们都将落入 的内部.又 在整个 平面解析，故 也以 为所有极点.由留数定理有 ，即 . 当 时，有 ，于是 注 式 是 的一种展开式，故也称上述定理为展开定理。当 为有理分式 时，上式会成为一种简单的形式。 3.2.2 卷积法 卷积的概念 此处引入两个函数的卷积，对于 上的函数 ，如果广义积分 满足收敛，则该积分在 上称为 的卷积，并记作 （自变量为 ）。 卷积定理 假定 属于 ，并且满足拉普拉斯逆变换的存在定理中的条件，记 ， ，则有 在这里必须要求对 和 作一些限制。对于古典的拉氏变换，即使 在 上有定义，它的拉氏变换也与 在 时的取值无关， 与 具有相同的拉氏变换。如果对 和 做一个限制，假设它们在 时取零值，则可以顺利的证明卷积定理。今后在应用中需要注意的是，凡是在拉普拉斯变换中涉及到卷积，都要假定像原函数属于 ，此式 是它们卷积的定义式。 3.2.3 部分分式法 在工程数学中遇到的像函数 常常是有理分式，可以先将它化为部分分式，然后根据一些函数的拉氏变换及相关性质，就可以求出结果。 例4. 用以上几种不同的方法求解 拉普拉斯逆变换。 解： 解法一（留数法） 是 的二级极点， 是 的的单极点，所以 . 解法二（卷积法） 因为 ，所以 . 解法三（部分分式法） 分解 为部分分式 ，所以 3.2.4 查表法 对于拉氏变换的逆变换有拉氏变换简表可供查用，但有时需要适当结合拉氏变换的性质将 化到适合表中公式的情形。此外，还需经常用到以下的公式： ； ； ； ； ； ； 例5. 求 的拉氏逆变换. 解： 由拉氏变换的延迟性质，可以先求出 的拉氏逆变换，再求 的拉氏逆变换。易知， 由查表可知 ， ，故 再由延迟性质，可得 . 3.2.5 展开法 利用展开定理计算拉普拉斯逆变换。 展开定理 如果函数 在 点处解析，且 ，即 在 内，其罗朗展开式 ，那么 . 例6. 求 . 解： 因为 ，而 ，所以得 .上述 又可记为 ，其中 是零阶贝塞尔 函数。 3.3 用拉普拉斯变换求解定解问题 应用拉普拉斯变换去解微分方程、积分方程，其结果同样得到一定解，那么对于解微分方程，积分方程的问题也即归结到求定解的问题上，其方法思想是一致的，本文不再就解微分方程、积分方程单独进行介绍，但会列举出典型的例题感受其方法。 用拉普拉斯变换去求解微分方程和积分方程的定解问题的主要有以下三个步骤： 对原方程两端进行拉普拉斯变换，并且考虑初值条件或者边值条件，得出关于像函数的代数方程； 从变换后的代数方程中求出像函数； 对像函数进行拉氏逆变换，得到的像原函数就是原来问题的解。 3.3.1利用拉普拉斯变换求解微分方程问题 拉普拉斯变换这种运算步骤，应用到线性微分方程的计算会更加简便容易，它通过微分方程转化为代数方程来简化计算过程。 例7. 利用拉普拉斯变换，求解下列的初值问题：， ， ， 解： 设 ，对微分方程两边取拉普拉斯变换，

得到. 或者 .所以 ，故求的给定初值问题的解为 . 例8. 求方程 满足初值条件 ， 的解. 解：设方程的解为 . 对原方程两边分别取拉普拉斯变换 ， ，则有 再求拉普拉斯逆变换，得 针对上面的例题，我们可总结出对于应用拉普拉斯变换求解方程的初值问题的解的求解框架如下： 式 式 （像原函数的微分方程初值问题） （原函数的代数方程） 式 式 （得到原问题的解） （未知函数的像函数） 例9. 利用拉普拉斯变换，求解下面的初边问题： 解： 因为 ， 已知，所以关于自变量 作变换，设 ， ，则由定解问题 中的方程和初始条件可得 ，其通解 是 . 注意到边界条件得 ， ， 所以 ， . 因此 ，故问题 的解为 . 利用积分性质和延迟性质，得 . 这就是问题的解. 3.3.2利用拉普拉斯变换求解积分方程问题 积分方程的求解是十分困难的，但此处通过运用拉普拉斯变换简化计算过程，首先，对积分方程取拉普拉斯变换，再利用拉普拉斯变换的反演公式。 例10. 求解积分方程 ，其中 ， 为定义在 上的已知函数。 解： 在方程两端分别作拉氏变换，记 ， ， ，则有 ， 由拉氏反演定理，有 . 再如 若当 ， ，则 注意 这里的积分限是 总体来看，利用拉普拉斯变换去解微分方程或者积分方程的定值问题有下面几点优势： （1）在整个求解过程中规范，在工程技术中的使用简化难度； （2）当面对工程中常遇到的初值条件为零的情况下，应用拉普拉斯变换相比于经典的求解方法会使问题简单化； （3）方程中的非齐次项也就是工程中的输入函数具有跳跃点而不可微时，用经典的方法较拉普拉斯变换方法困难； （4）在实际计算中求某些函数的像函数使得求解过程变得更加方便。 3.4 解常系数高阶线性微分方程及常系数线性微分方程组 拉普拉斯变换既可解常系数高阶线性微分方程，也可解常系数线性微分方程组。为此，首先在拉普拉斯变换推广到向量函数的情形下，定义 ，其中 是 维向量函数且其每一个分量都可作拉普拉斯变换。这里以例题的形式介绍如何应用拉普拉斯变换求解常系数线性微分方程组。 例11. 利用拉普拉斯变换求解下列方程组. 设 ， 试求方程 满足初值条件 的解 . 解： 将方程组写成分量形式，即 令 ， ， 对方程组实施拉普拉斯变换得到 即 由此解得 取反变换或者查拉普拉斯变换表即 . 即求得所求结果。 从以上的例题中可总结出，求解线性微分方程组的问题可通过拉普拉斯变换化为求解线性代数方程组的问题。如果方程组的阶数不是很高的话，那么它的解是很容易求出来的。拉普拉斯变换还可以在不必先化为一阶常系数线性微分方程组前提下，直接去解高阶常系数线性微分方程组求解问题。 例12. 试求方程组 满足初值条件 ， ， ，的解 . 解： 令 ， ，对方程组取拉普拉斯变换，我们得到 ，整理得到 解上面的方程组，即有 再取反变换即得到解 . 从上述例题分析可以看出，应用拉普拉斯变换能够快捷地求出常系数线性微分方程（组）的初值。但它对方程中强迫项的性质要求较高。因此，必须要注意并不是任何常系数线性微分方程（组）都能用拉普拉斯变换来进行求解。 3.5用拉普拉斯变换化简分段函数 3.5.1单位跃阶函数的概念 单位跃阶函数就是 拉普拉斯变换的单位跃阶函数是 单位跃阶函数在电子技术中有广泛的应用，一般其作用有以下两个方面：第一，对于任意一个函数 ， ，用 去乘以 ，其积满足了拉普拉斯变换所需要满足的的条件：积分区间 变成 。因此，借助单位跃阶函数能够准确的表述出状态，从而正确的解决实际问题。第二，某些分段函数可以利用拉普拉斯变换单位跃阶函数合写成一个式子从而简化问题，也就能更方便的应用拉普拉斯变换解决实际问题。这也就要求今后在使用拉普拉斯变换解决问题的时候必须注意到单位跃阶函数的作用。 例13. 应用拉普拉斯变换的单位跃阶函数方法将下列的分段函数化简成为一个式子，并求它的拉普拉斯变换。 = 解： 从此函数可以看出，当 时，函数 的值在 的基础上又增加了 ，即其增加了 ；当 时，函数 的值在 的基础上又增加了 ，即其增加了 ；当 时， 的值在 的基础上又增加了 ，即其增加了 ，因此这个分段函数可以表示为 ，由拉普拉斯变换的线性性质和滞后性质得出下列的式子： 3.6拉普拉斯变换用于广义积分计算 若广义积分 收敛，则可用拉普拉斯变换的方法去求解该积分。首先，我们通过引入参变量 ，使其成为含有参变量 的广义积分方程，此时可视其为参变量 的函数 ，当 满足拉普拉斯变换存在定理的条件时，

可以对函数 两端取拉普拉斯变换 。显然，在等号右侧要交换积分次序才能求取拉普拉斯变换。所以下面我们首先给出引理，然后由此得到关于交换积分次序的一条定理。 引理一 设 在区域 ， 上的连续函数，且 关于 在区间 上一致收敛，那么 是 在区间 上的连续函数。 引理二 设 在区域 ， 上的连续函数，且 关于 在区间 上一致收敛，那么 是 在区间 上是可积的，且满足下列式子 。 证明： 由于函数 关于 在区间 上时一致收敛的，由引理1可知，函数 关于 在区间 上是连续函数，所以 . 对于任意的 ，由于 在 ， 上连续，所以 ，于是得到 由 式和 式可得出 引理三 设 是在区域 ， 上连续的，两个积分 和 关于 和关于 在任意有界区间 上一致收敛，并且 和 至少有一个存在，则有 . 证明： 假设 存在，则 也是存在，由于 关于 在任意有界区间 上一致收敛，那么函数 在关于 的区间 上连续，而且对任意的 ，有 成立，于是可得 又由引理2可知，对于任意的 ，有 成立.于是可得： 则由 式和 式可得到 . 于是，由以上的引理一、二、三可得到以下的这条重要的结论。 结论 如果函数 在关于 的区间 上一致收敛并且有界，则 和 都是存在的，且相等，即 . 证明 因为 ，其中 是一个负参量，又因为函数 在关于 的区间 上一致收敛，所以 在关于 的区间 上也一致收敛，又因为 在关于 的区间 上有界，即存在 ，对任意的 ，有 ，因为 ，显然 是收敛的，所以 收敛，即 存在. 由引理三，可得到 . 根据上面表述的重要结论，可以方便地求出 的像函数 ，有 . 因此经过取像函数的拉氏逆变换，得到其像原函数 ，此即含参变量 的一些特殊值，最后可求得相应的广义积分的值。 以下再介绍一例重要的广义积分，其在一些工程技术中常用并占有很重要的地位。狄利克雷积分也可用上述的拉普拉斯变换的方法去解。 例14. 求解狄利克雷积分 . 解： 由于狄利克雷函数 收敛，因此引进参变量 ，使其成为 的函数， ，取拉普拉斯变换并交换积分次序，得 再对其取拉普拉斯逆变换，并取 ，则 ， 即 . 与狄利克雷积分函数类似的，还有一些在工程技术中常用到的广义积分如泊松积分、菲涅耳积分等，它们的积分计算有很多途径，但是求解一般都是很复杂的，并且需要很高的技巧。本文中应用拉普拉斯变换的方法，通过引进参变量 ，使其成为含有变量 的广义积分方程，然后利用拉普拉斯变换求出含有参变量 的广义积分的结果，从而确定广义积分的值。很显然，该方法简便易求，对于求解某些含有参变量或含有相应的实变量的广义积分同样适用。 在数学分析中提供的方法对一些实变量的广义积分很难解出结果，在这里同样通过引进参变量 ，使其成为含有参变量 的函数，再利用取拉普拉斯变换的方法，并使参变量 取某些特殊值，确定积分的值。下面给出几例实变量的广义积分感受一下此方法。 例15. 计算积分 解： 设 取拉普拉斯变换并交换积分次序，得 对其再取拉普拉斯逆变换，得到 即 . 例16. 用拉普拉斯变换求解泊松积分 . 解： 由 判别法可知泊， 收敛，又因为 是一个实变量的广义积分，所以引进参变量 ，使它成为含有参变量 的函数，并设 ，并对 作拉氏变换且交换积分次序，得到 . 因为 ，所以 ，于是得出 也就是 ， 当 时，则 . 3.7利用拉普拉斯变换的性质求解概率密度 此处利用拉普拉斯变换的卷积定理及其相关性质，参考上述的3.2.2，此处不再赘述。 引理：若随机变量 和 是相互独立的，它们的概率密度为 ，则随机变量 的概率密度为 . 例17. 假设 与 两个随机变量是相互独立的，且都均匀分布在区间 ，求出 的概率密度函数。 解： 因 与 是相互独立的两个随机变量，由卷积公式得 当 时， 与 至少有一个为负，被积函数为 ，那么 ， 当 ，要使被积函数非零，必须满足 ， ，因而 ，那么 ， 当 ，要使被积函数非零，必须有 ， ，从而 ，那么 ， 当 时，由于 ， 是不可能同时满足的。

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